Bien, hoy vamos a hablar en el módulo S1-A correspondiente a cinemática
de los sistemas indeformables Vamos a hablar de esto, sobre los sistemas
indeformables llamados también cuerpos sólidos A diferencia de la
cinemática de la partícula cuyos conceptos más importantes fueron
tratados en el módulo anterior, en el C1-A y C1-B y cuyo movimiento se
analizaba estudiando una sola partícula por lo tanto había sólo una
velocidad y una aceleración en un instante determinado y también se
estudiaba asimismo su variación con el tiempo En el caso del sólido, el
caso que vamos a tratar en el módulo de hoy y en el siguiente, y en los
siguientes vamos el movimiento se compone, perdón, el sólido se compone
de infinitas partículas no una sola y cada una de estas partículas tiene
un movimiento es decir, tiene una velocidad, tiene una aceleración, tiene
una trayectoria diferente cada partícula, un movimiento diferente y en
este y en los próximos módulos aportaremos algunos conceptos que
complementan pero que no sustituyen, ojo al parche los conceptos que
aparecen descritos en la bibliografía básica de la asignatura que ya
tenéis y que ya deberéis estar estudiando empecemos por describir el
movimiento de rotación puro de un sólido rígido ahí tenéis en la
descripción el movimiento de rotación puro la figura de la diapositiva,
un sólido S que está pintado con línea negra más gruesa que está
rotando alrededor de un eje que pasa por los puntos A y Q punto A,
remarcado ahora en amarillo, y punto Q el cuerpo S, el sólido S, gira
alrededor del eje que pasa por A y por Q con una velocidad angular omega
mayúscula que se ha pintado ahí, en la parte superior de la figura
primero con el movimiento de rotación, con un semicírculo indicando que
la rotación es hacia ese sentido, hacia donde está la flecha antihorario
en este caso y luego se ha indicado como se suelen indicar las rotaciones
con un vector siguiendo la regla del sacacorchos, que también se ha
pintado de color verde ha podido hacer más grande. En general, partiendo
de cualquier punto del eje de rotación, por ejemplo del punto Q, que antes
hemos señalado, si partimos del punto Q, para calcular la velocidad lineal
que este movimiento de rotación genera en el punto P1 del cuerpo, pues
hemos de realizar el producto vectorial, como ya sabemos, de la velocidad
angular omega, por el vector de posición del punto P1, que es el vector
QP1. Es decir, partiendo del punto Q, un punto cualquiera de ese eje de
rotación, quiero calcular la velocidad lineal que genera esa rotación en
el punto P1 del cuerpo. Por lo tanto, multiplico vectorialmente el vector
omega-rotación por el radiovector desde el punto donde me he situado, que
es el Q, hasta el punto donde quiero calcular la velocidad, que es el P1.
Este producto vectorial, que figura ahí en la diapositiva, sigma
vectorialmente por R1, nos da directamente la velocidad lineal V en el
punto P1, velocidad que es generada por la rotación omega del sólido,
alrededor del eje que pasa por Q y por P. Este producto vectorial lo que
nos recuerda es aquella célebre sentencia, seguramente nos acordamos de
física básica, que decía que la velocidad lineal es igual a la velocidad
angular multiplicado por el radio de giro. Esto nos acordaremos de física
elemental de esta sentencia. Pero ojo, tengamos siempre presente que
estamos en este caso multiplicando vectores, no simplemente números. Y
como estamos multiplicando vectores vectorialmente, el vector que resulte
de este producto vectorial, es decir, el V1 que está marcado ahí en la
transposición, es el vector que resulta de este producto vectorial. en la
transparencia, ha de ser un vector situado en un plano perpendicular a los
dos vectores múltiplos, el sigma y el R1. Y si cogemos un plano donde
figuren los dos vectores sigma y R1, el vector V1 resultante del producto
vectorial de los dos anteriores ha de ser perpendicular al plano que
contiene a sigma y a R1. Sin embargo, hay ocasiones en que dicho producto
vectorial se puede convertir en un producto de dos números, sin necesidad
de tener que multiplicar vectorialmente dos vectores. Un número sería el
módulo del vector sigma, y otro número sería el módulo del vector R1.
Veamos cuándo ocurre esto, cuando podemos multiplicar como si fueran
números, sin necesidad de recurrir al producto vectorial. Para verlo,
tracemos un plano normal al eje de rotación que estamos en el cuerpo que
estamos considerando y que tenga los puntos A y P sub 1. Es decir, ese
plano generaría un corte en el sólido S, una sección en el sólido S que
está ahí marcada en una especie de lice. ¿Verdad? Que se ha puesto,
además, se ha señalizado como plano normal al eje, que estoy remarcando
un amarillo. La sección que ese plano produce en el sólido S es esa
especie de lice que se ha pintado ahí. Por tanto, esa lice, el plano que
contiene esa lice, es perpendicular al eje de rotación. ¿De acuerdo? Como
el punto Q que he elegido antes, un punto cualquiera del eje. El punto Q
elegido era un punto cualquiera aleatorio del eje, yo puedo utilizar
cualquier punto para realizar el producto vectorial anterior, para poder
calcular la velocidad lineal en el punto P sub 1, puedo utilizar cualquier
punto del eje, no necesariamente el Q. Y si puedo utilizar cualquier punto
del eje, voy a utilizar el A, que está en el plano normal al eje que acabo
de comentar. Así es. Entonces, ese plano ahora mismo contiene el punto A y
también contiene el vector AP sub 1, que ahora mismo ya es el vector de
posición del punto P sub 1 donde quiero calcular la velocidad lineal. Por
lo tanto, el producto vectorial ahora para calcular V sub 1 sería el
producto vectorial del vector omega multiplicado vectorialmente por el
vector AP sub 1. Pero se da la casualidad de que el vector omega, que está
contenido en el eje, y el vector AP sub 1 son ahora perpendiculares, y la
multiplicación vectorial de dos vectores que son perpendiculares es igual
al producto algebraico de los módulos de los dos vectores, puesto que el
seno del ángulo formado por los dos vectores es noventa grados, el seno de
noventa es uno, es lo mismo que multiplicar producto vectorial de sigma por
AP sub 1, es lo mismo que multiplicar módulos del vector sigma por el
módulo del vector AP sub 1. Solamente en este caso nos evitaremos el
realizar el producto vectorial y simplemente realizaremos el producto de
dos números, módulo del vector sigma por módulo del vector de posición
que en este caso es AP sub 1. Pero vuelvo a repetir, esto solamente ocurre
cuando los dos vectores, el sigma y el de posición, son perpendiculares.
En ese ejemplo que aparece ahí en la diapositiva, en el CS12, tenéis muy
claramente, o sea, se puede ver muy claramente a través de un problema, de
un ejemplo práctico todo esto que acabamos de decir. Y con respecto a
estos ejemplos, ¿cuáles son? Hay unos que van apareciendo, que se van
relacionando en estas, en anteriores y que aparecerán en posteriores
diapositivas. Hay unos que figuran en rojo y otros que figuran en negrillo,
en negro, vamos. Los códigos de los ejercicios, de los ejemplos que
aparecen de color rojo, son los códigos de los problemas de la colección
de problemas resueltos de este tutor, que se incorporan a la colección de
problemas de la tutoría, y por lo tanto, serán los que se incorporan al
buzón documentos de la tutoría. Y en lo que el tiempo disponible para las
tutorías nos permita, pues se tratarán de explicar, serán los que se
traten de explicar en las tutorías de los Nier. Aquellos otros que figuran
en negro, y otros muchos que no figuran codificados en las diapositivas,
pertenecen a sí mismos. A la colección de problemas del tutor, pero no se
incorporan a la colección de la tutoría. Por lo que si el alumno quiere
disponer de ellos, debe solicitarlos al tutor, y éste le informará sobre
las condiciones de envío de dichos ejercicios o dichos ejemplos. En
principio, se consideran suficientes los problemas de la colección de la
tutoría, los que aparecen en rojo. Conjuntamente con los... Lógicamente
con los... Lógicamente con los que figuran en la bibliografía básica,
que no se pueden descuidar, obviamente. Y esto, entonces, el conjunto de
los dos problemas, de las dos colecciones de problemas, pues son
suficientes, como digo, para asimilar la asignatura a un nivel, digamos,
suficiente para la realización óptima del examen de la misma. Ahora bien,
el resto de problemas que no... Que figuran en la colección del tutor,
pero que no figuran en la colección de la tutoría, son problemas asimismo
muy importantes, muy... Son un producto de una selección de problemas de
exámenes de diferentes universidades, como se ha dicho ya en la
presentación, por lo tanto son problemas muy interesantes. El alumno que
quiera disponer de ellos, pues puede pedirlos, como digo, a mi correo
particular o al de la UNED. Seguimos. Con la... Con el módulo que estamos
tratando hoy. Estamos viendo cómo determinar el movimiento de un sólido
rígido, y hemos comenzado por ver cómo se determinan las velocidades de
un sólido sometido exclusivamente a un movimiento de rotación. Sin
embargo, pocas veces un sólido está sometido a un movimiento de rotación
puro. Un movimiento con... De rotación que vamos a llamar... Omega,
mayúscula. La mayor parte de las veces se simultanean movimientos de
traslación y de rotación de forma conjunta aparecen en el cuerpo.
Entonces aparecerá un vector V y un vector omega, no solamente el omega
solamente. Es más, un movimiento general de un punto cualquiera del
sólido en un instante determinado puede reducirse a una traslación y a
una rotación. Resultantes. ¿Eh? Y un ejemplo de ello que me pareció
interesante, por eso lo he puesto aquí en la diapositiva esa que estáis
viendo, aunque no ha quedado muy clara porque es la fotocopia de... De una
fotocopia de un libro a su vez, por lo tanto la máxima... Lo máximo que
he podido sacarlo ha sido lo que aparece ahí en la pantalla. Pero... Pero
vamos a ver un ejemplo interesante, es el ejemplo de un movimiento plano y
que pueda aclarar lo que acabamos de decir. Se trata como veis ahí en la
diapositiva, empecemos con la figura superior, empecemos por la izquierda
donde pone movimiento plano, como veis se trata de una barra AB que desliza
sobre una corredera horizontal y sobre otra corredera vertical. El
movimiento general de la barra se ve en la figura esa que acabo de subrayar
en amarillo de la izquierda. Y ese movimiento, que es el general de la
barra, se puede sustituir por la suma de dos movimientos que llamaremos
movimientos elementales. Uno de traslación que lo veis en la siguiente
figura, estoy ahora subrayando con amarillo que pone traslación con A.
¿Eh? Que simplemente consiste en que la barra avanza de la posición
inicial ASU1, yo hablando de la deslizadera horizontal, avanza desde la
posición ASU1 inicial a la ASU2 que va a ser la posición final. Pero
paralelamente a sí misma, como veis la barra simplemente se ha cogido su
posición original y se ha desplazado desde la posición ASU1 inicial a la
ASU2 final, pero paralelamente sin otro movimiento de la barra. Este
movimiento que es de traslación habrá que añadirle, sumarle, otro que es
un movimiento de rotación que es pasar de la barra de la posición BSU1'
con que me ha quedado en el primer movimiento a la posición BSU2 que es la
posición BSU3. Y es un movimiento que ha de tener la barra, que ha de
coincidir con la pared vertical, con la deslizadera vertical. Como ves la
suma de los dos movimientos, la traslación más la rotación nos da el
movimiento resultante y la posición resultante de la barra en BSU2 ASU2
como debería de ser. Por lo tanto he deshecho un movimiento que podría
parecerme complejo. En dos movimientos sencillos y fáciles de calcular,
uno de traslación y otro de rotación. Podríamos determinar sin ningún
problema velocidades y aceleraciones de cualquier punto de la barra para
cada uno de los movimientos elementales antes citados, el de traslación y
el de rotación y luego sumarlos vectorialmente, ojo porque son vectores,
para obtener la velocidad o aceleración resultante. Pero claro, ahora ya
estamos trabajando con dos movimientos elementales fáciles de calcular que
son traslaciones y rotaciones. En gran cantidad de problemas esta forma de
actuar, es decir dividir un movimiento complejo en suma de dos, una
rotación y una traslación, es una forma muy práctica de trabajar, de
resolver el problema y desde luego que facilita mucho su resolución. En
esos ejemplos que veis ahí arriba, tenéis muy claro a través de ejemplos
prácticos, de problemas prácticos, este concepto del que acabamos de
hablar. Claro que el movimiento de la barra AB esa que hemos dicho antes
también podría hacerse de otra forma, no es exclusivo al movimiento, la
suma de los dos movimientos traslación y rotación podían haberse elegido
de otra forma, por ejemplo abajo lo veis. En lugar de llevar la barra de la
posición A1 a A2 de forma paralela para realizar el movimiento de
traslación como en el caso superior de la figura, ahora en la parte
inferior lo que hemos hecho ha sido llevar la barra de la posición B1
inicial a la posición B2 final también de forma paralela. Un movimiento
exclusivo de traslación de la barra, esa sería la nueva traslación.
Podía elegir cualquiera de los dos, la traslación de arriba o la
traslación de abajo y luego evidentemente a esto habrá que sumarle el
movimiento de rotación de la barra, rotación ahora puro ya para llevar la
posición A1 prima a la posición A2 final. Como veis cualquiera de los dos
movimientos aquí representados. Dan como resultado el movimiento final,
que es el movimiento que tiene realmente la barra AB. Por tanto cualquiera
de los dos casos podría estudiarse y nos daría los mismos resultados. En
los ejercicios repito que aparecen ahí arriba se ve todo esto muy claro.
Bien, seguimos. Para ver lo que creemos. En el grupo cinemático y cómo se
calcula un campo de velocidades vamos a pensar, vamos a poner un ejemplo y
vamos a trabajar sobre él. Pensemos en un avión actuando en una
demostración de acrobacia aérea. Este avión está efectuando trompos,
loops diversos, movimientos de derrota que al final son movimientos de
acrobacias. Hay movimientos de rotación alrededor de ejes longitudinales,
de ejes transversales del avión, etcétera, etcétera. Y conjuntamente con
esos movimientos de rotación que forman los loops y los trompos y estas
cosas bonitas que se ven por ahí en las acrobacias, conjuntamente además
hay también movimientos de caída libre del avión, movimientos hacia
adelante, etcétera, etcétera, etcétera. Cada punto del avión tiene un
movimiento. Probablemente diferente del resto de puntos que componen el
avión, que hay infinitos. Y asimismo, dichos movimientos variarán con el
tiempo, no serán los mismos ahora que dentro de un segundo, porque ya
habrá recorrido, dado media vuelta hacia un lado o hacia el otro. En fin.
Cambiarán las velocidades tanto del módulo como del trompo. Como en
dirección, evidentemente. Sin embargo, en no pocas ocasiones es necesario
conocer el movimiento no solamente de un punto, sino de varios puntos
diferentes del avión. ¿Por qué? Pues para conocer las velocidades, las
aceleraciones y las trayectorias de esos puntos concretos que a mí me
interesa estudiar del avión. Entonces, llegado a este punto se nos plantea
la siguiente pregunta. ¿Conocido el movimiento de la línea de movimiento?
¿Conocido el movimiento de un punto de un sólido? En este caso del
avión, en un punto determinado, por ejemplo en un ala, en un punto del
ala. ¿Puedo determinar el movimiento de cualquier otro punto del mismo,
del mismo sólido? Por ejemplo en el otro extremo de la otra ala, o en la
cola, o donde sea. ¿Podría calcular o determinar el movimiento de
cualquier otro punto del avión o del sólido? ¿Conocido el movimiento en
un punto concreto? La respuesta es afirmativa, ya que por pertenecer ambos
puntos a un mismo sólido rígido, sus movimientos están relacionados
entre sí. Los movimientos de los diferentes puntos están relacionados
entre sí. Y dicha relación se conoce como la ecuación básica de la
cinemática del sólido rígido. ¡Ecuación básica! Y luego veis...
¡Oye! Ya os lo digo ahora, se ha llamado ecuación básica porque es una
ecuación enormemente interesante. Va a tener una trascendencia fundamental
en la resolución de los problemas de movimientos de sólidos rígidos.
Digamos que es el corazón de la cinemática del sólido rígido. Así
pues, por lo general, el movimiento de un sólido tendrá valores
diferentes de velocidad lineal y velocidad angular. lineal y angular en
cada punto del sólido. Pero bastará con especificarlos para un punto
cualquiera del mismo y automáticamente estará definido clara e
inequívocamente el movimiento del conjunto del sólido. Pues conocidos los
valores de velocidad lineal y angular en un punto P, lo veis ahí en la
figura de la transparencia. Imaginaros que el punto P de este sólido, S,
conocemos la velocidad lineal, vector vp rojo, y la velocidad angular
resultante en ese punto P del sólido llamada sigma P. Conocido vp y sigma
P en el punto P, puedo determinar esos mismos valores en otro punto
cualquiera, por ejemplo en el punto Q del sólido. El par formado por los
vectores v y sigma, que lo veis aquí en la diapositiva, es ese par de
valores, uno es el vector velocidad lineal, v, y otro es el vector
velocidad angular, sigma. El par formado por los vectores v y sigma, se
conoce como par cinemático del sólido en el punto P, o en el punto Qs,
par cinemático del sólido. Así que cuando hablemos de pares cinemáticos
en un punto P cualquiera, sabremos que estamos definiendo el vector
velocidad lineal en ese punto y el vector velocidad angular resultante en
ese punto del sólido, par cinemático. Conocido entonces, como hemos dicho
anteriormente, el par cinemático del sólido es el vector velocidad lineal
en el punto Q. Por lo tanto, el par cinemático del sólido en el punto Q
se puede determinar el correspondiente a otro punto P del mismo, a través
de la ecuación básica de la cinemática del sólido que es esa que veis
ahí. La velocidad lineal en un punto P será igual a la velocidad lineal
en el punto Q, más la velocidad angular en el punto Q multiplicada
vectorialmente por el radiovector P. Ojo con la dirección del vector de
posición Q-P. Ojo, puesto que como sabemos el producto vectorial no es
conmutativo, por lo tanto no es lo mismo poner sigma Q por Q-p que poner
sigma Q por P-q. Las cosas cambian. Luego, si queremos cambiar la
dirección del vector de posición Q, o sea, el par cinemático cambiarle
la dirección a dicho vector de posición, debemos poner la fórmula de
esta forma. vp será igual a vq más el vector pq multiplicado
vectorialmente por el vector sigma. Cualquiera de las dos fórmulas,
cualquiera de las dos ecuaciones, perdón, llamadas ecuación básica de la
cinemática, son válidas. Elegiremos la forma que mnemotécnicamente más
nos guste, nos venga mejor. Y siempre usaremos la misma para no
equivocarnos, porque luego la gente se equivoca muchísimo en los
problemas. Le cambia el sentido del vector qp. En vez de poner qp ponen pq
y utilizan la primera ecuación, o al revés. Y utilizan la segunda. Este
problema estaría mal planteado, el resultado sería erróneo. Por lo
tanto, ojo con esto. Con todo lo visto hasta ahora, para determinar los
movimientos, es decir, las velocidades, en cualquier punto del sólido, sea
cual sea el sólido, el avión, el ejemplo que hemos puesto anteriormente,
procederemos de la siguiente forma. Antes de eso, y entre paréntesis,
vamos a decir que el conjunto de vectores-velocidad de todos los puntos del
cuerpo sólido que estamos estudiando, en un instante determinado, al
conjunto de los vectores de todos esos puntos que forman el cuerpo sólido,
le llamaremos campo de velocidades. ¿Vale? Bien, entonces, ¿cómo
procedemos, repito, para calcular el campo de velocidades o la velocidad en
cualquier punto del sólido? En un instante determinado. Pues procederemos
de la siguiente forma. Comenzaremos ligando al sólido un trihedro de
referencia, el O, X y Z que ahí se ha pintado de color verde. ¿Vale? Lo
veis ahí pintado en la figura de color verde, situado en este caso en el
punto O. Es decir, hemos ligado al sólido un trihedro de referencia X, Y,
Z, O, ¿para qué? Pues hombre, para que nos permita definir respecto a él
la posición de cualquier punto P del sólido. Ahí tenéis en la figura un
punto P que pertenece al sólido, pues para fijar ese punto en qué sitio
está dentro del sólido, tendré que tener una referencia. Bueno, pues esa
referencia es el trihedro O, X y Z pintado en verde que aparece ahí. Este
es un trihedro, muy importante y voy a subrayarlo, que va ligado al
sólido. Por lo tanto, tiene el mismo movimiento que el sólido. El sólido
es eso que hemos pintado ahí de color azul. Pues tiene el mismo, el
trihedro de referencia O, X y Z, vamos a llamarle trihedro móvil, tiene el
mismo movimiento que el sólido que queremos estudiar. La posición en este
caso del punto P, pues vendrá definida como, o a través del vector de
posición O, P que veis ahí, que nos fija la posición, valga la
redundancia del punto P dentro del sólido. El movimiento del sólido, hace
falta decirlo, ya lo hemos dicho, será el movimiento del trihedro que
está ligado a él, el trihedro verde. Es decir, si el trihedro tiene el
mismo movimiento que el sólido, pues da lo mismo decir movimiento del
sólido que movimiento del trihedro ligado al sólido. Dado que todo
movimiento de un cuerpo puede reducirse siempre a una traslación y a una
rotación como ya hemos dicho anteriormente, la velocidad de cualquier
punto P de un cuerpo sólido, punto PS que tenemos ahí, es decir, VP, ese
vector de color negro, puede obtenerse como suma de dos movimientos, uno de
traslación del origen del trihedro OXIZ que hemos llamado VO y otro de
rotación que hemos llamado sigma y lo hemos pintado de ese color que veis
ahí, alrededor del punto O. Por lo tanto, para calcular la velocidad de
cualquier punto P del sólido, conocidas, conocido el par cinemático en el
punto O del sólido que coincide en este caso con el origen de coordenadas
del trihedro móvil, pues no tenemos más que plantearnos la ecuación
básica de la cinemática. La velocidad en un punto P será igual a la
velocidad lineal en el punto O más el producto vectorial de la rotación
resultante omega multiplicado vectorialmente por el vector posición OP. VP
será la velocidad del punto del sólido. VO será la velocidad de
traslación del origen o del trihedro de referencia OXIZ ligado al sólido.
Con respecto, claro está, a un sistema de referencia fijo que hemos
llamado OX1, X1, Y1, Z1, este trihedro de referencia fijo. Y sigma será la
velocidad angular resultante del sólido. Al conjunto de los dos vectores
VO y sigma aplicados en el punto O, y que definen el movimiento de
cualquier otro punto del sólido P a través de la ecuación básica de la
cinemática, se le llama parcinemático, como ya hemos dicho antes. Y se
representa por VO sigma entre paréntesis. Los ejemplos que veis ahí,
señalados, se aclaran perfectamente estos conceptos que son
importantísimos a la hora de resolver problemas de cinemática del sólido
rígido. Pero hemos dicho hace un momento que las velocidades de dos puntos
diferentes de un mismo sólido están relacionadas entre sí a través de
lo que denominábamos ecuación básica de la cinemática del sólido. Y si
bien no es este el lugar idóneo para demostrarlo, para eso tenéis la
bibliografía, aquí en las tutorías no da tiempo a hacer demostraciones,
pues si tiene mucha culpa de esto, precisamente la propiedad del campo de
velocidades de un sólido que vamos a quitar a continuación y que es muy
importante. Sabemos que las proyecciones de las velocidades de dos puntos
cualquiera del sólido sobre la recta que los une es constante. Y se
denomina velocidad de deslizamiento del sólido en la dirección de la
recta dada. No hay más que recordar la propiedad de invariabilidad de las
proyecciones de las velocidades que ya habéis tenido que estudiar, incluso
ya en cálculo vectorial. Pero vamos a detenernos un poquito porque es tan
importante esta propiedad que conviene detenerse un poquito. Lo que quiero
decir es lo siguiente. Aquí en la figura inferior izquierda tenéis un
cuerpo representado por esa hélice que está ahí pintada y dentro del
cuerpo dos puntos. El punto O con una velocidad VO, ese vector que veis
ahí señalizado como VO, y otro punto cualquiera del cuerpo, un punto
llamado P, con una velocidad, un vector de velocidad VP. Si unimos mediante
una recta los puntos O y P nos sale esa recta que figura ahí. Si sobre esa
recta proyectamos los vectores velocidad VO y VP, nos dará dos
proyecciones que tienen la misma... de los vectores, proyecciones de los
anteriores que tienen la misma dirección de la recta OP y que son iguales.
Esto es la propiedad que se llama invariabilidad de las proyecciones de las
velocidades sobre la recta que nos une. Ese vector proyección de las
velocidades sobre esa recta y que es igual en todos los puntos de la recta,
en los infinitos puntos que comprende la recta, se le llama velocidad de
deslizamiento según la dirección de la recta OP en este caso. Y su
representación pues es esta que veis aquí arriba. El producto escalar de
VP por el vector unitario o versor que define la dirección de la recta OP
multiplicados escalarmente son iguales tanto en el punto P como en el punto
O. Ya sabemos que la proyección del vector OVO sobre la recta OP es el
producto escalar del vector VO por el versor unitario que me define la
dirección de la recta OP. Pues esto es lo que se ha representado ahí. Lo
mismo para el vector P que para el vector O. Esas dos velocidades son
iguales y se conocen como el nombre de velocidad de deslizamiento en la
dirección OP. Como consecuencia de esta propiedad importantísima, si en
lugar de elegir la recta OP elegimos una recta que tenga la misma
dirección del vector velocidad angular resultante omega, como vemos ahí
en la parte derecha de la figura derecha, observamos lo siguiente. La
proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la dirección de la
velocidad angular resultante sin omega es constante para cualquier punto
del cuerpo y se denomina velocidad de mínimo deslizamiento. Ahí en la
figura tenéis un cuerpo sólido representado por la helice esta, y tres
puntos del cuerpo sólido. Uno A, otro punto B y otro punto C. El punto A
tiene una velocidad cuyo vector está representado por VA. Lo mismo en B
representado por VB y lo mismo en C representado por VC. Si ahora cogemos
una recta que tenga la misma dirección que el vector omega resultante, el
vector velocidad angular resultante, que es esta recta que veis aquí, y
proyectamos los vectores velocidad de los puntos A, B y C sobre una recta
paralela al vector omega, que son estas proyecciones que se ven aquí, VD,
VD y VD, resulta que todas estas proyecciones para cualquier punto del
cuerpo son iguales. Módulo. Y son iguales también en dirección. Tienen
la misma dirección que omega y todas tienen el mismo módulo. Y además se
da la casualidad de que esa velocidad, proyección de los vectores sobre la
dirección de omega, VD que hemos llamado, es la velocidad mínima de todos
los puntos del cuerpo. Todos los puntos del cuerpo en cualquier otra
dirección tienen una velocidad lineal mayor que esa, que VD. A esa
velocidad se le llama velocidad de mínimo deslizamiento. Y es muy
importante, es un concepto muy importante tal y como vamos a ver a
continuación. En los ejemplos 1 y 4 se aclara este concepto de forma
enormemente clara. Y además debéis de verlos, es el consejo que siempre
se ha dado. La teoría no se entiende sin ver los ejemplos prácticos.
Bien, pues sigamos. Volvamos al ejemplo que hemos dejado atrás, el ejemplo
del avión acróbata ese famoso. En cada punto del avión existen tantos
movimientos elementales, giros, loops, alabeos, traslaciones, etcétera,
etcétera. Y todos ellos además son variables con el tiempo, no son
constantes. Ahora mismo tienen una velocidad con un módulo determinado,
una dirección determinada, pero unos segundos más adelante el mismo punto
cambió totalmente su velocidad, tanto en módulo como en dirección. Por
lo tanto, variable con el tiempo. Por tanto, hay tal cantidad de
movimientos y todos ellos variables con el tiempo que el estudio del
movimiento resultante, que al final es determinar velocidades,
aceleraciones, trayectorias, etcétera de un punto, resulta enormemente
complicado. Entonces hemos de buscar algún método para facilitar esta
labor. Y para facilitar esta labor lo primero que se nos ocurre es lo
siguiente. Primero, separarlo de diferentes movimientos elementales de tal
forma que el movimiento resultante final sea la suma de los diferentes
movimientos elementales. Ya lo hemos hecho hace un momento descomponiendo
un movimiento más o menos complicado que era el de la barra A-B aquella
que hemos visto hace un momento en dos movimientos, uno sencillos, uno de
traslación y otro de rotación. Bueno, pues aquí tenemos que hacer esto
mismo con todos esos movimientos del avión. Sería bueno, porque los
movimientos estos elementales se pueden estudiar de forma fácil. Un
movimiento complejo, como suma de un montón de ellos es más difícil de
calcular y de analizar. Y otra cosa que se me ocurre, dado que también hay
tiempos por medio y con las velocidades, aceleraciones, trayectorias
varían con los tiempos, pues lo que se me ocurre es separar a sí mismo
los tiempos. Es decir, estudiar los movimientos anteriores en los momentos,
en los instantes en que a mí me interese. No hay ningún otro. Lo de
separar movimientos, que fue lo primero que hemos dicho, lo tenemos fácil,
pues si bien el movimiento resultante del sólido, que en este caso es el
avión, se compone de múltiples movimientos elementales, como ya sabemos
que los movimientos elementales solamente son dos, que son traslación y
rotación, si sumamos todos los vectores velocidad o aceleración de
rotación, tendremos una rotación resultante. Y lo mismo se hace para las
traslaciones. Sumándolas todas nos quedaría una sola, que es la
traslación resultante. Por lo tanto, al final, me quedaría solamente un
par cinemático vectoral-velocidad lineal y vector velocidad angular omega.
Par cinemático en un punto duplo es un punto determinado que una vez
conocido ya puedo determinar la velocidad en cualquier otro punto del
avión a través de la fórmula básica de la cinemática del sólido de la
cual hemos hablado anteriormente. Por lo tanto, este par cinemático V y
sigma definido para un punto cualquiera del avión representa el movimiento
del punto del sólido en estudio y si esto lo hacemos para un instante que
nos interese, ya tenemos también separados los tiempos. Pero, para
facilitar más esta labor de simplificar el estudio del movimiento de un
sólido, me voy a hacer yo a mí mismo una pregunta y también os la
traslado a vosotros. La pregunta es la siguiente. ¿Podría encontrar un
eje, es decir, una línea recta situada ese eje en una posición
determinada del sólido? Y en un instante T determinado, el que a mí me
interese. Teniendo este eje una dirección tal que el movimiento del cuerpo
en su conjunto se reduzca a una rotación alrededor de dicho eje y a una
traslación en la misma dirección del citado eje. Y fijaros lo que estoy
diciendo. Estoy tratando de buscar un eje o una línea recta situada en una
posición dentro del sólido o fuera, está también fuera del sólido,
pero como perteneciente al sólido. ¿Vale? De tal forma que cualquier
movimiento del sólido se componga de dos movimientos elementales
solamente. Uno de rotación alrededor de ese eje que he buscado y otro de
traslación, pero con la misma dirección el vector velocidad-traslación
con la misma dirección que tiene el eje. Eh... Fijaros que si dicho eje
existiese el movimiento de todo el cuerpo sería sencillamente un
movimiento helicoidal. Es decir, un movimiento similar al de un sacacurchos
sacacurchos que al girar, que es la rotación avanza en la misma dirección
del vector rotación que es el eje del sacacurchos. Es decir, a medida que
giramos el sacacurchos para introducirlo en el corcho el sacacurchos va
introduciéndose, va trasladándose hacia el interior del corcho. Por lo
tanto hay dos movimientos en el sacacurchos. Uno de rotación y otro de
traslación en la misma dirección que el vector rotación. Ese eje del
sacacurchos es el eje al que yo me estoy refiriendo en un cuerpo. Si logro
encontrar ese eje en el cuerpo puedo estudiar el cuerpo, el movimiento del
conjunto del cuerpo de una forma muy fácil a través de un movimiento
helicoidal de un movimiento de sacacurchos en definitiva de dos movimientos
uno de rotación y otro de traslación pero con la facilidad de que el
movimiento de traslación tiene la misma eh... dirección que el vector
rotación y la misma dirección que el eje, claro está. Bien en el caso
del avión fijaros que todos los movimientos que hemos dicho antes que
tenía el avión loops eh... giros, alabeos, traslaciones etcétera, queda
reducido en un instante determinado en el momento en que a mi me interese a
un solo movimiento helicoidal. Y por lo tanto es muy sencillo de analizar y
calcular. Bien pues dicho eje contestación ahora a la pregunta
efectivamente dicho eje existe y se llama eje instantáneo de rotación y a
partir de aquí, a partir de este momento aprenderemos a localizarlo, a
saber dónde está qué dirección tiene y así mismo aprenderemos a
determinar cómo va cambiando de posición a medida que pasa el tiempo.
Así pues existe un punto del sólido por el cual pasa una recta paralela a
la velocidad angular resultante sigma que cumple que todos los puntos de
dicha recta tienen velocidad contenida en ella es decir los vectores
velocidad de dichos puntos tienen la misma dirección de la recta y dicha
velocidad que es única para todos los puntos es decir que es la misma en
todos los puntos de la recta es la velocidad mínima que puede presentarse
del conjunto de puntos del sólido a esta recta se le conoce como eje
instantáneo de rotación vamos a verla, ahí en la figura de la derecha
hemos puesto bueno el eje de rotación el eje instantáneo de rotación que
es una línea recta que le hemos llamado E que es esa que va verticalmente
de arriba abajo el cuerpo no figura ahí en la figura porque no se ha
querido meter para no emborronarla más y para que sea más clara pero
imaginaros que ese eje pertenece a un cuerpo que ahí no se ha dibujado en
el punto A del cuerpo en este punto de aquí que acabo de remarcar en
amarillo el cuerpo tiene una velocidad bueno fijaros antes de nada el eje E
que se llama eje instantáneo de rotación tiene la misma dirección que el
vector omega que es el vector velocidad angular resultante del cuerpo la
misma dirección y ahora vamos a calcular la velocidad de un punto del
cuerpo que es la que se da la casualidad de que está situado en el mismo
eje de eje instantáneo de rotación en ese punto el cuerpo tiene en el
punto A una velocidad que es VD que fijaros que lleva la misma dirección
que el eje instantáneo de rotación E y además por lo tanto lleva la
misma dirección que la velocidad angular resultante omega la velocidad en
cualquier otro punto por ejemplo en el B del mismo eje instantáneo de
rotación será la misma VD la velocidad de deslizamiento y si no lo
queremos apliquémosle la fórmula básica conocida la velocidad en un
punto A podemos calcular la velocidad en cualquier otro punto del cuerpo a
través de la fórmula básica la velocidad en B en el punto B será igual
a la velocidad en el punto A que la conozco que es VD más el vector omega
resultante multiplicado vectorialmente por AB esta es la fórmula básica
fijaros sin embargo que vector omega y vector AB tienen la misma dirección
por lo tanto su producto vectorial es 0 así que entonces nos queda que VB
es igual a VA y VA ya le hemos llamado VD velocidad de deslizamiento por lo
tanto esto nos indica que la velocidad en cualquier punto del eje
instantáneo de rotación es la misma y es igual a la velocidad de
deslizamiento ahora calculemos la velocidad en otro punto cualquiera del
cuerpo que no pertenezca al eje instantáneo de rotación por ejemplo en el
punto P para ello hagamos lo siguiente para mejor comprender como
calcularlo tracemos un plano que pase por el punto A y por el punto P y por
el punto A y sea perpendicular al eje instantáneo de rotación en ese
plano está el punto P y está el punto A también calculemos la velocidad
que tiene el cuerpo en el punto P para ello que debemos de hacer hombre
conocida la velocidad en un punto del cuerpo en este caso el A que la
conocemos para calcularla en otro punto cualquiera del cuerpo pues será
aplicar la fórmula básica que hemos dicho hace un momento entonces la
velocidad en P será igual a la velocidad en A que es Vd por lo tanto la
pongo ahí vector Vd más otra velocidad que resulta de multiplicar omega
por Ap por el vector de posición Ap que resulta el vector PP' así que la
suma de estos dos vectores es el vector Vp que es la velocidad en el punto
P calculemos ahora la velocidad en otro punto Q de ese plano perpendicular
al eje que pasa por P y por A la velocidad en Q otra vez aplicando la
fórmula básica de la cinemática será igual a la velocidad en A que es
Vd es este vector que he puesto ahí más vectorialmente por otro vector
que es el producto de multiplicar vectorialmente omega por Aq que es el
vector Qq' sumando los dos vectorialmente me da el vector Vq lo mismo
podría hacer en otro punto más alejado del eje el R por ejemplo sería
igual a Vd más Rr' que es omega por Ar y nos daría el vector Vr fijaros
que estamos hablando de la composición de dos movimientos uno de
traslación que es Vd siempre el mismo para cualquier punto del cuerpo más
otro de rotación alrededor del eje instantáneo de rotación que es el
producto de multiplicar y a números porque estamos hablando de que son
planos perpendiculares al eje por tanto son vectores perpendiculares el
vector Ar el vector Aq el vector Ap es perpendicular a omega por lo tanto
ya no necesito ni hacer producto vectorial simplemente multiplico los
módulos y punto para que me den movimiento de rotación alrededor del eje
los vectores Pp' Qq' y Rr' al final la suma de los dos movimientos es el
movimiento helicoidal los vectores Rr' Qq' y Pp' son los vectores velocidad
lineal generadas por la rotación alrededor del eje del sólido y los
vectores Vd son los vectores de deslizamiento los vectores de traslación
el movimiento de traslación es decir el movimiento resultante del
sacacorchos al girar me produce los movimientos de rotación Pp' Qq' Rr'
pero al mismo tiempo el sacacorcho se desplaza se mete dentro del corcho
con una velocidad de deslizamiento Vd siempre la misma movimiento
helicoidal del que hemos hablado hace un momento pues el eje es el eje
instantáneo de rotación fijaros la importancia que tiene porque si
sabemos dónde está en un instante determinado el eje instantáneo de
rotación el cálculo del movimiento de cualquier punto del cuerpo es muy
sencillo simplemente sumando la rotación y la traslación o el
deslizamiento alrededor de ese eje instantáneo de rotación ¿por qué le
llamamos eje instantáneo? le llamamos eje instantáneo porque en ese
instante está ahí situado pero unos segundos más adelante ya cambiaron
las velocidades tanto lineales como angulares del cuerpo sólido por lo
tanto ha cambiado también de sitio el eje instantáneo de rotación por
eso se le llama instantáneo porque en cada instante está en un sitio
diferente y ahora podríamos preguntarnos vale le hemos llamado movimiento
helicoidal y es el movimiento repito más general que tiene un sólido en
un instante determinado localizado el eje instantáneo de rotación el
movimiento de cualquier punto movimiento general del sólido en ese
instante se calcula pues de esa forma sencilla una rotación y una
traslación en la misma dirección del eje instantáneo de rotación por lo
tanto resulta un movimiento helicoidal entonces podríamos preguntarnos
¿por qué el observador que está viendo moverse al sólido no ve un
movimiento helicoidal? en el caso vamos a volver al caso al ejemplo del
avión si nos fijamos en el avión un observador que esté viendo las
acrobacias pues probablemente no verá movimientos helicoidales salvo los
producidos a propósito por el piloto para hacer unas figuritas ahí más
bonitas pero si no, no veremos movimientos helicoidales y yo estoy diciendo
que cualquier movimiento general de un sólido es la suma de unos
movimientos helicoidales en instantes determinados ¿por qué no veo yo ese
movimiento helicoidal cuando estoy viendo moverse así de forma general un
sólido? pues hombre ya hemos dicho que los ejes instantáneos de rotación
van cambiando de posición con el tiempo y lo que ve el espectador es una
secuencia rápida de movimientos helicoidales alrededor de ejes
instantáneos de rotación pero cambiantes de tal forma que el movimiento
resultante final no se parezca al helicoidal pero en realidad sí que es la
suma de infinitos movimientos helicoidales alrededor de infinitas
posiciones del eje instantáneo de rotación conviene tener muy claro este
concepto de eje instantáneo de rotación puesto que lo vamos a trabajar
mucho en cinemática seguimos vamos a ver las propiedades del eje
instantáneo de rotación antes de pasar a ver cómo se localiza ahí en la
figura de la derecha tenéis un cuerpo un sólido S pintado de azul línea
gruesa hemos situado un trihedro de referencia que nos identifica todos los
puntos dentro del cuerpo dibujado en verde ya que además es solidario al
cuerpo, es decir realiza el mismo movimiento que el cuerpo y hemos dibujado
también un trihedro de ejes fijos O1, X1, Y1, Z1 pues también para que
nos dé la referencia finalmente tengamos una referencia algo a lo que
referir nuestras velocidades absolutas aceleraciones etcétera trayectorias
bien conocemos dentro del cuerpo un punto M y en él la velocidad que tiene
el cuerpo en ese punto M vector dibujado en negro y también la velocidad
angular resultante en ese punto M que es sigma y ahora pretendemos buscar
el eje instantáneo de rotación para ello hablaremos antes de las
propiedades del eje instantáneo de rotación de ese cuerpo en ese instante
determinado primera propiedad el eje instantáneo de rotación es paralelo
al vector velocidad angular resultante sigma del sólido ahí lo veis en la
figura efectivamente el eje instantáneo de rotación que lo hemos pintado
de colores fucsia o como se llame y a trazos es paralelo al vector
resultante sigma por cierto el vector resultante sigma de un cuerpo es un
vector que da igual la posición el punto M del cuerpo que elija siempre el
vector resultante aceleración perdón aceleración velocidad angular es el
mismo para cualquier punto del cuerpo verdad bien segunda propiedad la
velocidad de los puntos del eje instantáneo de rotación es un vector con
la misma dirección del eje instantáneo de rotación es decir con la misma
dirección del vector velocidad angular resultante y es la mínima que
puede presentarse de todos los puntos del sólido en un instante
determinado esto es lo que llamamos velocidad de deslizamiento
efectivamente ahí en la figura la veis el punto P punto que pertenece al
eje instantáneo de rotación tiene una velocidad lineal vp que coincide en
dirección con la dirección del eje instantáneo de rotación y además vp
es la velocidad mínima de todos los puntos del cuerpo velocidad lineal
mínima existente si lo comparamos con cualquier punto del cuerpo propiedad
C la distribución de velocidades en los puntos del sólido es helicoidal
es el movimiento del sacacorchos lo que acabamos de decir la velocidad
conocido el eje instantáneo de rotación por donde pase su dirección ya
podemos calcular la velocidad en cualquier punto del cuerpo como una
velocidad de rotación alrededor de ese punto perdón de ese eje del eje
instantáneo de rotación con una velocidad angular omega más una
velocidad lineal que es la velocidad de deslizamiento vp finalmente el eje
instantáneo de rotación va cambiando de posición en cada instante con el
movimiento del sólido por eso se llama instantáneo muy bien pues ahora
pasemos a saber como localizar el punto la situación como localizar el eje
instantáneo de rotación en que sitio se encuentra y que dirección tiene
y esto se puede hacer de varias formas en primer lugar se puede hacer
analíticamente de la siguiente forma siguiendo el siguiente procedimiento
primero determinamos el movimiento absoluto movimiento velocidad
concretamente velocidad respecto a unos ejes fijos o x1 y su 1 z1 de un
punto cualquiera m perteneciente al sólido aquí lo tenéis en la figura
lo que hay que hacer es determinar el par cinemático de un punto m
cualquiera del sólido s en sus valores absolutos tanto la velocidad v sub
m como la velocidad angular sigma han de ser valores absolutos valores de
velocidades referidos a los ejes fijos bien entonces primer paso es buscar
el par cinemático en un punto m cualquiera del cuerpo y digo nota muchas
veces es más práctico determinar dicho movimiento en el punto o su 1
origen de coordenadas de los ejes fijos considerando que dicho punto o su 1
pertenece al propio sólido s aunque no esté físicamente situado dentro
del sólido s nosotros consideramos que o su 1 pertenece al sólido s por
lo tanto se mueve como él y diréis vosotros oye y para qué quiero yo
elegir el punto o su 1 para buscar el par cinemático en él como primer
paso para búsqueda del eje instantáneo de rotación porque no elegir otro
m cualquiera en vez del o su 1 bueno pues digo que muchas veces es más
fácil elegir el punto o su 1 porque las coordenadas son 0 0 0 por lo tanto
los cálculos algebraicos de la resolución del problema nos van a resultar
más fáciles y el problema se va a hacer más rápido segundo paso
trasladar el par cinemático determinado para un punto cualquiera el m por
ejemplo a otro punto p que todavía no sé dónde está y hacerle cumplir
la igualdad que la velocidad en el punto p siendo p un punto del eje
instantáneo de rotación la velocidad de ese punto al ser la velocidad de
deslizamiento por lo tanto ha de coincidir en dirección con el vector
omega el vector velocidad angular resultante como decimos analíticamente
expresamos analíticamente que un vector ha de tener la dirección de otro
que el vector vp ha de tener la misma dirección que el vector sigma pues
si esto es así lo expresamos de esa siguiente forma vp igual a lambda por
sigma lambda es un número cualquiera multiplicado por el vector sigma eso
significa que los rectores vp y sigma tienen la misma dirección es decir
el paso b es buscar un punto p que esté situado dentro del eje
instantáneo de rotación a partir del par cinemático de un punto m
conocido entonces decimos que vp es igual a vm más omega por mp fórmula
básica de la cinemática y esto ha de ser igual a lambda por omega porque
ha de tener la dirección del vector omega resolviendo esa ecuación me van
a dar tres ecuaciones con tres incógnitas las incógnitas son las
coordenadas perdón las componentes del vector no perdón las coordenadas
del punto p por donde pasa el eje instantáneo de rotación es decir que de
la igualdad anterior voy a extraer la ecuación de la recta que define el
eje instantáneo de rotación en los ejemplos que veis ahí aclaran estos
conceptos que son conceptos básicos para la resolución de problemas de
cinemática del sólido esta es la forma de hallar el eje instantáneo de
rotación analíticamente pero hay otra forma por ejemplo localizando la
rotación resultante cuando el movimiento del sólido lo veis ahí en la
parte derecha de la figura se compone de una suma de rotaciones aplicadas
en diferentes puntos del mismo tal y como veis ahí hemos puesto el sólido
pintado en azul los ejes móviles el trihedral de referencia móvil x,y,z,o
moviéndose con el mismo sólido el sólido s y el sólido s tiene se
compone de unos movimientos de rotación uno aplicado en el punto a omega a
otro aplicado en el punto b omega b otro aplicado en el punto c omega c y
otro aplicado en el d omega d cuando un movimiento el movimiento de un
sólido se compone de varios movimientos de rotación aplicados en unos
puntos concretos del mismo localizaremos la resultante omega de todas las
rotaciones la tenemos aquí pintada en color fúlsia omega mayúscula será
igual a omega en a más omega en b más omega c más omega d todos sumados
vectorialmente o lógicamente bueno pues el eje instantáneo de rotación
ha de pasar por el punto de aplicación de esa resultante omega mayúscula
y además ha de tener la misma dirección de la resultante omega mayúscula
de esta forma tan sencilla determinamos la posición del eje instantáneo
de rotación simplemente sumando los vectores de velocidad angular y
buscando el punto de aplicación de la resultante de esa suma vectorial
otra forma de búsqueda del eje instantáneo de rotación que muchas veces
muchísimas veces es el mejor procedimiento es el procedimiento gráfico
para ello hemos de dar los siguientes pasos primero si se localiza en el
sólido un punto con velocidad nula velocidad cero por dicho punto ha de
pasar obligatoriamente el eje instantáneo de rotación y además la
velocidad de deslizamiento ha de ser nula porque como ya hemos dicho antes
que la velocidad de deslizamiento era la mínima velocidad que tenía un
cuerpo si hay un punto del cuerpo que tiene velocidad cero esa es la
velocidad mínima por tanto la velocidad de deslizamiento ha de ser cero
segundo si se localizan dos puntos de velocidad nula en el cuerpo en el
sólido la recta que une dichos puntos es el eje instantáneo de rotación
lo veréis claro en el ejemplo C6 que aparece tercero si sabemos que la
velocidad de mínimo deslizamiento es nula por ejemplo en el movimiento
plano que vamos a ver a continuación en un ejemplo los planos
perpendiculares a los vectores velocidad pasan por el eje instantáneo de
rotación luego basta con conocer las direcciones de las velocidades en dos
puntos cualesquiera del sólido trazar los planos perpendiculares a estas
direcciones en ambos puntos y la intersección de estos planos es el eje
instantáneo de rotación en el ejemplo 10 hay un ejemplo bueno vamos a
verlo aquí este es el caso que se ha dibujado ahí en la parte derecha de
la transparencia se trata de una escalera que está apoyada en una pared
vertical y en el suelo horizontal paredes además de muy poco rozamiento
nulo imaginaros que son de hielo el vector este se trata de un movimiento
plano decimos que el movimiento es plano cuando el movimiento cuando el
cuerpo, el sólido se mueve en un plano, en este caso el plano OXI el eje X
sería el del suelo y el eje Y sería la pared vertical no existe eje Z se
puede estudiar el movimiento de esa escalera en un plano en dos
dimensiones, no necesitamos tres por eso se llama movimiento plano ¿vale?
el vector velocidad angular de esa escalera del movimiento de esa escalera
fijaros que en la posición uno estaba en la posición se ha dibujado el
color azul luego una posición intermedia resbalando siempre la escalera
que es la roja y finalmente una posición límite que es la tres, bueno
límite no porque el límite estaría en el suelo ya apoyada acostada
directamente en el suelo pero solamente se han dibujado tres posiciones
¿verdad? bueno el vector velocidad angular de la escalera es un vector
perpendicular a la pantalla es decir que tiene la dirección del eje Z que
aunque ahí no se ha dibujado el eje Z es un eje perpendicular a la
pantalla perpendicular entonces al plano XI además las velocidades V de
cualquier punto de la escalera del sólido en este caso de la escalera
están contenidas en el plano XI en el plano del dibujo en el plano de la
pantalla ahí se han pintado pues fijaros en el punto de la posición A1 la
escalera tiene una velocidad hacia abajo, está deslizando hacia abajo por
eso se ha pintado ese vector pequeñito ahí con dirección hacia abajo en
el otro extremo de la escalera en el punto B1 la velocidad es hacia la
derecha en la posición por ejemplo final en la posición 3 en la escalera
verde el vector velocidad en la posición A3 será hacia abajo, el vertical
y el horizontal también hacia la derecha es decir todos los vectores de
velocidad no hace falta elegir dos puntos en los dos puntos extremos de la
escalera pero en cualquier punto intermedio la velocidad también estaría
contenida sería un vector que está contenido en el plano XI no en el Z
por lo tanto las proyecciones de esos vectores de velocidad sobre el eje Z
serían nulas luego la velocidad de deslizamiento que siempre es la
proyección del vector velocidad lineal sobre el vector velocidad angular
sería nula en este caso por eso aquí en el tercer paso decíamos que si
sabemos que la velocidad mínima de deslizamiento es nula por ejemplo en el
movimiento plano acabamos de ver por qué bueno el eje instantáneo de
rotación hemos dicho que ha de tener la misma dirección del vector omega
siempre como en el movimiento plano que es este caso ejemplo de la escalera
que estamos viendo ahora el vector omega tiene la dirección del eje Z es
decir perpendicular a la pantalla por lo tanto el eje instantáneo de
rotación ha de ser una recta también perpendicular a la pantalla para que
tenga la misma dirección del vector omega o sea que en un movimiento plano
el eje instantáneo de rotación es perpendicular al plano donde estoy
estudiando el movimiento la intersección de esa línea con el plano del
dibujo es un punto lo cual quiere decir que aquí en el movimiento plano
más que hablar de ejes instantáneos de rotación tendremos que hablar de
centro instantáneo de rotación siendo este centro instantáneo de
rotación el punto de intersección del eje instantáneo de rotación con
el plano del dibujo es el punto por donde pasa el eje instantáneo de
rotación eje que no vemos puesto que es perpendicular al plano del dibujo
por lo tanto se reduce a un punto ¿cómo se determina en estos casos en
los que la velocidad de mínimo deslizamiento es nula? es decir en el caso
del movimiento plano decíamos que según la propiedad C si el movimiento
es plano o si la velocidad de deslizamiento es nula nos basta contrazar por
los extremos de los vectores velocidad unos planos perpendiculares he dicho
vectores de velocidad la intersección de dichos planos es el eje
instantáneo de rotación fijémonos posición primera en azul conozco la
dirección del vector velocidad en la posición A1 que tiene la misma
dirección de la pared vertical conozco la dirección del vector velocidad
en la otra posición extrema en el BS1 que tiene la misma dirección del
suelo trazo un plano perpendicular que es igual que trazar una línea
perpendicular aquí por el extremo del vector de ambos vectores una línea
perpendicular al vector y el punto de intersección de la misma es el punto
por donde pasa el eje instantáneo de rotación es decir es el centro
instantáneo de rotación en ese punto en el ISU1 la escalera se movería
como si girase toda la escalera alrededor de ISU1 por tanto la velocidad en
el punto ASU1 sería la velocidad omega SU1 angular multiplicado por la
distancia ISU1 ASU1 y la velocidad en el punto BSU1 sería igual a la
velocidad angular omega SU1 multiplicado por la distancia ISU1 BSU1 la
velocidad en cualquier otro punto de la escalera sería igual a omega SU1
multiplicado por la distancia desde ISU1 hasta ese punto de la escalera y
lo mismo para las otras posiciones no da tiempo aquí a poner más ejemplos
pero en estos que veis aquí en el 10 y el 11 y el 6 esto se aclarará de
una forma muy muy muy clara y además es muy importante cualquiera de los
tres métodos que acabamos de ver y hay otros muchos más lo que pasa es
que es imposible citarlos todos por eso se dice ahí al principio de la
diapositiva que solamente la experiencia en realizar muchos problemas de
este tipo nos dará suficiente soltura para resolverlos de una forma
sencilla y rápida porque hemos dicho hemos hablado hasta aquí de tres
procedimientos el analítico, el de las velocidades angular resultante y
los procedimientos geográficos cualquiera de ellos va a aparecer en muchos
problemas pero hay otros problemas donde es mejor otro procedimiento y hay
otros muchos infinitos procedimientos y esto solamente lo dará la
experiencia vamos a ver algunos casos particulares que se nos pueden
presentar en algunos problemas a la hora de localizar el eje instantáneo
de rotación en primer lugar en algunos problemas me aparecerá que el
vector omega resultante es cero es decir que el cuerpo no tiene velocidad
de rotación ¿eh? por lo tanto el cuerpo si no tiene velocidad de
rotación solamente tiene velocidad de traslación el movimiento helicoidal
del sólido en este caso se reduce a la velocidad de deslizamiento que es
una velocidad de traslación se dice que el movimiento es de traslación y
todos los puntos del mismo tienen la misma velocidad no hay más que
aplicar la ecuación básica para darse cuenta de esto esto no quiere decir
que todos los puntos del sólido tengan trayectorias rectilíneas ojo, no
confundamos movimientos de traslación con trayectorias rectilíneas no,
no, no puede haber movimientos de traslación es decir movimientos que no
tengan rotación y sin embargo sus trayectorias sean curvilíneas porque
movimiento de traslación significa que todos los puntos del sólido tienen
las mismas velocidades en cualquier instante en un instante determinado
pero nada más por ejemplo ahí en la parte derecha de la diapositiva
tenéis un bueno, un dibujo que quiere simular una noria de ferias con
barquillas en este caso las trayectorias de las barquillas son circulares
porque las barquillas no tienen velocidad de rotación solamente tienen una
velocidad de traslación todos los puntos de la barquilla en un momento
determinado tienen todos la misma velocidad por eso las barquillas se
están moviendo con un movimiento de traslación no hay rotación en las
barquillas si hubiera rotación nos iríamos al suelo pero todos vale? sin
embargo como veis la trayectoria de cualquier punto de la barquilla es una
trayectoria circular a pesar de que su movimiento es de traslación por
tanto no se deben confundir eh? trayectorias con o sea trayectorias rectas
con traslaciones no, puede haber traslaciones con trayectorias circulares
en este caso de una traslación circular el eje instantáneo de rotación
estaría en el infinito porque claro como todas las puntos de la noria
llevan las mismas velocidades las perpendiculares a dos velocidades
iguales, paralelas se juntan en el infinito se interceptan en el infinito
por lo tanto el eje instantáneo de rotación o el centro instantáneo de
rotación ya que es un movimiento plano estaría en el infinito otro caso
particular es en que todo lo contrario a lo que hemos dicho antes que el
movimiento se componga solamente de rotación pura, sin traslación en este
caso el movimiento helicoidal del sólido en el movimiento helicoidal del
sólido se anula la velocidad de deslizamiento ya que no hay traslación la
velocidad de deslizamiento sería cero pero el sólido presenta una
velocidad de rotación pura alrededor de un eje cuyos puntos del eje que es
el eje instantáneo de rotación no tienen velocidad por eso la velocidad
de deslizamiento es cero los planos perpendiculares a las velocidades en
cada punto del sólido pasan por el eje instantáneo de rotación
evidentemente, ejemplo de ello es un tío vivo de feria solamente hay
movimiento de rotación y no hay de traslación bien