Empezamos. Bien, ya estamos entonces. Entonces, vamos a continuar con un
problema que es que el otro día, pues ya con la cabeza a tope, hoy vamos a
tratar de abarcar menos porque abarcando demasiado al final, pues llevas la
cabeza como un bombo y ya ni siquiera te aclaras ni de lo que estás
diciendo. Entiendo, por supuesto, que el que me está escuchando, pues se
enterará menos. Más suave vamos a hacer los problemas que podamos sin
apurarnos, descansar lo que sea y lentamente, pero que salga bien. De todas
formas, estos problemas ya sabéis que los tenéis en el cajón de
documentos de la tutoría. Por tanto, a partir de ahí... A partir de ahí
los podéis imprimir sin ningún problema. No solamente estos que se ven
aquí, sino otros a mayores que no da tiempo a verlos porque aquí tenemos
el tiempo que tenemos y punto. Yo espero que estéis conectados tanto los
de la asignatura de mecánica como los de la asignatura de mecánica 1. Por
si hubo problemas, me han llegado a mi correo problemas, sobre todo de
gente de Pontevedra si les habían invitado a los de mecánica 1 y, sin
embargo, los de mecánica no. Por tanto, no podían acceder a esta
webconferencia. Bueno, yo esto lo he estado tratando aquí con el
coordinador de este centro. Han estado la semana entera trabajando y ahora,
según me dicen, pues está todo arreglado y por lo menos hasta el mes de
abril vamos a hacer las tutorías. De las dos asignaturas juntos. Luego ya
veremos si las separamos o no, porque claro, son dos asignaturas
diferentes. El mecánica 1 da menos temas porque lo reparten dos años.
Mecánica 1 para un año y mecánica 2 para el otro. Por lo tanto,
profundiza más en los temas. Mecánica, sin embargo, es asignatura de un
cuatrimestre nada más y, por tanto, hay que darlo todo más
superficialmente, pero hay que avalarlo. Hay que marcar toda la materia de
la asignatura. Pero bueno, por lo menos en esta primera parte hasta abril
vamos a hacerlo conjuntamente y luego ya cuando sea diferente ya
avisaremos. Cuando sea diferente, pues será que dedicaremos una hora. Los
de mecánica, que en muchas cosas se profundiza menos que en mecánica 1,
pues bueno, encontrará cosas, por ejemplo, en las grabaciones que yo voy
haciendo, que demasiado... de profundidad para ellos. Los problemas que
pongo pues también son demasiado complicados para ellos, entonces tienen
que dejarlo y solamente coger lo que les entra. ¿Vale? Pero como está
hecho para los dos, para mecánica y mecánica uno, pues no hay más
remedio que hacer. Bien, en la última tutoría nos había quedado ahí un
problema que, en fin, ya el coco no estaba suficientemente ágil y se nos
embotó él. Bien, vamos a volver a hacerlo. El problema es de dinámica
cinemática del punto y dice que un punto M se mueve sobre un plano X o Y,
de modo que la odógrafa del movimiento es una circunferencia de diámetro
2A omega y centro el punto A omega cero. Es decir, esa curva que hemos
dibujado y aparece dibujada en la parte derecha superior de la veis que los
dos ejes son, está mal puesto, le falta poner un puntito encima a la X y
otro puntito encima a la Y que significa derivado de X respecto de T y
derivado de Y respecto de T. No son X e Y porque esto es una odógrafa y la
odógrafa lo que marca son velocidades por lo tanto en el eje X debería
marcar la componente de la velocidad V según el eje X. Y eso sería X' o
derivada de X respecto de T y en el eje Y sería Y'. Me he olvidado poner
ahí los puntitos pero que lo sepáis. Bien, entonces la odógrafa me dice
que es esa circunferencia que veis ahí, por lo tanto cualquier vector que
vaya desde el punto O origen de coordenadas hasta un punto P cualquiera de
esa circunferencia que me dice que es la odógrafa pues representa el
vector velocidad del móvil. Y una cosa importante también que ya en las
grabaciones en el módulo primero que hemos grabado es que el ángulo que
forma la velocidad con el eje de las X', este ángulo phi, es el mismo que
forma el vector velocidad con el eje de las X en la trayectoria. Dice que
el movimiento se desarrolla además cumpliéndose en todo momento que la
aceleración normal y la velocidad verifican la relación extra de dos
aceleración normal igual a omega por velocidad. La velocidad angular, que
es la omega, me dice que es constante. En el instante inicial el punto se
encuentra en el origen de coordenadas y si es phi el ángulo que la
tangente forma con la trayectoria, de la trayectoria, la tangente a la
trayectoria, perdón, forma con la trayectoria, forma con el eje de las X,
que es el mismo que vemos ahí que forma el vector velocidad con el eje X',
pues se pide esas cosas que veis ahí. Primero expresar el ángulo phi en
función del tiempo. Fijaros que las preguntas van un poco en el mismo
orden que figuraba en el método de resolución de problemas que figura en
la grabación. Y es más, yo os mandé unos diagramas que están metidos en
mi cajón de documentos diciendo cómo hacer este tipo de problemas
dependiendo de cuáles eran los datos. Y he hecho forma de diagrama que es
muy fácil de ver para ver los procedimientos. Si cogéis el diagrama
adecuado en el que se da la odógrafa y se da el dato este de aceleración
y velocidad veréis que más o menos la forma de proceder va un poco en el
orden que pone aquí las preguntas. Primera, expresar el ángulo phi en
función del tiempo. Segunda, expresar la velocidad v en función de phi.
Tercera, hallar las ecuaciones horarias del movimiento. Cuarta, dibujar,
identificar y dibujar la tráetora. Bueno, esto seguro, porque a veces lo
preguntan y a veces no. Quinta, expresar la longitud del arco recorrido en
función del tiempo. Bueno, son todas preguntas fáciles de contestar y
nada más siguiendo el método que aparece ahí en la grabación o en los
diagramas que os he enviado aparte pues se puede hacer. Se puede solucionar
perfectamente. Empecemos. La figura que veis ahí arriba representa la
odógrafa y P es un punto genérico de la misma. El vector OP, es decir, el
vector V es el vector equipolente de la velocidad dibujada esta en la
trayectoria en la curva de la trayectoria. Y además, tanto en la curva de
la trayectoria como en la curva del odógrafo que estáis viendo la
velocidad, el vector V, es el vector V. El vector V forma con el eje X el
mismo ángulo phi tal y como aparece. Bien, dado que el odógrafo se recode
en el sentido horario que es esta flechita que veis aquí eso quiere decir
que el ángulo phi es decreciente con el tiempo es decir, a medida que
aumenta el tiempo el ángulo phi decrece como se puede observar ahí nada
más que ver recorrer el punto P y vemos que va a ser un punto P. Va
disminuyendo el ángulo. Como el radio de curvatura, ρ es siempre positivo
no puede haber radios de curvatura de ninguna curva negativo eso es una
tontería pues entonces la primera relación que aparece en las grabaciones
que decíamos que va a ser muy útil para resolver estos problemas es
relacionar el radio de curvatura de la trayectoria ρ con el ángulo phi.
que forma la velocidad con el eje de las X y con el arco recorrido
diferencial a través de esa relación que veis ahí. Y hay que ponerle el
signo menos porque a medida que aumentamos el arco se va reduciendo el
ángulo. ¿Vale? Bien. Ya tenemos una relación entre el ángulo fi y el
arco ese y el radio de curvatura. Ahora nos vamos a los datos que nos da el
problema. Problema. Datos complementarios. Nos dice que dos veces la
aceleración normal es igual a omega por uvi. Pero la aceleración normal
ya sabemos que es igual a la velocidad lineal al cuadrado partido por el
radio de curvatura del móvil cuando se encuentra en ese punto que estamos
estudiando de la trayectoria. Por lo tanto, sustituyéndolo y
despejándolo, sale 2u igual a omega por uvi. Vale. Tengo ya una relación
entre velocidad y el radio de curvatura. Pero esta no me dice nada. No me
dice nada porque yo lo que quiero lo que me pide es sacar el ángulo fi en
función del tiempo. Ahora, ahí en esa relación aparece la velocidad y la
velocidad es la derivada de el espacio recorrido con respecto al tiempo.
Entonces ya aparece el espacio recorrido y tiempo. Importante que aparezca
el tiempo ya. Segundo. ρ también está relacionada con el arco recorrido
y además con el ángulo fi. Por tanto me interesa también, que hemos
visto antes esta relación. Sustituyamos estas dos cosas en la relación
anterior. 2u igual a omega por uvi. Y despejemos diferencial de ρ. Saldrá
esto, diferencial de ρ igual a menos omega por diferencial de t partido
por 2. Hombre, esta es una ecuación diferencial con variables separadas.
Están las fis por un lado y los tiempos por otro porque la omega es
constante y el 2 ya no digamos. Por tanto podemos integrarla de una forma
muy sencillita. La integramos y nos dará fi igual a c menos omega t
partido por 2. C es una constante, cada vez que integramos hay que meterle
la constante de integración lógicamente. Y esa constante habrá que
calcular qué valor tiene. Y siempre para calcular el valor de la
constante, hay que irse a los datos del problema. Las condiciones de
contorno. El problema me dice que para, en el instante inicial t igual a
cero, el ángulo fi vale pi medios. ¿Por qué? Pues porque me dice, si
volvemos a leer el enunciado del problema, me dice que correspondiendo el
punto cero cero, el punto o que es el cero cero, al instante inicial y
recorriendo la otra, en el punto o es el cero cero, y el punto cero cero el
ángulo fi. Ahora, si unimos el punto T cuando está en el punto cero, el
ángulo phi vale 90 grados, pi medios. Por lo tanto, sustituyendo phi pi
medios y T igual a cero, sacamos que C vale pi medios. Por lo tanto, phi
será igual a pi medios, que es C menos omega T partido por 2. Ya tenemos
la primera pregunta aclarada. Tenemos el ángulo phi como función del
tiempo. Y fijaros que para llegar a esta expresión, hemos pasado por otras
expresiones donde estaba el arco recorrido. Es muy común esto. Siempre hay
que pasar de un parámetro al tiempo, que es finalmente lo que nos van a
pedir, a través, muchas veces, la mayor parámetra. A través del arco
recorrido, porque el arco recorrido tiene unas relaciones muy concretas. La
primera es esa que veis ahí arriba. Rho, que es radio de curvatura, igual
a derivada de S respecto de phi. Y la segunda, muy importante también, es
que la velocidad es derivada de espacio recorrido respecto a T. Por tanto,
a través de estas dos relaciones yo puedo buscar cualquier otra. Por eso
tengo que pasar como paso intermedio a través de S. Bien, contestado a la
primera pregunta, vamos a contestar la segunda. Tenemos que expresar la
velocidad en función del tiempo. Hombre, pero vamos a ver. La velocidad la
podemos expresar en función del ángulo phi, que es el ángulo que forma
el vector velocidad con el eje de las X en la trayectoria, en la curva de
la trayectoria. O también es el ángulo que forma el vector V con el eje
de las Y. Las X' en la función de la odógrafa, como vemos ahí. Como
aquí me dan la odógrafa, yo puedo buscar una relación entre V y phi muy
fácilmente. Porque fijaros, una cosa muy importante que debéis tener en
cuenta de la geometría elemental, que la vamos a utilizar mucho en estos
problemas, es que en una circunferencia, como veis esa de ahí arriba,
cualquier triángulo inscrito en ella, de tal forma que uno de los lados
sea el diámetro de la circunferencia, cualquier triángulo inscrito que
tenga esta cualidad es rectángulo. Muy importante esto, que nos va a
servir para infinidad de problemas. Esta propiedad elemental de geometría
debemos recordarla siempre. Y veis ahí en la figura, en la parte superior,
como hay un triángulo formado por V, que es un catéctil, el lado OM, que
es la hipotenusa, que coincide con el diámetro de la circunferencia, y el
cateto PM que termina el triángulo este triángulo es rectángulo
precisamente en el ángulo que forma ahí el punto P pero si el punto P
estuviera en cualquier otro lugar mientras mantengamos el lado M como
diámetro de circunferencia vuelve a ser rectángulo el triángulo que
formamos es decir, vuelvo a repetir cualquier triángulo inscrito en una
circunferencia de tal forma que uno de los lados sea un diámetro de la
circunferencia ese triángulo siempre es rectángulo por tanto, de ese
triángulo rectángulo que vemos ahí podemos sacar a través de la
trigonometría elemental la relación entre V y Φ esta que ves aquí el
cateto V es igual a la hipotenusa 2Aω multiplicado por el coseno del
ángulo comprendido entre el cateto y la hipotenusa, el ángulo Φ ¿sí?
pero Φ ya lo tenemos como función del tiempo por tanto, nada más que
sustituir Φ que lo hemos calculado antes en función de T y ya tenemos la
velocidad en función del tiempo que es lo que nos pedía la segunda
pregunta vamos por la tercera ecuaciones horarias del movimiento bueno tan
sencillo las ecuaciones horarias del movimiento es relacionar las
coordenadas x e y de un móvil que en un momento determinado se encuentra
en una posición determinada de la trayectoria relacionar esas coordenadas
del punto del punto M el punto del móvil cuando está en ese punto con el
tiempo y para eso siempre vamos a hacer uso de estas ecuaciones que están
también referidas y se dice así y se dice de dónde vienen en la
grabación del módulo C1 diferencial de x igual a diferencial de S por
coseno de Φ y diferencial de Y igual a diferencial de S por seno de Φ
siendo diferencial de S la diferencial del arco recorrido pero claro Φ es
seno, perdón Φ ya lo teníamos antes en función del tiempo lo teníamos
en la transparencia anterior ya lo teníamos habíamos sacado en función
del tiempo Φ es igual a ω eeeee igual a 2A perdón Φ igual a π medios
menos ωt partido por 2 por lo tanto lo llevamos ahí lo sustituimos en
esas ecuaciones sustituimos en lugar de Φ pi medios por omega t partido
por 2 y me saldrá esto, seno de omega t medios y coseno de omega t medios.
Ya está. Bueno, ya está, casi está la ecuación esencial. Yo digo casi
está porque no está todavía del todo, porque ahí lo que me da no es x,
sino diferencial de x en función de t. Y no me da y en función de t, sino
me da diferencial de y en función de t. Pero para calcular x en función
de t, lo único que tengo que hacer es integrar. Pero fijaros que aparece
una diferencial de s, una diferencial de x y una t. Aparecen tres variables
diferentes, t, s y x. Y t, s e y. No puedo integrar una ecuación con tres
variables diferentes. Tienen que ser dos. Si hay dos miembros nada más,
tienen que ser dos. Pero claro, diferencial de s y t se ponen en función
de t. Porque sé que la velocidad es derivada de s al respecto de t, por lo
tanto oye, despejando diferencial de s será igual a u por diferencial de
t. Lo sustituyo en las ecuaciones anteriores y ya tengo solamente dos
variables. La x y la t arriba y la y y la t abajo. Que son estas que veis
aquí. Ahora sí que ya puedo integrar porque hay dos variables solamente y
están separadas. En una ecuación. La x y la t y la otra la y y la t. Por
lo tanto puedo integrar sin ningún problema. Me saldrá x igual a por lo
menos. Claro, para llegar a estas ecuaciones antes he tenido que saber lo
que o sea, saber el valor de las variables. Porque cada integración hay
una variable. Bueno, ese paso me lo he comido. Pero para eso... para
conocer el valor de las variables, hay que irse a las condiciones iniciales
que me dan igual a cero. La constante inicial se encuentra en móvil en el
punto sustituyendo eso en las ecuaciones ya integradas con las constantes
van a salir los valores de las constantes y finalmente me saldrán las
ecuaciones estas que acabamos. Son las ecuaciones horarias porque me da las
coordenadas del punto. Del móvil en un punto de la trayectoria en función
del... También aquí hay que saber para resolver la pregunta cuatro. Estas
ecuaciones paramétricas, ¿qué tipo de curvas son? Bueno, estas son muy
fáciles. Este es cualquiera... y los pido que repaséis por eso ya lo he
dicho el primer día de la presentación que conviene repasar las
ecuaciones de las curvas más fundamentales y esta es una de ellas, la
cicloide para saber identificarlas, es decir, cuando me sale una ecuación
como estas que me ha salido ahí saber perfectamente que esa es una
cicloide que aparece abajo una curva cíclica, como ya sabéis que si no os
recordáis de ella deberéis de repasar bueno, ahí veis en esa curva se
han pintado efectivamente un punto determinado, por ejemplo en el 1, el
vector velocidad y veis como forma el ángulo con el eje de las X que es el
mismo ángulo que forma ese mismo vector velocidad con el eje de las X
primas en la curva de la odógrafa que ahí está representado por fin
bueno, bien finalmente me pregunta expresar el arco recorrido por el móvil
en función del tiempo en la trayectoria, bueno, pues esto es ya coser y
cantar porque es el arco ya sabemos que diferencial de S es igual a V por
diferencial de T lo vemos aquí arriba por lo tanto, si quiero conocer S
como la velocidad V ya la tengo en función del tiempo me ha salido antes
pues tengo que sustituirla sustituir V por su valor en función del tiempo
y luego integrar así de simple como siempre, esa será una constante que
ha de conocer su valor a través de las condiciones iniciales del problema
bien, pues este era el problema que no nos salía el otro día ¿tenéis
alguna duda con respecto a este problema? o algo que comentar o algo que
decir antes de seguir avanzando bueno pues si no hay ninguna duda vamos a
pasar a los problemas, vamos a dejar ya de hacer en tutoría clases de
tutoría los problemas correspondientes al módulo primero de la grabación
y ya vamos a pasar a cinemática del sólido y aprovechando esto os diré
una cosa que sí es muy importante estamos eh... introduciendo, o sea
sumergiéndonos demasiado en los temas estos de cinemática quiere decir
que estamos dedicándole más tiempo del que deberíamos Y yo aprovecho
para grabar en casa, hacer en casa las grabaciones, para que aquí no nos
lleve tiempo. Y nos dé tiempo a hacer algún problema. Al mismo tiempo,
los problemas los entra la tutoría. Pero, a pesar de todo, vamos muy
lentos. Yo quiero deciros con esto que no debéis seguir mi ritmo. Las
clases de tutoría no son para explicar, como hemos dicho ya en la clase de
presentación, todos los temas de la asignatura. O, mejor dicho, no son
para explicar ninguno. Lo que estamos aquí es excediéndonos en nuestras
funciones. Porque yo creo que va a ayudar a los alumnos y además otros
años anteriores los alumnos lo han pedido y por lo tanto vamos a hacer
así. Pero quiero deciros que a lo mejor terminamos con las clases de
tutoría viendo nada más cinemática. Es decir, vosotros seguid adelante
según el programa. No esperéis por mí, porque a mí seguramente no me da
tiempo a llegar al último tema ni siquiera al tema, a la lección quinta.
Yo qué sé. Yo me estoy parando mucho aquí en cinemática porque creo que
este es el tema más complicado para los alumnos. Por lo menos, por lo que
he visto de mi experiencia, es de los temas más complejos puesto que,
bueno, primero, el alumno... no trae muchas veces los conocimientos
adecuados de cálculo vectorial. Entonces, aparece, se ve mucho cálculo
vectorial pues va retomando y va recordándolo. A veces hay conceptos que
no los ha visto en su vida como son ejes instantáneos de rotación o
asoides fijos inmóviles o tal. Entonces, bueno, yo me estoy parando en
esto porque he visto desde siempre que eran temas conflictivos entre los
alumnos y encima que en los exámenes siempre cae uno, como mínimo, tema
de estrés. Por lo tanto, me estoy parando más de la cuenta. Lo reconozco.
Por eso os aviso que vosotros sigáis con vuestro ritmo. Vosotros
posiblemente, ya muchos de vosotros los de mecánica por lo menos
deberíais estar estudiando ya con seguridad el tema de estática. ¿Eh?
Independientemente que luego veáis esto en las tutorías que os va a venir
muy bien. Pero bueno, vosotros seguir con vuestro ritmo y no os fiéis de
mí. ¿Vale? Bien, vamos a ver entonces un problema de cinemática del
sólido que yo considero muy interesante para comprender. Se da un cubo que
es ese que veis ahí en la figura ABCD y A es 1, B es 1, C es 1, D es 1 en
que la velocidad del punto A está representada en el instante que se
considera por el vector AB. No lo dice el problema pero vamos a suponer que
el cubo tiene de lado A, vamos a llamar A- La velocidad de C, de C es 1,
del vértice C es 1 del cubo está contenida en C es 1, C es decir, está
contenida en el plano IZ y la velocidad del vértice D es 1 está contenida
en el plano A es 1, D es 1, B es C que veis ahí es un plano inclinado a 45
grados, como veis paralelo al eje de la cinta. Y me pregunta encontrar el
eje instantáneo de rotación y deslizamiento y calcular la velocidad de
deslizamiento y la velocidad de rotación. Bien, en primer lugar vamos a
definir las coordenadas de los puntos que no las da ahí y las componentes
de los vectores de velocidad para tener ya expresado en forma vectorial
todos los elementos El vértice D tiene coordenadas 0, 0, 0 directamente.
El A tiene de coordenadas A pequeña, A minúscula, 0, 0 a minúscula
porque hemos dicho que la arista del cubo le vamos a llamar. El vértice B
pues tiene de coordenadas XA y A y Z0. El vértice B tiene de coordenadas
0, A0. El C es 1, 0, AA y el D es 1, 0, 0A Ya están todas las coordenadas
de todos los vértices. Ahora vamos a ver las velocidades, expresarlas
según sus cuadros. La velocidad en A veis que es una velocidad para el eje
Y, por lo tanto solamente tiene componente Y y además su módulo que es la
longitud del vector AB pues mide A minúscula lo mismo que la arista del
cubo. Por lo tanto la componente de la velocidad en A será 0, A0 0 en la
componente X, A en la componente Y y 0 en la componente Y. La velocidad del
C es 1 que tiene de componentes según X0 y según Y0 porque no tiene
proyecciones en los ejes X e Y, pero si tiene proyección en el eje Z. Lo
que pasa es que no conocemos cuánto vale, cuál es el módulo cuál es la
longitud del vector C1 porque no nos la da Entonces le vamos a poner
componente según X0 según Y0 y según Z derivado en Z respecto de T en el
punto C1 z' de 1. La componente del punto de 1, pues así mismo,
¿entienden? No conocemos ni el módulo de x, ni el módulo de y, ni el
módulo de z. Sabemos que son derivada de x respecto de t la componente x,
derivada de y respecto de t la componente y, y derivada de z respecto de t
la componente z. Pero además sabemos algo más. Porque nos dice que está
en el plano desinclinado en el a sub 1, d sub 1, b, c. Y si está en ese
plano, vamos a ver qué proyección tendría cualquier vector que esté en
ese plano y que pase por el punto d sub 1, ¿qué proyección tendría
sobre el plano i, z? Hombre, la proyección de este vector sobre el plano
i, z, obviamente ha de estar sobre la línea d sub 1, c. Porque el vector
de velocidad está en el plano. Entonces, si las proyecciones todas en el
plano vertical i sub 1, z, pues tú vas a estar justamente en la traza d
sub 1, c del plano o la intersección del plano inclinado con el plano
vertical i, z. Y cualquier proyección o sea, cualquier línea que
empezando en d sub 1 tenga la dirección d sub 1, c, si la proyectamos
sobre el eje i y d sub 1, c, sobre el eje z, dado que d sub 1, c forma un
ángulo de 45 grados con cada eje eso quiere decir que la proyección sobre
el eje i y sobre el eje z son iguales 5 grados esa línea. Lo único que
ocurre es que la proyección sobre el eje i es positiva porque va de d a c.
Sin embargo, la proyección sobre el eje z será negativa. Porque va de d
sub 1 a d. Por lo tanto, otro dato que tenemos es que la derivada de i
respecto de t en el punto 1 ha de ser igual a la derivada de z respecto a t
en el punto d sub 1 con signo menos. Bueno, pues entonces en vez de poner
i, m, z, m arriba pongámosle a sus valores. Función de i sub m. i sub m
prima componente según el eje i y menos i. Bueno, pues ya tenemos todas
las velocidades expresadas de forma vectorial a través de sus componentes.
A continuación vamos a plantear las ecuaciones de traslado de velocidades
desde los puntos donde están situadas una en el punto d sub 1 y otra en el
punto c sub 1 al punto a. ¿Por qué en el punto A? Pues porque en el punto
A conocemos la velocidad que nos la dan. Sabemos que mide de módulo A y
que tiene esa dirección, la dirección del eje. Y sabemos que, traspasando
las velocidades de D y de C1, de C1 y C1, al punto A debe dar igual que la
velocidad en el punto A. Porque las velocidades de un cuerpo sólido han de
ser coherentes. Coherentes, ya en el otro problema ya veremos lo que eso
significa. Quiere decirse que, en este caso, la velocidad en el punto A,
que la conocemos, ha de ser igual a la velocidad calculada en el punto A,
trasladando la de C1 y D1, que son las únicas que hay aparte del A, al
punto A debe ser igual que la del A. Bien, pues vamos a trasladarla. Para
eso vamos a hacer uso de lo que llamamos... ...multitud de veces en la
grabación del módulo S1, la ecuación básica de la cinemática del
sólido rígido. Y la vamos a usar en todos los momentos. Y es esta
ecuación que nos permite traspasar la velocidad de un cuerpo sólido desde
un punto a otro diferente. Pero también se dice en la grabación...
...que... ...que el movimiento de un cuerpo en un punto ha de estar
expresado a través del par cinemático. Par cinemático le llamábamos a
un par de valores, uno de ellos era la velocidad lineal del punto y otro
era la velocidad angular resultante aplicada en ese punto. Como veis, la
ecuación básica contiene una velocidad Vc1... ...y una velocidad angular
omega. Hay que conocer las dos. Yo en el punto V1 conozco la velocidad...
Bueno, no conozco la velocidad porque todavía hay unos incógnitos. Pero
bueno, voy a suponer que la conozco. Y la quiero traspasar al punto A a
través de la fórmula básica de la cinemática. Pero no conozco omega.
Para eso tengo que conocer no solamente la velocidad en V1 sino también la
omega. Y la omega no la conozco. Bueno, pues la pongo como incógnita. Ya
me saldrá. Entonces digo, velocidad en el punto A sea igual a la velocidad
en el punto C1 más omega por... ...el vector de posición C1A. La
velocidad en C1 la tenemos arriba. Que es derivada de Z respecto de T en el
punto C1. Los componentes son cero. Esa es la componente en la dirección
K. Y el producto vectorial de omega por Z es 1A. pues es este determinante
que veis ahí, ya sabemos cómo calcularlo, en la fila superior IJK, en la
segunda fila el vector omega con sus componentes, como no las conozco le
llamo omega X, omega Y, omega Z y en la tercera fila las componentes del
S1A pues es la diagonal del cubo, por lo tanto tiene de proyecciones o de
componentes pues A, menos A y menos A. Hago esta operación, va a salir eso
que veis ahí y ahora lo igualo a la velocidad en el punto A que ya me la
habían dado, que era A, lo igualo con la expresión anterior igualo
términos de la izquierda con los términos de la derecha y los términos
de la derecha con los términos de la izquierda en la dirección X, es
decir, con el vector versor I en la izquierda no hay ninguno, por lo tanto
cero igual a los de la derecha que es A por lo menos J en la izquierda en
el primer término hay el A y en el segundo término está el omega Z más
o menos X y finalmente igual los términos K, que en la izquierda hay cero
y en la derecha pues hay ZC1' menos A1' omega X menos A1' y una vez que
estas tres ecuaciones despejo las variables me va a salir Z la velocidad de
CSU1 en la dirección Z va a ser cero, como ya lo sabía joder, no, no lo
sabía sale derivada de Z en el punto, perdón, derivada de la velocidad en
el punto 1 en la componente Z igual a cero y por otro lado me va a salir
que omega X es igual no sé más, tengo que utilizar otra ecuación porque
no ha sido suficiente y la otra ecuación es que me queda todavía una
velocidad voy a pasar ahora a la velocidad del punto Z1 de la fórmula
básica sólido rígido la velocidad en el punto Z1 ya la tendríamos
arriba que es X'I más X'J menos I'K El omega, pues es omega x, omega y,
omega z, pero como ya de la ecuación anterior me había salido que omega x
es igual a menos omega y, pues lo pongo ya. Y el vector de su 1a, pues es
esa diagonal de la cara que está en el plano xz, que tiene de componentes
a, 0 y menos a. Hago las operaciones del determinante, igualo a v su a, que
ya sabemos lo que vale, que es aj, que antes igualo términos iguales de la
izquierda, igual a términos en la misma dirección de la derecha.
Términos de la dirección j a la de la izquierda, igual a términos de la
dirección j de la derecha, y lo mismo con la k. Y me salen otras tres
ecuaciones, con tres, con unas incógnitas que hay. De aquí, ahora sí que
despejo. El valor de la componente x en el punto de su 1 de la velocidad,
de la componente y en el punto de su 1 de la velocidad, y omega x. Por lo
tanto, ya conozco todos los datos de v a, en fin, todos los datos de
velocidad, e incluso el dato de la velocidad angular. Con esto está
solucionado la primera parte del problema, que es que encontrar todas las
velocidades. Y, bueno, las velocidades lineales y angulares que lo
necesitaba para calcular el eje instantáneo. Vamos ahora por el eje
instantáneo de rotación. Para encontrar la velocidad, perdón, en qué
situación está localizado el eje instantáneo de rotación, tal y como se
dice en la grabación del módulo S1, tenemos que buscar un punto
hipotético p, que vamos a hacer que pertenezca. Al eje instantáneo de
rotación, a través de las características que conocemos del centro,
aplicando las ecuaciones que conocemos del eje instantáneo de rotación.
Es decir, busquemos un punto p, cuyas coordenadas son x, y, z, y hagámosle
que en ese punto la velocidad del cuerpo, en ese punto p, sea paralela. Es
decir, paralela al vector vertical, que debe cumplir todos los puntos que
pertenezcan al eje instantáneo de rotación. ¿Cómo lo hacemos? Pues,
ahí está. En primer lugar, conocemos la velocidad en el punto a,
traslacémosla al punto p. La velocidad en el punto p, según la fórmula
básica de la cinemática, es igual a la velocidad en el punto a más
omega, vectorialmente, por a. y P. Ojo con el orden, no puede ser PA tiene
que ser AP, un vector con origen en A que es el subíndice de la velocidad
que está en el segundo miembro, y como extremo el punto P, que es el
subíndice de la velocidad que está en el primer término si cambiamos, en
vez de poner AP ponemos PA nos sale al revés, con signo cambiado, pero no
va a haber problema también se dice en el modo. Y para poner que la
velocidad en P ha de ser paralela al vector omega resultante, ¿cómo lo
ponemos? V1 que es lo mismo que poner que VP es igual a un número lambda,
cualquiera, multiplicado por... Desarrollamos esa ecuación la velocidad en
A la conocemos, que es AJ la omega también ya la conocemos sus componentes
las hemos hallado anteriormente que es 1 medio en la dirección I, menos 1
medio en la dirección J y menos 1 medio en la dirección K. Y el vector AP
pues será las coordenadas de P menos la coordenada de A. Coordenadas de A
solamente hay en X que es 1, perdón A en I es 0 y en Z es 0, puesto que el
punto A está en el eje de las X por tanto, sus componentes serán X menos
A y Z Resolvemos esta operación y le igualamos a lambda por el vector
omega. Igualamos componentes de la izquierda con componentes de la derecha
y me van a salir estas tres ecuaciones con tres incógnitas despejamos
lambda y nos van a salir estas tres igualdades que veis ahí Estas tres
igualdades que veis ahí ya de por sí solas son las ecuaciones de eje
instantáneo de rotación lo que pasa es que son expresadas de tal forma
que son las ecuaciones de dos planos cuya intersección da una línea y esa
línea es el eje instantáneo de rotación hagamos operaciones por ejemplo,
cojamos las dos primeras igualdades y efectuemos, multipliquemos en cruz I
menos 2 por 1 igual a X menos 3A menos 8 por 1 pasémoslo todo a un miembro
y lo mismo con las otras dos igualdades, la segunda con la tercera
multiplicando en cruz Y menos z igual a menos x más a menos y. Pasando
todo a un miembro, dejando cero al otro, me quedaría esto. Estas son las
ecuaciones de los dos planos, cuya intersección de los dos planos me da
una línea, que es el eje instantáneo de rotación. Por tanto, esas son
las ecuaciones del eje instantáneo de rotación y deslizamiento. Luego nos
piden que calculemos la velocidad de deslizamiento. La velocidad de
rotación ya la he calculado, que es omega. La velocidad de deslizamiento
es muy sencilla, lo más sencillo de todo. La velocidad de deslizamiento se
puede calcular de muy diferentes formas, pero una, la más normal, es
calcular la velocidad en cualquier punto en el que nos dé la gana del eje
instantáneo de rotación. Porque ya sabemos que el cuerpo, en un momento
determinado, tiene un movimiento helicoidal, como se explica en el módulo.
Un movimiento helicoidal formado por una rotación y una velocidad de
traslación en la dirección misma del vector de rotación. Es decir, es el
sacacorcho, que a medida que lo giro va avanzando. El movimiento de giro
del sacacorcho es la rotación. Y el movimiento en que se introduce el
corcho en la misma dirección del vector de rotación es la velocidad de
deslizamiento. Y además coincide, como se dice, que esta velocidad de
deslizamiento es la velocidad mínima de todos los puntos del cuerpo en ese
momento. Vale, entonces, ¿cómo calculo la velocidad de deslizamiento?
Pues cojo un punto del eje de rotación y calculo la velocidad en él. Como
ya conozco la velocidad en un punto que es en el A, busco un punto en el
eje instantáneo de rotación, traslado esa velocidad desde el punto A al
punto E, del eje instantáneo de rotación que he elegido, y me aplico la
fórmula básica de la cinemática del sólido y me va a dar la velocidad
en P. Y esa es la velocidad de deslizamiento que me pide. Da igual el punto
que elije del eje instantáneo. Pero también puedo hacerlo de otra forma,
muy sencilla, o a lo mejor más sencilla en algunas ocasiones, que es, cojo
la velocidad de cualquier punto del cuerpo y la proyecto. Sobre la
dirección de la velocidad angular resultante. Y esa proyección es
precisamente la velocidad de deslizamiento. Es lo que he hecho aquí. Cogí
la velocidad en el punto A y la proyecté sobre el vector velocidad
angular. ¿Cómo? proyecto un vector sobre una línea, una línea recta,
¿cómo lo proyecto? En vez de cálculo elemental vectorial, sé que el
producto escalar de dos vectores da como resultado la proyección de un
vector sobre el otro. Lo único que tengo que hacer es, para proyectar el
vector VA sobre la dirección del vector omega, tengo que buscar el versor
o vector unitario que define la dirección de omega primero y luego
multiplicar escalarmente el vector URSA por ese vector unitario. El
resultado es la proyección de URSA sobre omega, es lo que aparece aquí.
¿Cómo busco el versor que me da la dirección de omega? Como se buscan
todos los versores, divido el vector omega entre su propio módulo y el
resultado es un vector unitario, es decir, de módulo unidad, pero que
tiene la dirección del vector omega. Pues eso queda para ahí. Vector
omega era un medio I menos un medio J menos un medio K. Lo divido entre su
módulo, que es raíz cuadrada de un medio al cuadrado más un medio al
cuadrado más un medio al cuadrado, raíz de tres cuartos, y eso me da un
vector que es el vector unitario. Este vector unitario lo multiplico por el
vector VA, que es el que quiero proyectar sobre él, y el resultado final
es el módulo del vector velocidad del desplazamiento. ¿Cuál es la
dirección? Ese es el módulo. ¿Cuál es la dirección? Coño, la del
vector omega. Claro, esto, si no se ha visto el módulo S1, no se va a
entender nada de lo que he dicho, ya lo sé. Y no lo habéis enterado de
nada. Pero este es un problema sencillito y al mismo tiempo que tiene
muchos conceptos. Este problema hay que saberlo y entenderlo a huevo. Pero
primero hay que verse los dos módulos, el S1A y el B. Bien, vamos a ver
otro problema que yo también considero elemental. Es facilísimo, pueden
tranquilamente ser problemas de sangre, porque son facilísimos pero tienen
muchas cosas de concepto. Por eso lo estoy poniendo en primer lugar, para
ver los conceptos. Este problema dice, de un sólido que está referido a
tres ejes rectangulares, se conoce en un instante determinado, las
velocidades de tres puntos del cuerpo. Es muy similar a lo que hemos visto
antes. Se conocen las velocidades en tres puntos del cuerpo. Fijaros ahí,
en la derecha, en la figura esa, que es una figura pequeñita y que no se
ve, no se aprecia muy bien, pero bueno, no la he podido poner más mayor,
eso no me dio tiempo. Pero se ve yo creo que claramente. Es decir, ahí
tenemos unos ejes de referencia, X, Y, Z, luego tenemos tres puntos, el O,
el A y el B, cuyas coordenadas me los da el problema. Y en cada uno de
estos puntos una velocidad, que también en alguno de ellos me la da el
problema. Sí, me la da en todos, me da las componentes de la velocidad en
todos. Vale, tenemos la velocidad en O, la velocidad en A y la velocidad en
B, dadas por el problema. Esas son las velocidades de un sólido, rígido,
que no está dibujado ahí, para no entorpecer y liar la figura. Pero
bueno, están simplemente dibujados los tres puntos, los tres puntos del
sólido, el O, el A y el B. Y me dice, encontrar los elementos
instantáneos del movimiento helicoidal. Ya sabemos de lo que está
hablando. Si hemos visto el módulo S1, la grabación, ya sabemos que está
hablando del vector omega de rotación, alrededor del eje instantáneo de
rotación, y de la velocidad de deslizamiento en la dirección del eje
instantáneo. Bien. Vamos a proceder a resolverlo. Mirad, aquí hay un
tema, un concepto inicialmente que es muy importante y que también figura
en los módulos de grabación, grabados. Antes de empezar a realizar el
problema, un problema de este tipo en que nos dan tres velocidades de un
cuerpo, tenemos que comprobar que se cumple la condición de que las
proyecciones de cada dos velocidades sobre la recta que une los puntos a
que pertenecen, son iguales. Esta es una condición imprescindible en los
cuerpos sólidos. Es decir, un cuerpo sólido puede tener la velocidad que
le dé la gana a un punto. Ahora, conocida la velocidad de ese punto, los
demás puntos no pueden tener cualquier otra velocidad que nos dé a
nosotros. Están relacionadas entre... La velocidad de todos los puntos del
cuerpo están relacionadas entre sí. Por tanto, no vale cualquiera. Así
que, sea este un problema de saber o no lo sea, yo he de comprobar antes
que el problema no me está engañando, no me está dando velocidades que
son incompatibles entre ellas. Primero, tengo que comprobar la
compatibilidad de esas velocidades. ¿Cómo se comprueba esto? Hombre,
sabemos que una de las propiedades de las velocidades en un sólido
rígido, es la de invariabilidad de las proyecciones de las velocidades
sobre la recta que une los orígenes de esos vectores de velocidad.
Comprobemos un montón. La recta que une las velocidades v sub o y v sub e
es la recta ob, y la recta ob tiene unas componentes que son 1, 1, 1, 1i,
1j y 1k. La recta que une las velocidades v o y v a es la recta oa, que
tiene de componentes 1, 1, 0. Y la recta que une las velocidades v a y v b
es la línea ab, la recta ab, que tiene de componente 0, 0. Las
velocidades, componentes, me vienen dadas. Aquí los he puesto en forma de
entre paréntesis. Ya sabéis que la forma de expresar, de expresar un
vector es poniéndole el módulo de cada componente conjuntamente con el
versor que define la dirección del componente, o bien poniéndolos en
paréntesis y ya se sabe que el primero es la componente x y el segundo
aquí se ha puesto entre paréntesis. Bien, con facilidad de velocidad,
pues hay que comprobar que vb, la proyección del vector vb sobre la recta
b ha de ser igual a la recta ob, ha de ser igual a la proyección del
vector v a sobre la recta b, también. ¿Cómo calculo las proyecciones de
v sobre a recta b? Producto escalar de los dos vectores. ¿Cómo calculo la
proyección del vector v a sobre la recta b? Producto vectorial de los dos
vectores, v a y v ab. Producto escalar, perdón. Bien, pues entonces ya
compruebo que la proyección de vb sobre ab es igual a la proyección de v
a sobre ab. Esta cumple. Las velocidades v a y v b cumplen. Vamos ahora a
ver las v o y v b. La recta que une ob con b es ob, por tanto, proyecto v o
sobre ob y me ha de dar lo mismo que la proyección de vb por ob.
Efectivamente lo da la v o y la v b. Me falta comprobar la v o con la v a.
La recta que une v o con v a es ob a, por tanto, la proyección de v o
sobre a ha de ser igual a la proyección de v o sobre a. Y efectivamente lo
son, 3 y 3. Las tres velocidades que me ha dado el problema son
compatibles, por lo tanto, puedo continuar. Una vez comprobada la
coherencia, la compatibilidad, las velocidades dadas, determinaremos el par
cinemático en el punto O. Podría ser en el punto A también. O en el
punto B. Siempre me voy al punto más fácil, al que tiene coordenadas más
fáciles. El que tiene coordenadas más fáciles es el 0, 0, 0, que es el
origen de coordenadas. Por lo tanto me voy ahí y parto de ahí, parto de
ahí. Bueno, entonces traslado todas las velocidades al punto O. Y el
traslado de todas las velocidades al punto O ha de ser igual a la velocidad
que me dice el problema que tiene el punto O. Empecemos. Traslado la
velocidad de A al punto O a través siempre de la fórmula básica de la
cinemática del sólido. Si A hacen O, se da igual a la velocidad en A más
omega por AO. Bueno, la velocidad en O la conozco, la velocidad en A
también la conozco, el vector AO también lo conozco, lo único que
desconozco es omega. Bueno, pues pongo omega X, omega Y, omega Z, esos
componentes. Ya me saldrán. Hago esta operación, que la veis aquí
ejecutada, resultado, y lo igual a la velocidad en O, que la conozco, que
es 2, 1, menos 3. Igual los componentes de la izquierda. Con igual los
componentes de la derecha. Espejo, y me sale que omega Z vale 2. Y que
omega Y menos omega X menos 1 vale menos 3. No puedo saber más porque
necesito más ecuaciones. Bueno, pues ahora paso, he pasado la velocidad A,
ahora paso la velocidad B al punto O. Como siempre a través de la fórmula
básica de la cinemática. La velocidad en O igual a la velocidad en B más
omega por BO. Ojo, B, O, no, O, B. ¿Cómo? La velocidad en B la conozco,
B, O también lo conozco, sustituyendo y haciendo las operaciones, e
igualando finalmente a la velocidad en O, que la conozco, que es 2, 1,
menos 3, igual que antes, me saldrán tres ecuaciones con tres incógnitas.
Aquí, resolviéndolo, me va a dar el valor de omega Z, por tanto ya
conozco el vector rotacional. Que es uno de los vectores, uno de los
elementos del movimiento helicoidal. El vector omega, el otro es la
velocidad de deslizamiento, la velocidad que tienen los puntos del eje
instantáneo de rotación en su misma dirección, en la dirección del eje
de pie. Ahora calculemos el eje, dónde está situado el eje instantáneo
del rotador. Y lo hacemos como siempre. Buscamos un punto P, cuyas
coordenadas no conozco todavía, que tenga su velocidad, tenga la misma
dirección que el vector resultante omega. Pero, ¿cómo conozco yo la
velocidad del punto P? Pues hombre, si conozco la del punto O, pues muy
fácil, tengo que aplicar una vez más, por enésima vez, la ecuación
básica de la cinemática del sólido. La velocidad C en P se da igual a la
velocidad C en O, más omega vectorialmente por O. Y esto ha de ser igual a
lambda por omega, porque tiene que tener la misma identidad haciendo las
operaciones, e igualándolo a lambda por omega, omega ya la conocemos, nos
salen tres ecuaciones con tres incógnitas de donde despejo lambda, y me
salen dos igualdades que representan la ecuación del eje instantáneo de
rotación en forma de intersección de dos planos. Desarrollemos esas
igualdades, hacemos primera segunda y luego segunda tercera o primera
tercera, me da igual, multiplicando en cruz, me queda esta ecuación, y la
otra igualdad, me queda esta, que son las ecuaciones que representan a dos
planos, y cuya intersección es la línea que es el eje instantáneo de
rotación, precisamente. Me diréis vosotros, ¿y cómo puedo yo dibujarla
si me piden que la dibuje? Ah, cuidado, si me piden que dibuje una línea o
una curva cualquiera, tengo que conocer, lo más fácil es conocer su
ecuación en coordenadas cartesianas, su ecuación que llamamos implícita
o explícita, me da igual. Mejor la explícita que la implícita, ya
sabéis que a la explícita le llamamos cuando está i despejado, i igual a
una función de x, esa es la forma explícita. La implícita es i cuadrado
menos tres i más dos x menos cinco x más tres igual a cero. Pero para
reconocer bien una curva, tengo que partir de la ecuación explícita. ¿Y
cómo, partiendo de esas ecuaciones de dos planos, puedo llegar a una
ecuación? Pues hombre, despejando de las dos ecuaciones una variable, por
ejemplo la x, yo ahí despeje la x, Por ejemplo, y quedándome la Y y la Z
solamente. Por ejemplo, si hago unos arreglos como, por ejemplo, sumar las
dos ecuaciones antes, sumarlas miembro a miembro, por tanto ahí puedo
despejar Y. Puedo decir que Y será igual a 6Z menos 17 partido 1 por 12.
Ya tengo la ecuación explícita. Y esa sé que es la ecuación de una
recta. Y esa recta la puedo fácilmente ver. Vale. Ahora me piden la
velocidad de deslizamiento. Y una vez más, igual que en el problema
anterior, yo sé que la velocidad de deslizamiento la puedo calcular de
varias formas. Una de ellas es, cogiendo un punto cualquiera del eje
instantáneo de rotación, y que más rabia me dé, porque más fácil sea.
Oye, si la recta del eje instantáneo de rotación pasa por el 0, 0, 0,
joder, pues cojo ese punto. Pero si no, cualquiera. Ahí yo he cogido el
que pasa por el punto Z igual a 0, por lo tanto, en la ecuación anterior,
despejando, me sale X igual a menos un doceado, e Y igual a 17 doceados.
Bueno, pues cojo el punto este. Menos un doceado, 17 medios y 0. Que es un
punto que pertenece, porque cumple las ecuaciones. Muy bien. Pues, ahora,
como este punto sé que pertenece al eje instantáneo de rotación, calculo
en él su velocidad. ¿Y cómo calculo la velocidad en un punto? Otra vez
más, a través de la ecuación básica de la cinemática del sólido
rígido. Como conozco la velocidad en el punto O, la velocidad en el punto
M es igual a la velocidad en el O más omega por OM. La velocidad en el O
la conozco. Omega también. Y OM también. Por lo tanto, la velocidad en el
punto M es igual a la velocidad en el punto X. Esa es la velocidad de
deslizamiento. Porque es la velocidad de un punto que pertenece al eje
instantáneo de rotación. Ahora podéis decir vosotros, oye, joder, es que
claro, tú elegiste el punto que pasa por Z0, del eje instantáneo de
rotación. Vale. Y si eligieras otro, por ejemplo, el que pasa por el Z
igual a 14, ¿te saldría lo mismo? Pues efectivamente, tendría que salir
lo mismo. ¿Por qué? Porque ya hemos dicho en la grabación del módulo S1
que una de las características del eje instantáneo es la misma. Y además
es la mínima de cualquier otro punto del cuerpo. Todo el resto de puntos
del cuerpo en ese instante tendrán una bloquea lineal mayor que esa. Por
lo tanto, si es la misma, pues me da igual coger cualquier punto. claro que
podía hacerlo de otra forma si lo hemos hecho antes por ejemplo como pues
calculando la proyección de la velocidad en cualquier punto me da el igual
del sólido la proyección sobre una línea que coincida con la dirección
de omega y también me da es lo que hemos hecho la dirección de omega
¿cómo la conozco? buscando el versor de omega un versor unitario que me
da la dirección de omega ¿cómo calculo los versores unitarios?
dividiendo el vector en este caso el omega por su modo el vector omega lo
conozco su modo es raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los
componentes también, por tanto ya conozco su omega ¿cómo determino la
proyección del vector VA sobre U omega? multiplicándolo escalarmente como
lo he hecho en el anterior he cogido la velocidad en el punto A pero podía
haberla también cogido en el O o podía haberla cogido en cualquier otro
punto proyectando la velocidad de cualquier punto sobre la dirección de
omega me va a dar siempre la velocidad desde el cemento que es siempre la
misma como veis coincide en todos los casos y coincide con el caso problema
muy interesante, muy sencillo pero muy interesante para asentar los
conceptos de eje instantáneo de rotación de movimientos que componen
alrededor del eje instantáneo de rotación muy interesante bien, pues
sigamos paramos un momento para no que nos ocurra lo mismo que el otro día
porque ya está uno, ya llevo dos horas y cuarto hablando sin parar
¿alguna pregunta sobre esto? si no tenéis preguntas macho ya me empiezo
yo a mosquear hay que llevar esto al día señores si no, no avanzamos no,
no avanzamos fijaros que os he dicho hace un momento que la velocidad de
avance que llevo yo no debe ser la que debéis vosotros, que vosotros
debéis llegar mayor que yo que yo no me planteo el explicar tema por tema
son la fastidiaría entonces necesitábamos el simple de horas de tutoría
yo solamente mientras vosotros no preguntéis nada se tocaré los temas que
a mí me parecen más interesantes y más conflictivos pero no creáis que
porque van a ser todos mucho menos bueno este es un problema un poco largo
esto lo vamos a dejar me gustaría dar antes este es un problema que ha
caído en un examen de la UNED varias veces ya y ha aparecido en las
pruebas de autoevaluación pero ha aparecido en bastantes exámenes lo cual
es una demostración como esto se podía poner de que es conveniente hacer
los problemas de los exámenes si no calcados si con algún pequeño cambio
pero que la forma de proceder para su vez no sea siempre el mismo y esto es
una facilidad que da el equipo docente de Madrid bueno pues a ver alguien
aquí la semana que viene continúas con cinemática del sólido y si la
semana que viene a mí me quedan dos temas de cinemática del sólido
interesantes si hasta ahora hasta el módulo S1 han sido los temas muy
interesantes me quedan dos súper interesantes más aún que estos uno es
el movimiento relativo y otro es el movimiento plano esos dos temas yo el
movimiento relativo intentaré grabarlo esta semana que queda bueno desde
mañana hasta el próximo miércoles y luego aún queda otro que es el de
movimiento plano los dos son muy interesantes y caen muchos problemas en el
examen de ellos por lo tanto me quedan como mínimo esas dos partes de
cinemática claro que eso es según mi organización de la cinemática que
si lo comprobáis en el libro pues algunos temas estos de azoides están
metidos en temas posteriores algunos ya introducidos dentro de la dinámica
incluso yo los estoy metiendo todos en cinemática vale Sí, sí, sí, pues
podéis preparar porque ya he dicho antes que a mí me parece la
cinemática el tema muy básico, primordial, importante y además
generalmente que los alumnos encuentran siempre más dificultad. Los demás
temas son bastante más llevaderos que la cinemática y luego cuando
entréis en dinámica, que los de mecánica aún no la tendréis para el
próximo año, pero su mecánica ya la vais a tener en este, ya veréis que
para resolver problemas de dinámica es obligatorio resolver antes la
cinemática. Porque el problema de dinámica tiene dos partes. Uno, el
cálculo de aceleraciones y velocidades, que es cinemática pura. Y luego
una vez calculadas las velocidades y aceleraciones ya tienes que hacer la
parte específica de dinámica. Pero no te queda más remedio que conocer
la cinemática bien, si no ya no puedes empezar a hacer el problema de
dinámica. Por tanto me parece súper interesante y por lo tanto le estoy
dedicando tiempo y recursos y horas en casa incluso para prepararos bien
este tema de cinemática. A una costa de que luego al final quede tema
simple, que le toque yo, que yo no tengo por qué tocar, repito. A menos
que vosotros me pongáis alguna duda sobre el tema y me digáis, oye
explícame este tema. Pues yo no lo voy a explicar todo porque no me va a
dar tiempo. Pero repito, me parece interesante recalcar bien el tema de la
cinemática y a eso me estoy dedicando. Bien, pues vamos a ver este
problema que es muy interesante. Véis que es un problema sencillito,
normalmente en los exámenes siempre se ponen problemas generalmente con
muy pocas operaciones. Para no liar al humo. Dice, un cono de revolución
que tiene generatrices de longitud L y un semiángulo de abertura de 45
grados, rueda sin deslizar sobre un plano fijo con una velocidad angular
omega respecto de su propio eje y cuyo sentido va dirigido, el sentido de
este vector omega, se entiende, va dirigido desde el vértice del cono
hacia la base. Es decir. Es ese vector que veis ahí. Y gira alrededor del
eje, el cono este. Tiene su vértice en el punto de origen de coordenadas
porque lo he puesto yo ahí. ¿Eh? Porque me dio la gana. Es decir, yo,
como veis, siempre procuro que el origen de coordenadas siempre aparezca en
algún sitio del cuerpo a ser posible. Puesto que tiene las coordenadas
más fáciles. Me va a rebajar el número de operaciones. Bueno, pues ahora
he colocado el extremo del cono en el punto 0,0, por lo tanto tiene un eje
que va desde el extremo del punto 0,0,0 hasta el centro de la base y esa es
la dirección del vector omega, es decir, el cono gira alrededor de su
propio eje. Pero al mismo tiempo gira sin deslizar sobre el plano, sobre el
suelo, lo que podríamos llamar suelo al plano xy, y si gira sin deslizar
es señal de que está también rotando alrededor del eje z. Dice,
suponiendo situado el origen de un sistema de coordenadas cortesianas en el
vértice del cono, fijaros aquí ya me lo dice él, ya no fue cosecha mía
de poner el vértice en el cono. Determinar la velocidad del punto extremo
del diámetro de la circunferencia. La circunferencia base del cono, es
decir, el punto A. Bien, como lo primero que hago es poner los ejes de
referencia x y z, los ejes fijos, ¿vale? Con respecto a ellos voy a
referir todos los puntos del cono. El cono se trata de un sólido rígido,
evidentemente, por lo tanto voy a aplicar las teorías de sólido rígido.
A continuación, yo el cono lo podía poner en cualquier punto del suelo.
Es decir, podía ponerlo... Podría ponerlo tocando en el suelo en el eje
x, podía ponerlo tocando en el suelo en el eje y tal y como lo puse, o
podía ponerle tocando en el suelo en la diagonal que va entre el eje x en
la bisectriz del ángulo que forma los ejes x e y o en cualquier otro
punto. Pero como en este caso me da igual donde lo ponga porque el problema
no va a salir exactamente igual, es decir, quiere decir que al ser omega,
el vector omega de rotación constante, no variado, pues me da igual en
cualquier punto, en cualquier posición del cono, en cualquier momento
tienen las mismas velocidades. Por lo tanto puedo ponerlo donde me da la
gana. ¿Y dónde me da la gana? Pues en un sitio donde sea fácil poner las
coordenadas. ¿Dónde es más fácil? Oye, que la generatriz del cono que
está en contacto con el suelo me coincida con el eje y ahí lo puse, tal y
como lo veis en la figura. Pero eso es para facilitar las operaciones. Hay
otras veces, imaginaros que el vector de rotación omega que fuera variable
con el tiempo. Hostia, entonces ya cuidado, no lo puedo poner en cualquier
sitio porque en un sitio tiene una velocidad y en otro, otra diferencia.
Cuidado, no es este el caso. Bien, a continuación me tengo que dar cuenta
de una cosa. Fijaros que la generatriz del cono que está en contacto con
el suelo, es una generatriz que tiene velocidad cero. Todos los puntos de
esa recta, De esa generatriz tienen velocidad cero. ¿Por qué? Pues porque
el cono le dice que no desliza. Y si el cono no desliza, en el punto del
cono que está en contacto con el suelo no puede haber velocidad. Si
hubiese velocidad, estaría deslizando. Esto es muy importante en todos los
problemas. En casi todos los problemas va a haber algo de esto. Y hay que
darse de cuenta de él al instante. Porque eso me identifica cuál es el
eje instantáneo de rotación. Y bueno, quiere decirse que el eje I en este
caso es el eje que coincide con la generatriz del cono que está en
contacto con el suelo. Es el eje instantáneo de rotación. Porque una de
las características del eje instantáneo de rotación aparecen en la
grabación también es que encuentre dos puntos que tengan velocidad cero
del cuerpo sólido. Si encuentres esos dos puntos de velocidad cero los uno
con una línea y ese es el eje instantáneo de rotación. Coño, aquí
puedo encontrarlo dos. Puedo encontrar infinitos. Porque sé que toda la
generatriz del cono que está en contacto con el suelo tiene velocidad
cero. Por lo tanto, puedo encontrar infinitos puntos. Por lo tanto, ese es
el eje instantáneo de rotación. En este caso, el eje I. Coño, una vez
localizado el eje instantáneo para calcular la velocidad en cualquier
punto del sólido es muy fácil. Porque todo se reduce a un movimiento
ericoidal alrededor de ese eje instantáneo de rotación. ¿Qué es un
movimiento ericoidal? Es un movimiento de rotación alrededor del eje y una
traslación, en todo caso cuando la hay porque muchas veces no la hay y una
traslación del sólido en la misma dirección del eje. En este caso no hay
esa traslación porque me dice que el punto O del sólido está situado
siempre en el punto original. El vértice del sólido. Es decir que toda la
generatriz que está en contacto con el suelo no tiene velocidad ninguna de
traslación en el sentido de la generatriz. Ahí se está quieta. Solamente
tiene el cuerpo velocidad de rotación. ¿Cómo sé? Bueno, a continuación
entonces ya dibujo los ejes ZI para no liarme. Aquí los tenéis dibujados
abajo. Y color. Sobre el eje I digo que tiene que estar la velocidad
angular resultante. Porque sé que una característica de su dirección
coincide con la... Por lo tanto omega mayúscula ha de estar en la
dirección I. Todavía no sé cuánto mide, cuál es el módulo de ese
vector. Pero sí sé ya cuál es la dirección. Vamos a ver. Omega, el
vector de rotación del cono alrededor de su eje sí lo conozco. Porque sé
la dirección que tiene, que es la del cono, 45 grados la del eje del cono
con respecto al eje I, 45 grados. Y si conozco también omega, omega es un
dato del problema. Por lo tanto, este vector omega lo conozco. Y el omega
es uno, que es la rotación del cono cuando va rotando alrededor de la eje
Z, porque al rotar sobre el suelo también se mueve alrededor de la eje Z,
por lo tanto, no conozco el módulo de omega uno, pero si conozco su
dirección, la pongo aquí, el resto ya es un problema de escuadra de
cartabón. Conozco el vector omega, lo dibujo en 45 grados y con la
longitud omega. Conozco la dirección de omega es uno, por lo tanto sé que
por el extremo del vector omega trazo una paralela omega es uno y donde me
corte con el eje Y tiene que estar la resultante. La suma vectorial de
omega más omega es uno es omega mayúscula. Y omega mayúscula tiene que
estar en la dirección Y, porque ese es el eje instantáneo. Ya está
solucionado. Lo hacemos, el vector omega mayúscula es evidente lo que es,
un cateto igual a hipotenusa por coseno de 45. Es decir, omega partido por
raíz de 2 y en la dirección J, claro. El vector R, que es el vector que
va desde el vértice del cono al punto A, figura ahí en la figura, lo
puedo calcular porque es el lado del... el vértice del cono. Entonces L
entre raíz de 2 partido por raíz de 2 en la dirección J, L partido por
raíz de 2 en la proyección en la dirección X y L entre raíz de 2
partido por Z. Por tanto, el vector R lo conozco. La velocidad en A será
simplemente igual a la velocidad angular multiplicado vectorialmente por el
radio vector desde un punto del eje instantáneo de rotación. Hasta, por
ejemplo, desde el punto O, que es el más fácil, 0, 0, 0, hasta el A, ese
es R. Hago esta operación y ese es el resultado. No hay más. Este
problema es muy bonito por esa circunstancia de que lo primero que hay que
hacer es darse cuenta de que el eje instantáneo de rotación en el atril
está en contacto con el suelo. Con el plano X o Y. Esto va a ocurrir
siempre, siempre que no haya deslizamiento entre dos cuerpos y uno de ellos
esté parado. con velocidad cero, en este caso el suelo el punto de
contacto del otro cuerpo con el suelo tiene velocidad cero por tanto por
ahí obligatoriamente ha de pasar el eje instantáneo una vez conocido el
eje instantáneo de rotación el calcular las velocidades en cualquier
punto es porque el movimiento alrededor del eje instantáneo de rotación
es un movimiento helicoidal que se compone de un movimiento de rotación y
de un movimiento de traslación el movimiento de traslación muchísimas
veces es cero por tanto se queda solamente el de rotación problema de
examen, facilito como veis los exámenes de la UNED de mecánica no son
difíciles en absoluto todo lo contrario vamos a ver si podemos vamos a ver
este otro problema de examen de febrero del 2010 todos estos problemas que
estoy poniendo son problemas de exámenes de la UNED o de exámenes de la
Universidad Politécnica de Madrid Universidad Politécnica de Madrid se
compone de la Escuela de Ingenieros Industriales de Madrid de la Escuela de
Ingenieros Aeronáuticos de la Escuela de Ingenieros básicamente de estas
tres escuelas son todos los exámenes los problemas que se han puesto
exámenes de estas tres universidades escuelas, vamos más hay algunos de
la Escuela de Aeronáutica famosa francesa parece que está en Lyon si no
me equivoco también son muy pero el resto son de exámenes de la UNED o de
problemas puestos en las pruebas estas de autoevaluación no están todos
porque me quedan los de año anterior por ejemplo no me dio tiempo todavía
a hacerlos pero bueno, sí hay una vez que se han puesto este por ejemplo
es de un exámen de la UNED y dice el eje instantáneo de rotación de un
sólido rígido es el semieje X positivo se sabe que el punto A402
pertenece al sólido y tiene por velocidad biómetros por segundo en la
dirección del eje Y negativo se pide rotación instantánea omega
resultante y velocidad de desplazamiento las dos componentes del movimiento
helicoidal alrededor del eje instantáneo de rotación. Y en segundo lugar,
el lugar geométrico de los puntos cuya velocidad es paralela al
semiejezeta negativo. Ahí se han dibujado los ejes X y Z. No se ha
dibujado el sólido, porque van a entropecer la figura. Es igual, pero se
ha dibujado el punto A, que es el sólido. El punto A es el 4C. Tampoco se
ha dibujado la velocidad que dice el problema que tiene el punto A. Esto ha
sido por olvido. Debería haber dibujado otra velocidad ahí en la
dirección Y negativa. Es igual. Me dice que el eje instantáneo de
rotación coincide con el eje X positivo. Oye, entonces la velocidad
angular resultante debe tener esa misma dirección. Obligatoriamente,
porque es una de las condiciones esenciales del eje instantáneo de
rotación. Bien. Entonces, omega ha de ser igual a un vector que tiene el
módulo omega y dirección Y. El módulo omega no lo conozco, ya lo
conozco. Pero sí conozco la velocidad en el punto A. Por lo tanto, puedo
calcular la velocidad en el punto A tiene par cinemático cuya velocidad
lineal conocemos ya, que me la da el problema, y una velocidad angular que
es omega, que es todavía incógnita, pero ya sabrá. Por lo tanto, si no
conozco el par cinemático en A, puedo trasladarlo a cualquier punto. Por
ejemplo, a un punto que pertenece al eje instantáneo de rotación. Por
ejemplo, al punto O. Vamos a trasladarla. Partiendo del punto O, suponiendo
que conocemos la velocidad en el punto O, vamos a trasladarla al punto A,
que sí la conocemos. A través de, como siempre, la fórmula. Si hacen A,
se da igual a la velocidad en O más omega por OA. La velocidad en O, O es
un punto Y. Es el punto del eje instantáneo de rotación. Por lo tanto,
como cualquier punto del eje instantáneo de rotación, esa es la velocidad
de deslizamiento. Por lo tanto, la velocidad en O es la velocidad de
deslizamiento. No la conozco, le voy a llamar OBD. Pero lo que sí conozco
es la velocidad en A, que me la da el problema, que es menos diez J. La
operación igual a omega tampoco la conozco. Pero sí conozco su
dirección, que sí. Lo que tiene que coincidir con el eje instantáneo de
rotación. Multiplicado vectorialmente por el vector A, que sí la conozco,
porque las coordenadas de O son diferentes. O es 0, 0, 0 y del A son 4, 0,
2. La operación es esto. Me da esto. Igual los términos del mismo nombre
de la izquierda con la derecha y me sale que la velocidad de deslizamiento
vale 0 y omega vale 5. Por lo tanto, el vector omega será 5 y. Ya tengo
los dos términos que componen el movimiento alrededor del eje instantáneo
de rotación. Por lo tanto, la velocidad de eso es cero, la velocidad de
movimiento, de traslación en la dirección del eje instantáneo de
rotación. Solamente hay movimiento de rotación y este tiene un valor
módulo de 5 y una dirección del eje. Vamos a por la segunda pregunta.
Oiga, diga usted el lugar geométrico, es decir, todo el conjunto de
puntos, cuya velocidad, de puntos del sólido, cuya velocidad es paralela
al semieje z negativo. Si es paralela al semieje z negativo, tendrá la
componente menos k, ¿verdad? Un módulo, un número, que es el módulo, y
un menos k, la condición menos k. Bueno, pero entonces tenemos que buscar
los puntos t, que todavía no sé cuáles son, que es lo que me pide el
problema, que cumplan esa condición, cuya velocidad sea igual a menos 5k.
Perdón, a menos algo k. Bueno, pues otra vez más tenemos que usar, la
famosísima y repetidísima fórmula de k, de ecuación básica, llamada
ecuación básica de la cinemática del sólido rígido, que solamente se
puede aplicar a un sólido, ¿eh?, como es este caso, donde podemos
trasladar la velocidad del punto O al punto cualquiera p. Por ejemplo, la
velocidad en el punto p será igual a la velocidad en el punto a omega por
o p. La velocidad en el punto a es la velocidad de deslizamiento, ya la
conozco, entonces cero. Omega, pues es, omega también la he deducido antes
ya, es x5y multiplicado vectorialmente por op, que hoy op no lo conozco,
porque las coordenadas de p todavía no la conozco, son la incógnita
precisamente. Le llamo x y z, menos las coordenadas de o, que son cero pero
cero, pues es xy y jz. Hago esas operaciones, igualo términos, y me sale
ceta igual a cero y i menor que cero. Es decir, estamos hablando del plano
xy, con los valores de i menores que cero. Todos los valores del plano xy
que tengan las is negativas cumplen esto, que la velocidad es paralela al
semi eje z negativo. Facilísimo, ¿no? Pero hay que darse cuenta y tener
claros los conceptos de eje instantáneo de rotación y del movimiento
helicoidal que se genera alrededor de él. Sabiendo eso, cualquier problema
está chupado, por muy difícil que sea. Que como veis, los del examen no
son difíciles. Muchachos, yo creo que he llegado ya al límite. Si tenéis
preguntas, hacérmelas y si no, lo dejamos aquí. Son las nueve menos
cuarto y ya está uno agotado. Así que, si tenéis algún problema me lo
decís y si no, lo dejamos aquí. A ver, desde luego. Veo que vais algo
atrasados. Hay que echarle carne al asador porque si no, no llega la carne.
Esto comenzará. Como veis, tiene trabajo. Hay que echarle trabajo encima.
Trabajo encima si no se sale. Bueno, Pontevedra, ¿qué? No hay ninguna
duda. Vamos a ver, sí, aprovecho para decir. Hay un alumno en Pontevedra
que me ha enviado ya dos problemas de los que he enviado yo con algunos
errores. Uno ya está corregido, ya está incorporado a su corrección. Y
otro es una corrección asentida. Sí, ya hay un error en un signo. Pues
bueno, le he pedido que me lo mande el corregidor porque yo no voy a tener
tiempo y cuando me... Que lleva poco tiempo, la verdad, pero no es que... Y
os agradezco que si encontráis algún error en estos problemas que me lo
mandéis. Porque, oye, nos va a venir bien a todos. Porque esos problemas
van a mucha gente. No solamente a los de Lugo y Pontevedra. Me lo están
pidiendo de todos los sitios de España. De todos los centros de España.
Que se han enterado de que hay esta corrección de problemas y lo están
solicitando desde todos los lados. Por lo tanto, si veis algún problema,
algún error, digamos, en algún problema. Porque problemas estos fueron
hechos de forma muy rápida y seguro van a aparecer más de uno y más de
dos y más de tres errores. Me lo decís, por favor. Bueno, pues si no
tenéis nada más, lo dejamos aquí. Hasta el próximo día, entonces.