Bien, pues vamos, vemos la pantalla. Bueno, antes de nada, recordaros para
los que no miráis el foro todos los días, que tengo que decir, aprovecho,
que se debería mirar porque yo es el único sitio que utilizo para
comunicaros con vosotros. Entonces, recordaros que había dos grabaciones,
las dos penúltimas, que estaban con ruidos y, bueno, pues las he vuelto a
regrabar, ¿vale? Entonces están regrabadas, ahora ya creo que no tienen
ruido, por lo tanto podéis verlas sin el costón ese que es el ruido.
Bueno, hoy... A petición de alguno de los alumnos, vamos a ver dos cosas
que, bueno, ya se daban como sabidas, por lo menos alguna de ellas, y otra,
y una, una tercera, pues es un poco aclarar algunos conceptos que he visto
que algún alumno no los tenía todavía claros. Entonces vamos a empezar
por esto. Si no tenéis alguna pregunta... Que es lo primero. Si tenéis
alguna pregunta por favor me la planteáis y si no yo continúo adelante
con estos temas que traía hoy preparados. Bien, uno es el tema de cambio
de bases de vectores y a los que habéis visto la grabación en el módulo
correspondiente ahí donde se trata el movimiento del cuerpo sólido
concretamente en el tema relacionado con los asoides fijos móviles, ya
sabéis que el asoide fijo es muy fácil de calcularlo pero luego para
pasarlo al móvil, es decir verlo desde el punto de vista de un observador
que va situado o está ligado a los ejes móviles lo único que hay que
hacer es valerse de las ecuaciones que habíamos sacado para el cuerpo o
para el asoide fijo pero pasarla simplemente a los ejes móviles, es decir
se trata de una traslación de un cambio de sistema de ejes coordenados y
esto que es un sistema, una operación de álgebra que se debería conocer
pues bueno algún alumno de los que asisten a esta tutoría me ha planteado
el tema de que por qué no lo recordaba y tal porque hay muchos problemas.
Hay muchos problemas en donde efectivamente se pide esto, bueno pues vamos
a recordarlo así muy brevemente sin meterse en profundidad porque esto es
un tema de álgebra no un tema de mecánica. Muchas veces necesitamos
cambiar como dice ahí la diapositiva las coordenadas o componentes de
ciertos vectores localizados en unos ejes a otros ejes diferentes, es lo
que se conoce como cambio de base y lo vamos a recordar aquí. Para hacerlo
más comprensible. Y sencillo. para no liarnos ahí en operaciones vamos a
trabajar en el plano pero vamos a tener en cuenta que el procedimiento que
vamos a exponer aquí en el plano es el mismo para el espacio de tres
dimensiones no hay nada más que añadirle la dirección Z que no existe en
el plano y que luego va a existir en el espacio pero si lo hacemos con las
tres dimensiones X, Y, Z pues iba a resultar primero un tiempo demasiado
largo para este asunto y segundo más difícilmente entendible por lo tanto
lo vamos a hacer en el plano que es más fácil de comprender aquí veis
esta transparencia como existen dos ejes coordenados con las dos
dimensiones X, Y, 1 le hemos llamado el eje 0 ya sabéis lo que habéis
mirado el último módulo de composición de movimientos que a los sólidos
incluidos los ejes también como sólidos los nombrábamos con un numerito
0, 1, 2, 3, 4, 5 los que haya y este numerito lo prendíamos por decirlo de
alguna forma al sólido en este caso a los ejes X, Y de esta forma que veis
ahí en la diapositiva poniéndolo en un semicírculo y dentro el numerito
los ejes X, Y el X horizontal y el Y vertical le hemos llamado 0 y hay
otros ejes en este caso para facilitar la labor los hemos puesto con el
mismo origen de coordenadas que le hemos llamado X, 1, X, 1 que están
girados un ángulo de cita con respecto a los anteriores y que le hemos
llamado ejes 1 Entonces, en un momento determinado yo conozco las
componentes, por ejemplo, las coordenadas de un punto en los ejes cero y me
interesa pasarlo a los ejes uno. ¿Qué coordenadas tendría ese punto o
ese vector pero en el eje uno? O viceversa, las tengo determinadas en el
eje uno y me pregunto cuáles serían sus coordenadas o sus componentes en
los ejes cero. Eso es lo que vamos a tratar hoy. Por ejemplo, para pasar de
coordenadas de los ejes uno a coordenadas de los ejes cero, lo que vamos a
hacer siempre es poner los versores unitarios que identifican las
direcciones de cada eje. La dirección del eje X la identifica el vector y
latina. La del eje Y, el J. La del eje X1. El versor Y es uno. Y la del eje
Y es uno, el versor J es uno. Recordar que llamamos versores a unos
vectores de módulo unidad y que lo único, para lo único que valen es
para identificar las direcciones con las que... Pues quiero pasar de
coordenadas de los ejes uno a los ejes cero. Entonces, lo que hago es
proyecto los versores de los ejes uno sobre los ejes cero. Simplemente.
Digo. Entonces, que el versor Y del eje cero será igual a las proyecciones
de los vectores, de los versores Y1 y J1 sobre el eje X. Proyectémoslo. El
Y1 proyectado sobre el eje X es Y1 por coseno de zita. Para esto habrá que
restarle la proyección del J1 sobre el eje X, que es negativa, como veis
ahí. ¿Por qué? Porque va hacia la parte negativa. Negativa de las ejes.
Por tanto, menos J1 por seno de zita. Ya tengo los versores de los ejes 1
proyectados sobre la dirección x del eje 0. Y ahora voy a hacer lo mismo
pero con la dirección y. Digo que el vector j, que es el que me identifica
la dirección del eje y, será igual a la suma de las proyecciones de los
vectores y su 1 y j su 1 sobre dicho eje. Entonces la proyección del
vector y su 1 sobre el eje y será y su 1 por seno de cita. Pero a este
habrá que sumarle la del versor j su 1 sobre el eje y, que sería j su 1
por coseno de cita. Una vez hecho esto, lo pongo en forma matricial. Es lo
más fácil. Digo, los versores... Los versores de la izquierda, de la
igualdad, el y y j, los pongo así en forma matricial, en columna. Y j.
Luego tengo los versores de la derecha, que es y su 1 j su 1, que los pongo
también en forma de columna, de forma matricial. Y su 1 j su 1. Y en el
medio pongo lo que es la matriz de transformación, que son la matriz que
veis ahí en las ecuaciones de la izquierda que acabamos. De ver, coseno de
cita, pues coseno de cita. Menos seno de cita, menos seno de cita. Seno de
cita abajo, en la segunda ecuación, seno de cita. Ordenado con el mismo
sentido y el mismo signo que en la ecuación. El coseno de cita con el
coseno de cita. Si hacemos este producto de dos matrices, la matriz A por
la matriz y su 1 j su 1, me sale la misma ecuación... Y tengo en cuenta la
igualdad, es decir, esa matriz que veis ahí a la derecha. el producto ese
de matricial que veis ahí, me sale la misma ecuación que veis a la
izquierda, por lo tanto no he hecho nada raro simplemente las ecuaciones de
la izquierda las he puesto en forma matricial a la derecha. Muy bien, pues
la matriz esta A que me ha salido ahí, se llama matriz de cambio, y yo
digo que si en vez de poner el verso unitario y pongo la coordenada de un
punto, que sería X, porque el Y me identifica la dirección X, y si en vez
de poner el verso unitario J pongo la coordenada del punto en esa
dirección J, que es I si en vez de poner el verso IS1 pongo la coordenada
de X1 correspondiente, y lo mismo con en vez de poner J es 1, pongo IS1, la
matriz A sería la misma por lo tanto me da igual poner IJ que XY IS1, J es
1, que coordenadas de X1 IS1, si yo desarrollo, pues la matriz sería en
vez de A, sería una matriz 2x2, sería de 3x3 porque me falta la
proyección de la componente Z, sería de 3x3 pero el procedimiento a
seguir es el mismo por lo tanto, si en vez de poner A y J pongo XY pues me
saldrían las ecuaciones estas que veis aquí abajo, que son las mismas que
arriba pero sustituido los versores por ya, por coordenadas y ya tengo
transformadas las coordenadas de los ejes X1 y Z1, pasadas a las
coordenadas del eje XY, es decir, de los ejes 0 de esa forma, ¿vale?
Ahora, también podría ser al revés, también podrían decir no, es que
las coordenadas tú las tienes en los ejes 0 y yo lo que quiero hacer es
pasarlas al eje 1 lo hemos hecho Bueno, pues el procedimiento sería
exactamente lo mismo que hemos hecho antes. Pero en lugar de proyectar los
vectores I1 y J1 sobre los IJ, ahora es al revés. Tengo que proyectar los
vectores IJ sobre los I1 y J1 y me daría una matriz similar a la anterior.
Sería la matriz de cambio de base. Ah, pero es que hay una forma más
fácil de hacerlo. Bueno, claro que hay una forma más fácil de hacerlo,
porque yo, si me acuerdo de operación con matrices, digo que puedo cambiar
y pasar la matriz X1, I1, dejarla en la parte izquierda, o sea, puedo
multiplicar, en definitiva, por A-1 por la izquierda, las dos matrices de
los dos miembros de la igualdad, y como me quedaría... en la segunda
igualdad, en el segundo miembro, A elevado a menos 1 por A, matriz inversa
por matriz, sería la matriz unitaria. Entonces me quedaría esto que veis
aquí. X1, I1 igual a A a la inversa, matriz inversa de A, multiplicado por
XY, que me da las coordenadas en los ejes 1 partiendo de las coordenadas de
los ejes 0. Es decir, todo lo contrario a lo que he hecho anteriormente.
Repito, para pasar de coordenadas de ejes 1 a ejes 0, lo que tengo que
proyectar es los vectores 1, inversores 1, sobre los 0. Y ahí buscar la
matriz de cambio de base, la A. También podría hacer al contrario, si
quiero pasar desde los 0 a los 1, proyectando los vectores I y J, que
están en los ejes 0, sobre los I1, J1, que están en el... en los ejes 1.
exactamente como he hecho antes pero al revés entonces me saldría otra
matriz diferente ¿vale? pero os digo, es mucho más fácil, si ya parto de
la matriz A como conocida, la vuelta se la doy multiplicando por la matriz
inversa están los dos miembros de la igualdad y me saldría la ecuación
que veis abajo, X1 Y1 igual a matriz inversa de A por XI, ahora me diréis
si joder, claro es que ya no puedo recalcular una matriz inversa digo, no
hace falta la cosa es tan sencilla que no hace ni falta recordar mucho de
eso porque estamos hablando de unas matrices muy especiales son matrices
ortogonales ya que todas estas bases de vectores son ortogonales, ¿qué
significa ortogonales? que son perpendiculares entre sí, el I es
perpendicular al J, el I1 es perpendicular al J1, si tuviéramos a tres
dimensiones, el I sería perpendicular al J y perpendicular al K cuando se
trata de inversores normales perpendiculares uno a otro la matriz que nos
sale de cambio de base siempre es ortogonal y una matriz ortogonal recordar
que la inversa de una matriz ortogonal es su traspuesta simplemente habrá
que calcular la traspuesta de A y esa es la inversa de A ¿cómo se calcula
la respuesta? pues lo que eran filas pasaron a ser columnas simplemente
entonces la inversa de la matriz A que vemos arriba será esta que veis
aquí abajo lo que eran antes filas coseno y menos seno en la primera fila
ahora pasa a ser la primera columna coseno y menos seno, la segunda fila
que antes era seno coseno ahora pasa a ser la segunda columna, seno coseno
esa ya es la matriz ¿por qué empecé yo pasando de coordenadas de los
ejes 0 a coordenadas de los ejes 1. ¿Por qué? Para mí es lo más fácil.
Fijaros que para mí es muy sencillo proyectar el vector isu1 sobre el i y
el jsu1 sobre el j, por ejemplo, que al revés, proyectar el i sobre el
isu1 o el j sobre el jsu, son igual de fáciles. Pero bueno, a mí me
parece más que lleva menos equivocación hacer como yo lo he hecho. Da
igual hacerlo de una forma que de otra, porque luego la inversa siempre...
Y de esta forma tan fácil es como se pasa de un sistema de vectores a
otro. Ahora bien, me diréis vosotros también, claro, joder, es que tú
has elegido un ejemplo más sencillo que la leche. Primero, me has elegido
en dos dimensiones. Vale, vale, tres. Y segundo, es que has elegido dos
sistemas que tienen el mismo origen de coordenadas. Oh, claro, así
cualquiera. Y bueno, vale, pues tenés razón. No siempre va a ser así, de
fácil. Puede ser que los dos sistemas no tengan el mismo origen de
coordenadas. Vamos a ver qué había que hacer entonces. Si no coinciden
los orígenes de coordenadas hay que sumarle simplemente la coordenada del
origen. Aquí lo tenéis. Los mismos ejemplantes, pero con dos orígenes de
coordenadas. Uno el O y el otro el I. Pues entonces, el sistema es el mismo
que antes. Es decir, la matriz de cambio de base A es la misma de antes. Lo
que ocurre es que ahora a lo que hemos hecho antes habrá que sumarle otra
matriz que son las coordenadas del nuevo origen de coordenadas de los ejes
U. X o 1 Es de fácil. Y ya está. En tres coordenadas en el espacio,
bueno, de acuerdo, hay que hacer más operaciones, pero el sistema es el
mismo. Con la salvedad de que los problemas que tratamos nosotros casi
siempre, los dos sistemas de coordenadas, incluidos los del espacio, los de
tres dimensiones, casi siempre tienen un eje en común. Por ejemplo, tienen
el eje Z en común. Y lo único que cambian es las direcciones de los ejes
X e Y. Entonces estamos en el mismo caso que este, que en el plano. Porque
las coordenadas son las mismas en los dos ejes. Entonces, si partimos del
origen, se parte del punto O para los dos ejes, las coordenadas Z son lo
mismo, no cambia ninguna. Da igual en los ejes 1 que los 0. Las coordenadas
X e Y sí cambian, pero esas las sabemos hacer. Son las mismas que el
plano. Bien, pues, en los problemas que os mandé de la colección van
algunos, donde hay que hacer esto y ya va explicado y hecho. Bien. Esta era
una de las cosas que quería yo recordaros. Y hay otras. Vamos a seguir.
Derivación de vectores. También es un tema muy común. Cuando estamos
estudiando el movimiento de sólidos, es muy común calcular, por ejemplo,
aceleraciones angulares. a partir de las velocidades angulares, es decir,
conocidas. Los vectores velocidad angular nos piden calcular el vector
aceleración angular. Esto es muy común. Por eso, porque hay algún alumno
que ya me ha planteado series de dudas sobre este tema, conviene hoy
recordarlo. Los vectores velocidad pueden variar con el tiempo, pero no
solamente en modo. Ya sabemos que un vector tiene dos variables, o tres.
Tiene un módulo, que es la longitud del vector, tiene la dirección, que
es la de la recta que lo contiene, y tiene el sentido. Entonces los
vectores velocidad, como todos los vectores, pueden variar con el tiempo,
pero pueden variar de dos formas sobre todo. Primero, su módulo. Puede
cambiar su módulo con el tiempo, manteniendo la dirección. Ahí no hay
ningún problema. Si yo quiero calcular la velocidad a partir de un vector,
la aceleración a partir de un vector que cambia de módulo solamente, pero
mantiene dirección, pues es la derivada del módulo con respecto al tiempo
y punto. Y no hay más historia. Ah, pero es que hay muchas veces que esos
vectores... Y cuando cambia de dirección, cambia el vector velocidad. Y
cuando hay un cambio de vector velocidad con el tiempo, hay una
aceleración. Por tanto, cuando derivamos un vector, debemos tener siempre
presente qué varía de ese vector con el tiempo. Si varía su módulo
solamente, entonces es una derivada de un escalar y punto con respecto al
tiempo, o si varía también su dirección, con lo cual hay que hacer algo
más. En este módulo vamos a aprender a determinar cada una de estas
variaciones, aceleraciones. Además, repartiremos a cada uno de nosotros,
los observadores del movimiento, las tareas de determinar cada una de las
diferentes... Aquí hay que tener en cuenta, lo que quiero decir es que
vamos a estar generalmente con movimientos, con composición de
movimientos, donde va a haber como mínimo dos movimientos. Uno relativo y
otro de arrastre. Y es precisamente el movimiento de arrastre el puñetero
que me va a hacer variar el vector de velocidad angular relativa. ¿Vale?
¿Vale? Esto es lo que quiero decir, que voy a repartir la tarea entre el
observador que ve el movimiento relativo y el observador que ve el
movimiento de arrastre, y a cada uno le voy a dar la tarea de decir cuánto
varía este vector con el tiempo. Derívame el vector con el tiempo. Tú
sí a este porque lo ves variar, tú no porque no lo ves variar, por lo
tanto le toca al otro. Vamos a repartir esas tareas. Bien. Bien, ahí en el
dibujo ese que veis ahí a la derecha se han puesto, pues como siempre, es
un ejemplo para tratar de explicar todo esto que acabamos. Se han puesto
unos ejes fijos que son los OX1 y SU1, que hemos bautizado como 1, ejes 1.
Hay un disco que es el disco D, pintado en color azul grueso, que tiene
una... barra, la barra MO, está sujeta a través de una articulación al
eje Z1 en el punto M, por tanto que la deja girar. Y el disco mismo, el D,
está girando con una velocidad ω20 en sentido horario, como veis ahí.
Por lo tanto, el disco gira sobre el plano X1 o Y1, como si fuera el suelo,
es un plano horizontal. está en contacto con ese plano, es decir, con el
suelo, con el punto B. Por tanto, al girar el disco en el sentido que está
indicado en la figura, en el sentido horario, el disco rueda sobre el
suelo, pero al mismo tiempo también hace que todo, la barra MO, hace que
todo el disco gire también alrededor del eje Z1, ¿vale? Con una velocidad
angular omega sub. ¿Veis el movimiento, no? El disco girando sin deslizar
sobre el suelo, el suelo aquí es el plano X1, Y1, y al mismo tiempo que
rueda sin deslizar, pues obliga a través de la barra MO a girar todo el
conjunto alrededor del eje Z1 con una velocidad angular. Entonces, como
veis, los ejes fijos, los ejes 1, están... Ahí puestos son los ejes de
referencia que voy a tener para calcular tanto velocidades como direcciones
absolutas, porque son los que están quietecitos. Ahora le vamos a añadir
otros ejes. Es común en estos problemas, como ya sabéis, en composición
de movimientos siempre tenemos que tener unos ejes fijos, que son los de
referencia para los movimientos absolutos, y unos ejes móviles, que son
los ejes relativos, son nuestras referencias para los movimientos
absolutos. Los ejes móviles aquí los voy a situar en el punto O, y son el
X y Z dibujados en verde, y que le hemos denominado ejes cero. ¿Vale?
Precisamente el eje X de los ejes cero coincide con la dirección de la
barra MO. Lo he puesto así a propósito. Normalmente cuando pongo los
ejes... Cuando se trata de un movimiento, cuando se trata de estudiar un
movimiento, que tiene varias rotaciones, o varios movimientos diferentes,
como este caso que tiene dos rotaciones, la omega 2,0 y la omega 0,1.
Siempre he de poner unos ejes fijos y unos móviles para tratar de
desglosar los dos movimientos. Estos dos movimientos estudiados
conjuntamente son dificilísimos. Para facilitar el estudio tengo que
separarlos los dos. Para separarlos los dos tengo que dibujar unos ejes
móviles. Y los ejes móviles, que son los ejes 0 aquí, los tengo que
situar en un punto tal que me faciliten el cálculo de la velocidad
relativa. ¿Cuál es la velocidad relativa? Pues la velocidad que llevaría
el sólido 2, que es el disco, con respecto a esos ejes. Si esos ejes los
pongo de tal forma que uno de ellos, por ejemplo en este caso el X,
coincida con la dirección de omega, pues es muy fácil calcular la
velocidad de cualquier punto del disco alrededor del eje X. Entonces lo
primero es dibujar los ejes fijos y los móviles. Y luego planteo el
problema. El problema me dice que calcule las aceleraciones angulares, o la
aceleración angular absoluta, del disco de un sólido 2, con respecto a
ese disco, con respecto a los ejes 1, porque son los ejes parados. Todo
movimiento absoluto es un movimiento con respecto a los ejes fijos. Si no,
es movimiento relativo o es movimiento de arrastre. Bien. El módulo,
decimos ahí, del vector omega 2, 0, que lo veis ahí, ¿vale? Puede variar
con el tiempo, dando lugar a una aceleración angular, que llamaremos
modular. Es decir, el módulo, la velocidad angular del disco 2, es girando
sobre el eje X. de los ejes móviles puede variar con el tiempo. Al minuto
3 puede tener una longitud de 5, al minuto 4 puede tener una longitud de 8
y luego cambiar otra vez a 5 puede haber una variación en módulo. A esa
variación en módulo le vamos a llamar del vector aceleración angular le
vamos a llamar aceleración angular modular para diferenciarla de otra, de
la de la dirección. ¿Cómo se calcula? Pues de forma sencilla derivada de
un módulo con respecto al tiempo no varía dirección estoy suponiendo que
la dirección es la misma solamente varía el módulo pues es derivada del
módulo de ese vector con respecto al tiempo simplemente ese vector me
vendrá representado como una función del tiempo pues derivo con respecto
a t y esa es el módulo de la aceleración angular modular esa es constante
a veces no, puede variar con el tiempo estoy diciendo que el caso de que
varía con el tiempo ¿Qué dirección tiene esa aceleración angular
modular? La misma dirección del vector omega la misma dirección la de la
recta que lo contiene el sentido ya es diferente puede ser en el mismo o
contrario si es en el mismo sentido es una aceleración aceleración es
decir que cada vez aumenta más la velocidad angular si es en sentido
contrario quiere decir deceleración es decir que cada vez va reduciéndose
esa velocidad angular pero la dirección es la misma es la del eje x en
verde es la dirección del vector omega por eso pongo ahí u omega 2 0 que
quiere decir el u minúscula siempre se la llamo al vector versor al versor
un vector unitario que marca una dirección Y el omega 2 cero sub omega 2
cero quiere decir que es la dirección del vector omega 2 cero, ¿vale? O
sea, derivada del módulo de omega 2 cero con respecto a t multiplicado por
el versor que marca la dirección del vector omega 2 cero, esa es la
aceleración modular de omega. Todavía no ha cambiado de dirección porque
lo está viendo un observador situado en los ejes móviles en cero. ¿Ve?
Hombre, es verdad que el disco se mueve alrededor del eje zeta 1 y eso le
hace cambiar de dirección al vector omega 2 cero. Pero el observador que
va situado en los ejes móviles no ve ese movimiento porque para él, por
muchas vueltas que de alrededor del eje zeta 1 el disco, él no las ve
porque va situado encima. Porque se mueven con ellos, por lo tanto no ve
ese movimiento. Solamente ve mover el disco alrededor del eje zeta, del x
nada más. ¿Eh? Se mueve, se mueve, claro. Por lo tanto, esta aceleración
modular es una tarea que tiene asignada el observador móvil, no el fijo,
el móvil. Pero decimos a continuación, ostras, cuidado, que el vector
omega 2 cero también está obligado a rotar alrededor del eje zeta 1.
¿Arrastrado por qué movimiento? Por la velocidad omega 0,1. Por tanto,
varía su dirección con el tiempo. Visto por un observador desde los ejes
fijos. Ahora sí que ya a ver, ya ve el observador fijo, si ese vector lo
que hubiera representado ahí fuera como una flechita real de madera, el
observador del eje fijo esa flechita omega 2 cero la ve girar, la ve
cambiar de dirección. Ostras, entonces hay ahí también un maravilloso,
una aceleración más. ¿Eh? Una aceleración que vamos a llamar
direccional, para diferenciarla de la anterior, que era solamente la
variación del modo. Y entonces aquí, ¿cómo se deriva un vector que
cambia de dirección? Solamente en dirección. Tenemos que recordar la
fórmula de Poisson de cálculo vectorial, que es muy sencilla. La derivada
de un vector que cambia solamente de dirección es simplemente que hay que
añadirle el vector, perdón, el término adicional. Y el término
adicional es, hay que multiplicar el vector que arrastra a omega02. ¿Cuál
es el vector que arrastra a omega02? Pues es el omega01. El omega02. El
omega01 es el que le obliga a cambiar al omega20 de dirección. Pues
entonces es el vector que arrastra, el omega01, multiplicado vectorialmente
por el vector arrastrado, que es el omega20. Este es el término adicional
que hay que añadir. Es decir, es el término simplemente de aceleración
direccional que hemos llamado. Por lo tanto, la aceleración total. Ah
bueno, ¿quién? ¿Quién es el que debe, el que dé ese cambio de
dirección? El observador situado en los ejes 1. Por lo tanto, es él el
encargado de realizar esta segunda derivada para calcularla, perdón, con
omega21. Lo que estoy tratando de hacer es derivar. omega 2 cero, perdón,
derivar la velocidad angular con respecto a los ejes 1 que calcular la
aceleración absoluta. Por lo tanto, ¿cuál sería la aceleración
absoluta? La aceleración absoluta es decir, la vista por un observador
ligada a los ejes fijos 1 del sólido 2 es simplemente la suma. Vamos a
seguir lo que hemos puesto aquí. Lo que se pretende es calcular la
aceleración angular absoluta es decir, la vista por un observador ligado a
los ejes 1 y la aceleración absoluta del sólido 2, claro con respecto a
los ejes 1. Sin embargo, a este observador al que está en los ejes fijos
le resulta difícil obtener simultáneamente los cambios del vector
velocidad angular absoluta omega 2 1 en modulo y en dirección por lo que
interesa separar. Un observador ligado a los ejes 0, a los móviles ve los
cambios de módulo del vector del vector omega 2 0 siempre y cuando exista,
claro. Decías tú, oye, a veces ese vector es constante entonces no hay
cambio con el tiempo del módulo entonces derivada de omega su 2 0 respecto
a t sería 0. Vale, pero si existe, pues hay una aceleración ahí. ¿Por
qué está? Por lo que está en una situación inmejorable este observador
móvil para calcular la aceleración. La aceleración angular que llamamos
modular que es la derivada del módulo del vector omega 2 0 con respecto a
t y que tiene la misma dirección que el vector omega 2 0. El sentido,
vuelvo a repetir, puede ser el mismo o el contrario. Si es el mismo, quiere
decir que la aceleración aumenta la velocidad. Si es el sentido contrario,
quiere decir que disminuye la velocidad. Pero la dirección siempre es la
del vector omega 2 cero. Muy bien, sin embargo este observador, el móvil,
no puede ver los cambios de dirección del vector omega 2 cero. Pues el
observador al moverse con los ejes cero no detecta el movimiento de
arrastre de dichos vectores. Para él ese vector omega 2 cero está parado.
Por tanto no es el apropiado para calcular la aceleración que proviene de
los cambios de dirección. Sin embargo el observador, ligado a los ejes
fijos, uno, ve los cambios de dirección de omega 2 cero. Por lo que está
en óptimas condiciones para calcular la aceleración angular que ya hemos
llamado direccional. Que es la derivada del vector, ahora vector, no
módulo. Fijaros que lo pongo en negrita, omega 2 cero. Antes lo he puesto,
no hay negrita porque era el módulo. Ahora lo pongo en negrita porque es
el vector. Lo que estoy aquí derivando es la, viendo los cambios de
dirección del vector con el tiempo. Y resulta la, lo que hemos llamado
direccional. ¿Cómo se calcula? Pues es el producto vectorial del vector
que arrastra a omega 2 cero, que es el omega 0 1. Multiplicado por el
vector que queremos derivar, es decir, por el que cambie la dirección, que
es el omega 2 cero. Esa es la aceleración direccional. Asimismo, este
último observador podrá detectar fácilmente si el vector omega 0 1 tiene
variaciones temporales de módulo. Porque claro, también podía el vector
omega 0 1, que es el que hace rotar al disco alrededor del eje, etc.
También puede tener en módulo cambios con el tiempo. Aquí no va a haber
cambio de dirección. visto por un observador de los ejes 1. No, porque el
omega 0-1 siempre tiene la dirección del eje zeta es 1. Pero sí puede
haber cambios en módulo de omega 0-1. Y esto lo ve el observador que está
situado en los ejes fijos 1. Si esto fuera así, si hay cambios también en
el módulo de omega 0-1, pues habría otra aceleración angular, modular
también, que le hemos llamado del vector omega 0-1. Que será igual que la
anterior, derivada con respecto al tiempo del módulo del vector omega 0-1
respecto a eso. Entonces, finalmente, la aceleración que ve un observador
situado en los ejes 1 se compone de la suma de todas las que hemos dicho.
De la modular, el cambio de módulo del vector omega 2-0. Más el cambio de
dirección del vector omega 2-0, que está arrastrado por el omega 0-1.
Más, si existe un cambio de dirección, existe el cambio de módulo del
vector omega 0-1. No hay en este vector omega 0-1 cambios de dirección,
pero sí puede haberlo. Sustituyendo los valores que hemos dicho antes, la
aceleración angular, modular del vector omega 2-0 es derivada del módulo
del vector omega 2-0 con respecto al tiempo, multiplicado por la
dirección, que es la misma del vector. La aceleración. Direccional del
vector omega 2-0 es omega 0-1, que es el que arrastra, multiplicado
vectorialmente por el omega 2-0 que es el arrastrado. Y finalmente, la
aceleración modular del omega 0-1, que es derivada del módulo, otra vez,
del vector omega 0-1 con respecto al tiempo, multiplicado, como siempre,
por la dirección del vector omega 0-1. Lo vas a tener esto, ¿eh? Bueno,
está grabado, pero bueno. Bien, pues así de sencillo se calculan las
aceleraciones absolutas. Y va a ser un problema muy común, muy común
en... Ya lo veréis, los problemas que os he mandado en la colección, como
es muy común realizar esta derivación. Así como las aceleraciones
lineales. Hay otras formas de hacerlas más fáciles, que las vamos a ver
ahora. Las aceleraciones angulares, normalmente lo más fácil y sencillo
es partir de las velocidades angulares, derivarlas con respecto al tiempo
para que salgan las aceleraciones. Pero hay que tener en cuenta estas cosas
que acabo de decir. Los cambios de dirección, ¿eh? Bueno, aquí digo, en
la última diapositiva que es esta, relacionada con este asunto digo, los
conceptos de derivación de vectores en ejes móviles aplicados en las
transparencias anteriores a velocidades angulares también valen para las
velocidades lineales. Vectorial, no hace falta que sea velocidad para
cualquier otra función vectorial. Sin embargo, vuelvo a repetir lo que
acabo de decir. No es tan común calcular una aceleración lineal partiendo
de la velocidad y derivando con respecto al tiempo. Aunque hay problemas en
que eso pueda ocurrir, pero ya no es común, tan común. Sin embargo, con
velocidades angulares y aceleraciones angulares sí es muy común. Por eso,
vamos a dejar aquí el tema. Bien, y vamos a seguir con otro tema que
también de teoría que también me han pedido algún alumno y que vamos
a... A ver, esto ya se puede deducir de una grabación del último módulo
de la composición de movimientos, pero creo que no viene nada mal el
profundizar un poquito más, dado que algún alumno no lo ha captado lo
suficiente. Entonces, ¿qué se trata aquí de ver? Se trata de calcular
aceleraciones, pero en este caso lineales. Las angulares ya hemos visto
cómo se hacía, acabamos de verlo. Ahora se trata de profundizar un poco
en cómo calcular las aceleraciones tangenciales. Oye, este es un problema
que va a salir en todo tipo de problemas. Es raro un problema, sea de
examen o no de examen, donde no haya que calcular las aceleraciones de un
punto determinado. De un sólido, lineales. Es muy difícil. Y no solamente
los problemas de cinemática, también los problemas de dinámica. Lo
primero que hay que hacer es calcular la aceleración de un punto para
luego determinar las fuerzas a las que está sometido, etc. Pero primero,
la aceleración lineal de un punto, del cuerpo sólido. Por tanto, es muy
importante, a pesar de que ya lo hemos dicho en el módulo grabado, volver
a mantenerlo. Para matizarlo ahora y para dejarlo un poquito más claro de
lo que es. Decimos ahí que como resumen de lo visto en el campo de
aceleraciones, resumimos el proceso de cálculo de aceleraciones lineales
de la siguiente forma. Solamente hay tres formas de calcular aceleraciones
lineales, que son las tres que vamos a ver ahora. Y de estas tres, Dos son
las principales. Entre paréntesis digo, fijémonos en el orden de los
super y de los subíndices, de todas las expresiones. Muy importante, lo de
los subíndices ya lo hemos visto en la grabación, en el módulo de
grabación, cómo marcábamos los movimientos relativos, los absolutos,
etc., y cómo los relacionábamos unos con otros, simplemente viendo los
índices, concatenando los subíndices. Si concatenamos todos los
subíndices que coincidan unos con otros, no nos hace falta ya pelearnos
mentalmente para saber si esto es un movimiento relativo, si es uno de
arrastre, si no sé qué. Simplemente tienen que coincidir los subíndices
tal y como hemos dicho en dicho módulo. Aquí también, por tanto es muy
importante fijarse en cómo están organizados los subíndices, los
superíndices, etc., y los vectores de posición, sobre todo eso. Por
tanto, fijaros en esto. Vamos a ver las tres formas diferentes de calcular
aceleraciones, en todos los problemas. Puede decir que en algunos casos sea
más fácil utilizar un método, en otros sea más fácil utilizar otro, en
algunos problemas podemos utilizar uno pero no el otro porque no tenemos
datos, en otros problemas se da al revés, podemos utilizar el segundo pero
no el primero porque no nos falta. No nos faltan datos, etc. Empecemos.
Primer método, método A, a través de la ecuación de composición de
aceleraciones. Esto es, el nombre que le doy a la ecuación es cosecha
propia, posiblemente no lo veáis por ahí en ninguna bibliografía ni
nada, pero bueno, yo me ha parecido el nombre más adecuado para
entendernos. Llamamos ecuación de composición de aceleraciones. tantas
veces utilizada en todos los problemas que es aceleración absoluta igual a
relativa más de arrastre, más de corriente. ¿Esto cómo se traduce en
forma de ecuación? Pues en un punto F, ahí lo tenéis a la derecha de la
figura el mismo disco que hemos visto anteriormente rotando alrededor del
eje pasante 0 móviles y también al mismo tiempo rotando alrededor del eje
Z1 y pretendemos calcular la aceleración en un punto del disco cualquiera,
el punto F que le he puesto yo ahí, por ejemplo podría ser otro
cualquiera. Entonces, primer método para calcular primera ecuación para
calcular la composición de aceleraciones perdón, la aceleración del
punto F utilizando la ecuación de composición de aceleraciones
aceleración del punto F perteneciente al disco 2, al sólido 2 con
relación a los ejes 1 que son ejes fijos, por lo tanto aceleración
absoluta del punto F es igual a aceleración del punto F correspondiente al
sólido 2 con respecto a los ejes móviles, 0 es decir, aceleración
relativa más aceleración del punto F fijaros que siempre es F, no cambia
F estamos en el punto F perteneciente al sólido 0 es decir, soldado el
disco 2 al sólido 0 y moviéndose con él con respecto al eje 1 es decir,
más la aceleración de corrioles que como ya sabemos es dos veces la
velocidad angular de arrastre la que arrastra al sólido 2 que es el omega
0,1 multiplicado vectorialmente por la velocidad del punto F relativa, es
decir, con respecto a los ejes cero. Fijaros que el superíndice siempre
es, los subíndices son el 2, 1 absoluto 2, 0 relativo y 0, 1 arrastre, es
decir coincide el 2 del segundo miembro con el 2 del primero. El 1 del
segundo miembro del gamma eje 0, 1 con el 1 del primer miembro y entre
medio está uniendo los dos el 0, el 1, el 3, el 4 el 5, en este caso es el
0 porque no hay más cuerpos Luego, la velocidad angular de Coriolis
siempre es la arrastra al disco, se suelda a los ejes móviles entonces se
que lleva soldado a los ejes móviles y se haga movimiento multiplicado
vectorialmente por el vector velocidad relativa del sólido que estamos
estudiando en el punto que estamos estudiando, es decir, F2 punto F del
sólido 2 con respecto a los ejes 0, es decir, hemos parado los ejes 0
hemos parado, hemos frenado y estamos viendo cómo se mueve el disco con
respecto a esos ejes Pues esta es una forma de calcular la aceleración en
cualquier punto del cuerpo. Ojo, porque para utilizar esta forma, este
método debemos ser capaces de calcular la aceleración relativa y la
aceleración de arrastre así como la velocidad de arrastre angular y la
velocidad relativa del punto F si esto lo podemos calcular utilizamos esta
forma para calcular la aceleración del punto F y como veis casan los
superíndices y los subíndices y todo, no tiene no hay forma de hacerlo
mal es imposible hacerlo mal hay otro método, sin embargo que es el
método B que es utilizar lo que hemos llamado en los módulos grabados
ecuación básica de aceleraciones para un sólido rígido que ya sabemos
qué es esta ecuación es lo siguiente vamos a ver yo quiero calcular la
aceleración del punto F en el punto F estoy viendo que hay algo mal no
imaginaros que quiero calcular la aceleración de arrastre estaba pensando
que debería haber puesto la absoluta aceleración pero me da igual ya
hemos dicho en un módulo anterior en el módulo de composición de
movimientos que estas ecuaciones que hemos llamado básica de velocidades o
básica de aceleraciones como es este caso podía utilizarse para todo tipo
de movimientos para el movimiento absoluto o también para el movimiento
relativo o también para el movimiento de arrastre, utilizarse para
cualquier movimiento, en el ejemplo de la diapositiva que estamos viendo lo
hemos utilizado para calcular la aceleración del movimiento relativo por
tanto es gama F perteneciente al sólido 0 es decir, ejes móviles con
respecto a los ejes fijos 1 Entonces la pregunta es, vamos a ver, yo sé
que esta ecuación básica de aceleraciones se trata de lo siguiente. Yo
conozco la aceleración en un punto, por ejemplo en el punto O, y me están
pidiendo la aceleración en el punto F. Joder, si ya conozco la del punto
O, utilizo directamente la ecuación básica de aceleraciones, porque esta
ecuación se basa precisamente en trasladar la aceleración de un punto
donde la conozco a otro que la desconozco. Por tanto, para utilizar esta
ecuación tengo que plantearme la siguiente pregunta. Vamos a ver, ¿yo
conozco la aceleración en algún punto del cuerpo? Sí, ah bueno, entonces
utilizo la ecuación básica de aceleraciones, que me da la aceleración de
cualquier punto en función de ese que ya conozco. No, entonces ya no me
lío con la anterior ecuación de composición de aceleraciones, el de
calcular antes el relativo, luego el de arrastre, luego coriolio. No, no,
ya no me lío con eso. Como ya conozco la de un punto, pues ya utilizo
directamente la básica de aceleraciones y la toma por bien. ¿Cómo es la
básica de aceleraciones? Pues ya sabemos, porque es la aceleración en un
punto F cualquiera. En este caso es la de arrastre, pero podría ser
relativa o podría ser absoluta también. Es igual. ¿A la misma
aceleración? También la arrastre en el punto O, que debe ser conocida.
Más aceleración angular multiplicado por radio o F. Fijaros, O del primer
miembro de la aceleración que acabamos de decir O, y F del miembro de la
izquierda. O F, siempre en esta, en este sentido. Nunca al revés, si
ponemos F O en vez de O F, la cagamos ya. Por eso les he dicho antes,
fijaros bien en los índices, en los superíndices y en los vectores de
posición. Bueno, hace relación angular multiplicado por radio F,
multiplicado vectorialmente, son vectores, más vector omega 0,1, 0,1
porque estamos con el movimiento relativo, multiplicado vectorialmente por
el producto vectorial de omega 0,1 por F. Entonces, E derivada de omega 0,1
respecto a T por F no es ni más ni menos que la aceleración tangencial
originada por una aceleración angular. Es decir, que el vector omega 2,0
cambia con el tiempo su módulo. Esa es la aceleración angular. Por lo
tanto, al cambiar con el tiempo su módulo, es decir, obliga a cambiar la
velocidad con el tiempo, pues tiene una aceleración tangencial en el punto
de aceleración. En el punto F, que es la angular por el radio, o F. Y el
segundo miembro, omega 0,1 por omega 0,1 por F, ya sabemos también lo que
es, que es la representación de la aceleración normal, es decir, en el
punto F, en este caso. Es decir, es aquella aceleración que me obliga a
cambiar el vector velocidad para que haga una trayectoria curvilínea. Esa
es la aceleración normal. Si no fuera por esa aceleración, el punto F
saldría en dirección recta. No haría, no seguiría el disco, la curva
del disco. Pero la ecuación es siempre la misma, esa que veis. Sea para el
movimiento de arrastre como en este caso, sea para el movimiento absoluto,
sea para el movimiento relativo, la ecuación es siempre la misma. La
única condición que debo poner para aplicar esta ecuación son dos
condiciones. Primera, quiere saber la aceleración en un punto del disco.
En este caso el punto O. Segundo, que ese punto donde conozco la dirección
tiene que ser del disco. O sea, tiene que pertenecer al sólido. No vale
con que sea otro punto. Ahora bien, también decía en el módulo. Primero,
ojo porque el punto O. no estará en el mismo disco. Podría estar fuera,
en cualquier otro sitio. Ahora, eso sí, tiene que llevar el mismo
movimiento del disco. Es decir, aunque esté físicamente fuera, es como si
el disco estuviera ampliado y pasara por ese punto. El punto debe
pertenecer al disco. El tercer método es lo que además acababa de ver
antes con las velocidades angulares. Sería derivar. O sea, tenerla y
derivarla con respecto al tiempo para calcular la aceleración. Teniendo en
cuenta, no solamente los cambios en los módulos del vector de velocidad,
sino también los cambios de la aceleración. Perdón, de la dirección.
Pero este caso C ya es menos usual aquí. Es muy usual en problemas de
velocidades, de aceleraciones angulares. Pero en aceleraciones lineales ya
es menos usual. Por lo tanto. Por lo tanto, los dos primeros, el A y el B,
yo diría que son los que vamos a utilizar en el 99. Y oye, normalmente
también, como digo aquí, generalmente usaré prioritariamente la
ecuación A. La ecuación de composición de aceleraciones para calcular la
aceleración absoluta. Para calcular la aceleración absoluta en los
problemas que piden aceleraciones absolutas, normalmente utilizará el
método A, la ecuación. A menos que conozca también la aceleración
absoluta de algún punto, en este caso el O, el sólido rígido. Entonces
sí, ya iría directamente a la B, que es más fácil. Porque ya veis que
en la B no hay corioles, ningún. Por ejemplo, para empezar, no aparece
ninguna aceleración de corioles. Ahora, normalmente cuando me piden
aceleraciones absolutas en un punto del sólido, no me dan la aceleración
absoluta de otro punto. Con lo cual ya tendría que irme al método A. Sin
embargo, para calcular aceleraciones relativas y aceleraciones de arrastre,
que lo necesito para la ecuación A, en ese caso sí. Sí, la mayor parte
de las veces lo haré utilizando la ecuación B. ¿Vale? Ahora, debe
cuidarse de aplicar la ecuación B solamente para el sólido rígido. Si no
es un sólido no rígido, no vale. Ya sabemos la diferencia entre los
signos rígidos. Un sólido es rígido cuando, si yo sobre el marco dos
puntos, con un rotulador, uno A y otro B, donde me dé la gana, los uno con
una línea recta, lo mido, esa longitud entre A y B, y luego le hago
moverse al sólido, con el movimiento que tenga, y lo paro dentro de un
instante, y vuelvo a medir al A y B. Si es la misma, sólido rígido. Si
no, no. Vamos a aplicarlo a un ejemplo completo, para que se vea mejor,
porque esto es muy importante. En el sólido de la figura, que es el que
hemos venido haciendo en los ejemplos últimos, ya conocemos por lo tanto
sus movimientos, sabemos que este es un disco rodando sin deslizar con la
velocidad omega 2 cero sobre el plano horizontal, x1 y su 1, que el punto
de contacto del disco con el plano, que llamémosle suelo, es el punto B,
está ahí ubicado, y alrededor del eje z1 también gira, obligado por la
varilla MO, a medida que va el disco por el suelo, también gira alrededor
de z1 con una velocidad omega 2. Y nos piden determinar las aceleraciones
absolutas de los puntos O, B y F del disco. Fijaros que aquí, en este
caso, oiga, no nos va a dar nada. En principio, no conocemos la
aceleración en ningún punto del disco. Por lo tanto, no podemos utilizar
la ecuación B, la ecuación básica de aceleraciones, porque no conozco la
aceleración, así a priori. Por lo tanto, queda eliminado de momento el
método B, y tengo que utilizar el A. El A, pues, bueno, pues empiezo por
el 2O, a calcular. Digo... Digo, la aceleración absoluta del punto O es
igual a la aceleración relativa, gamma O2O, más aceleración de arrastre,
gamma O01, para la aceleración de Corioles, que es dos veces la velocidad
angular de arrastre, dado vectorialmente por la velocidad relativa del
punto O, es decir, la velocidad de O, 2O. ¿Vale? Pero vamos a ver, un
observador situado en los ejes cero, ¿con qué velocidad debería moverse
al punto? Con ninguna, porque es que el disco de solido 2 está rotando
precisamente alrededor de O. Por tanto, ese punto no lleva velocidad
lineal. Estamos hablando de lineales. Velocidad lineal ninguna. Cero. Por
lo tanto, pues mira, me lo pone fácil. Si la velocidad del punto O, 2, 0,
es cero, ya no hay aceleración de Coriolis para empezar. Ya eso sería
cero. Pero bueno, eso lo dejamos para estar. Ahora quería irme a otro
lado. Si la velocidad relativa, V o 2, 0, es cero en todo instante, es
decir, en todo tiempo, quiere decir que la aceleración, también
tangencial en O, es cero. Si no hay velocidad en ningún instante, la
aceleración es cero, ¿no? Por tanto, gamma en el punto O de 2, 0, sería
igual a cero. Joder, y ya se me está ocurriendo una cosa. Y ojo, y
sabiendo esto, ya conozco también la aceleración de un punto. También
podría utilizar el método B. Ahora que sé la aceleración 2, 0... Ah,
claro, cuidado, no puedo utilizarla porque me están pidiendo la
aceleración absoluta. Gamma O, 2, 1. Y solamente sé la gamma O, 2, 0, la
aceleración relativa del punto O. No conozco la absoluta. Entonces sigo
sin poder... Bien, vale. Entonces, gamma O, 2, 0, ya sabemos que es cero.
Para calcular la aceleración de arrastre, gamma O, 0, 1, aplicamos ahora
sí la ecuación B. Teniendo en cuenta que existe... Un punto M que
considerado como perteneciente al sólido 2 y por tanto moviéndose con
él, su aceleración va de cero. Imaginaros que en vez de ser un disco, el
2, un disco, es un cilindro que va hasta el punto M precisamente y gira
alrededor del FZ1, o sea, gira alrededor con una velocidad omega sub. No es
el mismo movimiento, bueno, gira y también gira con omega 2 cero, no es el
mismo movimiento que el disco. Sin embargo, el punto M pertenecería al
disco, es decir, vamos a hacer otra imaginación que quizás es más
cercana. La barra MO y el disco 2 son el mismo cuerpo. Está la barra
soldada al disco en el punto cero, por lo tanto es todo el mismo cuerpo.
¿Vale? Pues entonces me pregunto, ¿conozco la aceleración del punto M?
Vamos a ver, ¿qué velocidad tiene el punto M? Hay velocidad en el punto
M. Cero, porque está todo girando alrededor de él, por lo tanto su
velocidad es cero. En todo instante, no ahora sí y luego no, es que es en
todo instante cero. Por lo tanto, al ser. Ya todo instante cero, no hay
cambios de vector módulo de velocidad, ni cambios de dirección de
velocidad, porque no existe, el vector es cero. Por tanto, la aceleración
del punto M es cero. Así que entonces, ahora sí, puedo utilizar, para
calcular la relativa, la aceleración en el punto O relativa, puedo
utilizar la ecuación B, porque ya conozco la ecuación de un punto en el
cuerpo, que es M. Por lo tanto, utilizo la ecuación B. La aceleración
relativa en el punto O es igual a... La aceleración relativa en el punto
M, conocida. más aceleración angular relativa multiplicado por MO, brazo,
más omega01 que es la velocidad angular relativa por el producto vectorial
omega01 por MO. Esta es la ecuación que acabamos de ver, que hemos llamado
ecuación B o ecuación básica de aceleraciones. Como la aceleración del
punto M01 es cero, pues esto quedaría igual, aceleración angular por MO,
vectorialmente, más producto vectorial que sustituida en la anterior,
porque esta es la relativa sustituida en la anterior, nos queda gammaO21
igual a gammaO20, puesto que gammaO01 decíamos que era cero. Y también la
aceleración de Coriolis era cero, porque lo que estudió a 20 es cero. Ya
veis que hemos utilizado las dos ecuaciones, la ecuación A para el
cálculo de la absoluta y la ecuación B para el cálculo de, en este caso,
la de arrastre, porque la relativa es cero. Y he utilizado la ecuación B
para calcular la aceleración en el arrastre, porque he buscado un punto.
He encontrado un punto donde conozco su aceleración, que es el punto M, en
el arrastre estoy hablando. Ok, bien. Vamos a observar que todos los
movimientos están referidos al sistema 1, omega01. parece. Eso. Mega cero
uno significa la velocidad angular de los ejes cero con respecto a los ejes
uno que son los fijos. Por lo tanto, todo esto está visto por un
observador situado en los ejes fijos. Esta aceleración que acabamos de
gamma o dos. Independientemente de cuál sea el sistema en el que estén
representados los vectores. Yo podía tener los vectores representados por
las componentes de ese vector en el sistema cero, por ejemplo. Pero, sin
embargo, hacer todos los cálculos relacionados con el sistema uno. Porque
he utilizado omega cero uno. Por lo tanto, repito, puedo tener los vectores
representados en un sistema que, por ejemplo, es el móvil en el cero.
Todas las proyecciones de los vectores. Que es el radio vector de
posición, etcétera. Aceleración, etcétera. Todos pueden estar
representados en el sistema cero. Sus componentes proyectadas en el sistema
cero. Y, sin embargo, yo estar trabajando en el sistema uno. ¿Por qué?
Pues porque tengo omega cero uno. Omega cero uno quiere decir velocidad
angular del sistema cero con respecto al uno. Independientemente de dónde
proyecte yo el vector. Y dicho esto, yo recomiendo siempre, y ya lo veréis
en los problemas que os mandé. Siempre. Representar los vectores en el
sistema móvil. En el sistema cero, que es mucho más fácil. Fijaros que
se mueva para donde se mueva. Esté en la posición que esté el disco, el
vector omega dos cero siempre coincide con el ejército. ¡Ostras! De
facilitar las operaciones. Bien, pues estos conceptos son todos muy
importantes y os debéis fijar en él, en los problemas de la colección,
os debéis fijar en esto que estoy yo diciendo, porque es muy importante.
Bueno, vamos a calcular ahora la misma aceleración pero en el punto B,
también la absoluta. Y lo mismo que antes. Oiga, utilizo, como no conozco
la aceleración en ningún punto, bueno, ahora sí, perdón, ahora podía,
como ya la conozco en el punto O, porque la he calculado anteriormente,
ahora podía utilizar perfectamente la ecuación B, la de... la ecuación
básica de aceleraciones, porque ya conozco la aceleración de un punto,
por lo tanto, conocida la aceleración en O que acabo de buscar, absoluta
además. Ahora me piden la aceleración en B, joder, pues la traslado de O
a B. ¿Cómo la traslado? Con la ecuación de... le hemos llamado básica
de aceleración. Y sería lo más fácil, ¿eh? Sin embargo, yo aquí lo he
hecho utilizando otra vez la ecuación de composición de movimientos, como
he hecho antes, ¿eh? Más bien como ejercicio que como otra cosa. La
aceleración en el punto B, absoluta, es decir, 2, 1, es igual a la 2, 0
más la 0,1, es decir, la relativa más la arrastre, más... Pasemos a
calcular la relativa y la de arrastre que las necesito. Empecemos por la
relativa, la gama de 2,0. Ahora sí, la de... que podemos aplicar la
ecuación B, porque conocemos un punto donde la aceleración en un punto
que es en el punto O la aceleración relativa del punto O es cero por lo
que hemos dicho antes, el punto O tiene una velocidad relativa a cero
porque un observador situado en los ejes cero de mover el disco alrededor
de O, por lo tanto no hay velocidad. En ningún momento, por lo tanto si no
hay velocidad en ningún momento, no hay aceleración, su aceleración es
T. Conociendo la aceleración relativa del punto, puedo calcular la
aceleración relativa en cualquier otro punto utilizando la ecuación B. Es
lo que hemos hecho aquí. Utilizamos la ecuación B y hemos calculado la
relativa. Ahora vamos a calcular la de arrastre, la gama B per 1. Otra vez
aplicamos la ecuación B. ¿Por qué? Pues porque conozco la aceleración
gama M, o sea, en el punto M de arrastre también. Que es 0, el punto M
considerado perteneciente al disco, ya lo hemos dicho antes, tiene una
velocidad 0 con respecto al 1 y esa velocidad 0 al ser 0, la velocidad todo
distante tampoco hay aceleración. Conociendo la aceleración en M también
puedo calcular utilizando el método B la ecuación de arrastre en el punto
B, que es esa que ve. Además, para calcular la Coriolis, tengo que
determinar la velocidad relativa del punto B. VB del sólido 2 con respecto
a los ejes 0 es decir, vista por un observador situado en los ejes 0.
Paramos los ejes 0, los paramos, los frenamos y vamos a ver qué ve un
observador ¿qué velocidad ve el observador en el punto F? Pues, o sea,
omega 2,0 es la velocidad de rotación del disco en los ejes 0.
Multiplicarlo vectorialmente por el radio que eso ve. Y, conocido esto,
pues no hay más que aplicar la ecuación para darnos ya definitivamente la
aceleración en B. Y no hay más métodos, es decir, y además o sea,
olvidémonos cuando a veces nos viene un problema, nos piden calcular la
aceleración, nos dan unos equistores ahí y empezamos, hostia, ¿y cómo
calculo esto? Pues hay solamente dos formas. Y para utilizar la A o la B
debemos de preguntarnos si conozco la aceleración en un punto ya bien
porque me lo da el problema como dato, o bien porque yo sé que en ese
punto tiene que ser feo la aceleración porque nunca hay velocidad y tal me
voy directamente al método B que es, utilizo la ecuación básica de
aceleraciones que me traslada la aceleración de un punto al otro que no
conozco la aceleración en ningún sitio, o que no estoy seguro de si en
ese punto la aceleración es cero o no me voy directamente al método A que
es a la absoluta o a la relativa más la de arrastre, más la del Coriolis.
Generalmente si me piden aceleraciones absolutas casi siempre voy a tener
que utilizar directamente esta ecuación el método A, porque difícilmente
me va a dar el problema alguna aceleración en un punto conozco, el que
rara el que me está poniendo el problema que yo la calcule que yo la
calcule, no me va a dar nada ¿eh? Y luego, otra cosa que se equivoca
muchas veces la gente también es en los radios vectores radios de
posición OB, aquí ¿qué le pongo? OB, ¿qué le pongo? VO, ¿qué le
pongo? FO, FB, ¿qué coño le pongo? Si no, no, no, ahí debemos fijarnos
en la organización que veis con subíndices y superíndices y esto va
siempre a misa siempre es lo mismo que el primer subíndice es 2.0 pues
todos han de ser 2.0 tanto velocidades Tanto aceleraciones como velocidades
angulares. Que el primer superíndice es un B y el segundo un AO. Pues
radio, vector de posición siempre será OB. Y no hay otra historia.
Entendido esto, cualquier problema de aceleración es muy mecánico todo.
¿Vale? Muy bien. Pues esto es lo que quería recordar. Esto es lo que
quería recordar que me ha pedido alguno de vosotros. Y ahora, ya uno
atosigado ya de tanto hablar. Pero bueno, son las ocho y media y creo que
nos da tiempo a ver un problema. Ya traía varios problemas, entonces a ver
si nos da tiempo a ver el problema. ¿Alguno tenéis alguna pregunta sobre
esto que acabamos de decir? ¿O sobre otra cosa que se le parezca? Si no me
dejáis descansar un poco. Pues vamos a ver este problema. Estos problemas
son problemas de composición de movimientos. Es uno de los problemas que
tenéis en la colección. Que por cierto ya están, llevan casi una semana
ya introducidos en la carpeta de documentos. Y este lo traje porque es un
problema bastante interesante. Tanto desde el punto de vista práctico como
desde el punto de vista teórico. Práctico porque vosotros que vais a ser
ingenieros industriales. Vais seguramente en vuestra vida a tener bastante
relación con la mecánica de los automóviles. Y esto que... Ese dibujito
que veis ahí en la parte inferior de la diapositiva es el esquema de un
diferencial de automóvil. Sabéis que la mayor parte de los automóviles,
incluidos los turismos buenos, llevan la diferencial para que cuando se da
una curva, las ruedas que quedan por la parte cóncava de la curva tienen
que andar menos que las ruedas que van por la parte exterior de la curva.
Entonces, si el eje que une las dos ruedas es el mismo, es imposible que
una no patine. Ya que una tiene que andar más que la otra y el eje les
obliga a andar a las mismas revoluciones, pues vamos, jodido, una de ellas
va a patinar. Y la que patina, pues va a tener dos problemas. Primero,
desgaste enorme de la rueda, pero segunda, nos va a llevar por el camino
que no queremos, nos va a desviar de la trayectoria. Para evitar esto, los
vehículos tienen, obligatoriamente, aquellas ruedas que son de tracción,
una diferencial para que cada una de las ruedas ande independientemente,
ande con un número de vueltas. ¿Qué? Es la que le pida la curva. ¿Eh? Y
esta es la diferencial cuyo esquema tenéis ahí representado. Se trata de
lo siguiente. Dos piñones cónicos que están marcados ahí con el 1, que
va a dar a un palier de la rueda, de la rueda, de la rueda izquierda. Otro
piñón cónico con el mismo número de dientes y todo igual, que es el
marcado. Como 2, que va hacia el palier de la rueda derecha, por ejemplo. Y
luego tiene otro piñón cónico marcado como 3, que engrana en estos dos,
en el 1 y en el 2, pero al mismo tiempo tiene un eje que lo une a una
corona. circular, que la veis ahí marcada como 4. Esta corona circular,
pues tiene un movimiento de rotación alrededor de su eje, con lo cual ese
movimiento de rotación de la corona arrastra también al piñón cónico
3, en fin, entonces la composición de todos estos movimientos es tal que
el movimiento, la rotación del piñón 1 y de la 2 pueden ser, es lo que
buscan. Entonces, ya cuando estudies mecanismos en el segundo o tercero de
carrera, ya no sé a estas alturas en que está, pues vais a ver este, por
ejemplo, este problema lo vais a desmenuzar muy, muy, muy mucho. Pero,
ahora mismo mecánica, pues ya toca, ya toca, como veis. Todo bien. Un
diferencial de automóvil está formado por dos conos iguales sobre 2, 1 y
2. Esto ya lo hemos visto, no vamos a dejar. El tercer cono de semiángulo
en el vértice 60 grados puede moverse sobre los conos girándole pa
patín, pa tatán y pa tatán, todo esto ya lo hemos visto. Nos da, los
datos son los siguientes. El piñón cónico 1 está girando con una
velocidad omega mayúscula sub 1, cuyo vector lo veis ahí, está girando
mirando desde el punto O al piñón cónico, estaría girando en el sentido
contrario de las agujas del reloj. Si no, coger el sacacorchos y veréis
para dónde va, al mismo sitio que el vector omega sub 1. Y luego medir que
el movimiento de la corona 4 tiene una rotación alrededor sigma no omega
mayúscula 4, también con la dirección de ese vector que veis ahí, es
decir, también mirado desde O en el sentido. contrario a las agujas del
reloj. Bueno, pues con estos datos me va pidiendo preguntas. Y me dice,
primero, calcule las velocidades angulares omega 3,0 y omega 2,0. Primero
tenemos que poner los ejes. Hemos puesto dos ejes. Los ejes fijos, los ves
ahí el X y Z. X y Z están ahí claros cuyo origen de coordenadas es el
punto O, que es donde convergen todos los... ¿Vale? Y los ejes móviles
los hemos hecho coincidir con el eje uno de los ejes. Por ejemplo, el Z.
Los hemos hecho coincidir con el eje del piñón número 3. Y los ejes X e
Y, pues hoy serán perpendiculares a este. Estos ejes móviles que se
mueven solidarios a la corona 4, le hemos llamado ejes 0. ¿No? A ver si es
así. No. Ejes 4. ¿Eh? Y... Sí, ejes 4 porque coinciden, se mueven con la
corona 4. Por eso le hemos llamado ejes 4. Y los ejes fijos les hemos
llamado ejes 0. Por tanto, me pide omega 3,0 lo único que me está
pidiendo es que le dé la velocidad angular absoluta que lleva el piñón
3. Es decir, la velocidad del piñón de rotación del piñón 3 con
respecto a los ejes 0 y fijos. ¿Vale? Y lo mismo el omega 2,0. Velocidad
angular del piñón 2, absoluta angular del piñón 2. Muy bien. En primer
lugar, para no liarnos con toda esa figura ahí en tres dimensiones, la voy
a dibujar en dos, para ver las direcciones. Lo he dibujado ahí, en la
parte derecha, el croquis ese que tenéis ahí. He puesto el piñón uno,
el piñón dos y el piñón tres. La corona no la he representado porque en
principio la voy a frenar, ¿vale? Para ver los movimientos relativos.
Entonces he pintado los tres piñones ahí. Trabajaremos proyectando todos
los vectores o grupos ejes correspondientes al trihedral X1, Y1 con el eje
Y1 coincidente con el eje de rotación de los sólidos uno y dos. Y los
ejes X1 y Z1 rotando alrededor del eje OY1. Los ejes X1, Y1, Z1 son los
ejes que yo he llamado cuatro antes. Los ejes cuyo eje Z coincide con el
piñón número tres. Y el eje Y con el eje del piñón número dos. Y el
eje X donde toque perpendicular a los X1, toque perpendicular. Bien.
Fijaros que los datos que me dan de OMEGA SU 1 mayúscula es el OMEGA del
piñón uno, ¿vale? La velocidad del piñón uno con respecto a los ejes
cero. Del piñón uno con respecto al cero. Que es OMEGA SU 1. Fijaros
antes de nada. Vamos a dibujar. O sea, estábamos dibujando los piñones y
me he ido por otro lado. Ya estoy... El agotamiento ya... Vamos a ver. He
dibujado esos piñones en dos ejes, proyectados sobre los ejes I1, Z1, para
dibujar las velocidades representadas con sus vectores. El omega 1, 0 es
este vector que ves ahí. Fijaros que es lo que os he dicho antes, situado
en el punto O, el piñón 1 gira en el sentido contrario de las agujas del
reloj. Por lo tanto, el vector omega 1 con respecto al 0, a los ejes fijos,
es ese que veis ahí. ¿Dónde avanzaría el sacacorchos? Si puesto seno le
hago girar al sacacorchos en el sentido contrario de las agujas del reloj,
avanzaría hacia la derecha. Ahora bien, si esa es la velocidad del piñón
1, como el piñón 3 está engranado al piñón 1, ¿qué velocidad angular
tendría? ¿Cómo rotaría? Pues visto desde O, en el sentido contrario. En
el sentido de las agujas del reloj, obviamente, ¿no? Ha de seguir la
velocidad del piñón 1. Por lo tanto, el vector omega 3 con respecto a los
ejes 0 sería ese vector que ves ahí arriba. Y obligatoriamente también,
el piñón 2 no le queda más remedio que girar visto desde O en el sentido
contrario de las agujas del reloj con respecto al 0. No, perdón. He dicho
2-0, no. 2-4, porque fijaros que he dicho que voy a parar la corona 4, la
voy a frenar. Es decir, estoy estudiando movimientos relativos. Recordad lo
que se hablaba en el módulo de grabación. Cuando yo digo... que estoy
estudiando un movimiento relativo, que este es el movimiento por ejemplo el
omega 1 con respecto al 4 significa que el 4 lo paro sea lo que sea, el
sólido 4 lo paro y estudio el movimiento de 1, del sólido 1 cuando está
el 4 parado, ese es el movimiento relativo aquí he dicho voy a estudiar el
movimiento relativo de los piñones 1, 2 y 3 con respecto a la corona 4
pues entonces lo que hago es parar el 4, el 4 lo frena y ahora veo como se
mueven los piñones 1, 2 y 3 ese es el movimiento relativo de los 1, 2 y 3
con respecto al 4 por eso estas velocidades que acabo de decir son omega 1,
4 omega 3, 4 y omega 2, 4. Las velocidades que me dan es la velocidad
absoluta del piñón 1 con respecto al 0, a los ejes 0 que son los fijos
que son sigma 1 y tienen la dirección de J1 y la otra que me dan es la
velocidad absoluta de la corona 4 omega 4 con respecto a 0 muy bien, ahora
me piden omega 3, 0 y omega 2, 0. Vamos a hacerlo y lo dejamos aquí y
seguimos otro día que ya estamos cansados. Vamos a ver, ¿cómo
calcularía yo omega 3, 0 y omega 2, 0? Mira, omega 4, 1 es muy fácil de
calcular porque como conozco el 1, 0, el omega 1, 0 y el omega 4, 0, si yo
planteo la relación de velocidad absoluta o la relativa más arrastre,
fijémonos en los subíndices omega 4, 0 será igual a omega 4, 1 más
omega 1, 0 El omega 1 cero la conozco, es un dato. El omega 4 cero es otro
dato. Entonces despejó 4 1. Omega 4 1 igual a omega 4 cero menos omega 1
cero, que será sin omega 4 mayúscula menos omega 1 mayúscula por J1. Ya
tengo calculado. No me la pedían, pero la voy a necesitar. Ahora me voy al
esquema y digo, ¿cómo? Vamos a ver. En el movimiento relativo este del
esquema que está ahí pintado, voy a coger un punto del piñón, uno
cualquiera. Uno que me parece fácil es el extremo, el A. De los piñones 1
y 3. Digo, si los piñones 1 y 3 están engranados entre ellos y no hay
deslizamiento, obviamente la velocidad tangencial en ese punto, o en otro
cualquiera, pero en ese punto que me parece... Del piñón 1 ha
desigualado, la velocidad tangencial del piñón 3. Si no los han igualado
se estaría deslizando. Eso lo planteo aquí. Entonces la velocidad A del
piñón 1 con respecto al 4 ha desigualado la velocidad en el punto A del
piñón 3 con respecto al 4. Y ahora me voy al otro, al 2 y al 3. Punto B
pasa lo mismo. Las velocidades tangenciales de los dos han de ser iguales.
Por lo tanto, la velocidad en B del piñón 2 con respecto al 4 ha
desigualado la velocidad en B del piñón 3 con respecto al 4. Pero la
velocidad en A del piñón 1 con respecto al 4 es omega 1, 4 por h. La
velocidad angular por el radio es la tangencial. Y la velocidad A de 3 con
respecto al 4 es omega 3, 4 por el brazo, que es raíz de 3 por h. Lo mismo
con las ecuaciones de abajo. El V2, 4 es omega 2, 4 por h. Y el VB, 3, 4 es
omega 3, 4 raíz de 3 por h. Haciendo operaciones nos sale que omega 1,4 ha
de ser igual a omega 2,4. Ya tenemos algo. Pero de aquí, de la primera
ecuación, de la ecuación que nos da omega 3,4, a ver dónde está, sí,
de la primera ecuación, voy a marcarla con línea roja, esta ecuación de
aquí, podemos despejar omega 3,4, que está aquí despejada. Omega 3,4
igual a omega 1,4 partido por raíz de 3. ¿Cómo omega 1,4? Ya la calculé
anteriormente. Fijaros en una cosa. Diréis vosotros, joder, pero no has
calculado omega 1,4. Has calculado omega 4,1 aquí arriba. ¿Y ahora por
qué me dices que tienes calculado omega 1,4? Porque omega 1,4 es igual a
omega 4,1 cambiado de 5. El cambiarle 2 subíndice significa solamente
cambiar de 5. Otra cosa buena que tiene el marcar los subíndices. Omega
1,4 es igual a menos omega 4,1. Y omega 5,3 es igual a menos omega 3,5,
etc. Y v 5,3 es igual a menos v 3,5. Entonces de esta forma calculamos
omega 3,4. Y una vez calculado omega 3,4 volvemos otra vez. A la ecuación
de velocidad absoluta igual a la relativa más arrastra. Fijémonos en los
subíndices. Omega 4,0 es igual a omega 4,3 más omega 3,0. Y de aquí
despejamos omega 3,0. Y además, otra vez, omega 4,0 es igual a omega 4,2
más omega 2,0. Fijémonos en los subíndices. Y de ahí despejamos omega
2,0. Fijaros vosotros, no vamos a avanzar más. ¿Eh? Porque ya está.
Estamos... a tope, pero quiero que os fijéis una cosa, lo fácil que es
aplicar las ecuaciones de velocidad absoluta o aceleración o lo que sea,
igual a relativa más arrastre simplemente trabajando con los índices,
tienen que casar los índices, nada más luego me olvido de si es de
arrastre, si es de relativa si es absoluta, me da igual lo que sea, si los
índices casan, está bien todo además no hace falta que sean dos
sumandos, pueden ser quince, pero tienen que casar los índices, el último
subíndice del primer término ha de ser igual al primer subíndice del
segundo y el segundo índice del segundo ha de ser igual al primer índice
del tercero, y el segundo índice del tercero es igual al primero del
cuarto, etc. si lo hago así, y además el primer índice del primer
sumando, y el último índice del último sumando, han de ser igual a los
índices del primer miembro de la igualdad, si eso es así va bien,
independientemente de si es esto relativo de arrastre, no sé qué, no sé
cuándo y son, por eso es esta forma de trabajar con subíndices que no
viene en el libro básico, es para mí elemental a la hora de hacer
problemas de composición de movimiento y luego, otra cosa es, los cambios
de subíndices simplemente significan cambios de signo, omega dos cero es
igual a menos omega cero dos, bueno, pues lo vamos a dejar aquí porque ya
no da ni el tiempo para más ni las fuerzas por lo tanto seguiremos el
próximo día, de todas formas estos problemas los tenéis en la colección
de problemas.