Hola, buenas tardes. Bienvenidos a esta nueva sesión tutorial de
introducción a la estadística. Comenzaremos hoy, en primer lugar, con
unos ejercicios que nos habían quedado pendientes del tema número 4 para
ya repasar y asentar todos los conocimientos de este tema. Y luego ya
empezaremos el estudio del tema número 5, distribuciones de frecuencias
bidimensionales, regresión y correlación. Bueno, en concreto vamos a
empezar por el ejercicio 4.12 del manual. Aquí lo tenéis, la tabla con la
información correspondiente a este ejercicio, a esta distribución. Y nos
pide que calculemos, partiendo de los datos de este muestreo, por tanto
sabemos que estamos trabajando con datos muestrales y no con datos
poblacionales, pues que calculemos una serie de estadísticos. Aquí se nos
indican, entre otros, el coeficiente de asimetría de Pearson y de Fisher,
el coeficiente de kurtosis. Por tanto, nos vamos a mirar. Estas medidas de
concentración. ¿Vale? Pues bueno, comenzamos con la tabla y para calcular
estos coeficientes, en concreto uno de ellos necesitamos, en primer lugar,
conocer la mediana y también vamos a necesitar conocer la media
aritmética. Bien, la mediana, ¿cómo la calculábamos en estas
distribuciones que son distribuciones de tipo 2? Bueno, tenemos que ir a la
columna de las frecuencias absolutas acumuladas y como n... que ese número
de observaciones es 10, cogeríamos n entre 2 que es 5 y vamos a ver si hay
algún valor de frecuencia absoluta acumulada que coincide con 5. En
concreto tenemos este valor. Por tanto, la mediana va a ser el valor de la
variable que tiene frecuencia absoluta acumulada 5, mejor dicho, la media
aritmética de ese valor más el siguiente. Veis que es 18 más 24 dividido
entre 2, 21. Si, por ejemplo, n dividido entre 2 nos diera 6, pues
tendríamos que coger, la frecuencia absoluta acumulada 7 y la mediana
sería 24. La media aritmética, ¿cómo la obtenemos? Pues dividiendo x
sub i por n sub i, 224 entre 10. Por tanto, la media aritmética, 224
dividido entre 10, va a ser 22,4. Y bien, ya para ir avanzando en el
cálculo de este estadístico, como sabéis tenemos que manejar diferentes
momentos, el momento m3 y el momento m4, entre otros, pues vamos ya
confeccionando diferentes columnas, veis aquí tendríamos valor de la
variable menos media aritmética por la frecuencia absoluta, por tanto
sería 14 menos 22,4 por 1, que es menos 8,4. Este, por ejemplo, si lo
queremos calcular, 7,6 sería 30 menos 22,4, que es 7,6 por 1. Aquí, por
ejemplo, este pues sería 24 menos 22,4, que es 1,6 por 2, nos daría 3,2,
¿vale? Bien. En la siguiente columna, pues cogeríamos los valores de x
sub i, valores de la variable menos la media aritmética al cuadrado, y los
multiplicamos por la frecuencia absoluta. Aquí los elevamos al cubo y los
multiplicamos por la frecuencia absoluta. Y aquí los elevamos a la cuarta
y los multiplicamos por la frecuencia absoluta. Luego tenemos aquí los
sumatorios de estas columnas, que los vamos a utilizar para calcular los
coeficientes que nos solicitan. El primero de ellos, el primero de ellos,
es el coeficiente de asimetría de Pearson. Bueno, como, ojo, en el
enunciado nos dan datos muestrales, a la hora de calcular la varianza, en
lugar de tomar la varianza como tal, vamos a tener que calcular la
cuasivarianza. Por tanto, vemos que calculo la cuasivarianza y en el
numerador tendría los cuadrados de las diferencias entre los valores de la
variable a media aritmética por las frecuencias absolutas, que es el
sumatorio de esta columna de aquí, 534,4. Y lo divido entre 9, que es 10
menos 1, n es 10, y me da 59,37. ¿Vale? La desviación típica sería
raíz cuadrada, 7,70, y también calculo, bueno, sería la cuasidesviación
típica, para ser más exactos, cuasidesviación típica, y calculo el cubo
de la cuasidesviación típica, 457,423. Bien, ya os dejo aquí dos
cálculos adicionales que voy a necesitar. Sumatorio de x y menos x al cubo
por frecuencia absoluta y sumatorio de x y menos x a la cuarta por
frecuencia absoluta. Y lo divido por n menos 1 porque estoy con datos
muestrales, ¿eh? Bien, esto sería 2344,08 entre 9, y 61564,19 entre 9,
¿eh? Pues esto lo voy a necesitar para calcular los estadísticos que me
han solicitado. Vamos al primero de ellos. Coeficiente de asimetría de
Pearson. ¿Cómo lo determino? Pues sería el triple de la diferencia entre
la frecuencia absoluta y la mediana dividido entre la cuasidesviación
típica. Por tanto, 3 por 22,4 media aritmética, perdón, eh, media
aritmética y mediana, sí, media aritmética 22,4 y la mediana que era
22,4. Y lo divido entre la cuasidesviación típica que me da 7,7005. Y
esto me da un valor de 0,545. Vemos que es mayor que cero. Por tanto,
según este estadístico, la distribución pues va a ser asimétrica por la
derecha. Bien, si quiero calcular el coeficiente de asimetría de Fisher
que notábamos por g1 y decíamos que g1 era igual a m3, momento respeto a
la media de orden 3 dividido entre el cubo de la desviación típica o en
este caso de la cuasidesviación típica. Bueno, el numerador m3 lo he
calculado antes que me da 260,45 y lo divido entre 457,423. Y esto me da
0,569. Veis, son muy parecidos y también pues es mayor que cero, lo cual
implica que tiene un sesgo hacia la derecha de la mediana y hacia la
derecha de la media. Bien, nos pedía el coeficiente de kurtosis de Fisher.
Y el coeficiente de kurtosis de Fisher va a ser m4 dividido entre lo que
sería la desviación típica a la cuarta. En este caso, como trabajamos
con datos muestrales, sería la cuasidesviación típica a la cuarta o lo
que es lo mismo, la cuasivarianza al cuadrado menos 3. En el numerador m4
que lo había calculado antes, esto nos daría m3, esto sería m4 y son
6840,47. Y aquí lo divido entre la cuasivarianza al cuadrado que es 59,37
al cuadrado o lo que es lo mismo, también puedo hacer 7,75 a la cuarta y
le resto 3. Y esto me va a dar un valor de menos 1,06, menor que 0. Por
tanto, ¿cómo va a ser la distribución? Pues va a ser platicúrtica, más
aplanada que una distribución normal. Bien, vamos al ejercicio 4.13 y nos
dice lo siguiente. El cuadro que se presenta corresponde a la distribución
de compras realizadas por una empresa a sus diversos proveedores.
Distribución de tipo 3, datos agrupados en intervalos. Aquí tenemos los
intervalos, tenemos la marca de clase, que sería el punto intermedio, n
sub i la frecuencia absoluta, la frecuencia absoluta acumulada, x y por n
sub i. Aquí tenemos la diferencia entre x y la media aritmética al
cuadrado por n sub i, esto nos va a servir para calcular la varianza, y
aquí al cubo por n sub i. Vale, aquí tendríamos los sumatorios. Vemos
que n va a ser igual a 130. La media aritmética pues va a ser x y por n
sub i, el sumatorio que es 123.500 dividido entre n que es 130, 180.769
Bien, calculamos la desviación típica que va a ser la raíz cuadrada de
la varianza por tanto la varianza es 1.316.423.08 dividido entre n y la
desviación típica, la raíz cuadrada de todo esto nos da 5.63. Bien,
vemos que es inferior a la media hay una dispersión bastante considerable
y para medirlo utilizamos una medida de dispersión adimensional que es el
cociente de desviación de Pearson, que sería el cociente entre la
desviación típica y la media aritmética. Veis que da 0.557, que es mayor
que 0.5. Bueno, podríamos decir que vale, puede ser aceptable, pero
tampoco con un valor tan próximo a 0.5 pues... tendríamos que tomar entre
comillas los valores de esta distribución, porque la representatividad de
la media pues... no es muy correcta. Sería muy correcta, por ejemplo, si
se aproximara a 0. Es decir, bueno, hay que tener cuidado con la
interpretación. Si nos diera un cociente de variación, por ejemplo el 0.2
pues que sería ya unas medidas bastante representativas pero con 0.0557
pues ojo, hay que tener cuidado a la hora de interpretar los resultados de
esta distribución. ¿Qué más nos pide? Nos pide que calculemos la moda.
Bien, como se trata de intervalos que veis que tienen diferente amplitud,
el primero 100, el segundo 50, el tercero 60, el cuarto 290, pues vamos a
calcular lo que se llama el ratio de densidad de frecuencias h sub i. Lo
tenemos dividiendo la frecuencia absoluta entre la amplitud del intervalo
en este caso sería 20 entre 100, intervalo de 100, este sería el
intervalo de 50, intervalo de 60 e intervalo de 290. Si ponemos aquí por
ejemplo la amplitud. 40 entre 50 nos daría 0.8 que veis que es la mayor
densidad de frecuencias 42 entre 60 nos daría 0.7 y 28 entre 290, 0.097
Calculamos este ratio de densidad de intervalos y a continuación obtenemos
el punto modal. El punto modal va a estar en el intervalo modal que es el
intervalo que tiene una mayor densidad de frecuencias, por tanto el
intervalo 100, 150. Si queremos calcular el punto exacto como haríamos
pues aplicamos esta fórmula. Cogeríamos el límite inferior que es 100
más h sub i más 1, cogeríamos la densidad de frecuencias del intervalo
siguiente que sería 0.7, lo dividimos entre la del intervalo anterior que
es 0.2 más la del intervalo siguiente hi-1 más hi más 1 y lo
multiplicamos por la amplitud del intervalo que es 50. Esto nos daría
138.888 138.888 Esto sería pues el punto modal. Si quisiéramos estudiar
la simetría calculando el coeficiente de asimetría de Fisher como ya
hemos visto antes, sería el momento m sub 3 dividido entre el cubo de la
desviación típica. El momento m sub 3 lo tendríamos dividiendo en el
sumatorio de esta columna 96.429.549 entre n que es 130. Por tanto esto
sería m sub 3 y lo divido entre la desviación típica al cubo. La
desviación típica que es la recuadra de la varianza, aquí lo teníamos,
100.73 al cubo. ¿Y qué nos da? Nos da 0.73 que es mayor que 0. Por tanto
la distribución va a ser asimétrica por la derecha. Y luego nos pide lo
siguiente. Nos pide si preveemos un descuento para aquellas empresas que
hayan suministrado más de 145.000 euros, ¿qué porcentaje de empresas
podrán acogerse al descuento? Esto lo podemos resolver de dos formas.
Podemos acudir a la fórmula de los cuantiles o bien podemos establecerlo
mediante una regla de tres. ¿Y cómo la establecemos? Sabemos que en el
primer intervalo, que es un intervalo de amplitud 50 ¿cuántas empresas
hay? En el primer intervalo de amplitud 100 tenemos 20 empresas. En el
segundo de amplitud 50 tendríamos 40 empresas. Y lo que nos pide es hasta
las empresas que compran 145.000 euros o mejor dicho, empresas que
suministran más de 145.000 euros. Lo podemos sacar por diferencias. Y si
en un intervalo de amplitud 50.000 hay 40 empresas, aquí nos estamos
refiriendo al intervalo 2, es decir, si en un intervalo de 50.000 hay 40,
aquí está de 50.000 hay 40, en uno de 45.000 si se distribuye
uniformemente habrá X. Por tanto, X será 45.000 por 40 dividido entre
50.000 36 empresas. Resumiendo, empresas que nos suministren hasta 145.000
pues serán las 20 primeras más 36 del segundo intervalo. En total 56. Por
tanto, son 56 sobre 130, que son las totales. Y esto nos da un porcentaje
de... bueno, nos daría si lo calculásemos un 0,40 y pico. Pero lo que nos
pide es aquella que suministre más de 145.000. Por tanto, tendríamos que
poner en el numerador 130 menos 56 dividido entre 130. Es decir, esto nos
va a dar un 56,923. Por tanto, ¿qué porcentaje de empresas podrían
acogerse al descuento? Pues el 56,9% de las empresas porque el 56,9% de las
empresas nos compran más de 145.000 euros. ¿Lo podríamos calcular de
otra forma? Pues con la fórmula de los cuartiles, cuantiles. Y tenemos
empresas que venden menos de 100.000 euros a vía 20, el primer intervalo,
y empresas que venden entre 100 y 150.000 habría 40, que es el segundo
intervalo. Pues bueno, aplicamos esta fórmula de la siguiente manera.
Ponemos 145 que sería el punto 145.000, es decir, el punto en el cual
queremos pegar el corte, y sería igual a 100, que es el límite inferior
del intervalo, más k por n 130 dividido entre q, que es, vamos a trabajar
en este caso con los percentiles, dividido entre 100, menos n sub i menos
1, que es la frecuencia absoluta del intervalo anterior, que sería 20. Y
esto dividido por n sub i, que es la frecuencia absoluta del intervalo en
cuestión. Como estoy trabajando por este intervalo, con el 100 y 150, la
frecuencia absoluta del intervalo anterior era 20. ¿Vale? Y la frecuencia
absoluta acumulada del intervalo anterior era 20, la frecuencia absoluta
también, y la frecuencia absoluta de este intervalo es 40. ¿Vale? Por
tanto, aquí sustituyo n sub i menos 1, 20, n sub i, 40, y la amplitud del
intervalo 50. Y despejaría k, y k me daría 43,077. ¿Vale? Pues bueno, a
mí lo que me interesa son las restantes empresas. Por tanto, 100 menos k
va a ser 56,923, que es lo que nos coincide con el cálculo anterior.
Imaginemos ahora que nos pide lo siguiente. De forma similar para obtener
el porcentaje de empresas que han vendido menos de 50.000 euros. Trabajando
ahora con el primer intervalo. Estaríamos trabajando con este intervalo,
¿no? Pues ponemos 50, igual a el límite inferior que es 0, más k por 130
que es n dividido entre q, que trabajamos con percentiles, 100, menos la
frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior que será 0, dividido
entre la frecuencia absoluta en el sub i de ese intervalo que es 20%. Y
esto nos va a dar 7,6923. ¿Si queríamos hacerlo mediante la regla de 3?
Pues muy sencillo. Vamos a borrar aquí y ahora lo calculamos también
nuevamente. Lo haríamos de la siguiente forma. Si en un intervalo de
amplitud 100 hay 20 empresas, en uno de amplitud 50 hay x, ¿verdad? x va a
ser igual a 10. Por tanto, 10 entre 130 nos va a dar el porcentaje de
empresas, en este caso un tanto por 1 pero lo multiplicaríamos un tanto
por 100 nos va a dar 0,0769 que sería el 7,69% de empresas que han vendido
menos de 50.000 euros. Vamos con el 4.15. Y aquí nos pide ¿En un
aeropuerto se han tomado en promedio los retrasos de partida de los
últimos 800 vuelos? Calcule todas las millas de dispersión a partir de
esta información. Pues tenemos aquí la variable x i, n sub i frecuencia
absoluta, n sub i mayúscula frecuencia absoluta acumulada, x i por n sub
i, x i al cuadrado por n sub i, x i menos la media en valor absoluto por n
sub i y x i menos la media en valor absoluto por n sub i. Aquí tendríamos
los sumatorios. Si queríamos calcular la media aritmética, evidentemente
ya es fácil calcularlo porque vemos que va a ser 31.000 dividido entre
800, 38,75 Si quisiéramos calcular la mediana cojo n dividido entre 2 que
es 400 me voy a la columna de frecuencias absolutas acumuladas, no hay
ningún valor que tenga valor 400, cojo el siguiente 500, por tanto la
mediana va a ser 40. La mediana va a ser 40, por tanto tengo media
aritmética 38,75, mediana 40. Y aquí veis la diferencia. Aquí operamos
en estas columnas en valor absoluto, porque vamos a hablar de dispersiones
absolutas, mediana y media, no dispersiones típicas. ¿Veis? Por tanto
obvio el tema de los signos. x i menos la mediana pues sería 10 menos 40
menos 30 en positivo 30 por n sub i que es 200 me daría 6. Vale, pues
empezamos con las medidas de dispersión. La primera el rango, pues
cogería xn menos x1, lo que sería el último 70 menos 10, el rango va a
ser 60 El recorrido intercuartílico, pues necesito calcular el tercer
cuartil y el primero. Vale, pues me voy al tercer cuartil con la fórmula
de los cuartiles y sería q por n siendo q3 ¿Vale? Sería q por n dividido
entre r, pues tendríamos 3 por 800 dividido entre 4, pues trabajo con
cuartiles esto me da igual a 600, me voy a la columna de la frecuencia
absoluta acumulada y veo que no hay ningún valor. Cojo el siguiente 700,
pues sería 50 el cuartil número 3 Para el cuartil número 1, pues sería
1 por 800 entre 4 200, me voy a la columna de las frecuencias absolutas
acumuladas, hay un valor de 200, pues ojo aquí, el cuartil número 1 será
la media aritmética de 10 más 40, que será 25 10 más 40 dividido entre
2. Por tanto aquí lo vemos en el cálculo, q3 50, q1 25, recorrido
intercuartílico, q3 menos q1 25. Rango entre percentiles, necesito
calcular el percentil 90 y el percentil 10, pues voy con la misma fórmula
de los cuantiles anteriores, en este caso el percentil 90 sería 90 por 800
dividido entre 100 nos da 720, con lo cual cojo el valor 800 y el percentil
90 sería x igual a 70 Y el percentil 10, 10 por 800 entre 100, valor 80,
cogería n sub i igual a 200, el percentil 10 sería x y igual a 10. Rango
entre percentiles 70 menos 10, valor 60. Desviación absoluta media, aquí
tenéis la fórmula, vale el numerador ya lo tengo calculado en la tabla
anterior que sería 11500 y lo divido entre n, que es 800 14,375,
desviación absoluta mediana pues me voy a la columna de la distribución
anterior, a esta en concreto y cojo 11000 y lo divido entre 800 13,75. La
varianza la podemos calcular aplicando la fórmula que hemos visto o bien
mediante el método de los momentos en este caso vamos al método de los
momentos, sabemos que es el momento central de orden 2, que sería el
momento respecto al origen de orden 2 menos el momento respecto al origen
de orden 1 al cuadrado, siendo a sub 1 al cuadrado el cuadrado de la media
aritmética, por tanto esto lo conocemos que será 38,75 al cuadrado y me
faltaría calcular a sub 2, que sería sumatorio de x y al cuadrado por n
sub i dividido entre n aquí lo tengo, sería 1490000 dividido entre 800
eso sería a sub 2, 1862,5 por tanto la varianza en función de los
momentos sería 1862,5 menos 38,75 al cuadrado me da 360,9375 perviación
típica, raíz cuadrada de la varianza 18,998 coeficiente de apertura, otra
medida de dispersión en este caso relativa, cociente entre el último
valor 70 y el primero 10 va a ser 7 recorrido relativo, cociente entre el
rango recorrido 60 y la media aritmética, 36,25 1,548, recorrido
semi-intercuartílico cogería en el numerador el recorrido
intercuartílico, 50 menos 25 y en el denominador 50 más 25, cuso 3 más
cuso 1, me da 0,333 y por último el coeficiente de variación de Pearson
cociente entre la descripción típica y la media aritmética 0,49023 7,
bien preguntas que os pueden caer de todo tipo aquí tenéis unas preguntas
teóricas vale, la desviación típica está muy sencilla, es una medida de
posición, de dispersión de simetría o ninguna de las anteriores, bueno
habíamos dicho que juntamente con la varianza son unas medidas de
dispersión absolutas más importantes, la respuesta por tanto sería la B
la varianza se puede obtener como la media de los cuadrados menos el
cuadrado de la media en la media de los cuadrados el cuadrado de la media o
ninguna de las anteriores, la varianza vamos a meter los momentos pues
sería a sub 2 que es la media de los cuadrados menos a sub 1 al cuadrado
que es el cuadrado de la media, por tanto la respuesta sería la A el
índice de Gini en el caso de que la curva de Lorenz coincida con la
bisectriz acordaros ¿qué valor tomará? tomará el valor 0 porque la
concentración de la distribución sería mínima, sería la distribución
más equitativa y sería la menos equitativa la concentración máxima
cuando toda la renta está en posesión de un individuo cuando coge valores
desde 00 hasta 0100 y luego pasa a 100 en rojo la curva de Lorenz se
encuentra tanto más alejada de la diagonal, bueno esto sería perdón si
os estaba hablando de la curva de Lorenz antes aquí cuando la curva de
Lorenz coincide con la bisectriz el índice de Gini es 0 y aquí el índice
de Gini sería pues la unidad la curva de Lorenz se encuentra tanto más
alejada de la diagonal cuanto cuanto más se aleje de la diagonal cuanto
más adopte esta fórmula ¿qué pasa en la diagonal? aquí veíamos que
los PSUI eran igual a los QSUI pues cuanto más se aleje mayores serán las
diferencias entre los PSUI y los QSUI, si el coeficiente de kurtosis de
Fischer toma un valor inferior a 0 por tanto tendríamos que G2 es menor
que 0 la distribución ¿qué es? pues va a ser más plana que una normal
va a ser bien en una determinada empresa se decide a consecuencia de la
crisis económica disminuir los sueldos de los directivos un 15% y del
resto de los empleados que ganan menos que los directivos un 5% con esto
podemos decir que el índice de Gini ¿qué va a suceder? pues que la
distribución pues va a tener una menor concentración va a ser como más
equitativa por tanto el índice de Gini va a disminuir si anteriormente
imaginaros que la distribución tenía esta forma tras esta medida pasaría
mejor a tener esta otra forma, ahora la voy a poner en otro color con lo
cual se aproximaría más a la bisectriz y disminuiría el índice de Gini
aquí acordaos que en el punto que coincide con la bisectriz el índice de
Gini es 0 por tanto el índice de Gini va a disminuir los resultados
estadísticos del siguiente cuadro indican que la distribución de
frecuencias y aquí habla siempre de asimetría y también de curtosis,
simetría vale por tanto para hablar de simetría y de curtosis solamente
me hacen falta estos dos valores si el coeficiente de asimetría es
negativo menor que 0 ¿qué va a ser? la distribución pues va a ser
asimétrica hacia la izquierda tendrá más valores hacia la izquierda
¿vale? y si el coeficiente de curtosis es negativo pues ¿cómo va a ser
la distribución? si esta es una distribución normal 0-1 pues la
distribución pues a lo mejor adoptaría estos valores y aquí sería más
aplanada que la normal va a ser platicúrtica por tanto asimétrica hacia
la izquierda y platicúrtica bien, pues vamos ya con el siguiente tema con
el tema número 5 pues que sí que es un poquitín más complicado, es un
tema que vamos a ver con calma en lo que nos quede de tutoría le
dedicaremos también la tutoría de la próxima semana y la tutoría del
día 8 de abril a la vuelta de semana vamos a hablar ya de distribuciones
de frecuencia bidimensionales por tanto vamos a estudiar ahora dos
variables al estudiar dos variables de una población hablamos de
distribución de frecuencia bidimensional en este caso las vamos a denotar
por variables x e y si estudiásemos múltiples variables tendríamos una
distribución de frecuencias multidimensional multidimensional bien, por
tanto centrándonos en las distribuciones bidimensionales tendremos para
cada individuo observado los valores correspondientes a dos variables o dos
atributos que vamos a denotar por x e y en nuestro análisis las dos
variables pueden ser cualitativas una de las variables puede ser
cualitativa y otra cuantitativa cualitativas y además pueden ser discretas
la cuantitativa discreta o continua por ejemplo podemos medir el gasto
realizado y el medio de locomoción empleado por los clientes de una
empresa y también puede hacer caso de que trabajemos con dos variables
cuantitativas por ejemplo el gasto realizado por un cliente o un hotel y la
duración en número de días de la estancia en dicho hotel de ahí que la
casuística puede ser muy variopinta muy variada cuando se estudian
aisladamente estas variables por tanto las podemos estudiar conjuntamente o
de forma aislada cuando las estudiamos de forma aislada hablamos de
distribuciones marginales de la variable x o de la variable y y hablamos de
distribución conjunta de frecuencia de dos variables x y a la tabla que
representa los valores observados de ambas variables y sus frecuencias de
aparición las tablas de frecuencia pueden ser tablas de correlación
cuando las variables son cuantitativas o bien tablas de contingencia cuando
se trata de variables cualitativas o atributos ¿Cómo se confeccionan
estas tablas? bueno pues vamos a verlo aquí veis que tenemos una variable
xy con y que va desde el 1 hasta r y otra que sería pues yj con y que va
desde el 1 hasta s y aquí tendríamos pues en cada una de estas columnas o
en esta fila pues las frecuencias correspondientes y aquí tendríamos la
frecuencia total el número de observaciones total por ejemplo n2 2 es el
número de veces que aparece el valor de la variable x2 conjuntamente con
el valor de la variable y2 vale aquí en esta columna recogería el número
de veces que aparece el valor de la variable y1 con todas las variables x,
x1, x2, xy tal y aquí por ejemplo recogería n2 punto el número de veces
que aparece la variable x2 con todas y cada una de las variables de los
valores que toma la variable y y1 y2 hasta ys por tanto r desde x1 hasta xr
son los valores o modalidades que toma la variable xs los valores o
modalidades que toma la variable y y aquí tendríamos pues la frecuencia
conjunta de ni1 ni2 es la frecuencia en la que aparece el valor y de la
variable x conjuntamente con cada valor desde 1 hasta s de la variable y
aquí tendríamos n1j, n2j nrj es la frecuencia con la que aparece el valor
j de la variable y conjuntamente con cada valor de la variable x siendo n
su y punto la frecuencia total con la que aparece el valor y de la variable
x pues sería n su 1 punto n su 2 punto, n su r punto la frecuencia total
con la que aparece el valor 1 de la variable x conjuntamente con cada uno
de los valores de la variable y y en n su punto j la frecuencia total con
la que aparece el valor j a la variable y de forma conjunta con todos los
valores de la variable x por tanto n su punto 2 o sea el número de veces
que aparece el valor y su 2 con x1, x2 hasta xr y n pues sería la
frecuencia total podemos definir la frecuencia relativa de un elemento xy y
su j en base a esta relación sería n su y j el número de veces que
aparece el valor y de la variable x conjuntamente con el valor j la
variable y entre el número total de observaciones y además se va a
verificar que la suma de todas las frecuencias relativas va a ser igual a 1
lo importante bueno vamos con un pequeño ejemplo, vamos al ejemplo 5.1 del
libro y nos dice lo siguiente se muestra en la siguiente distribución el
número de empresas existentes en España según condición jurídica y
trato de asalariados a 1 de enero del año 2009 bien y observamos que
tenemos 2 variables aquí si queréis tendríamos xy y su j tendríamos la
variable y su j sería la tipología de sociedades anónimas, limitadas,
comunidades de bienes personas físicas, otros tipos y el total aquí
sería el total de sociedades el número de asalariados en este caso en
intervalos que no tienen asalariados y que son anónimas, limitadas,
comunidades de bienes personas físicas y otros tipos y aquí por ejemplo
que tendríamos el número de sociedades limitadas totales e incluiríamos
las que no tienen asalariados los que tienen de 1 a 9, 10 a 19 20 a 29, 50
a 99 100 a 499 500 o más y este valor por ejemplo 1027 sería el número
de personas físicas autónomos que ejercen una actividad económica y que
tienen entre 20 y 49 asalariados en España serían 1027 vale, y ya por
último aquí el total que lo puedo tener si sumamos todas estas columnas o
si sumamos todas estas filas me va a dar el mismo resultado que sería n el
número total de entes económicos que ejercen una actividad mercantil en
España con independencia de la forma jurídica que adopten y del número
de asalariados que tengan bien, nos vamos al ejemplo 5.3 del libro y nos
dice, represente gráficamente la siguiente distribución bidimensional con
tramos de edad y nivel de estudios en una población de 500 individuos ya
sabemos que n va a ser 500 ok y tenemos dos variables la edad xy y el nivel
de estudios i sub j una variable cuantitativa y una variable cualitativa
vale, pues aquí lo tenemos bien, pues utilizamos un gráfico de
frecuencias bidimensionales aquí tendríamos los totales sin estudios 22
con estudios primarios 153 medios 228 superiores 117 y en franja de edad
entre 17 a 44 años sean 250 personas 45 a 55 235 más de 55 15, también
nos va a dar 500 y aquí lo representamos ponemos en el eje de las cifras
la variable x sub i y en el eje de ordenadas la variable i sub j y como
veis que hay cinco valores de la variable i sub j para cada cinco
posibilidades para cada intervalo en este caso aquí tendríamos tres
intervalos y tenemos de 27 a 44 años sin estudios hay dos sería esto de
aquí este gráfico de frecuencias con estudios primarios perdón sin
estudios 2 con estudios primarios 57 con estudios medios 122 con estudios
superiores 69 y el total 250 haríamos lo mismo para el siguiente intervalo
entre 45 y 55 veis sin estudios 19 primarios 92 medios 80 superiores 44
total 235 y ya para el último intervalo que serían 1 4 6 4 y 15 y el
total lo representamos mediante este gráfico de frecuencias
bidimensionales vamos con otro ejercicio en este caso nos vamos al ejemplo
5.4 y nos pide represente gráficamente la distribución del gasto
realizado por 23 clientes de un hotel en relación con el número de días
de estancia en el mismo aquellas serían dos variables cuantitativas
clientes y días de estancia se adopta en este supuesto una representación
diferente vamos a realizar un gráfico de puntos que incorpora en este caso
una línea de tendencia para ver la evolución de este gráfico las
tendencias las estudiaremos en temas más avanzados y que observamos que
tenemos el cliente número 1 que está un día y gasta 50 el 2 dos días 60
el 3 un día 45 el 4 un día 48 el 5 dos días 65 así hasta llegar a 23
clientes bien si ponemos los días de estancia en el eje x y el gasto en el
eje y observaríamos que días de estancia tendríamos al cliente número 1
al cliente número 3 al cliente número 4 al cliente número 12 y al
cliente número 22 vale y aquí vamos a marcar lo que gasta el cliente
número 1 gastaría 50 el cliente número 50 estaría más o menos aquí
arriba vamos a borrarlo el cliente número 1 gastaría 50 el 2 45 que
sería aquí abajo 45 este de aquí 50 este 45 el 3 48 que sería este de
aquí 48 perdón el 1 50 el 3 45 el 4 48 el cliente número 12 58 que
vendría por aquí 58 y el 22 52 que vendría por aquí que coincidía con
cada uno de los rombos que veis vale si por ejemplo quisiéramos analizar
los clientes que están 4 días de estancia cuáles serían 4 días de
estancia tendríamos el cliente 8 el cliente 11 el cliente 13 el cliente 16
el 19 vale pues vemos que el cliente 8 gasta 89 que podría ser este de
aquí el cliente 11 gasta 75 que nos iríamos más o menos aquí el cliente
13 gasta 85 por aquí estaría el 187 por aquí también y el 187 por aquí
vale y bueno luego se iría marcando una línea de tendencia que ya veremos
como se confecciona en temas más avanzados esto es una representación
distinta sería un gráfico de puntos con línea de tendencia que nos marca
la línea de tendencia que conforme va avanzando los números de días de
estancia pues claro se tiende a gastar más vale se tiende a gastar más
euros en el hotel es algo que cae de cajón hablamos de gasto total no de
gasto por día bien otra representación gráfica es el gráfico de
dispersión que es un tipo de gráfico muy utilizado en las distribuciones
bidimensionales para analizar de forma visual la relación existente entre
dos variables representamos en el eje de ordenadas una variable por ejemplo
las ventas y en el eje de ascisas otra variable el gasto en publicidad y
que observamos que conforme va aumentando el gasto en publicidad pues las
ventas generalmente van aumentando veis aquí 90.900 100 pues
prácticamente está igual pero el ciento de hoy ya sube 115 sube un
poquito más 125 también va subiendo 130 ya subiría a 2100 125 iría
subiendo cada vez un poquito más y ante este gráfico de dispersión
observamos como sí que hay una relación entre el gasto en publicidad y
ventas a mayor gasto en publicidad tenemos un volumen de ventas superior
bien, cómo se calculan las medidas de posición y las medidas de
dispersión en distribuciones marginales de frecuencia cuando analizamos
las variables de forma aislada no vamos a analizar la distribución
conjunta sino de forma aislada por tanto analizamos por una parte la
variable y por otra parte la variable y analizamos la media aritmética
como la medida de posición más habitual y como medida de dispersión
tomaríamos la varianza bueno aquí tenéis las fórmulas cuando analizamos
la variable x de forma marginal veis que tendríamos en el numerador el
sumatorio de los x sub i por n sub i punto y acordaros en nuestra tabla que
era n sub i punto estaríamos aquí el sumatorio de los valores del número
de veces que aparece la variable x1 con todos los valores de la variable y
y así sucesivamente es decir el sumatorio de las combinaciones posibles de
cada uno de los valores de la variable x con todos los valores de la
variable y por tanto sería n sub 1 punto n sub 2 punto y así
sucesivamente vale y en el caso de la variable i pues en lugar de coger los
datos que nos aparecen en la última columna cogeríamos los datos que nos
aparecen en la última fila i sub j por n sub punto j es decir cogeríamos
el sumatorio de n sub punto 1 n sub punto 2 n sub punto j y así
sucesivamente es decir el número de veces que aparece el valor 1 de la
variable y con todos los valores de la variable x más el número de veces
que aparece el valor 2 de la variable y con todos los valores de la
variable x y así sucesivamente y de esta forma pues calcularíamos estas
medidas marginales la media aritmética de la variable x y la media
aritmética de la variable y para el cálculo de la varianza pues
nuevamente la fórmula veis que sería el cuadrado de las diferencias entre
x y y x media aritmética por n sub i punto y aquí i sub j menos i media
aritmética al cuadrado por n sub punto j evidentemente en todos los casos
dividimos entre n que es el número de observaciones vale si quisiéramos
ir a los momentos pues aquí ya la cosa se complica tenemos los momentos
respecto al origen que son los que vamos a comentar hoy de forma teórica y
los momentos con respecto a la media pues ya lo voy a dejar aquí si no ya
nos vamos a complicar un poquito vamos con los momentos con respecto al
origen se obtiene mediante esta expresión genérica a sub h sub k y veis
que cogeríamos el sumatorio desde i igual a 1 hasta r por el sumatorio de
j igual a 1 hasta s de los valores x i elevado a h por i sub j elevado a k
por n sub i sub j dividido entre n y esto lo que nos permite es calcular
los momentos respecto al origen del primer orden y de segundo orden y ojo
en las bidimensionales nos va a aparecer un nuevo momento que es el momento
producto que será a sub 1 1 y ojo porque es muy importante que
diferenciemos entre a sub 1 0 que es el momento respecto al origen del
primer orden de la variable x de a sub 0 1 que es el momento respecto al
origen del primer orden de la variable i y veis que aquí cojo x sub i por
n sub i punto y aquí cojo i sub j por n sub punto j dividido entre n
momentos de segundo orden con respecto al origen a sub 2 0 se refiere a la
variable x por tanto veis aquí cojo x sub i al cuadrado por n sub i punto
y a sub 0 2 se refiere a la variable i y cojo i sub j al cuadrado por n sub
punto j momento producto a sub 1 1 momento novedoso en estas distribuciones
bidimensionales escogería el doble sumatorio desde i igual a 1 hasta r y
desde j igual a 1 hasta s de x i por i sub j por n sub i sub j en este caso
cojo exclusivamente n sub i sub j número de veces que aparecen de forma
conjunta x i e i sub j esto lo divido entre n lo veremos la próxima semana
a partir de la próxima semana con ejemplos no os asustéis con las
fórmulas y luego voy a dejar aquí porque sino ya nos vamos a complicar
demasiado vale la próxima semana lo refrescaré desde el punto de vista
teórico nuevamente vale y ya comenzaremos con ejercicios prácticos de
estas medidas y de estos momentos con respecto al origen y con respecto a
la media en distribuciones bidimensionales por tanto lo vamos a dejar por
hoy aquí vale pues hasta la próxima semana adiós