Bien, vamos hoy con el módulo cinemática de los sistemas indeformables
que ya estaba grabado pero que ha tenido problemas en el sonido por lo
tanto vamos a ver si esta vez hay más suerte repetimos la grabación y
puede salir bien vamos a cambiar de diapositiva puesto que esta no es muy
bien, este módulo es continuación del módulo S1A en dicho módulo
aprendíamos a localizar el eje instantáneo de rotación de un sólido y
ahora vamos a ver como se va desplazando por el espacio a medida que avanza
el tiempo retomamos el ejemplo de la escalera apoyada en la pared vertical
y en el suelo que ya hemos comentado en un módulo anterior deslizando en
movimiento de caída que aparece ahí en la figura esa figura se ve en las
tres posiciones de la escalera una en su posición inicial con los extremos
marcados como A1 y B1 de color azul oscura otra posición intermedia la
escalera va cayendo, va resbalando posición roja, la intermedia marcada
con sus extremos A2 en el suelo para la pared vertical y B2 en horizontal y
finalmente una tercera posición de color verde, sí, verde claro marcada
como A3 y B3 son tres posiciones que vamos a estudiar se trata en este caso
de un movimiento plano no es un movimiento espacial por lo tanto
desprovisto de una dimensión, la dimensión del eje Z que siempre queda
quedará perpendicular a la pantalla la posición horizontal como vemos la
hemos marcado como eje X la posición vertical como eje Y por lo tanto el
eje Z estaría pasando por ejemplo por el punto O origen de coordenadas y
en dirección perpendicular a la pantalla utilizamos este movimiento plano
porque quizás sea más intuitivo que el movimiento espacial pero todo lo
que se ve aquí es un movimiento plano lo que digamos lo que digamos en él
lo podemos trasladar al espacio sin más que añadirle la dimensión Z como
ya analizamos en el módulo anterior los ejes instantáneos de rotación
son rectas perpendiculares al plano OXI que es el plano de la pantalla y
localizadas en el punto de intersección de las rectas o de los planos si
lo vemos en tres dimensiones perpendiculares a las velocidades de dos
puntos cualesquiera de la escalera en cada posición ya hemos dicho que los
ejes instantáneos de rotación son rectas perpendiculares al plano OXI
siempre y cuando el movimiento sea plano evidentemente como es este caso
entonces por ejemplo la posición 1 en la posición azul el centro
instantáneo de rotación perdón, el eje instantáneo de rotación sería
un eje vertical que pasa por el punto I1 que es un punto donde se
intersectan dos rectas que son una horizontal que pasa por A1 y otra
vertical que pasa por B1 justamente en A1 la velocidad que tiene en la
caída la escalera es una velocidad que lógicamente ha de tener la misma
dirección de la pared vertical está dibujada ahí con un vector de color
negro en el punto B1 otro extremo de la escalera obviamente también la
velocidad ha de tener la misma dirección que la del suelo por lo tanto si
trazamos dos planos perpendiculares que pasen por los puntos A1 y B1 estos
planos se intersectarán justamente en el punto I1 y su intersección dará
una recta perpendicular al plano de la pantalla esa intersección esa recta
intersección de esos dos planos es el eje instantáneo de rotación de la
escalera en esa primera posición la posición marcada de color azul lo
mismo ocurre con la posición intermedia la posición roja tenemos dos
puntos delante de la escalera que por comodidad vamos a elegir el A2 y el
B2 los puntos extremos es exactamente igual que antes cogeremos los dos
velocidades que tienen esos dos puntos en un momento determinado en ese
momento serán dos vectores lógicamente con la misma dirección de la
pared vertical uno y de la pared horizontal otro trazaremos por los
extremos A2 y B2 siendo los planos perpendiculares a esos vectores
velocidad y la intersección de esos dos planos me dará un nuevo eje
instantáneo de rotación que en este caso pasará por el punto I2 y
nuevamente será perpendicular a la pantalla también podemos hacerlo con
I3 vector que pasa por vector velocidad que pasa por punto A3 de la
escalera y vector velocidad que pasa por el otro extremo por el B3 sus
direcciones las conocemos trazamos por los orígenes de los vectores siendo
los planos perpendiculares a esos vectores la intersección de ambos será
el eje instantáneo de rotación que nuevamente será un eje o una recta
perpendicular al plano de la pizarra y que pasa por el punto I3 observamos
que dichos puntos I1, I2 y I3 son las posiciones de los ejes instantáneos
de rotación vistos por un observador situado en los ejes fijos o X1, Y1
pues las velocidades VA y VB para cualquiera de las posiciones de la
escalera sea la azul la roja o la verde que velocidades que son las que
hemos usado para localizar los centros instantáneos de rotación o ejes
instantáneos de rotación son velocidades absolutas por lo tanto están
referidas a los ejes fijos o X1, Y1 por lo tanto esto nos demuestra que son
esas velocidades son las vistas por un observador situado en los ejes fijos
o X1, Y1 si unimos todas las posiciones de los ejes instantáneos de
rotación a medida que la escalera va resbalando a medida que el tiempo va
progresando nos daríamos una curva obviando la dirección Z claro está si
no obviáramos la dirección Z estaríamos trabajando en el plano en lugar
de una curva sería un cilindro una superficie cilíndrica pero visto así
en el plano uniendo los diferentes puntos Y1, Y2, Y3 y cualquier otra
posición que tuviera la escalera el Yn uniéndolos todos nos daría la
curva pintada ahí de color marrón eh que llamaremos curva polar fija o
base en el caso de dos dimensiones o azoide fijo en el caso de tres
dimensiones en el caso de dos dimensiones estamos hablando de una curva
porque es unión de los puntos Y1 Y2, Y3, etc sale una curva que es la
pintada de color marrón si estuviéramos hablando de tres dimensiones y si
añadieramos el eje Z antes hemos dicho que esa curva se transformaría en
una superficie porque habría que añadir la tercera dimensión la Z una
superficie cilíndrica por tanto estaríamos hablando de azoide fijo en
lugar de polar fija o base como sería llamado en dos dimensiones en
movimiento plano tenemos ahora unos tomemos ahora, vamos a tomar ahora unos
ejes móviles que son los pintados ahí en azul con trazo fino el XU0
bueno, vamos a pintarlos para una posición de la escalera en este caso la
última, la tercera podría hacerlo para cualquier posición pero en ese
caso lo he pintado los ejes móviles para la posición tercera de la
escalera para la verde entonces trazo unos ejes XU0 e YU0 perpendiculares
entre sí que pasen por un punto de la escalera he elegido por ejemplo el
punto A3 y vemos que marcado como es XU0 el vertical y como YU0 el que
tiene la misma dirección de la escalera esos ejes ya son unos ejes
móviles a diferencia de los anteriores o X1 y YU1 que eran fijos estos
ejes se mueven con la escalera con cada movimiento de la escalera así
también se mueven los ejes móviles están por lo tanto solidarios a la
escalera por lo tanto moviéndose con ella un observador ligado a dichos
ejes debería moverse los ejes instantáneos de rotación XU1, XU2 e XU3
con otra curva totalmente distinta a la anterior la anterior era como lo
veía un observador situado en los ejes fijos moverse los ejes
instantáneos de rotación en este caso el observador va encima de la
escalera va solidario a la escalera por lo tanto ese movimiento de los
puntos XU1, XU2 y XU3 tendría otra forma distinta uniéndolos los
diferentes puntos XU1, XU2 y XU3 vistos desde los ejes móviles saldría
otra curva diferente a la anterior que está pintada de color verde trazo
grueso se llama ruleta la anterior se llamaba base esta curva la ruleta se
desplazaría rotando sobre la curva anterior que hemos llamado base o polar
fija a medida que la escalera se va moviendo y el punto de tangencia de
ambas curvas que en este caso es el XU3 coincidiría con el eje
instantáneo de rotación en cada momento a esta segunda curva en dos
dimensiones que sería así mismo igual que la anterior una superficie si
estuviéramos utilizando las tres dimensiones se la conoce con el nombre de
curva polar móvil o ruleta eso en dos dimensiones si estuviéramos
trabajando en tres dimensiones estaríamos hablando de un azoide móvil y
sería una superficie como recordatorio de lo ya visto en el módulo
anterior he localizado el centro instantáneo de rotación o eje
instantáneo de rotación en el caso de dos dimensiones o tres dimensiones
o la velocidad no la aceleración este sistema estamos hablando de ejes
instantáneos de rotación nos sirve para determinar velocidades única y
exclusivamente nunca lo podemos usar para el cálculo de aceleración por
tanto el sistema de ejes instantáneos de rotación una vez conocido para
un instante determinado que como ya vemos va cambiando en el tiempo el eje
instantáneo de rotación o centro instantáneo de rotación en este caso
de dos dimensiones sería el punto isu1 en la intermedia sería el isu2 en
la tercera sería el isu3 a medida que se va moviendo la escalera el eje
instantáneo de rotación ya hemos visto que se va moviendo y también se
va moviendo la ruleta rotando sobre la base e indicando en qué punto está
en cada momento el eje instantáneo de rotación pues una vez conocido el
eje instantáneo de rotación en un punto podemos determinar la velocidad
en cualquier punto de la escalera o del móvil que sea en una posición
determinada por ejemplo intentemos buscar la velocidad de un punto
cualquiera en este caso lo hemos señalado como p de la escalera en su
posición tercera color verde sabemos que la velocidad en un punto p
cualquiera o sea sabemos que en este momento determinado en ese instante
determinado la escalera es como si estuviera rotando alrededor del centro
instantáneo de rotación isu3 por lo tanto la velocidad en el punto p
sería la velocidad generada por una rotación con una velocidad angular
que hemos llamado omega3 multiplicado vectorialmente por el vector de
posición isu3p por lo tanto omega3 por la longitud isu3p nos daría el
vector vp3 velocidad del punto p de la escalera en ese momento en ese
instante que será un vector lógicamente perpendicular al vector de
posición isu3p que lo tenemos ahí dibujado de color negro esto mismo lo
podríamos hacer para cualquier punto de la escalera por lo tanto conocido
el centro instantáneo de rotación en un instante determinado podemos
calcular para cualquier punto del cuerpo la velocidad de una forma muy
sencilla aplicándole simplemente una rotación con una velocidad angular
determinada en este caso omega3 alrededor de su centro instantáneo de
rotación de ese instante en este caso veamos ahora esto mismo que acabamos
de ver pero en el espacio esto mismo que acabamos de ver pero en lugar de
limitarlo al plano como hemos hecho hasta ahora lo vamos a ver en el
espacio en tres dimensiones y lo haremos con un ejemplo que forma parte de
uno de los problemas de la colección de la tutoría se trata de un cono
que está referenciado a través del trihedral fijo o x1, is1, z1 que es el
punto o de la pantalla cono que está además pintado de azul claro en cian
más bien que rueda sin deslizar sobre un plano horizontal que es el o x1,
is1 de tal forma que el vértice del cono o este vértice de aquí marcado
como o permanezca siempre en la misma posición es decir es fijo es el
origen de coordenadas del trihedral que coincide con el vértice del cono
determinaremos gráficamente los asoides fijo y móvil lo primero que vamos
a hacer es representar los trihedros de referencia uno fijo el o x1, is1,
z1 que ya lo hemos comentado antes y el otro móvil que está pintado de
color cian los ejes o x y z el x coincide con el x1 anterior el y lo veis
ahí pintado de color cian y el z también esos son los ejes móviles estos
últimos ejes móviles es muy importante que sea solidario al sólido cuyo
movimiento queremos estudiar en este caso es el cono y por lo tanto es muy
importante lo dicho anteriormente que siga fielmente todos los movimientos
del cono en este caso es decir, del cuerpo cuyo movimiento quiero estudiar
comenzaremos localizando la posición del eje instantáneo de rotación en
un instante arbitrario cualquiera en este caso sería la línea OM bueno
hemos puesto el cono en una posición lo más sencilla posible de tal forma
que la generatriz que está tocando con el suelo con el plano x1 y su1
coincida justamente con el eje y su1 podríamos ponerlo en cualquier otra
posición porque he dicho que íbamos a determinar el eje instantáneo de
rotación en un instante arbitrario en este caso repito la línea OM que es
la generatriz del cono que está en contacto con el plano x1 y su1, es el
eje instantáneo de rotación puesto que al no existir deslizamiento entre
cono y suelo los puntos de esta línea tienen todos velocidad nula
fijémonos bien en este detalle que es una de las características
descritas en el módulo anterior que servía para localizar el eje
instantáneo de rotación por procedimientos gráficos y lo denominamos
como característica B una de las características importantes para saber
para conocer cómo determinar o sea que definían el procedimiento de
determinación del eje instantáneo de rotación dado que no hay
deslizamiento entre cono y plano fijo o x1 y su1 las velocidades lineales
en la generatriz OM de contacto entre cono y plano son nulas luego ahí ha
de encontrarse obligatoriamente el eje instantáneo de rotación esto es
muy común en los problemas de sólido rígido por lo tanto hay que tenerlo
muy en cuenta porque va a salir el eje instantáneo de rotación que sería
la generatriz OM del cono en contacto con el suelo veamos cómo va
evolucionando con el tiempo a medida que se va moviendo el cono para ello
situemos a dos individuos uno que le hemos llamado F está ahí marcado
como F y otro que le hemos llamado M el F está situado en los ejes fijos
es decir, en el suelo y el M está situado en los ejes móviles en el eje
concretamente I del cono que se mueve a cada uno de estos dos individuos,
al F y al M les hemos suministrado unos rotuladores al F de color rojo y al
M de color azul el individuo F está situado sobre los ejes fijos va
marcando con un lápiz de color rojo una línea coincidente con el eje
instantáneo de rotación en cada momento es decir, él ve dónde está la
generatriz del cono tocando con el suelo y marca en el suelo una línea
coincidiendo con el eje instantáneo de rotación en ese momento y a medida
que va avanzando el cono pues va trazando líneas sobre el suelo de color
rojo indicando dónde se encuentra en cada momento la posición en donde se
encuentra en cada momento el eje instantáneo de rotación por lo tanto, al
final se verán una serie de líneas que son las dibujadas ahí de color
rojo alrededor del punto O generando esa circunferencia que veis ahí con
radios de color rojo que son las posiciones del eje instantáneo de
rotación trazadas por el observador F el conjunto de esas líneas forman
una superficie que en este caso es ni más ni menos que el plano o y esa
superficie es precisamente el azoide fijo ahora nos vamos al otro individuo
al que se va desplazando con los ejes móviles o es decir, al individuo que
hemos llamado M el individuo que hemos llamado M va moviéndose con el cono
con su mismo movimiento es decir, con la velocidad angular omega Q que es
la velocidad de rotación del cono sobre su propio eje y también con una
velocidad angular omega O que es la velocidad con que se mueve el cono
alrededor del eje Z dado que no hay deslizamiento con el suelo entonces el
cono tiene dos rotaciones una alrededor de su eje y otra alrededor del eje
Z este individuo el M va marcando con un lápiz de color cian una línea
coincidente a sí mismo con la posición del eje instantáneo de rotación
a medida que él lo va viendo en la posición en la que él lo va viendo en
cada momento lo más fácil es que lo marque sobre el cono interior del
cono sobre la superficie interior del cono en este caso el eje instantáneo
de rotación coincide con el cono entonces ¿qué vería? se verían un
montón de líneas que son las dibujadas de color verde en la superficie
interior del cono que formarían entre todas las líneas la superficie
exterior de dicho cono conformarían la superficie exterior de dicho cono
esta superficie exterior de dicho cono trazada con esas líneas que son las
posiciones del centro instantáneo del eje instantáneo de rotación a
medida que el individuo M las iba viendo es lo que se conoce como asoide
móvil como se puede ver claramente en este ejemplo y advertimos ya que no
todos los ejemplos son igual de claros que éste el asoide móvil rueda sin
deslizar sobre el asoide fijo y la línea OM de contacto entre ambos
asoides coincide con el eje instantáneo de rotación que como vemos irá
moviéndose alrededor del punto O a medida que el cono va rotando pienso
que es un buen ejemplo donde se puede ver lo que es y lo que significa el
asoide fijo al igual que ocurría con el problema de localizar la posición
del eje instantáneo de rotación nos toca ahora determinar por diferentes
procedimientos los asoides del movimiento de un sólido y de la misma
manera que hacíamos con el eje instantáneo de rotación también aquí
habrá distintos procedimientos para su determinación vamos a empezar
nombrando los procedimientos analíticos supongamos que un sólido en una
posición arbitraria se encuentra sometido a un movimiento absoluto que
podemos sintetizar a través de su par dinámico como ya sabemos un vector
de rotación y vector de velocidad lineal en un punto determinado en el
ejemplo de la figura de la derecha tenemos un sólido S hemos dibujado unos
ejes fijos de referencia el X, Y y Z entonces tenemos caracterizado el
movimiento de ese sólido en un punto determinado el punto O en él tenemos
la velocidad lineal que tiene ese sólido y la velocidad angular que tiene
ese sólido en ese punto el punto O tal y como está pintado en la figura
no pertenece al sólido S y estamos diciendo que estamos caracterizando el
movimiento del sólido S en un punto O que no pertenece a él esto podemos
hacerlo sin ningún problema siempre y cuando supongamos que el punto O
pertenece al sólido es decir lo que tenemos que hacer es ampliar un poco
el sólido y suponer que el punto O va ligado al sólido aunque no
pertenezca físicamente al sólido si lleva el mismo movimiento del sólido
por tanto si podemos caracterizar el movimiento del sólido simplemente
determinando el par cinemático en el punto O esto lo vamos a hacer muchas
veces en muchos problemas porque hemos elegido el punto O y no cualquier
otro punto por ejemplo el P del sólido pues hemos elegido el punto O
porque el punto O es el origen de coordenadas de los ejes de referencia que
he tomado por tanto tiene coordenadas 0,0,0 y esto me facilita mucho las
operaciones del problema por eso es muy común tomar el punto O como punto
de referencia bien vamos a ver cómo determinaríamos el origen de ese
sólido con ese movimiento en primer lugar vamos a trazar el trihedro de
referencia que ya lo hemos trazado ya nos lo hemos adelantado con ejes
fijos el O, X y Z situado de tal forma que a ser posible se simplifique el
cálculo de velocidades en cualquier punto del sólido por ejemplo con su
origen de coordenadas O situado en un punto del sólido con velocidad nula
con alguno de sus ejes a ser posible el eje Z coincidiendo con la velocidad
de rotación omega mayúscula tal y como hemos visto que hay tal como hemos
puesto en la figura o bien por lo menos que el eje Z coincida con el eje de
giro o con el eje de rotación de arrastre que luego ya veremos en un
módulo posterior lo que esto significa esto del movimiento de arrastre y
el movimiento relativo lo indicaremos más en un módulo posterior en todo
caso todo esto que decimos aquí se verá con mucha más claridad en los
problemas de la colección que hemos propuesto en segundo lugar segundo
paso tracemos un segundo trihedral de referencia con ejes móviles el O,
X1, Y1 Z1 que hay en la figura lo veis eje X1 el Y1 este y el Z1 coincide
con el Z es un trihedral como siempre van a ser casi todos un trihedral
trirrectángulo los tres ángulos rectos de los tres ejes rectos 90 grados
y a derechas que significa que si avanzamos un sacacorchos del eje X al eje
Y siempre ese sacacorchos avanzará en la dirección positiva del eje Z
entonces este segundo trihedral de referencia con ejes móviles ha de ser
solidario al sólido S que queremos estudiar cuyo movimiento queremos
estudiar bien de tal forma trazaremos estos ejes de tal forma que a ser
posible uno de sus ejes en la figura el eje Z1 coincida con la velocidad
angular resultante del sólido en el punto O omega mayúscula o bien
coincida con el eje de giro de la rotación del movimiento de arrastre
cuando haya movimiento de arrastre cuando haya más de una velocidad
angular y asegurándonos siempre que el movimiento resultante de dichos
ejes coincida con el movimiento resultante del sólido esto es muy
importante lo hemos hablado anteriormente pero lo volvemos a recalcar por
la importancia que tiene los ejes móviles que nosotros pintemos han de ir
solidarios soldados digamos así al sólido cuyo movimiento queremos
estudiar por lo tanto el movimiento que tiene el sólido ha de ser igual al
movimiento que tienen estos ejes móviles que acabamos de tratar hacemos
girar dichos ejes móviles el OX1IZ1Z1 ahí en la figura un ángulo cita
igual a omega mayúscula por T alrededor del eje de rotación coincidente
con la velocidad de rotación omega mayúscula es decir, en este caso
alrededor del eje Z1 del sólido para representar una posición arbitraria
del sólido para no estudiarlo en un momento determinado sino en cualquier
otra posición bien, tercer paso determinemos expresándolo en forma
vectorial los siguientes vectores velocidad lineal en un punto
perteneciente al sólido en ese caso en el punto O el vector velocidad
angular del sólido en ese punto O omega mayúscula el vector OP de un
punto P del sólido cualquiera pero que ha de pertenecer al eje
instantáneo de rotación ¿cómo sé yo qué punto P elegir para que
pertenezca al eje instantáneo de rotación? de momento no lo sé porque es
lo que pretendo buscar el eje instantáneo de rotación con todo esto que
estoy haciendo por lo tanto el punto P será un punto que tiene velocidades
que son incógnitas que le voy a llamar XpYpZp de momento desconocidas a
continuación busco la velocidad que debe tener perdón, el par cinemático
que debe haber en el punto P como ya conozco el par cinemático del sólido
en el punto O pasarlo al punto P es muy fácil como ya sabemos de módulos
anteriores simplemente hay que aplicar la ecuación básica de la
cinemática del sólido rígido recalco que tanto el punto O como el P
pertenecen a un sólido rígido ese por lo tanto puede aplicarse la
ecuación básica esta aplicación me daría que la velocidad en el punto P
será igual a la velocidad lineal en el punto O más el producto vectorial
el vector omega mayúscula por el vector de posición OP y esto me daría
la velocidad en el punto P la velocidad angular es la misma, porque es un
vector libre el omega mayúscula seguirá siendo omega mayúscula en O, en
P o en cualquier otro punto vale, pues una vez ya determinada la velocidad
en el punto P ahora tengo que imponerle que cumpla la condición de que ese
punto es un punto del eje instantáneo de rotación si realmente ese punto
es un punto del eje instantáneo de rotación ha de haber en él una
velocidad Vp paralela al vector omega mayúscula o rotación resultante y
eso se pone a través de esta expresión el vector Vp ha de ser igual a un
número cualquiera lambda multiplicado por el vector de rotación esta
ecuación me va a dar desarrollándola poniéndola en forma vectorial e
igualando direcciones del primer miembro con las direcciones del vector del
segundo miembro me va a dar tres ecuaciones con tres incógnitas las tres
incógnitas son los puntos xp, yp, zp y me saldrán tres ecuaciones
entonces con las incógnitas xp, ip, zp estas tres ecuaciones conforman
precisamente son las ecuaciones precisamente del asoide pero siguen vamos
no saltemos en dos pasos punto cuarto de la igualdad anterior igualando
términos como hemos dicho saldrán las ecuaciones que determinarán el eje
instantáneo de rotación generalizado pues están dadas en una posición
arbitraria cualquiera ¿eh? entonces en forma de coordenadas xp como una
función del tiempo yp como una función del tiempo y zp como una función
del tiempo o bien también podrían salirnos xp como una función del
parámetro cita yp como una función del parámetro cita y zp como una
función del parámetro cita me da igual que el parámetro sea el ángulo
cita que sea el tiempo t saldrán tres ecuaciones que son las ecuaciones
paramétricas en el caso de que el parámetro sea el ángulo cita o
ecuaciones horarias en el caso de que el parámetro sea t de las diferentes
posiciones que va ocupando el eje instantáneo de rotación si esas
coordenadas xp yzp están referidas al trihedral de ejes móviles perdón,
fijos ox y z serán todas las posiciones del eje instantáneo de rotación
a medida que avanza el tiempo es decir lo que hemos llamado la soy de fijo
y si esas coordenadas xp y pzp están referenciadas a los ejes móviles ox1
y su1 z1 serán las posiciones que va tomando el eje instantáneo de
rotación a medida que varía el tiempo vistas por un observador móvil
situado sobre los ejes móviles es decir es lo que hemos llamado el asoide
móvil paso quinto sería de las ecuaciones del eje instantáneo de
rotación generalizadas traídas del apartado anterior eliminaremos el
parámetro cita o el parámetro t para sacar las ecuaciones ya no
paramétricas ya no horarias sino en coordenadas cartesianas de la soy de
fijo si las coordenadas xp y pzp estaban referidas a los ejes fijos o bien
de la soy de móvil si las coordenadas xp y pzp estaban referidas a los
ejes móviles lo más fácil es empezar por los ejes fijos por lo tanto
habré obtenido en el paso quinto la ecuación de una superficie que me
define el asoide fijo el asoide visto por los ejes y lo he pasado a
coordenadas cartesianas de forma implícita o explícita porque simplemente
es más fácil muchas veces saber identificar a partir de la ecuación qué
tipo de superficie me sale ahí qué tipo de superficie es la que genera el
asoide fijo esto muchas veces lo veo mejor a través de las ecuaciones en
coordenadas cartesianas que a través de las ecuaciones paramétricas o de
las ecuaciones horarias por eso he dado el paso quinto porque en realidad
con el paso cuarto ya tendría la superficie del asoide fijo sin necesidad
de dar el paso quinto normalmente repito es mejor dar el paso quinto porque
puede identificar perfectamente de forma más clara la superficie que me ha
salido como asoide fijo que quiero determinar el asoide móvil una vez
tenido el fijo paso sexto encontraremos las ecuaciones del cambio de
coordenadas de ejes fijos a ejes móviles a través de la matriz para pasar
de coordenadas en ejes fijos a coordenadas de ejes móviles y tendremos ya
las mismas ecuaciones que el paso cuarto pero referidas a coordenadas en
ejes móviles es decir hemos pasado del asoide fijo al asoide móvil
finalmente bien hemos dicho ya el paso sexto y el paso séptimo la misma
cosa de esta forma están definidos los asoides fijos y móviles de un
cuerpo que tiene un movimiento de un cuerpo sólido que tiene un movimiento
determinado y posiblemente todo este rollo haya resultado a veces poco
clarificador o nada clarificador si no se ven los ejemplos que ahí se han
puesto y que aparecen en la colección de problemas repito soy consciente
de que todos estos pasos descritos hasta aquí así fríamente aunque
lógicamente se derivan de conceptos que ya se han visto anteriormente pero
bueno difícilmente van a ayudar a crear una imagen clara la primera vez
para alguien que no haya visto esto nunca sobre cómo se resuelven este
tipo de problemas sin embargo como he dicho anteriormente y se analiza con
cuidado los ejemplos propuestos ahí este procedimiento será muy útil
para la resolución analítica de este tipo de ejercicios estoy seguro de
que al final el alumno lo agradecerá bien, seguimos algunas veces bastante
a menudo aparecen problemas de determinación de asoides que a primera
vista son complejos vistos desde el punto de vista de la filosofía si uno
se para a razonarlo con detenimiento tratando de ver mentalmente el
movimiento del cuerpo la localización también de sus centros
instantáneos de rotación y el movimiento temporal cómo se va moviendo el
verlo, el imaginarlo el tener mentalmente sin empezar a hacer el problema
saber por dónde más o menos van a ir los tiros vamos a ver un ejemplo que
suele aparecer en muchos problemas, de muchos exámenes etc, etc se trata
de un sólido con dos movimientos de rotación pero con unas
características muy particulares con dos concretamente la primera es que
esos movimientos de rotación son constantes, es decir no dependen del
tiempo no varían su módulo no varía con el tiempo vamos a llamar a un
omega, ahí lo veis en la figura vemos que tenemos unos ejes un triedro de
referencia de ejes fijos el O, X y Z que tenemos un cuerpo que no está
dibujado en la transparencia para no confundirlo más hay más rayas pero
bueno, ahí habrá un cuerpo que tiene estos movimientos concretamente dos
rotaciones está representado por ese vector vertical que ves ahí y otro
omega R está representado por ese vector esa es la primera característica
tanto omega A como omega R han de ser constantes en el tiempo no
dependientes del tiempo la segunda es que omega A y omega R las dos
velocidades angulares que lleva el sólido sean concurrentes en un punto en
este caso la hemos puesto concurrentes las dos velocidades bien, pues en el
caso de que el cuerpo tenga estas características que acabo de citar que
son muchas se da muy comúnmente en la vida práctica diaria y luego por lo
tanto en los problemas veamos cómo determinamos de una forma sencilla los
azoides fijo y móvil la realización del eje instantáneo de rotación se
simplifica enormemente de la siguiente forma en una posición arbitraria
cualquiera del sólido vamos a determinar la velocidad angular resultante
omega por ejemplo hemos puesto el sólido en una posición tal que las
velocidades angulares omega A y omega R conjuntamente formen un plano que
es el plano T se ha llamado que como veis tiene una traza es decir una
intersección con el eje OXI que es la OX1 y una traza el plano es el que
veis ahí que está sombreado tiene unos reflejos de color lápiz que han
salido poco remarcados pero creo que se ven perfectamente este plano en un
momento determinado en una posición es la que veis ahí marcada con el eje
OX1 que es la traza o la intersección con el plano OXI horizontal la suma
de los dos vectores omega A y omega R que da omega mayúscula la suma
vectorial de las dos rotaciones que componen el movimiento vamos a
considerar que una de las rotaciones la omega su R la vamos a llamar
rotación relativa y la otra que hemos denominado como omega A le vamos a
llamar rotación de arrastre en un módulo posterior ampliaremos estos
conceptos pero de momento nos vale esto que acabo de decir la dirección de
la rotación resultante omega mayúscula coincidirá con la dirección de
las características fundamentales del eje instantáneo de rotación que ha
de coincidir su dirección con la dirección del vector omega resultante
por lo tanto ya sabemos que el eje instantáneo de rotación tiene la misma
dirección que el vector omega pero además como en el punto O la velocidad
es cero el eje instantáneo de rotación ha de pasar obligatoriamente el
eje instantáneo de rotación es muy fácil de determinarlo ahí lo hemos
pintado con esta línea que va de O a donde pone E punto I punto R ese es
el eje instantáneo de rotación y el conjunto de los tres vectores como
hemos dicho antes y el eje instantáneo de rotación forman el plano P que
hemos sombreado en la figura al que nos referimos hace un momento vale,
tracemos a continuación dos ejes móviles tríedros a derechas con origen
en O de tal forma que uno de los ejes coincida con cada una de las
direcciones de omega A y omega R veis que la dirección de omega R coincide
con el eje XU2 de un tríedro móvil que tiene como eje X el X2, como eje Y
el Y2, perpendicular al X2 y como Z2 se ha dibujado ahí el Z2 y lo mismo
con el otro vector omega A se ha puesto un eje que coincida con el mismo
vector en ese caso es el Z1 a continuación se ha dibujado el X1 y el Y1
que coincide en este caso hemos dibujado primero un tríedro fijo de ejes
fijos O, X y Z y luego dos tríedros móviles uno con la velocidad de
rotación omega R que es el XU2 y otro también móvil que se mueve con la
velocidad de rotación omega A que es el X1 Y1 Z1 con la característica de
que siempre uno de los ejes coincide uno de los ejes de cada uno de estos
tríedros móviles que acabamos de marcar coincide con la dirección de una
de las velocidades angulares de que está compuesto el cuerpo tener en
cuenta siempre lo he dicho antes dos o tres veces pero no me canso de
repetirlo que el movimiento resultante de los ejes, de todos los ejes que
hemos pintado los dos en este caso tríedros móviles el movimiento
resultante de los dos tríedros móviles ha de coincidir con el movimiento
resultante del cuerpo para que el problema vaya adecuadamente resuelto al
hacer rotar el plano P con el movimiento de arrastre omega A ejes OX1 Y1 Z1
el eje instantáneo de rotación trazado previamente anteriormente formará
una superficie que será la correspondiente al azoide fijo y que además
será un cono de vértice O y de eje coincidente con la dirección de omega
A es decir, el azoide fijo será un cono una superficie cónica que se
deriva de hacer rotar el eje instantáneo de rotación alrededor del eje
representado por coincidente con la dirección de omega A eso sería el
eje, perdón ese cono sería el azoide fijo y el azoide móvil sería hacer
rotar el eje instantáneo de rotación alrededor del eje que pasa por la
velocidad omega R velocidad de rotación que le hemos llamado relativa que
formaría otro cono con vértice en O uno sería el azoide fijo y el
segundo el azoide móvil el azoide móvil a medida que se va moviendo el
cuerpo va rotando sobre el cono fijo y me va identificando en todo momento
la posición el eje instantáneo de rotación en esos ejemplos que figuran
ahí al final de la diapositiva se ve claro, muy claro esto que acabo de
decir claro, todo este procedimiento que acabo de decir para un caso muy
concreto que es un sólido que tiene dos rotaciones solamente constantes en
el tiempo y que concurren en un punto O las dos rotaciones va es una forma
muy sencilla de determinar los azoides fijo y móvil razonándolo como lo
hemos razonado hasta ahora con lo cual ya no hará falta determinar las
superficies azoide móvil y fija de forma analítica que ya veréis en
algunos problemas que os he enviado como a veces se complica esta forma
pero si en los azoides móvil y fijo se ven claramente sin necesidad de
realizar cálculo analítico pues es mucho más rápido, mucho mejor y
mucho más recomendable y este ejemplo que os acabo de decir es un ejemplo
de ello que va a salir muy, muy a menudo en los estudios bien, hasta ahora
todo lo que hemos tratado es válido para determinar el campo de
velocidades de un sólido pero no el campo de aceleraciones en este caso
para las aceleraciones todo lo que hemos dicho de determinar el eje
instantáneo de rotación y ver cómo se mueve en el espacio a través del
tiempo ayudado por ello por los azoides fijos y móviles todo esto ya no
nos sirve de nada desde el punto de vista de cálculo de aceleraciones si
nos ha servido para calcular velocidades pero no nos va a servir para
calcular aceleraciones necesitamos otra cosa existen otros conceptos
similares al eje instantáneo de rotación y azoides que nos servirán para
el campo de aceleraciones pero lo dejaremos un poquito más adelante para
próximos módulos de momento contentémonos de momento con conocer los
procedimientos más generales y básicos para el cálculo de aceleraciones
de un sólido una expresión que nos daba el campo de velocidades en un
sólido y que llamábamos ecuación básica de la cinemática del sólido
que estaba expresada como ya sabemos a través de esta expresión la
velocidad en un punto P cualquiera es igual a la velocidad lineal en otro
punto O más el producto vectorial del vector omega rotación resultante
por OP bueno pues exactamente igual que esto podemos deducir una ecuación
similar válida solamente para un sólido rígido y que nos determine el
campo de aceleraciones en lugar de velocidades para ello no tenemos más
que derivar con respecto al tiempo la expresión anterior la derivada de la
velocidad con respecto al tiempo ya sabemos que es la aceleración si
hacemos estas operaciones observaremos que la expresión similar a la
cinemática básica para cálculo de velocidades pero en el caso de
aceleración sería esta que veis aquí o mejor dicho si llamamos alfa a la
aceleración angular es la variación del vector velocidad angular
resultante con respecto al tiempo tendremos esta ecuación que es la
aceleración en un punto P es igual a la aceleración en otro punto O más
la aceleración angular por OP más el doble producto vectorial de vector
omega por vector omega por OP ojo aquí lo mismo que he dicho para la
ecuación básica que nos daba velocidades es muy importante no cambiar la
dirección de los vectores porque entonces nos irá mal el problema si en
vez de poner OP ponemos PO ya la hemos fastidiado bueno pues esta es una
expresión como veis muy similar con los mismos conceptos etc, etc a la
ecuación básica de velocidades pero en este caso que nos vale para
calcular aceleraciones aceleraciones absolutas es decir aceleraciones con
respecto a los ejes fijos ahí en la parte derecha tenéis la figura
tenemos unos ejes fijos X1, Y1, Z1 tenemos un cuerpo sólido que está
representado por esa línea azul que veis ahí especie de delice y tenemos
un punto O de ese cuerpo en cuyo punto conocemos un par cinemático la
velocidad y la aceleración que nos define el movimiento en cualquier otro
punto del cuerpo como ya sabemos también tenemos en ese punto O la
aceleración angular del cuerpo generalmente como ya sabemos las
aceleraciones angulares tienen las mismas direcciones que las velocidades
angulares no quiere decir esto que tenga el mismo sentido pueden tener el
mismo sentido o sentido contrario pero la recta que contiene al vector
omega es la misma que contiene al vector alfa bien, pues conocido alfa,
omega y la velocidad en un punto O yo puedo calcular la aceleración en
cualquier otro punto P sin más que aplicar la ecuación básica de la
cinemática para aceleraciones y determinaría la aceleración en el punto
P exactamente igual de la misma forma con el mismo criterio, etc que lo he
hecho con la ecuación básica de la cinemática para cálculo de
velocidades en el punto VP aquí bueno hago la bueno vamos a ver terminar
vamos a seguir a profundizar un poquito más en la ecuación que acabamos
de ver básica, llamamos básica de la cinemática del sólido rígido pero
para cálculo de aceleración gamma su O en el punto O aceleración en el
punto O es la aceleración de los ejes móviles O, X y Z que veis que hemos
trazado ahí en el punto O hemos trazado unos ejes un triedro de referencia
O, X y Z que va solidario que se mueve con respecto a los ejes fijos O, X
su 1, Y su 1, Z su 1 pero que no tiene movimiento de rotación el
movimiento de rotación lo tiene el mismo cuerpo el mismo sólido ese
alrededor de dichos ejes móviles alrededor del punto O por ejemplo pero
los ejes O, X e Y pintados en verde son ejes que se mueven con una
determinada velocidad e incluso puede ser que se muevan también a veces en
algunos problemas con alguna velocidad de rotación pero dichos ejes no
tienen movimiento o sea, además de los movimientos que acabo de citar el
cuerpo tiene un movimiento de rotación que hemos llamado omega mayúscula
y que está representado por ese vector de color rojo similar que veis ahí
es la rotación del cuerpo alrededor de los ejes móviles O, X y Z ¿de
acuerdo? entonces gamma su O representa la aceleración de los ejes
móviles O, X y Z con respecto a los ejes fijos O, X y Z el segundo sumando
alfa vectorialmente por OP alfa multiplicado vectorialmente por OP
representa la aceleración tangencial del punto P consecuencia de la
variación del módulo de la velocidad Vp con respecto al tiempo y el
tercer sumando este doble producto vectorial representa ni más ni menos
que la aceleración normal del punto P como consecuencia de la variación
de la dirección del vector velocidad Vp con el tiempo es decir, aquella
aceleración que obliga al punto P a seguir una trayectoria curvilínea
fijémonos en un detalle importante en el ejemplo de la figura al cual se
le ha aplicado la ecuación básica de la aceleración los ejes móviles O,
X y Z como ya he dicho hace un momento no tienen movimiento de rotación
sólo lo tienen de traslación V0 está representado por el vector V0 con
respecto a los ejes fijos es el sólido el sólido de color azul el que
rota con velocidad omega mayúscula alrededor del punto P en la ecuación
básica aparece el vector OP de vector ahí y ahí aparece el vector OP
porque nos estamos centrando en el punto O porque hemos tomado como origen
el punto O de rotación sino aparecería otro vector diferente esto es
importante sin embargo lo tenéis muy claro perfectamente cuando veáis
estos ejemplos y finalmente ya para acabar con este módulo vamos a ver la
derivación vectorial en ejes móviles una situación que nos aparece muy a
menudo en los problemas de cinemática es la de un vector puede ser una
velocidad lineal puede ser una velocidad angular representado en unos ejes
móviles tal y como veis ahí en la figura de la derecha tenemos unos ejes
fijos el O y luego unos ejes móviles O que se mueven con respeto a los
fijos con un movimiento determinado que está representado ahí en la
figura como un vector lineal V y un vector velocidad angular omega estos
ejes móviles O tienen a su vez un movimiento de rotación omega aparte del
de traslación V si la solución al problema que estamos resolviendo que
vamos a resolver exige la derivación del citado vector con respecto a los
ejes fijos O1, X1, Y1, Z1 por ejemplo queremos pasar de velocidad a
aceleración conocemos la velocidad el vector velocidad representado en los
ejes móviles que figura ahí y queremos calcular la aceleración del punto
por lo tanto lo que debemos hacer es derivar el vector V con respecto al
tiempo pues esta operación se simplifica derivando primero en los ejes
móviles considerados como fijos esos ejes de color rojo que se han pintado
ahí que son móviles con respecto a los O1, X1, Z1 conectados a los ejes
móviles primero en esos ejes móviles considerados como fijos aunque se
mueven los consideramos que están quietos y luego de hacer esa derivación
que sea una derivación sencilla hay que añadirle el término
complementario de Poisson recordemos concepto del cálculo vectorial para
trasladar el resultado de esa derivación a los ejes fijos ahí en la
figura se representan los trihedral que hemos llamado 1 hemos marcado como
sólido 1 que es un sistema de referencia fijo y otro sólidos móviles el
O, X y Z que lo hemos marcado como 0 que es móvil y hemos dibujado el
vector velocidad en ejes fijos que es un cuerpo un sólido que lleva un
vector que lleva una velocidad V y que perdón y además vamos a ver el
vector V está representado en los ejes móviles que son el O, X y Z y
estos ejes móviles tienen una rotación alrededor de O que se le ha
marcado como el vector V expresado en coordenadas del sistema 0 podemos
derivarlo con respecto al tiempo en el sistema fijo 1 fijaros que en muchos
problemas tendremos un vector velocidad en un cuerpo que se mueve que rota
y tendremos un vector velocidad que está rotando con el cuerpo queremos
calcular la aceleración pero la aceleración absoluta eso significa que
tenemos que calcular la aceleración con respecto a los ejes fijos no a los
móviles estamos explicando cómo hacerlo decimos primero es mejor derivar
el vector V en los ejes móviles considerado que estuvieran como fijos por
lo tanto de fácil derivación y a continuación traslademos ese resultado
a los ejes fijos ¿cómo? añadiendole el término de Poisson
complementario hagamos por ejemplo que si presentamos los ejes móviles de
forma vectorial sería V igual a su componente según la dirección x por y
más la componente en la dirección y por j derivemos con respecto al
tiempo para calcular la aceleración derivada de V respecto de t será como
ya sabemos derivar las reglas de derivación en cálculo vectorial pues es
la derivada del primero derivada de V sub x respecto de t un módulo, un
número multiplicado por el vector y más la derivada del primero sin
derivar que es V sub x multiplicado por la derivada del segundo que es
derivada de un vector unitario y con respecto a t lo mismo para la
componente y derivada de la componente y con respecto a t por j más V sub
y y lo mismo con respecto a la esta es la derivada del vector v en el
sistema uno los tres primeros términos del segundo miembro representan la
derivada respecto al tiempo que haría, que vería un observador ligado al
sistema móvil cero suponiendo que el sistema móvil está parado
considerándolo está parado vale entonces el observador que va en el
sistema móvil cero deriva con respecto al tiempo los módulos de cada
componente sin ningún problema y les añade la dirección de su eje
correspondiente eso está representado en los tres primeros sumandos,
porque claro los versores i, j y k de esos ejes son invariables como los
ejes rotan con el individuo que va dentro el individuo que va dentro no ve
rotar los ejes porque rota con ellos por tanto piensa que los ejes están
quietos, están inmóviles los tres últimos términos sin embargo
representan al vector producto vectorial de el vector omega que hace rotar
al vector v multiplicado por el vector v que es el que estoy derivando este
es el término complementario de Poisson por lo tanto quedará finalmente
la expresión esa que veis ahí derivada de la velocidad con respecto al
tiempo o derivada de v ya no quiero decir velocidad porque eso podría ser
una velocidad podría ser un vector de posición podría ser una
aceleración podría ser cualquier cosa, es un vector derivada de un vector
con respecto al tiempo en un sistema de ejes fijos uno es igual a la
derivada del vector con respecto al tiempo en el sistema de ejes móviles
cero más un término complementario que es el producto vectorial del
vector que hace rotar a v omega multiplicado vectorialmente por el propio v
que es el vector que estoy derivando esto lo vamos a utilizar muy a menudo
en los problemas como ya veréis y esto es todo lo que quería decir