Hola, buenos días. Soy Sonia Rubio, vuestra tutora de cálculo de
probabilidades 1 y vamos a hacer este ejercicio que es de la convocatoria
del examen del 2023. Bien, el ejercicio dice así. Los jugadores de tenis A
y B juegan un partido al mejor de 5 sets. El primero que gane 3 sets gana
el partido. Se supone que los resultados de los sets son independientes y
las probabilidades de A y B ganen un set son 2 tercios y 1 tercio
respectivamente. Se definen los sucesos A y B como A, el jugador gana el
partido y B, el jugador gana el partido respectivamente y se define T como
el número total de sucesos. El número total de sets juzgados en el
partido. Vale, entonces empezamos. Vamos a empezar a hacerlo bien. Bueno,
nosotros vamos a llamar S A a que A gane un set, S B a que B gane un set.
La probabilidad de S A el enunciado me dice que es 2 tercios y la
probabilidad de S B 1 tercio. Disculpad un poco por la voz, estoy un poco
acatarrada. Vale, A, el jugador gana el partido se nos lo daba el
enunciado, B, el jugador B gana el partido. Y T, el número total de sets
juzgados en el partido. Vale. Pregunta 1. Entonces lo que nos están
haciendo en la pregunta 1 es lo siguiente. La probabilidad del suceso A es,
es decir, lo que me están pidiendo es la probabilidad de que gane el
suceso A y eso es lo que vamos a calcular en la pregunta 1. Probabilidad de
que el jugador A gane el partido. Es decir, la probabilidad de A. Muy bien.
Para que el jugador A gane el partido puede pasar lo siguiente. Puede
ocurrir que A gane los primeros 3 sets, es decir, que gane el primer set,
el segundo set y el tercer set. Y esto tiene una probabilidad 2 tercios o
algo. Porque es que A gane el primero y que A gane el segundo y que A gane
el tercero. Vale, pero también puede ocurrir que necesite 4 sets para
poder ganar el partido. Entonces pueden darse las siguientes posibilidades.
Que el primero lo gane B que el segundo lo gane A, que el tercero lo gane A
y que el cuarto lo gane A. O bien, que el primero lo gane A que el segundo
lo gane B que el tercero lo gane A y que el cuarto lo gane A. También
puede darse que el primero lo gane A que el segundo lo gane A que el
tercero lo gane B y que el cuarto lo gane A. Vale, si os dais cuenta aquí,
bueno, el último lo tiene que ganar siempre A porque estamos viendo que A
gane el partido. Entonces el último set siempre lo va a ganar A. Y
entonces, ¿esto qué es? Todas las diferentes maneras en las que puedo
colocar un set que lo gana B y dos que los gana A. Esto serían
permutaciones con repetición de 3 elementos, 2 repetidos y 1. Entonces
esto es igual. 3 factorial 2 factorial, 1 factorial Esto es igual a 3.
Entonces, esto es igual. Esta probabilidad sería igual a 3 por este
corchetes ficticios, para que veáis que es 3 veces la probabilidad 2
tercios elevado al cubo y ya está, ¿vale? Muy bien. Muy bien. También
puede darse lo siguiente, que necesitemos jugar 5 sets para que A gane.
Entonces, el primero podría ser la primera posibilidad que lo gane B, el
segundo lo gane B, el tercero lo gane A, el cuarto lo gane A y el quinto
por fin lo gane A. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué tendríamos que ver? Y
así todas las posibilidades que hay. ¿Cuáles son todas las posibilidades
que va a haber? Pues en este caso serían permutaciones con repetición de
4 elementos, con 2 elementos repetidos y otros 2 elementos repetidos. 4
factorial, 2 factorial, 2 factorial, 4 por 3, 2, 1, partido 4 y me quedan
6. Lo que significa que la probabilidad de esto será 6 por... 1 tercio al
cuadrado, porque B lo gana 2 veces, por 2 tercios al cubo, porque A lo gana
3 veces. Muy bien. Entonces la probabilidad de A será igual a 2 tercios al
cubo, que necesite jugar 3 partidos, o que necesite jugar 4 partidos, 3
por... 1 tercio por 2 tercios al cubo, o que necesite ganar los 5 partidos,
que necesiten los 5 partidos para que gane A. 2 tercios al cubo. Muy bien.
Esto operando... Me queda que es igual a 2 tercios al cubo más 2 tercios
al cubo, más 6 novenos, por 2 tercios al cubo. Muy bien. Esto es igual
a... Esto es igual a 2 por 2 tercios al cubo, más 2 tercios por 2 tercios
al cubo. Esto es igual a... 2 tercios al cubo por 2 más 2 tercios, que es
igual a 2 tercios al cubo por 8 tercios. Esto es igual ya por fin... A 8
partido 27 por 8 tercios, que es igual a 64 partido 81. Vale. Y entonces
nosotros nos vamos a la pregunta 1. Lo correcto es el apartado A. ¿De
acuerdo? Es el apartado A. Muy bien. Pues vamos a seguir. Pregunta 2. La
pregunta 2 dice lo siguiente. Los valores... P de t igual a 3 y P de t
igual a 4 son respectivamente... Estos son los valores que nos dan.
Entonces, ¿qué es lo que tenemos que calcular? Pues... La probabilidad de
t igual a 3 y la probabilidad de t igual a 4. Pues vamos a hacerlo. Muy
bien. Vamos a ver. Tenemos que calcular la probabilidad de t igual a 3 y la
probabilidad de t igual a 4. T, os recuerdo, que es el número total de
sets juzgados en el partido. Número total... D, sets jugados en el
partido. Vale. Entonces ahora... Probabilidad de t igual a 3. T, os
recuerdo, que es el número total de sets jugados en el partido.
Probabilidad de que el número total de sets sean 3. Es decir, la
probabilidad... Vamos a ponerlo aquí. La probabilidad... De que los
tres... Primeros sets los gane A. O los tres primeros sets los gane B.
Vale. Entonces... ¿Esto qué es igual? Pues esto con la nota 3. La
multiplicación que hemos usado antes, esto será igual a la probabilidad
de S A, S A, S A más la probabilidad de S B, S B, S B. Es decir, la
probabilidad de que el primer set lo gane A y que el segundo set lo gane A
y que el tercer set lo gane A. O la probabilidad de que el primer set lo
gane B, que el segundo set lo gane B y que el tercer set lo gane B. Que
esto es igual a dos tercios a cubo más un tercio a cubo. Que esto es
igual... 8 partido de 27 más 1 partido de 27. Que esto es igual... 9
partido de 27, un tercio. Vale. Muy bien. Ahora... Probabilidad... De T
igual a 4. Es decir... De que el número total de sets sean 4. Y
entonces... ¿Esto qué es? Pues la probabilidad de que haya que jugar 4
partidos para que gane A o que haya que jugar 4 partidos para que gane B.
Esto es igual a la probabilidad de que haya que jugar 4 partidos... 4
partidos... Gane B. Muy bien. Pues vamos a ver entonces ahora. Estas son
las diferentes disposiciones que se pueden dar. Que el primero lo gane B,
que el segundo lo gane A, que el tercero lo gane A y que el cuarto lo gane
A. O bien, que el primero lo gane A, que el segundo lo gane B, que el
tercero lo gane A y que el cuarto lo gane A. O bien, que el primero lo gane
A, que el segundo lo gane A, que el tercero lo gane B y que el cuarto lo
gane A. Fijaos que estas serían las diferentes disposiciones para que A
ganara el partido. Que esto sería su probabilidad 3 por... ¿Sabéis que
estos corchetes son ficticios? 3 por un tercio. Dos tercios al cubo. Que
esto es igual... A dos tercios al cubo. Vale, también puede darse esto.
Que el primer set lo gane A, que el segundo lo gane B, que el tercero lo
gane B y que el cuarto lo gane B. O bien, que el primero lo gane B, que el
segundo lo gane A, que el tercero lo gane B y que el cuarto lo gane B. O
bien, que el primero lo gane B, que el segundo lo gane B, que el tercero lo
gane A y que el cuarto lo gane B. Y esta probabilidad es 3 por dos tercios
por un tercio al cubo. Que esto es igual a 2 por un tercio al cubo. Vale.
Muy bien. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de T igual a 4? Entonces, la
probabilidad de T igual a 4 será la probabilidad de que tengamos que jugar
cuatro partidos para que gane A o de que tengamos que jugar cuatro partidos
para que gane B. Es decir... 2 tercios al cubo más 2. Por un tercio al
cubo. Que esto es igual... 8 partido 27 más 2 partido 27. Que esto es
igual a 10 partido 27. Entonces, tenemos por un lado... Que la probabilidad
de T igual a 4 es igual a... La probabilidad de T igual a 3 es igual a un
tercio. Y la probabilidad de T igual a 4, 10 partido 27. Entonces, vamos a
ver qué opción es. Estamos en la pregunta 2. Aquí, entonces, la C. La
correcta es la C. Que T igual a 3 es un tercio y T igual a 4, la
probabilidad de T igual a 4, 10 partido 27. Vale. Entonces, es la C. Vale.
Vamos ahora a la pregunta 3. La pregunta 3 dice así. La duración esperada
del partido. Vale. Entonces, tenemos que calcular la esperanza de T.
Tenemos que calcular la esperanza de T. Y la esperanza de T será 3 por la
probabilidad de que el partido dure. 3 set más 4 por la probabilidad de
que el partido tenga 4 set más 5. Por la probabilidad de T igual a 5, que
es que el partido tenga 5 set. Los dos primeros sumandos ya lo tenemos en
los apartados anteriores. O sea, nos queda calcular la probabilidad de T
igual a 5. Esto es lo que nos queda por calcular. ¿Qué es lo que vamos a
hacer ahora? Entonces, para calcular la probabilidad de T igual a 5 puede
pasar esto. 1, 2, 3, 4. Y que el último set lo haga... Gane A. 1, 2, 3, 4.
Que el último set lo gane B. Es decir, que al final gane A o que al final
gane B. ¿De acuerdo? Estos son los dos posibles caminos que tenemos.
¿Estos caminos cómo son? Pues yo puedo tener en el primero que el primer
set lo gane B. El segundo lo gane B. El tercero lo gane A. El cuarto lo
gane A. Y el quinto lo gane A. Fijaos que aquí, igual que antes... ¿Esto
qué van a ser? Permutaciones con repetición de cuatro elementos, dos,
dos. Es decir, 6. Esta probabilidad me va a valer 6 por un tercio al
cuadrado por dos tercios al cubo. Vale. También podemos tener otra
posibilidad. Posible secuencia. Que es Sb que gane A. Sb que gane el primer
set, que gane el segundo set. Que el tercero lo gane A. Que el cuarto lo
gane A. Y que ya el quinto lo gane otra vez B. Fijaos que esto que pongo
aquí son las diferentes maneras en las que se pueden... Las secuencias
diferentes que se pueden dar con A ganando dos sets. Igual que en el caso
anterior. Esto serían, ya sabemos, permutaciones con repetición de cuatro
elementos con dos grupos que se repiten dos veces y esto da 6. Entonces la
probabilidad de esto sería 6 por un tercio al cubo por dos tercios al
cuadrado. Porque ahora quien gana tres sets es B y dos A. ¿Veis? Entonces
la probabilidad de t igual a 5 es igual a seis por un tercio al cuadrado
por dos tercios al cubo más seis por un tercio al cubo por dos tercios al
cuadrado. Esto sería igual a 6. Esto es igual a 3 por 2 a la cuarta
partido 3 a la quinta más 3 por 2 al cubo partido 3 a la quinta. Esto es
igual a 2 a la cuarta partido 3 a la cuarta más 2 al cubo partido 3 a la
cuarta. Y esto el resultado es 24 partido 81. Vale, entonces como yo tengo
que calcular la esperanza de t, la esperanza de t va a ser 3. 3 por un
tercio sustituyendo arriba más 4 por 10 partido 27. Acordaros que esto es
3 por la probabilidad de t igual a 3, 4 por la probabilidad de t igual a 4
más 5 por la probabilidad de t igual a 5 que es 24 partido 81. Y todo esto
da 1 más 40 partido 27 más 120 partido 81 que da 321 partido 81 que esto
es igual a 107 partido 27. Vale. 107. 107 partido 27. La esperanza de t. Y
entonces me voy a la pregunta 3 que es el apartado c. ¿De acuerdo? 107
partido 27. El apartado c. Muy bien, pues ahora vamos a la 4. A la pregunta
4. La pregunta 4 es de teoría y me dice así. Me dice. Indica la
afirmación correcta. Me está hablándome de la independencia de a y del
número de set. La probabilidad de que el jugador a gane. Y la probabilidad
del número de set. Que hacen falta para ganar el partido. No son
independientes. Quiero decir. Porque tenemos que la probabilidad de a. La
probabilidad de que hagan el partido. Es distinto de la probabilidad que
hagan el partido teniendo en cuenta que se han jugado solo 3 set. Y la
probabilidad de que hagan el partido es distinto de la probabilidad de que
hagan el partido. Teniendo en cuenta. Que han tenido que jugar. Es decir, A
y T igual a 3, por otro lado, A y T igual a 4 no son independientes. Así
que la respuesta correcta es la D. ¿Vale? Muy bien. Vamos a la pregunta 5.
Pregunta 5. Que dice así. La duración esperada del partido, supuesto que
el jugador ha ganado el partido, es la esperanza de T condicionado con A.
Que es igual a, entonces lo que tenemos que calcular, es la esperanza de T
condicionado con A. Y esto va a ser igual a... 3 por la probabilidad de T
igual a 3 condicionado con A, más 4 por la probabilidad de T igual a 4
condicionado con A, más 5 por la probabilidad de T igual a 5 condicionado
con A. ¿La os contáis? Tenéis que tener en cuenta que la probabilidad de
T igual a 3 condicionado con A es la probabilidad de que haya que jugar 3
partidos teniendo en cuenta que ha ganado. La probabilidad de T igual a 4
condicionado con A, la probabilidad de que haya que jugar 4 partidos
teniendo en cuenta que ha ganado. Y la probabilidad de T igual a 5
condicionado con A, la probabilidad de tener que jugar 5 partidos teniendo
en cuenta que ha ganado. ¿Vale? Entonces. Muy bien. La probabilidad de T
igual a 3 condicionado con A es igual a 2 tercios al cubo partido 2 a la 6,
3 a la 4. Es decir, la probabilidad de T igual a 3 intersecciona... Partido
es la probabilidad de A. Que esto es igual a 3 octavos. La probabilidad de
T igual a 4 condicionado con A es la probabilidad de arriba de T igual a 4
intersecciona... Es decir, que juguemos 4 partidos y gane A, que es...
Vamos a ponerlo así. 2 al cubo partido 3 al cubo y 2 a la sexta partido 3
a la cuarta. Que esto al final me queda 3 octavos. Y la probabilidad de T
igual a 5 condicionado con A... Es igual a 2 a la sexta abajo y arriba 2 a
la cuarta partido 3 a la cuarta. Que esto es igual a 1 cuarto. Total. Que
la esperanza de esto es igual a 3 por 3 octavos. Más 4 por 3 octavos. 3
octavos más 5 por 1 cuarto. Que esto es igual a 31 partido de 8. Y en este
caso nos vamos al enunciado y es el apartado A. El correcto. ¿De acuerdo?
Vale. Ahora vamos a la pregunta 6. ¿Qué dice así? Así. Supuesto que el
primer set ha sido ganado por el jugador B, la probabilidad de que el
jugador A gane el partido es... Vamos a ver. Quiero decir, yo sé que el
primero lo ha ganado B. Es decir, tengo esto. Puedo tener esto. S-B. S-A.
Pero sé que A ha ganado el partido. S-A, S-A. Puedo tener esta
disposición. Pero también puedo tener esta disposición. S-B. Que el
segundo set lo gane B. El tercero A. El cuarto A. Y el quinto A. Fijaos.
Que esto lo tengo. Porque yo sé que lo que tengo que calcular es... Yo sé
que el primer set lo ha ganado B. Eso es seguro. Entonces me dicen,
calculad la probabilidad de que el jugador A gane el partido. ¿Vale? Esto
lo tenemos. O sea que no hace falta tenerlo en cuenta. S-B, S-B. Entonces.
La... Que... El segundo... El segundo set lo gane A. El tercero y el cuarto
lo gane A. Eso, ¿cuánto es? Pues esto... Es dos tercios... A cubo. Que es
igual a 8 partido 27. Y la probabilidad de S-B, S-A, S-A, S-A... Es tres
veces porque daros cuenta que aquí tenemos que hacer todas estas
disposiciones. Que me van a salir permutaciones con repetición de tres
elementos. Uno está repetido dos veces y esto me sale en tres. Lo que
significa que esto es... Tres por... Ya sabes que estos cochetes son
ficticios. Un tercio por... Dos tercios al cuadrado. Uno por... Dos
tercios. Bueno, no sé si ayudan más que molestan. Voy a borrarlos. Vale.
Muy bien. Entonces. Supuesto que B ha ganado el primer set, que ya lo
sabemos. ¿Cuál es la probabilidad de que A gane el partido? Pues... Será
8, 27. Más... Este resultado no he hecho las operaciones. Operamos todo
esto. Y me queda que también es 8, 27. Más... 8, 27. Que esto es igual a
16 partido 27. Y entonces... ¿Cuál es la respuesta correcta? Pues la D.
¿De acuerdo? La respuesta D. Vale. Bueno, pues este es uno de los
ejercicios que os voy a hacer en vídeo y aquí lo tenéis. Es un poco
largo, pero bueno. Es entretenido. Venga. Hasta la próxima.