Bueno, vamos a ver si esto graba ya. Sí. Buenas tardes, soy el tutor
José María Sánchez Blanco, tutor de la bonita asignatura de
introducción a microeconomía de AVE. Nos quedamos en el tema 4.2, pero
antes de la elección última de consumidor, muy importante, muy
importante, muy importante y hay que hacerla, hay que hacerla. Tenéis
examen, tenéis la PEC, Pruebas de Evaluación Continua, del 12 al 14 de
enero con libros, con libros, con PDFs, con el libro, con vuestros apuntes.
Entonces, está abierta durante dos días y es una hora de examen, pero, a
ver que esto me gusta ponerlo en rojo, podéis obtener 0,7 puntos. Siete
preguntas, 0,1 cada pregunta y si tenéis, sacáis un 4,5, os aprueban. Con
0,5 os aprueban, pero tenéis que sacar ese 4,5. Menos de 4,5 no cuenta la
PEC. Y vale para ahora y vale para septiembre, si no aprobaréis. Bueno,
pues, mi consejo es que mañana, o sea, que hagáis la PEC del 12 al 14,
porque vale, podéis sacar hasta 0,7 puntos. Y es con apuntes. Vamos a ver.
Apúntate ahí. Toma. Y vamos a continuar ya. 4. De aquí va a salir. Lo
que vamos a hacer ahora, de por qué sale, de dónde sacamos la
optimización esta de que la división de utilidades marginales es igual a
la relación de precios, que es la elección óptima del consumidor. Pues
esto sale, lo que vamos a ver hasta ahora. Lo que pasa es que a partir de
ahora, no os asustéis, si no habéis hecho mucho máximo condicionado por
las grains, pero es la forma de demostrar esta desigualación, esta
optimización del consumidor. Esta igualación que ya habíamos visto en la
tutoría pasada, esto era la optimización del consumidor, se puede
transformar en esta otra de aquí. Y esta fórmula así de utilidades
marginales dividido por un precio, o su precio, se le conoce como ley de
utilidades marginales ponderadas, que eso veréis en otros cursos para que
sirve también. Entonces, esta igualdad se obtiene matemáticamente con el
máximo condicionado por las grains. Sin necesidad de saber si hay igualdad
entre dos pendientes, ni gráficamente, ni... Simplemente haciendo por las
grains sale esta igualdad. ¿Sabes cómo funciona la grains? Máximo
condicionado. Este señor que vivió entre el siglo XVIII y XIX,
físico-matemático, inventó esta fórmula de hacer este método de la
grains. Este señor lo que hace es, resuelve el dilema del consumidor,
diciendo maximizar la utilidad sujeto a la recta presupuestaria. Y esto lo
podemos resolver por el método que resolvió este matemático. ¿Forma de
resolución? Hacemos lo que llamamos la granjeano, L mayúscula. Pero ya
digo, no tenéis que asustaros porque en el examen no lo vais a hacer esto.
¿Por qué? Porque os vais a aprender lo que haremos a continuación. Pero
quiero que sepáis que sale de aquí. Maximizar una utilidad entre X1 y X2
sujeta a la restricción presupuestaria de P1X1 más P2X2 igual a la renta.
El granjeano no es otra cosa que colocar aquí la función de utilidad que
tengamos. Restamos una lambda, le llamamos lambda como le podríamos llamar
a otro nombre, a la restricción presupuestaria. La restricción
presupuestaria, pero no como lo teníamos aquí con la igualación a M,
sino que la M sería igual a cero. La M pasa al primer sumando de P1X1 más
P2X2 menos M. Entonces, esa lambda multiplicada a la M. Condición de
primer orden. Hacemos la primera condición de primer orden que no es otra
cosa que de este la granjeano, función de utilidad menos esta recta
presupuestaria multiplicada por lambda. De esta L, la granjeano, hacemos la
derivada respecto de X1 primero. Respecto de X1, según la función que
tengamos, haremos la derivada parcial respecto de X1 menos lambda por P1
porque hacemos la derivada de X1. P2X2 como no es una constante es cero y M
también es cero. Hacemos su derivada y es cero y nos da esta igualación.
Derivada primera respecto de X1 de la función de utilidad menos lambda por
P1 igual a cero. Segunda condición de primer orden. Respecto de X2, sería
lo mismo. Derivada parcial de la función de utilidad respecto de X2 menos
lambda. ¿Cuál es la derivada de este sumando que tenemos aquí? La
derivada de X2 es P2. Por eso lambda multiplica a P2 y esto lo igualamos a
cero. Y la tercera condición de primer orden. Esto no es otra cosa que el
método de la granje. No me invento nada. Este matemático hace esto para
encontrar una solución a la elección óptima del consumidor. La tercera
sería esa derivada parcial de lambda. Ahí del granjeano L mayúscula
respecto de lambda. Si es respecto de lambda, ¿cuál es la derivada
parcial del granjeano respecto de lambda? Menos M. Porque está dentro de
lo que multiplica lambda. Y eso igualado a cero. Y tenemos tres ecuaciones
con tres incógnitas. Dividiendo la primera por la segunda, hacemos
divisiones y nos daría esto de aquí. Esto de aquí no es otra cosa que la
utilidad marginal del bien 1. Que es UMG1. Dividido por la 2, que sería
dividido por la utilidad marginal del bien 2. Igualamos todo esto y nos
daría igual a P1 igual a P2. ¿Y esto qué es? Esta igualación que hemos
visto aquí, ¿qué es lo que hemos hecho matemáticamente? ¿Qué es eso?
Lo habíamos visto ya antes. Algunos de vosotros que estáis ahí en
internet, ¿qué es esto? Lo hemos estado viendo. División de utilidades
marginales del 1 y del 2 es igual a la proporción, a la división entre
los precios. ¿Qué es eso? Lo hemos estado viendo en el tema, yo diría
que en el tema 2 ya. En el tema 2, tema 3. ¿No veo a nadie que me lo
conteste ahí? ¿Nadie? Buenas tardes, sí. ¿No hay nadie que me conteste
qué es esta igualación de aquí, este recuadro que estoy recuadrando
ahí? No, no hay ninguno que me diga nada. No habéis estudiado mucho, no
habéis estudiado mucho. ¿Esto es la relación marginal de sustitución?
Es la relación marginal de sustitución, que lo habíamos estado viendo en
los temas anteriores. Y no es otra cosa que la relación óptima del
consumidor. Y sustituyendo esas igualaciones en la tercera, en la tercera
CPO, en la tercera condición de primer orden, obtengo las dos funciones de
demanda. Muy importante porque en los exámenes van a salir, la RMS por
supuesto saldrá algo, pero seguro que os van a preguntar funciones de
demanda de X1 y de X2. Bueno, vamos a ver. Vamos a ir por partes porque...
Esto que os he dicho antes, ¿qué es lo que era? Simplemente es recordar
que era la pendiente de la recta de balance. ¿Veis? Peso 1 por peso 2 es
la pendiente de la recta de balance del consumidor entre dos bienes. Y en
el punto en que se iguala con la RMS, que la RMS no es otra cosa que la
división entre utilidades marginales, del bien 1 y del bien 2. Eso cuando
coinciden, cuando coinciden, que no siempre coinciden, no siempre
coinciden. Gráficamente ya lo habíamos visto, coinciden ahí en un punto
donde la pendiente de la recta es igual a la pendiente de la curva, de la
curva de indiferencia, pero no siempre es igual. En ese punto en que
coinciden es la elección óptima. Y eso se demuestra con el método de
Lagrange. ¿Qué significa desde el punto de vista económico la condición
de tangencia o elección óptima en valor absoluto? Porque aquí sería
negativo, pero como utilizamos el valor absoluto, es en valor positivo, que
sería con las dos barritas estas. Bueno, pues la relación marginal de
sustitución ya la habíamos visto lo que era. Es el número de unidades
del bien X2 que el consumidor está dispuesto a renunciar por aumentar una
unidad del bien X1 y viceversa, manteniéndose dentro de la misma curva de
indiferencia. Esa era la definición de la relación marginal de
sustitución, que era esta formulita de aquí, esta formulita de aquí.
Pero también es igual en el óptimo del consumidor a la relación de los
precios, que no es otra cosa que la pendiente de la recta del consumidor,
de la recta de balance del consumidor. Y recordar que habíamos dicho que
era el coste de oportunidad del bien 1 en términos del 2. Es el número de
unidades del bien 2 que el consumidor debe sacrificar para adquirir una
unidad adicional del bien 1 a los precios vigentes, al gastar toda su
renta. Es la pendiente de la restricción presupuestaria en valor absoluto,
que era esta formulita de aquí. Esta podría ser una pregunta de examen.
La condición de tangencia o elección óptima es el número de unidades
del bien 2 que el consumidor está dispuesto a renunciar por aumentar una
unidad del bien 1 y viceversa. Pues no es esta. O sí es esta. Es el coste
de oportunidad del bien 1 en términos del bien 2. Esto podría ser. Es la
pendiente de la restricción presupuestaria en valor absoluto. También.
Esto es verdad. Esto también es verdad. Pues todas las respuestas son
ciertas. Bueno. Y problema de examen. Que también salió el año pasado,
en febrero. La primera semana. O sea, a final de enero. Obtener la función
de demanda del bien 2 asociada a la función de utilidad. Y os da, utilidad
igual, el algoritmo neperiano de x1 más x2. ¿Cómo empezaríais a
resolver este problema? Os he dicho cómo se sacaba la función de demanda
del bien 2 o del bien 1 antes. Por el método de Lagrange. Vamos a ir por
partes. Vamos a ver. Tenemos esta función de utilidad. Logaritmo neperiano
de x1 más x2. Sabemos que el equilibrio. Cuando llamamos equilibrio el
óptimo del consumidor. Sabemos que es esta fórmula, ¿no? No es esta
fórmula el equilibrio. La relación marginal de sustitución. Que es
utilidades marginales. Las divisiones de las utilidades marginales. Es
igual a la pendiente de la renta presupuestaria. Que es P1 dividido por P2.
Eso sabemos que es el equilibrio del consumidor. Hacemos lo que tenemos. Es
que no tenemos nada más que este dato. ¿Qué dato nos da? Nada más que
nos da la función de utilidad. No nos da nada más. Vamos a buscar. La
utilidad marginal del bien 1 es hacer la derivada parcial de la función de
utilidad respecto de x1. Logaritmo neperiano de x1. Es muy fácil. Es 1
partido por x1. Esa es la derivada. Derivada de la utilidad marginal del
bien 2. La primera derivada respecto de x2. ¿Cuál es? De la función de
utilidad. La derivada respecto de x2. ¿Cuál es la derivada de x2? Es 1.
Porque esto está elevado a 1. La derivada de x2 elevada a 1 es 1. 1 por
x2. 1 menos 1. Porque la derivada siempre restamos. 1 menos 1 es 0. Y un
número x2 elevado a 0 es 1. Y nos queda que esto es igual a 1. Y por eso
aquí abajo en el denominador la derivada parcial de la utilidad respecto
de x2 es 1. Hacemos operaciones. Esto pasa a ser 1 dividido por x1 dividido
por 1. No es otra cosa que x1. Esto pasaría. x1 igual a p1 dividido por
p2. Pero como me gusta ponerlo bien así de x1 en el numerador. Pues
hacemos x1 igual a p2 dividido por p1. ¿Lo veis esto? Esto sale de aquí.
1 dividido por x1 dividido por 1 es igual a 1 dividido por x1. Y es igual,
porque estamos en equilibrio, igual a p1 dividido por p2. Y esto haciendo
operaciones ahí, despejando x1 arriba. x1 igual a p2 dividido por p1.
Sustituyo este valor que nos ha dado aquí en la recta presupuestaria. En
esta formulita. p1 por p2 por p1 dividido por p1. Esto sería x1. Más p2
por x2 igual a la renta. Hago operaciones y nos despejamos la x2. Y tenemos
ya la respuesta. ¿Cuál es la respuesta buena? Pues sería la b. Que
sería la función de demanda del bien 2. Fijaros que de poca cosa.
Simplemente de una función de utilidad. Y diciendo ahí que es lo que
quiere obtener la función de demanda del bien 2. Tenemos que averiguar.
Podemos averiguar la función de demanda del bien 2. Porque lo hemos hecho
así. Otra que lleva a confusión esta. Esta salió el año pasado. Si la
función de utilidad de un consumido es 2x1 más 4x2. Y se enfrenta a unos
precios. P1 igual a 3 y P2 igual a 2. Y posee una renta monetaria de 100.
Entonces las utilidades marginales son. Os está preguntando las utilidades
marginales. No os está preguntando ni la relación p1, p2. Ni RMS. Bueno,
os está preguntando la RMS. ¿Cuál es la RMS de este problema? Mucha
gente, el año pasado, algún alumno me dijo. Es que esto está mal. Esto
es 3 partido por 2. ¿No? Porque haríamos utilidad marginal. Del bien 1
dividido por utilidad marginal. Del bien 2 igual a P1 por P2. Pero es que
aquí no nos dice que está en equilibrio el consumidor. Os dice que la
función de utilidad de un consumidor es tal. Y se enfrenta a unos precios.
Y posee una renta monetaria. Y las utilidades marginales son. No nos dice
cual es el óptimo del consumidor. No. Os pregunta solamente de utilidades
marginales. Entonces esto no es verdad en este caso. ¿Por qué? Ya lo
veremos por qué no es verdad. Dice la ecuación que permite a las
condiciones de equilibrio. Es la conocida ley de las utilidades marginales.
Que es esta de aquí. En este caso las utilidades marginales o primeras
derivadas respecto de X1 y X2 son 2 y 4. Y esto lo hemos sacado de esta
función de utilidad. Utilidad marginal del bien 1. La primera derivada
respecto del bien 1 es 2. Y la utilidad marginal. La primera derivada
respecto del bien 2 es 4. Vale. Es 4. 2 y 4. Y esto es lo que nos pregunta
la pregunta. ¿Cuáles son las utilidades marginales 2 y 4? Pero hubo
alumnos que pusieron 3 y 2. Porque dice que nos da los precios pues no hace
falta hacer derivada. Pero es que resulta que no es igual. No es el óptimo
del consumidor. Sino que es, en este caso 2 dividido por 4 es menor que 3
dividido por 2. Esto da 1 y pico y esto da 1 medio. No se cumplen las
condiciones de óptimo. Por eso la respuesta no son 3 y 2. ¿Lo entiendes?
Es una pregunta trampa esta. Por eso siempre que os den función de
utilidad y precios. Si me preguntan las utilidades marginales. Hago la
derivada respecto de x1 y la derivada respecto de x2. Que coincide con los
precios. Bien. Que no coincide pues no estamos en el óptimo. Es que hubo
confusión el año pasado en este problema. Hubo reclamaciones. Pero claro.
Dijeron que no cumplen las condiciones de equilibrio. No está en el
óptimo. No es la cesta óptima del consumidor. Y entonces por eso no es
igual. ¿Cuál es la cantidad demandada del bien 1 en el equilibrio? Aquí
sí que os está dando el dato de que estamos en un óptimo. Cuando P1 es
igual a 8 y P2 es igual a 4. M la renta es 200. Y respecto a la función de
utilidad es x1 y x2. Vamos a ver cómo hacemos. Cuando nos está dando
estos datos muy importantes. El óptimo del consumidor. Sabemos por la
Grange que satisface la maximización de la utilidad. Respecto. Aquí falta
máximo. Maximizar la utilidad. Cuando sujeto a la renta presupuestaria que
es los datos del problema. 8x1 más 4x2 igual a 200. Sabemos que en el
equilibrio el óptimo es. Lo sabemos esta fórmula. En equilibrio sí que
existe esa igualación. Entonces utilizamos. ¿Cuál es la derivada de la
función de utilidad respecto de x1? De x1 por x2. ¿Cuál es la derivada
de esa función respecto de x1? Bueno, pero el 8. Te estoy preguntando de
la función. No te fijes ahora en los precios. Sí. ¿Cuál es la derivada
de la función de utilidad? ¿Cuál es la función de utilidad de este
problema? x1 por x2. Vale. x1 por x2 es la función de utilidad. La
derivada de esa función. x1 por x2. Respecto de x1 solo. De x1. Derivada
de x1. ¿Cuál es? ¿Cuál es la derivada de x1 por x2? Tienes que hacer
derivadas. Porque x1 por x2 la derivada es x2. Y la derivada de esa
función. x1 por x2. Respecto de x2. Es x1. x2 dividido por x1. Ahí sí
que podemos poner que es igual a 8. Dividido por 4 porque estamos en el
óptimo del consumidor. Y sí que esto es verdad. La proporción de precios
es igual a la proporción de utilidades marginales. Entonces tenemos que la
división de x2x1 es igual a 2. Porque 8 dividido por 4 es 2. Despejamos
x2. Le damos 2x1. Me parece que la pregunta era ¿cuál era la cantidad
demandada del bien 1? Bueno, vamos a ver cantidad demandada del bien 1. x2
es igual a 2x1. Sustituyo este valor de x2. 2x1. En la recta
presupuestaria. 8x1 más 4. Por 2x1. Igual a 200. Y nos da aquí la
cantidad demandada del x1 que es 12.5. Y la de x2 sería 2 por 12.5. Pues
sería 25. Si nos preguntaran cantidad demandada del bien 2 sería 25. Pero
como nos preguntan cantidad demandada del bien 1. Pues sería 12.5. Esta es
parecida a la anterior. Es prácticamente igual pero salió en examen.
¿Cuál es la cantidad demandada del bien 1? En el equilibrio cuando p1 es
igual a 8, p2 es igual a 4, m es igual a 200. Y la función de utilidad es
la misma. Pero en vez de daros 12.5, os da estos resultados. Porque sabemos
que x1 es 12.5. Lo hemos visto antes. Nos daba 12.5. Pero nos daba x2 25.
Entonces, por eso la buena es 25 y 12.5 que es 25 dividido por 2. La
resolución es la misma de la anterior. Pero veis que sale en examen una
cosita así fácil de... Ojalá saliera así tan fácil. Ojalá. Pero suele
ser más complicada la cosa. Ojalá salieran. Pero suele salir esta más
complicada. El consumidor tiene la función de utilidad x1 elevado a 4 por
x2 elevado a 4. Su renta es 100 y los precios son p1 y p2, 1 y p2, 2.
Supongamos que p1 aumenta en una unidad. O sea, de p1 igual a 1 pasa a p1
igual a 2. Permaneciendo todo lo demás constante. Calcular la cantidad de
demanda del bien 2. Tras el cambio en el precio del bien 1. O sea, tras el
cambio de p1 igual a 1 a p1 igual a 2. El problema de optimización es
este. Por el método de Lagrange lo sacaríamos. Haríamos el Lagrangeano,
haríamos la primera CPO, la segunda, la tercera. Haríamos todos los pasos
que hemos pasado antes. Llegaríamos a hacer esta división donde 1 y la 2
nos daría la relación marginal de sustitución. La sustituiríamos en la
tercera CPO y nos daría las funciones de demanda del bien 1 y del bien 2.
Nos daría estas funciones de demanda. x1 igual a la renta dividido por 2
por p1. x2 igual a la renta dividido por 2p2. Esto sucedería siempre que
las funciones de utilidad fueran de esta forma. Entonces, si sabemos ya de
antemano estas fórmulas. Siempre que las funciones de utilidad sean
conduglas, que se llaman conduglas así. Sean de esta forma. x1 sub 1
elevado a lo que sea por x2 elevado a lo que sea. Siempre que sea de esa
forma, las funciones de demanda son estas. Estas dos de aquí. Como la
situación inicial p1 y p2, 2. Las cantidades demandadas según las
formulitas estas son 50 y 25, el bien 2. La restricción presupuestaria es
esta de aquí. Si se incrementa el precio del bien 1 en una unidad y pasa a
ser p2 igual a 2. Las cantidades demandadas de ambos bienes es con esta
fórmula de aquí. Sería 100 dividido por 2 por 2, porque aquí p1
pasaría a ser 2. En vez de ser 100 dividido por 2, sería 100 dividido por
4 y nos daría 25. La bien 2 no variaría porque el p2 no varía. Seguiría
siendo 25. Pero la restricción presupuestaria sí que pasaría de ser esta
de aquí a ser esta de aquí. Con la misma renta. ¿Cuál es la que nos
preguntaban aquí? No preguntaban cuál era. Simplemente averiguar.
Averiguar la cantidad demandada del bien 2 tras el cambio del bien 1. Hemos
dicho que era... Esta, 25. Esta sería la solución del problema. Esto que
hemos hecho lo podemos hacer directamente. Y lo pongo aquí. Y el equipo
docente lo ha dicho a veces. En este curso no ha remarcado porque no ha
habido preguntas. Pero en el aula virtual a veces que se puede hallar
directamente. Se puede hallar directamente. Tenemos la función de utilidad
esta. Tenemos la renta. Tenemos el nuevo precio del bien 1 y el precio
antiguo del bien 2 que no varía. En equilibrio se da esta igualación.
Hacemos derivada parcial de la función de utilidad respecto del bien 1.
Dividido por la derivada parcial del bien 2. Perdón, de la utilidad
marginal respecto del bien 2. Nos daría lo mismo. Nos daría la misma
igualación esta. 2 dividido por 2 es la igualación de precios. Y nos
daría que x2 es igual a x1. Y nos daría que la demanda de los bienes
sería esta y sería esta. Poniendo aquí la renta 100 en los dos bienes.
Uno nos daría 25 y la que nos pregunta el examen, la pregunta del problema
sería 25. Lo hemos hecho utilizando estas fórmulas de aquí.
Directamente. O lo hemos hecho también haciendo las derivadas parciales.
Que es más complicado porque ahí te puedes equivocar. Siempre que sean de
esta fórmula, de esta forma. Siempre que sea de esta forma la función de
utilidad. La función de demanda es esta de aquí. Y esta de aquí, el bien
2. Si os acordáis de estas fórmulas, no hace falta hacer derivadas
parciales. Vais directamente a las funciones de demanda del bien 1 o del
bien 2. ¿Que no os acordáis de la fórmula? Pues tenéis que hacer las
igualaciones. Tenéis que hacer toda la derivada parcial del bien 1, la
derivada parcial del bien 2. La derivada parcial de la utilidad. Entonces
si tenemos esta fórmula, os dan esta fórmula. Os dan estos datos. Sabemos
que la función de utilidad es de esta forma. Siempre en estas funciones de
utilidad, siempre son de esta fórmula. Con esta fórmula podemos hallar si
no varía el precio y si varía el precio en una unidad. Cuanto es la
función de demanda de cada bien. En el primer caso sería función de
demanda x1 igual a 50, x2 igual a 25. Y aumentando el precio en una unidad,
la función de demanda del bien 1 sería 25. Y la del bien 2, 25 también.
Dada la función de utilidad. La función de demanda del bien 1 será. Y
ahí os da una serie de soluciones. La pista. Directamente vais a las
funciones de demanda de x1 y de x2. Y no hace falta derivar. No sé si lo
tengo hecho. No lo he hecho. Es decir, si yo quiero que el bien 1 sea x1
igual a 50. Y el bien 2, x2 igual a 25. Y el bien 3, x3 igual a 25. Y el
bien 7, x8 igual a 25.