Bien, pues vamos a empezar el desarrollo del módulo S1-D correspondiente
a cinemática del movimiento plano en su parte primera porque lo vamos a
dividir este módulo en dos partes. Un sólido que llamaremos S tendrá
movimiento plano respecto a un sistema de referencia si las velocidades de
todos sus puntos son paralelas a un plano llamado P del sólido S en todo
momento. Obviamente les son aplicables todas las conclusiones que hemos
citado para el movimiento general del sólido rígido pero el movimiento
plano tiene tal riqueza de aplicaciones que conviene detenerse en sus
particularidades y es lo que vamos a hacer en estos dos módulos que vamos
a ver. Para comenzar conviene dejar bien sentado las características
particulares más importantes de un movimiento plano que son esas que veis
ahí en la diapositiva que aparece. Primera, la velocidad de rotación
omega en un movimiento plano es siempre ortogonal al plano P. Ahí en la
figura se representan dos secciones de un sistema de referencia. En un
sólido S el sólido no se ha representado para no emborronar la figura
pero suponemos que son dos secciones de un sólido S cortadas por los
planos P1 y P2 en los que se ven las velocidades tangenciales en diversos
puntos del sólido contenidos en cada uno de los planos. Y estas
velocidades tangenciales son las que se encuentran en el sólido S. son
originadas por la rotación resultante omega del sólido alrededor de un
eje perpendicular al plano cualquiera de esos planos que vemos ahí, PSU1 o
PSU2 ya sabemos que este eje de rotación coincidente en dirección con el
vector omega resultante velocidad angular resultante es el eje instantáneo
de rotación y vemos que pasa por el punto I representado ahí en el plano
en el plano PSU2 concretamente bien, esa recta que pasa por el punto I que
es perpendicular al plano, en este caso PSU2 lo mismo podríamos haber
dicho con el PSU1 es el eje instantáneo de rotación y el punto de
intersección de esta recta que coincide con la dirección del vector omega
con el plano PSU2 con el plano PSU1 o con el plano PSU2 es el punto I en el
caso del plano PSU2 se le conoce con el nombre de centro instantáneo
observemos que todas las secciones del sólido del sólido S que no aparece
ahí representado todas las secciones paralelas al plano P PSU1, el PSU2 y
cualquier otro plano que fuera paralelo a esos dos tienen todas el mismo
campo de velocidades lo que quiere decir que dos puntos con las mismas
coordenadas X e Y en cada uno de estos planos tendrían las mismas
velocidades los mismos vectores de velocidad tanto en módulo iguales tanto
en módulo como en dirección lo único que varía es la variable Z es
decir, la altura que se encuentra el plano es decir, si es el plano PSU1 o
el plano PSU2 o el PSU3, etc. pero con tal de que los puntos tengan las
mismas coordenadas X e Y todos tienen la misma velocidad esto es la
característica fundamental que define a un movimiento plano todas las
secciones del sólido S paralelas al plano P tienen idéntico campo de
velocidades y trayectorias también la velocidad además de mínimo
deslizamiento es nula recordemos que la velocidad de mínimo deslizamiento
es el movimiento de un movimiento plano es decir, el movimiento de avance
del sacacorchos a que nos referíamos en módulos anteriores es decir, el
movimiento de avance en aquel movimiento helicoidal que decíamos que
estaba compuesto cualquier cuerpo sólido moviéndose alrededor de su eje
instantáneo de rotación bien pues la velocidad de mínimo deslizamiento
en el caso de un movimiento plano es siempre nula por lo que solamente hay
un movimiento de rotación alrededor del centro instantáneo de rotación
con lo cual nos facilita enormemente el estudio, el análisis del
movimiento de un movimiento plano comparado con un movimiento espacial es
más fácil porque ahora en el plano solamente tenemos un movimiento de
rotación alrededor del centro instantáneo de rotación mientras que antes
en un movimiento espacial tendríamos un movimiento helicoidal compuesto de
un movimiento de rotación más un movimiento de avance en la dirección
del vector la misma dirección que el vector velocidad angular resultante
solamente hay una excepción en el movimiento plano, una excepción a este
movimiento de único de rotación alrededor del centro instantáneo de
rotación que es aquel movimiento que sea una traslación pura en este caso
no habrá movimiento ni de giro ni de avance del sacacorchos solamente un
movimiento de traslación es decir que todos los puntos del sólido
tendrán la misma velocidad y ésta será paralela al plano P estará
contenida en el plano P o será paralela al plano B es decir el eje
instantáneo de rotación estaría en un punto separado del cuerpo en
estudio una distancia infinita insistiremos más tarde en este tema y lo
veremos concretamente a continuación lo veremos más claro un sólido S
que se mueve en un instante determinado en un plano con un movimiento
espacial un movimiento de rotación pura omega alrededor de un eje
perpendicular al plano de la pantalla y que pasa por A1 como veis ahí en
la figura superior derecha punto A1 sólido S girando alrededor del punto
A1 con una velocidad angular omega en este caso velocidad angular
antihoraria sentido antihorario bien origina este movimiento una velocidad
tangencial en cualquier punto del sólido S por ejemplo en el punto B que
veis ahí en la figura una velocidad tangencial origina ese movimiento de
rotación en el punto B que es el producto del módulo del vector omega por
la distancia AB del radio vector de posición de B respectiva a B respecto
de A y el vector que representa esta velocidad tangencial es perpendicular
al radio vector AB tal y como lo veis ahí pintado de rojo y marcado como
VB el punto A a lo que no hemos referido anteriormente y sobre el cual gira
en ese momento en ese instante determinado el sólido S representa el
centro instantáneo de rotación y podemos por lo tanto calcular la
velocidad en cualquier punto B del sólido simplemente multiplicando omega
por AB el resultado es un vector perpendicular a AB y de módulo el que
hemos dicho antes omega por AB ahora fijémonos en la figura inferior si
dicho sólido S además de poseer el movimiento de rotación omega
alrededor del punto A tal y como figura aquí en la pantalla sólido S que
gira con una velocidad omega de rotación alrededor del punto A pero
además tiene un movimiento de traslación que es VA representado por ese
vector que veis ahí es decir en resumidas cuentas el par cinemático que
representa el movimiento de ese cuerpo en el punto A consta de dos vectores
uno omega perpendicular al plano XY y otro VA contenido en el mismo plano
XY bien en este caso puedo equiparar el movimiento resultante de este
sólido a una rotación pura aplicada en un punto I que lo veis ahí en la
figura derecha es el mismo sólido S pero con la velocidad de rotación
omega trasladada hacia un punto I tal que el producto del módulo del
vector omega es decir, omega por la distancia IA sea igual al vector VA que
es el vector velocidad de traslación que tenía el cuerpo en el punto A
pues este último movimiento que acabamos de decir la rotación omega
alrededor del punto I genera en el punto A una velocidad VA igual a la que
decíamos que tenía el cuerpo y en cualquier otro punto del sólido
asimismo idéntica velocidad al movimiento inicial por lo tanto podemos
suprimir el sólido S de la izquierda y sustituirlo por el de la derecha de
esta figura que estamos analizando ahora el sólido de la derecha tiene un
movimiento simplemente de rotación alrededor de un punto I ese punto I es
el centro instantáneo de rotación y podemos estudiar el movimiento del
sólido S simplemente con un movimiento de traslación perdón de rotación
cual es mucho más fácil que estudiarlo con dos movimientos uno de
rotación y otro de traslación tal y como aparecía en la figura izquierda
el punto I como acabamos de decir será el centro instantáneo de rotación
del sólido en ese instante y se obtiene simplemente trazando una
perpendicular al vector VA por el origen de dicho vector es decir, por el
punto A y midiendo una distancia a I igual al módulo del vector VA que ya
era conocido dividido entre el módulo del vector omega que también era
conocido bien, ahora fijémonos vamos a complicar un poquito más los
movimientos estamos yendo de abajo arriba de sencillo a con más complicado
y vamos a situarnos en la figura inferior izquierda consideramos que el
sólido S de la figura izquierda en un instante determinado se mueve de tal
forma que las velocidades en dos puntos A y B de dicho sólido S son
conocidas por tanto conocidos los vectores VA y VD de acuerdo con lo dicho
anteriormente el punto I de intersección de las perpendiculares a los
vectores velocidad dados por los puntos A y B constituye el centro
instantáneo de rotación del movimiento de dicho sólido en ese instante y
el movimiento del mismo quedará reducido a una rotación pura alrededor
del punto I con una velocidad angular omega que será igual al módulo de
la velocidad conocida por ejemplo en el punto A partido por la distancia IA
o AI la distancia AI es una perpendicular al vector VA por A o también
omega será igual a la relación entre el módulo del vector velocidad en
VB dividido por la distancia BI entonces en definitiva las normales a las
velocidades en dos puntos se cortan en un punto de velocidad nula que
recibe el nombre de centro instantáneo de rotación y que designaremos
como I mayúscula latina es la característica 4 marcada en la en el
ejemplo MP1 figura un ejemplo que nos aclarará enormemente esto que
acabamos de decir si bien creo que está bastante claro la característica
5 nos dice que para estudiar el movimiento plano de un sólido S
consideraremos siempre dos planos esto es muy importante para estudiar el
movimiento plano de un sólido cualquiera S el que venimos representando en
las figuras que hemos lo anteriores consideraremos siempre dos planos uno
fijo el P1 fijaros que hemos llamado P1 siempre al plano que cuya
referencia son los ejes X y trazados ahí en las tres figuras anteriores
ese plano estará fijo y es la referencia fija pero a este plano además
hemos de añadir otro móvil el P0 que figura en la figura inferior
izquierda de color verde esto azul claro P0 este plano que está
referenciado ahí con los ejes X e Y y con el punto con el centro de
coordenadas en el punto O1 es un plano móvil y que tiene el mismo
movimiento que el sólido S esto es muy importante el mismo movimiento que
el sólido S está ligado está soldado al sólido S este plano P0 móvil
se mueve deslizándose sobre el plano fijo P1 más adelante volveremos a
insistir en el tema la característica 6 es del movimiento plano es que el
movimiento del sólido S transcurre en un momento determinado como si el
plano móvil P0 girase alrededor del centro instantáneo de rotación I del
sólido S en ese instante con una velocidad angular omega perpendicular a
ambos esto es lo que hemos dicho antes la característica 7 de un
movimiento plano es que la velocidad en cualquier punto C del plano por
ejemplo ver la figura inferior izquierda sólido S plano móvil que se
mueve con el sólido llamamos P0 pintado con los ejes de referencia
pintados en azul claro un punto C dentro del cuerpo sólido del sólido S
la velocidad en cualquier punto C del plano móvil será igual a omega
multiplicado por IC siendo los dos vectores y siendo el producto vectorial
o sea perdón siendo los tres vectores VC omega IC es el vector
radioposición que me identifica la posición del punto C a partir del
centro instantáneo de rotación I entonces la velocidad en cualquier punto
del cuerpo será igual el vector velocidad XI al plano PSU1 plano fijo
plano de la de la pantalla al plano del dibujo multiplicado vectorialmente
por el vector IC siempre en un instante considerado porque ya sabemos que
el centro instantáneo de rotación va cambiando de sitio con el tiempo la
característica 8 es que al transcurrir el tiempo las velocidades de los
puntos del plano móvil que hemos llamado P0 van cambiando tanto en módulo
como en dirección y por tanto el punto I cambiará de sitio por eso le
hemos llamado centro instantáneo de rotación para esto tenemos que
recordar el ejemplo que habíamos puesto en un módulo anterior de la
escalera lo ves ahí en la figura derecha una escalera apoyada en el suelo
horizontal sin rozamientos la escalera estudiamos ahí tres posiciones la
primera dibujada en azul oscuro con sus extremos A1 que es el apoyado a la
pared y el B1 apoyado al suelo la escalera desliza resbala y desliza sobre
las paredes por lo tanto en un momento determinado la escalera está en esa
posición pintada de azul llevará en su extremo A1 una velocidad paralela
a la pared vertical y en el extremo B1 una velocidad paralela al suelo si
trazamos por los orígenes de los vectores de velocidad de cada extremo por
sendas perpendiculares determinamos el punto I1 que es el centro
instantáneo de rotación de la escalera en esa primera posición la
escalera en esa primera posición es como si rotara con un movimiento con
una velocidad angular omega 1 alrededor de dicho punto I1 por lo tanto
tendremos muy fácil calcular en ese instante la velocidad el vector
velocidad de cualquier punto de la escalera un instante después la
escalera está en la posición 2 roja asimismo tiene la velocidad en su
extremo A2 obviamente en la misma dirección de la pared vertical y
asimismo en el extremo B2 la misma dirección que el suelo trazando sendas
perpendiculares por a los vectores de velocidad obtenemos el centro
instantáneo de rotación en la posición intermedia I2 una vez más el
movimiento de la escalera en cualquier punto de la misma será el producto
de una rotación pura omega 2 alrededor del punto I2 y lo mismo ocurre con
la tercera posición verde que es la tercera posición obtendremos el
centro instantáneo de rotación en el punto I3 con lo cual observamos que
el centro instantáneo de rotación depende del momento en que lo
consideremos va cambiando con el tiempo de ahí la palabra instantáneo el
centro instantáneo de rotación lo debemos determinar para un instante
determinado para el instante en que nosotros estamos analizando el
movimiento del sólido un instante posterior ya será otro otra la
posición quiero decir bien ya hemos aprendido a localizar el centro
instantáneo de rotación de un sólido S conocidas las velocidades de dos
puntos diferentes que vamos a llamar A y B del sólido en un instante
determinado pero fijémonos que dichas velocidades venían representadas
por vectores que no eran paralelos a la figura de la transparencia anterior
el sólido S de la figura de la izquierda tiene en un instante determinado
esas velocidades en los puntos A B y C que veis ahí fijaros que estos
vectores no son paralelos por lo tanto sus perpendiculares las
perpendiculares a esos vectores por los puntos origen de dichos vectores A
B y C concurren siempre en un punto que es el centro instantáneo de
rotación es la forma de calcular o determinar geométricamente el centro
instantáneo de rotación buscar al menos dos velocidades en dos puntos
diferentes del sólido que estamos estudiando trazar sus perpendiculares
por los orígenes de esas vectores de velocidad la intersección de las dos
es el centro instantáneo de rotación bien pero ahora ahora queremos
avanzar un poco más imaginemos o sea nos preguntaremos donde estaría el
centro instantáneo de rotación y si las velocidades de los puntos A y B
del cuerpo S son paralelas es decir imaginémonos la figura derecha
superior tenemos el plano fijo P1 con sus ejes coordenados que lo definen o
XY y tenemos el sólido S y tenemos dos puntos cualquiera del cuerpo A y B
en ellos conocemos sus velocidades imaginémonos que los vectores velocidad
VA y VB son paralelos claro si los vectores de velocidad son paralelos ya
no podemos pensar en un punto de intersección de las perpendiculares a los
vectores de velocidad trazados desde sus orígenes que sería el centro
instantáneo de rotación ya se nos plantea un problema como determinar el
centro instantáneo de rotación en este caso bien pues puede ocurrir dos
casos distintos puede ocurrir el caso A que es el que estamos señalando
figura derecha superior en que los vectores velocidad VA sea exactamente
igual al VB exactamente igual dos vectores significa que son iguales en
módulo y en dirección es decir son paralelos y además de la misma
longitud en este caso el centro instantáneo de rotación estaría en el
infinito porque si trazamos una perpendicular por A a VA y una
perpendicular por B se tocarán el infinito y así ocurre con cualquier
otro punto C por ejemplo el que está representado ahí que tendrá la
misma velocidad VC que las anteriores tanto en módulo como en dirección
luego el movimiento quedará reducido a una traslación simple como ejemplo
de ello ya lo hemos visto en un módulo anterior también las barquillas de
la noria de un tío vivo las barquillas de la noria de un tío vivo tienen
un movimiento de traslación puesto que en cualquier punto de la noria de
un tío de la barquilla de un tío vivo de la barquilla de la noria de un
tío vivo sus velocidades son iguales ojo el que sea un movimiento de
traslación no quiere decir que tengan todos los puntos de ese sólido
trayectorias rectas puede que un sólido lleve un movimiento de traslación
y tenga una trayectoria curva en cuyo caso diríamos que está estamos ante
una traslación curvilínea la verdadera característica de un movimiento
de traslación es que la velocidad de todos los puntos del cuerpo sean
iguales en módulo y en dirección evidentemente que es lo que ocurre a las
barquillas de la noria de un tío vivo aunque su trayectoria de todos los
puntos de esas barquillas sean un círculo movimiento de traslación
curvilínea pero sigue siendo de traslación ese es el caso A ahora vamos a
ver otro caso porque los dos o sea los dos puntos A y B pueden tener
velocidades paralelas pero sin embargo sus módulos ser distintos como
ocurre en la figura inferior derecha vemos que la velocidad VA es paralela
a la velocidad en B sin embargo la velocidad en A tiene mayor módulo que
la velocidad en B en este caso ¿qué hacemos? bueno pues para determinar
el centro instantáneo de rotación en este caso unimos trazamos una recta
que es resultado de unir A B y prolongarla y por otro lado unimos los
extremos de los rectores VA y VB y la prolongamos también en donde estas
dos rectas se intercepten es el punto I que es el centro instantáneo el
cuerpo del sólido S se está moviendo como si estuviera rotando con una
velocidad angular omega alrededor del punto I ¿cuál será esa velocidad
omega? pues será la relación entre los módulos del vector VA dividido
entre distancia AI o bien la del vector VB partido VI cualquier otro punto
por ejemplo el C llevará una velocidad que está contenida dentro de ese
triángulo que hemos trazado I A extremo de VA AI tal y como aparece ahí
en la figura en el ejemplo P24 veréis claramente esto que acabamos de
decir a continuación vamos a ver otro caso particular que se nos puede
presentar a la hora de localizar el centro instantáneo de rotación en un
movimiento plano y nos vamos a hacer otra pregunta ¿en donde estará el
centro instantáneo de rotación I en un sólido S cuyo movimiento se
compone de dos o de más rotaciones aplicadas en otros tantos puntos
conocidos del mismo ahí lo veis en la figura inferior tenemos el sólido S
referenciado en un plano fijo P1 cuyos ejes horizontales X y vertical I y
este sólido S a diferencia de los anteriores que tenía velocidades de
traslación y de rotación solamente tiene velocidades de rotación y
están definidas por una velocidad de rotación omega en el punto A y otra
velocidad de rotación omega B en el punto aplicada en el punto B y nos
planteamos la duda ¿donde estará el centro instantáneo de rotación de
ese cuerpo con ese movimiento? bien el centro instantáneo de rotación en
este caso es el punto de aplicación del vector de rotación resultante
omega mayúscula ya que siempre hemos dicho que el eje instantáneo de
rotación coincide en dirección con el vector rotación resultante y
además si solamente existe velocidades angulares velocidades de rotación
además del eje instantáneo de rotación coincidir en dirección con el
vector omega mayúscula resultante también coincide en el punto de
aplicación del vector omega resultante es decir si yo determino el punto
de aplicación del vector suma de omega A y omega B que será el punto C
ese punto coincide con el centro instantáneo de rotación entonces como
determinamos el centro instantáneo de rotación en este caso concreto
aquí en la figura inferior derecha en ese esquema que se ha puesto ahí se
ha cogido el punto A y el punto B se han trazado los vectores omega A
aplicado en el punto A y el omega B aplicado en el punto B como veis se ha
trazado una recta que va desde A hasta B el vector omega resultante omega
mayúscula resultante suma vectorial del vector omega A más el omega B
será un vector suma de los dos tal y como lo veis ahí y aplicado en un
punto C de tal forma que la suma de momentos de los tres vectores con
respecto a un punto cualquiera situado entre A y B ha de ser cero es decir
por ejemplo si cogemos o tomamos el punto B como punto de referencia y
tomamos momento de todos los vectores con respecto al punto B e igualamos a
cero nos daría omega multiplicado por AB igual a omega mayúscula
multiplicado por CB o omega A multiplicado por AB más omega C multiplicado
por CB igual a cero y de ahí despejamos distancia CB pero también podía
utilizar el punto C como origen buscamos despejamos la distancia BC que es
esto que es bien como vemos el movimiento plano de un sólido rígido puede
estudiarse como si el mismo estuviera girando alrededor de un punto I que
llamamos centro instantáneo de rotación con velocidad cero o angular
omega pero ya lo hemos dicho en un módulo anterior y lo volvemos a repetir
aquí esto solamente es válido a efecto de cálculo de velocidades no vale
para calcular velocidades nos suponemos que el cuerpo está girando con una
velocidad omega alrededor del centro instantáneo y eso vale para calcular
velocidades pero no vamos en un módulo anterior correspondiente al
movimiento general del sólido rígido ya hemos analizado las distintas
posiciones que va ocupando el eje instantáneo de rotación en el espacio a
medida que se va desarrollando el movimiento y recordamos que le
llamábamos asoide fijo y asoide móvil a estas posiciones dependiendo de
cuál fuera el observador que lo estuviera bien además ya decíamos allí
que si dicho movimiento se limitaba al plano el eje instantáneo de
rotación se reducía a un punto que es el centro instantáneo de rotación
y el lugar geométrico de este punto a medida que avanzaba el movimiento se
llamaba base y ruleta ahora vamos a profundizar un poco más en estos
últimos conceptos porque lo vamos a utilizar enormemente en este módulo y
para ello vamos a poner un ejemplo que pienso que va a ser suficientemente
claro tomaremos dos papeles a los dos folios al papel o plano P1 o sea
tengamos en cuenta que cada vez que hablo de papel hablo de plano podemos
equiparar el papel a un plano por lo tanto cuando hable de papel también
voy a hablar del plano o nos imaginemos que es un plano y cuando hable de
plano nos imaginemos que es el papel bien pues tendremos dos papeles o dos
planes uno P1 perdón fijo a una mesa es decir tenemos una mesa como veis
ahí en la figura inferior izquierda hay una mesa y encima de la mesa
coloco un primer papel que es el papel o plano P1 fijo ese no se va a mover
va a estar sujeto a la mesa lo voy a pegar con celo por sus esquinas para
que no se mueva y luego voy a poner encima de este papel fijo P1 otro papel
móvil P0 este papel móvil va a deslizar sobre el papel fijo P1 y por lo
tanto desliza se mueve con respecto al plano P1 con un movimiento plano
aquí no hay movimientos en la dirección Z solamente hay movimientos en la
dirección de la mesa cuyos ejes son podemos llamarles X horizontal e Y
vertical movimiento plano a continuación vamos a clavar un alfiler
sujetando ambos papeles uno sobre el otro a la mesa en un punto cualquiera
aquí lo veis en la figura 1 en la figura de la izquierda se ha
representado el alfiler con una flechita y en un punto determinado clavando
los papeles móvil P0 y fijo P1 a la mesa el alfiler va a hacer las veces
de centro instantáneo de rotación por lo tanto le vamos a llamar I
mayúscula luego cada vez que pinchamos giramos un poco el papel móvil P0
giramos un poquito y repetimos así varias veces una vez girado un poco el
papel fijo sobre el móvil sobre el fijo con el alfiler clavado desclavamos
el alfiler lo clavamos en otro punto diferente y volvemos a girar el papel
móvil sobre el fijo un poquito finalmente bueno hacemos esto un montón de
veces fijaros ahí que en la figura se ven los distintos puntos circulitos
en una línea roja que son todos los puntos por donde ha pasado el alfiler
y por lo tanto donde he girado un poco el plano el papel móvil P0 sobre el
los puntos marcados ahí en rojo representan los centros instantáneos de
rotación en cada momento finalmente levantamos de la mesa ambos papeles
sacamos el alfiler y levantamos ambos papeles y trazamos con un rotulador
sendas líneas en ambos papeles en el fijo y en el móvil uniendo los
agujeros hechos por el alfiler en ambos papeles aquí en la figura uno veis
cómo está trazada esa línea en color rojo uniendo todos los puntitos que
me ha ido hecho que me ha ido haciendo el alfiler en el papel móvil P0
hacemos lo mismo sacamos el papel móvil nos quedamos con el fijo y
trazamos la misma curva en el fijo fijaros que eso está representado en la
figura dos de la derecha en la figura dos de la derecha he levantado el
papel móvil P0 dibujado en azul le he levantado una esquina no sé si
está muy bien representado pero bueno he querido que lo vierais levantando
la esquina del papel móvil para que vierais lo que hay debajo en el papel
fijo pues está la línea que he trazado con el rotulador uniendo todos los
agujeros trazados por el alfiler en el papel fijo a esta línea le voy a
llamar línea C1 y a la línea del papel móvil que le hemos visto en la
figura uno le voy a llamar C0 ambas curvas la C1 y la C0 tendrán un punto
común que será la última posición del alfiler que ha servido de centro
instantáneo de rotación ahí lo ves en la figura derecha el alfiler está
en esa última posición pues en ese momento las dos curvas son tangentes
tienen un punto común que es ese punto donde está el alfiler clavado si
volvemos a juntar los dos papeles el móvil sobre el fijo ponemos el móvil
encima del fijo por el último punto común punto I que se ha representado
ahí y lo ponemos al trasluz en una mesa luminosa con una lámpara luminosa
por abajo los dos papeles son transparentes por tanto podemos ver la luz de
las dos curvas tanto la del papel fijo como la del papel móvil vemos las
dos curvas y vemos que no son iguales en absoluto la curva del papel fijo
C1 difiere de la del papel móvil C0 sin embargo observamos que tienen un
punto común el I es decir que son tangentes entre ellas en dicho punto a
la curva C0 le vamos a llamar polar móvil o ruleta y a la curva C1 le
vamos a llamar polar fija o base el punto de contacto de ambas curvas será
el centro instantáneo de rotación I que coincidirá con la posición del
alfiler en el momento en el que el plano P0 giraba alrededor del punto I es
decir la curva C0 correspondiente al papel móvil está rotando sobre la C1
que es el del papel fijo y el punto de intersección o de contacto de
tangencia de ambas curvas en un momento determinado es el centro
instantáneo de rotación que vemos que va cambiando a medida que se va
moviendo el papel móvil sobre el papel fijo obsérvese que aunque en la
figura aparece un solo punto I que marca la posición del alfiler en un
instante determinado en realidad hay tres puntos confundidos y esto
atención porque es muy importante en ese punto I que aparece en la figura
está clavado en ese momento el alfiler por lo tanto en ese momento es el
eje instantáneo el centro instantáneo de rotación es decir la ruleta
será tangente a la base precisamente en ese punto I pero ahí aparecen
tres puntos confundidos aparece un punto I en el papel o plano fijo P1
porque el alfiler se ha clavado en el papel fijo por tanto aparecerá un
agujerito en el papel fijo P1 aparecerá otro punto I en el papel móvil
puesto que el alfiler para grabar el papel móvil también lo agujerea y
ese agujerito es el punto I del papel móvil y finalmente aparece un tercer
punto I que es el propio alfiler I que vamos a llamarle sólido 2 o P2 para
diferenciarlo del agujero del papel móvil P0 o I pero en el P0 y el
agujero en I en el papel fijo que es P1 bien dado que la velocidad del
punto I del plano o del papel móvil P0 con respecto al plano fijo P1 es 0
esto es claro puesto que el movimiento del papel P0 se realiza con el
alfiler clavado en I por lo tanto solamente puede haber movimiento de
rotación alrededor de I pero nunca movimiento de traslación por lo tanto
la velocidad del punto I del plano móvil P0 es 0 con respecto al 1 es 0
verdad bien entonces VI del correspondiente al papel 0 plano 0 con respecto
al papel fijo 1 es 0 y como ya sabemos que del movimiento de composición
de movimientos movimiento absoluto VI21 es igual a movimiento relativo y
VI20 más VI01 que es el de arrastre dado que el VI01 es 0 pues me queda en
esta igualdad que el VI21 es igual a VI20 fijémonos bien en lo que
acabamos de decir que es muy importante la velocidad del punto I
corresponde al plano móvil o papel móvil 0 con respecto al papel o plano
fijo 1 es la velocidad del agujero que el alfiler hizo al clavarse en el
papel móvil P0 en el instante en el que el alfiler está clavado por lo
tanto es 0 VI01 es 0 VI20 es la velocidad correspondiente con que un
observador situado en el papel móvil P0 ve moverse al alfiler en la
sucesión continua de clavadas a medida que avanza el tiempo esta velocidad
no es nula generalmente eso sería VI VI21 es la velocidad con que un
observador situado en el papel fijo P1 ve moverse al alfiler en la
sucesión continua de pinchazos a medida que avanza el tiempo y no es nula
tampoco generalmente sin embargo acabamos de decir que las dos son iguales
es decir que la velocidad con que un observador situado en el papel móvil
ve moverse al alfiler a lo largo de la curva C0 que es la curva del papel
móvil es decir a lo largo de la ruleta es igual a la velocidad con que un
observador situado en el papel fijo ve moverse al alfiler en la sucesión
de pinchazos continua a lo largo de la curva C1 o base esto es muy
importante eh de cara a realizar luego los problemas bien una vez aclaradas
y entendidas las características que definen a un movimiento plano el
siguiente paso es determinar tanto la posición del centro instantáneo de
rotación en un instante determinado como los lugares geométricos que va
ocupando a medida que se va desarrollando el movimiento es decir lo que
hemos llamado base y ruleta como la primera cuestión la de determinar eh
la posición del centro del centro instantáneo de rotación en un instante
determinado ya quedó aclarada como citado anteriormente vamos a abordar
ahora un poquito más en profundidad el segundo tema que es determinar base
y ruleta del movimiento se puede abordar este problema de muy diferentes
formas de todas las formas pongo ahí entre paréntesis exige cierta
experiencia porque a pesar de que lo que voy a decir es válido los
métodos que voy a decir son válidos para el 90% de los problemas habrá
una serie de problemas en que no son válidos en que si los utilizamos no
eh no resulta difícil determinar la base y la ruleta por estos
procedimientos que voy a decir eh y eso entonces hay es verdad que hay
multitud de procedimientos para resolver este problema los dos más comunes
los voy a citar ahora pero hay más y para resolver para dominar esos más
que hay además de los que voy a decir ya necesitamos hacer muchos
problemas en la colección de problemas que os mando van algunos ejemplos
pero vamos a meternos ya en los dos eh procedimientos más comunes para
poder determinar base y ruleta de un movimiento del movimiento de un cuerpo
solo primero hay dos básicamente dos tipos de métodos los métodos
analíticos es decir métodos de cálculo numérico y los métodos
gráficos empecemos por los analíticos y vamos a ir dando los pasos a
seguir primer paso A hay que definir los ejes del sistema que como ya hemos
dicho son dos ejes uno fijo y otro móvil el eje fijo lo vamos a llamar
casi siempre a menos que el problema nos indique lo contrario vamos a
llamar ejes 1 y los hemos de situar de tal forma que coincida con algún
elemento eh fijo es decir algún elemento sin movimiento del sólido que
vamos a estudiar muchas veces el sólido que vamos a estudiar dispone de
varios elementos diferentes unos de ellos son fijos y otros tienen su
movimiento su propio movimiento bueno pues si hay algún elemento que es
fijo dentro del sólido que voy a estudiar aprovecho y los ejes fijos los
eh sueldo entre comillas lo de la palabra soldar lo solidarizo digamos con
ese elemento luego además he de situar unos ejes móviles que sean siempre
muy importante solidarios al elemento móvil del mecanismo del problema
cuyo movimiento queremos estudiar asegurándose siempre muy mucho que ambos
movimientos los de los ejes cero móviles y del elemento móvil que
queremos estudiar son iguales si no son iguales no nos va a salir del
problema tenemos que soldarlo los ejes móviles al elemento móvil que
queremos estudiar a veces digo aquí es necesario hacer uso de un sistema
de ejes a mayores no sólo nos llega con unos ejes fijos y unos móviles
unos ejes uno y unos ejes cero sino hay que añadir un tercer sistema de
ejes que vamos a llamarle ejes dos llamaremos ejes auxiliares solidarios a
un segundo elemento móvil del problema que a veces no solamente hay un
elemento móvil sino que hay más de uno como ya veréis en algún problema
de la colección entonces en ese caso habrá que añadir otro sistema
tercer sistema de ejes que nos representen a otros ejes móviles otro plano
móvil a mayores plano dos es un plano auxiliar es muy aconsejable esto
cuando queremos estudiar el movimiento relativo del sólido uno con
respecto al dos por ejemplo el problema nos dicen oiga representen
dibujemos usted dígame cuál es la base y la ruleta del movimiento del
sólido uno con respeto al dos no del sólido uno en realidad debía poner
del sólido cero porque son los dos móviles del sólido cero con respecto
al uno que es el movimiento absoluto del sólido cero sino quiero que me
represente usted base y ruleta del movimiento relativo del sólido dos con
respeto al sólido uno y los dos están en movimiento en ese caso razón de
más para colocar el tercer sistema de ejes móviles que le vamos a llamar
dos paso b una vez determinados ya definidos ya los sistemas de ejes todos
los planos móviles y fijo el paso siguiente es determinar el centro
instantáneo de rotación la mayor parte de las veces lo haremos por
métodos gráficos o al menos lo haremos por métodos gráficos y luego lo
trasladaremos a métodos analíticos utilizando las ecuaciones de la
geometría de la trigonometría etcétera esto ya lo hemos visto por lo
tanto ya no hace falta más que ver los problemas de la colección que
tiene ejemplos tercer paso paso c se determinan las coordenadas del centro
instantáneo de rotación y en el sistema de ejes fijo uno calculamos las
coordenadas del punto i que ya habremos trazado en el paso p dentro de los
ejes fijos uno usando como parámetro un ángulo cita o el tiempo t depende
del problema lo cual da lugar como resultado a las ecuaciones paramétricas
de la base porque estamos viendo moverse el centro instantáneo de
rotación i en los ejes fijos se hace lo mismo que hemos hecho
anteriormente con los ejes móviles cero determinamos las coordenadas del
centro instantáneo de rotación i determinado ya en el paso b pero ahora
referidas a los ejes móviles cero resultando igual que antes las
ecuaciones paramétricas pero ahora de la ruleta porque están referidas
estas coordenadas a los ejes móviles finalmente se eliminan de ambos
sistemas de ecuaciones el parámetro cita o bien el tiempo t depende del
problema unas veces será cita otras veces será t resultando finalmente
las funciones explícitas de los lugares geométricos de la base y de la
ruleta respectivamente bien esta es una forma de hacerlo una forma de
resolverlo que nos vendrá bien en muchos problemas es decir determinar el
centro instantáneo poner las coordenadas del centro instantáneo de
rotación en función de los ejes fijos base de los ejes móviles ruleta
hay otra segunda forma que es la siguiente primero buscamos fijaros en la
figura de la derecha tenemos los ejes el sólido ese perdón los ejes fijos
representados por los coordenadas o x y ejes que hemos llamado p su 1 luego
tenemos los ejes móviles que los he situado en el punto o su 1 luego ya
veré cada problema concreto en donde situarlos concretamente pero que son
solidarios siempre al sólido ese es decir con su mismo movimiento ejes
pintados de color azul claro y llamados ejes p0 o ejes c una vez hecho esto
he determinado por cualquier método gráfico como sea el centro
instantáneo de rotación simplemente pues localizando dos velocidades en
dos puntos cualquiera del sólido ese por ejemplo v a en el punto a y v b
en el punto e b trazando hemos localizado el punto ahora antes en el
método anterior base simplemente era determinar las coordenadas de i en
los ejes fijos es decir x sub i e y sub i eso serían las coordenadas
perdón las ecuaciones paramétricas del eh de la base y si determinamos
las coordenadas de i en función de las eh en función de los ejes móviles
eh p cero x sub i e y sub i nos estarían las coordenadas de o sea ahora lo
vamos a hacer de un punto de vista más mecánico de la siguiente forma
buscando directamente las expresiones geométricas de las coordenadas del
punto i primer punto una vez trazados los ejes buscamos las coordenadas
perdón es el es el punto c2 punto c1 ya lo hemos visto en lo que acabamos
de decir en ejes fijos y móviles pero ahora vamos a ver la el método 2 c2
que está ahí en la transparencia es aprovecho las velocidades conocidas
del origen o sub 1 del sistema de coordenadas móviles así como sus
coordenadas las coordenadas del punto o sub 1 el punto o sub 1 repito es el
punto de origen de coordenadas de los ejes móviles por lo tanto primer
paso determino coordenadas de o sub 1 en los ejes fijos x e y o x y ¿vale?
serían estas la coordenada x del punto o sub 1 como una función del
tiempo puesto que el sólido ese se va moviendo con el tiempo tiene una
velocidad por lo tanto me saldrá la coordenada de x sub 1 una función del
tiempo lo mismo la coordenada x sub 1 como una función del tiempo o bien a
veces muchas veces la mayor parte de las veces determinar x sub 1 como una
función del parámetro cita del ángulo cita que forma el eje x fijo con
el eje x móvil y lo mismo la coordenada y como una función del ángulo
cita utilizando simplemente la trigonometría una vez determinadas las
coordenadas del punto o sub 1 determino sus velocidades la componente de la
velocidad del punto o sub 1 en la dirección x de los ejes 1 y la
coordenada de o sea la coordenada no la componente de la velocidad del
punto o sub 1 que me han dado o sea que no la conozco no me la han dado no
viene dado como datos del problema sin embargo si conozco las coordenadas x
o 1 e i o 1 pues la velocidad de o o 1 en la dirección x sabemos que es
derivada de x o 1 con respecto a t y la dirección y es derivada de x o 1
respecto de t por lo tanto conocería también las velocidades a pero es
que las coordenadas de o sub 1 el problema no me las da en función del
tiempo sino en función del ángulo cita que forman los ejes x fijo y
móvil vale pero yo sé derivar por la regla de la cadena derivada de x o 1
respecto al tiempo a través del parámetro cita del ángulo cita que
sería derivada de x o 1 respecto de cita por derivada de cita respecto de
t y lo mismo en i derivada de i respecto de cita por derivada de cita
respecto de t por lo tanto el primer paso que he dado con este segundo
sistema es después de situar los ejes fijo y móvil después de determinar
el ángulo cita formado por el eje fijo entre el eje x fijo y el eje x
móvil y aquí ojo a la hora de definir este ángulo cita que acabo de
decir siempre va desde x a x 1 los ángulos que van en sentido antihorario
ya sabemos que son positivos y los que van en sentido horario son negativos
y el ángulo cita siempre va de x 1 a x 0 por lo tanto hay que tener en
cuenta esto para definir el signo del ángulo cita que es importante bien
una vez definidas las coordenadas del punto o su 1 de los ejes móviles y
las velocidades del punto o su 1 de los ejes móviles siempre referidas a
las coordenadas del plano p su 1 fijo lo siguiente para hallar la base y la
ruleta es aplicar unas fórmulas que hay que aprendérselas que son estas
que veis aquí coordenadas de la ruleta la x del punto y será igual a
derivada de x 0 1 respecto de t que lo teníamos antes por el seno del
ángulo cita menos derivada de y 0 1 respecto de t componente de la
velocidad o seno de cita más derivada de x 1 respecto de t por seno de
cita entre derivada de cita respecto si operamos con estas fórmulas y con
los datos obtenidos en el primer paso anterior nos van a salir las
ecuaciones paramétricas de la ruleta eso siempre cuando ven esa fórmula
siempre y cuando conozca las posiciones la posición de os1 y las
velocidades de os1 en función del tiempo que las conozco en función del
ángulo cita como va a ser la mayor parte de las veces la fórmula sería
esta que veis aquí abajo bien con la base es exactamente lo mismo hay que
aplicar estas fórmulas siempre y cuando conozca coordenadas de os1 y
velocidades de os1 en función del tiempo o estas si las conozco en
función y tendríamos las ecuaciones paramétricas de base y ruleta
exactamente igual que lo hemos hecho con el procedimiento anterior de
buscar las coordenadas pero ahora de una forma un poco más mecánica y es
más a veces los problemas los datos del problema nos vienen marcados
precisamente como la velocidad lineal del punto os1 del cuerpo ese o del
sólido ese y entonces es enormemente más fácil irse directamente a este
segundo método que acabamos de decir en lugar de utilizar el método de
las coordenadas en los ejercicios que figuran ahí a continuación al final
de la transparencia se materializan todos los conceptos que antes hemos
mencionado por lo tanto es muy importante el verlos