Hola, buenos días a todos. A la tutoría de ecuaciones diferenciales.
Espero que hayáis hecho todos la PEC. La veis que traigo esa salida.
Bueno, yo subo por lo que me cuenta de lo que me toca a mí y la otra
profesora, Lluvia Hernández, pues he hablado con ella y creo que la semana
que viene ya estarán todas las corregidas, todas las que corresponden al
centro seccional. No sé cuántas hay, no mira todavía. He visto que hay
muchos de los alumnos que no han contestado la PEC. No sé si... Pero
bueno, un poquito más adelante, cuando ya estén las notas puestas, pues
dedicaremos un... Al modo de repaso, pues dedicaremos a hacer la PEC esa
con un poco... Un poco de detalle. Si no preguntáis, si no, pues... Bueno,
empezamos el capítulo siguiente. El capítulo siguiente de... El capítulo
siguiente del... Hemos hecho hasta el capítulo 6, pues esto se
correspondería con el capítulo 7 y el 8, vuestro libro de texto.
Entonces, el tema que vamos a empezar a estudiar ahora es estudiar lo que
son sistemas de textos. Ecuaciones lineales homogéneos. Es decir, vamos a
estudiar sistemas que son de esta forma. Si tenemos... Por ejemplo, un
ejemplo sería la derivada de la función x sub 1 con respecto de t, pues
es una ecuación lineal de la función x sub 1, x sub 2 y x sub 3. La
derivada de la función x sub 2 respecto de t, pues es una función lineal
de x sub 1, x sub 2, x sub 3 y la derivada de x sub 3 respecto de t, es
pues una función lineal de x sub 1. Esto es lo que entendemos por sistemas
lineales de ecuaciones homogéneos. Si hubiera aquí algún término que no
sea un término f de t, por ejemplo, pues ya serían homogéneos, porque
eso lo estudiaremos más adelante. Pero vamos a estudiar sistemas lineales
homogénesis y sistemas de este estilo. En este caso serían de tres
funciones, ¿no? Con la costumbre que tenemos, ponemos 3, pero si te
quieras poner 7 u 8, pues ya está, ¿no? Entonces, esto, si utilizamos la
notación de matrices, la notación de matrices, pues sería de esta
manera. x sub 1 prima, x sub 2 prima, x sub 3 prima es igual a una matriz,
que será la de los coeficientes, de estas ecuaciones, y por x sub 1, x sub
2, x sub 3. Entonces, si veis, esto sería, a ver, o bien utilizando la, en
general sería esta expresión de aquí, o bien utilizando una forma
abreviada de la notación matricial, sería, si yo considero que x sub 1, x
sub 2, x sub 3 son las componentes de una función vectorial, pues sería
la función vectorial x. x sub 1 prima, que sería la derivada de sus
componentes, es igual a una matriz por la función vectorial x. Bueno, pues
entonces lo que vamos a hacer ahora es estudiar a ver cómo se resuelven
estos sistemas de ecuaciones. Entonces, estos, fijaros, estos son sistemas
dinámicos, por ejemplo, imaginaros que yo tengo una función que son las
velocidades, velocidades... De una función que va de r a r3, o sea, pues
dependen de las componentes. Entonces, hay aquí, para hacerlo un poco en,
un poco, pues con un poco de rigor, habría que utilizar cosas que
estudiamos en el cuatrimestre anterior de álgebra, como por ejemplo, y
aquí los citaremos sin entrar en... Hay mucho detalle de las operaciones,
pero que no son nada complicadas. Es lo que estudiamos en álgebra, que es
diagonalizar matrices. Todo eso está estudiado para precisamente para
resolver estos sistemas de ecuaciones. Entonces, si yo quiero resolver, la
idea fundamental de esto es que si yo quiero resolver un sistema de
ecuaciones de esta manera, nosotros lo que vamos a ensayar es una solución
que sea de la forma, fijaros que x es una función vectorial, sería un
vector por un escalar, el escalar es e a la mt. De tal manera que con las
reglas de derivación de funciones vectoriales, x' sería la derivada como
si fuera la derivada de esto, que es una constante, que sería el w y luego
la derivada respecto de t de a la mt, que es m e a la mt. Entonces, si yo
sustituyo estas funciones que he ensayado, en el sistema tengo que x', que
es esto de aquí, sería igual a a por w e a la mt. Como e a la mt, en
principio, sería una cantidad que es distinta de cero, pues puedo dividir
los dos miembros, entonces me queda que mv es igual a w, o lo que es lo
mismo, a w menos mw igual a cero, o lo que es lo mismo, a menos mi igual a
cero. Esto, fijaros, ¿qué significa? Esto era la definición de que w, si
os acordáis de álgebra, que w es un autovalor de la matriz. Este vector
que aparece aquí en la solución en que estoy ensayando es un autovector
de la matriz y m es un autovalor de a. Acordaros que los autovalores, para
que este sistema tenga una solución que no sea la trivial, lo que tiene
que ocurrir es que el determinante... Este sistema de ecuaciones, pues
tiene que ser igual a cero. Entonces la ecuación, el determinante de a
menos mi igual a cero, era el polinomio característico de la matriz. Dicho
de otra manera, si yo tengo un sistema de ecuaciones, las soluciones, unas
posibles soluciones, unas soluciones que le voy a hallar, son las que son
de esta forma. W de x, o sea, w, el vector w, por e a la mt. Donde m es un
autovalor y w es un autovector de la matriz. Si recordáis la teoría del
álgebra del cuatrimestre pasado, cuando yo estaba calculando los
autovalores y los autovectores de una matriz, pues a veces había
problemas. Y era cuando no se podía... No se podía diagonalizar, que
había que reducir, había que recurrir a la matriz de Jordan, había que
estudiar si la dimensión del autoespacio era igual a la multiplicidad del
autovalor... En fin, eso son, digamos, casos chungos en los que esto no va
a funcionar por el tirón. Pero bueno, de momento vamos a... Ya lo siguen
volviendo poco a poco. Entonces, lo que vamos a hacer es ver distintos
casos que se pueden dar, nos vamos a centrar solamente en dimensión 3. Y
vamos a ver los casos que se pueden dar con los autovalores y los
autospacios. Que los autovalores sean reales, que los autovalores sean
imaginarios, sean complejos, que la multiplicidad de los autovalores, en
caso de que haya alguno repetido, sea igual a la dimensión del autospacio
o no, y ver cómo se trata. Todo esto era la teoría que... Eso que yo, en
álgebra, el cuatrimestre pasado, sin saber muy bien para qué servía.
Bueno, pues sirve para esto, entre otros. Entonces... No sé por qué voy
a... El caso es que si, por ejemplo, si yo tengo un sistema homogéneo y yo
soy capaz de encontrar tres funciones, que son funciones vectoriales, tres
funciones vectoriales que sean linealmente independientes, la solución
general es una combinación, entre otras, de este sistema... línea de las
tres soluciones fundamentales. Es decir, que si este sistema que hemos
visto aquí de hallar los autovalores y los autoductores me permite hallar
tres soluciones fundamentales, pues la solución general va a ser una
combinación lineal. Ahora ya sabemos, lo que os comentaba antes, que no
siempre se pueden... Entonces vamos a ver un ejemplo. Vamos a ir viendo
casos, por ejemplo, con ejemplos. Primer caso que vamos a considerar.
Nosotros consideramos que tenemos un sistema que tiene autovalores reales y
distintos. Este es el mejor de todos, el mejor de trabajar. Por ejemplo,
este de aquí. Aquí a mí, bueno, cuando yo estoy utilizando coordenadas
habituales del espacio, pues en vez de poner x1, x2, x3, pues se suele
poner x y z. Pero yo en estas notas que tenemos voy a utilizar más veces x
y z, entre otras cosas, para no cargar con subíndices, ¿no? Pero bueno. Y
que a veces te confundes con los subíndices, ¿no? Entonces, imagínate
que yo tengo este sistema. La derivada de x con respecto a t es igual a 3x
menos y más z. La derivada de y con respecto a t es menos x más y. Este
es un sistema... Entonces, cuando yo tengo... Este es el caso que vamos a
ver. Tengo autovalores reales y distintos. Entonces, la solución general
es una combinación... Y m1, m2, m3 son los autovalores. Y w1, w2, w3 son
los correspondientes autovectores. Entonces, estas que tenemos aquí son
las soluciones fundamentales. Y una combinación de soluciones
fundamentales es la solución general de este sistema. Bueno, vamos a verlo
con un ejemplo que es lo que... Yo tengo el sistema este. Si yo escribo en
notación matriz c, sería x' y' z'. Es igual a t menos 1, 1. Y esto sería
lo que vamos a llamar la matriz A, aplicada al vector x y z. Entonces,
¿cuál sería lo primero que voy a hacer? Lo primero que voy a hacer,
vamos a hacerlo mecánicamente, luego ya es hallar el polinomio
característico de la matriz A. Es decir, yo calculo el determinante donde
tengo aquí... Voy a utilizar la letra m. Tengo en la diagonal 3-m, luego
lo copio igual, el 5-m y el 3-m. Y eso pues habría que repasar un poquito
el curso de álgebra, ¿vale? Entonces, tengo el polinomio característico.
Este determinante... Recordad que en álgebra podéis hacer desarrollando
este determinante o usando alguna herramienta informática o lo que sea,
pero recordad que este determinante era... Había una forma muy fácil de
hacer, era menos m cubo. Porque se sabían multiplicar todos los... Menos m
por menos m por menos m. Luego estaba el segundo término, era... Este era
con menos, el siguiente era con más. Y era la traza. La traza era 3, 5 y
3, ¿no? Entonces sería 3 y 3, 6, 6 y 5, 11. Entonces sería 11m4. Luego
sería menos. O sea, vamos cambiando. Luego era la suma de los adjuntos de
los elementos de la diagonal. El adjunto del 3 es el determinante de 5-1...
5-1, menos 1, 3. Menos 1, 3. Más el adjunto del segundo término de la
diagonal. Más el adjunto del segundo término de la diagonal. Más el
adjunto del segundo término de la diagonal. El 5. Y luego su adjunto es el
3, 1, 1, 3. Entonces sería 3, 1, 1, 3. Y el adjunto del último término
de la diagonal, que era el 3, es 3-1, menos 1, 5. 3, menos 1, menos 1, 5. Y
esto va multiplicado por m. Y luego el término independiente. Y luego el
término independiente es el determinante de 1. Entonces, si hacemos estas
cuentas y lo cambiamos de signo, porque el polinomio característico es el
determinante igual a 0, ¿no? Las raíces, pues, para no empezar por el
signo menos... A ver, nadie lo manda, pero bueno. Las fórmulas que
empiezan por el signo menos resultan feas, pero bueno. Entonces sería m
cubo, la traza, que es... Cambio de signo, menos 11m cuadrado. Este...
Fijaros que sería 5 por 3 es 15, 15, 15 menos 1, que es 14, ¿no? Y luego
sería 9 menos 1, que es 8. 14 más 8 son 22, ¿no? 22. Y luego sería 15
más 1. 15 más 1 son 16. Sería 15 menos 1, que son 14. Esto sería 9
menos 1, que es 8. Y esto sería 15... Menos 1, que es 14. Eso sería 14,
14, 28. 28 más 8, 36. Menos 36, que aquí está cambiando el signo, más
36. Y luego el determinante de todo esto, bueno, no me entregué a
calcularlo, que sería 36. Entonces, este polinomio característico, las
raíces del polinomio característico son los autovalores. Esto, pues, se
resuelve en un polinomio cúbico. Si lo que debemos hacer a mano... Pues,
si no son raíces enteras, pues lo tenemos un poco hilatoso, ¿no? Un poco
difícil. Si son raíces enteras, como aparecen en los exámenes, pues se
pueden tantear por bufini entre los divisores del... O si no, pues lo pongo
en el Wolfram Alpha o en donde sea y me ayudo... O en el Máxima. Si
queréis repasarlos, el capítulo este correspondiente al álgebra del
cuatrimestre pasado y ya está. Tampoco nos vamos a entretener, porque no
es lo que nos interesa ahora. Entonces, he hecho... He hallado los
autovalores. Una vez que he hallado los autovalores, que son 2, 3 y 6,
hallo los autoespacios correspondientes a cada autovalor, con el fin de
hallar los autovectores. Entonces, acordaros que, ¿cómo eran los
autoespacios? Eran los conjuntos de X y Z tales que la matriz, la matriz
esta, yo, donde pone M, pongo 2. 3 menos 2, 1. 1 menos 1, 1. Donde pone M,
pongo el 1. Y menos 1, 4 menos 1. 2 menos 2, menos 1. 5 menos 2, 3 menos 1.
Y luego aquí, 1 menos 1 y 3 menos 2, 1. Esta sería X y Z igual a C0. Este
sería el autoespacio correspondiente al autovalor 2. Entonces, como la
matriz está... El determinante de esta matriz, este es 0, porque hemos
precisamente elegido los M que hacían que el determinante sea 0. ¿Cómo?
Este es fácil. Una de las filas depende linealmente de las otras. La puedo
tachar, por ejemplo, esta. Y resuelvo este sistema de ecuaciones. Este
sistema de ecuaciones que veis aquí, lo resuelvo. Y hallo que una posible
solución, una posible solución es este vector. Este es un problema de
algebra. Pues el autoespacio correspondiente sería el espacio generado por
1. 0 menos 1. Por tanto, el autovector correspondiente al autovalor 2 es el
1, 0 menos 1. Si alguien quiere repasar cómo se calculaban los
autovectores, los espacios y eso de álgebra, pues si me escribe un correo
yo le mando un resumen que teníamos de... Como es una de las asignaturas
que tengo yo tutorizada del cuatrimestre pasado, pues se lo puedo decir.
Pero vamos, tampoco... Entonces, para el autovalor 3, calculo su
autoespacio, que sería ir aquí y donde pone M poner 3. 3 menos 3, 5 menos
3 y 3 menos 3. Y entonces esta sería la matriz que queda aquí. Entonces,
los de A menos grande I aplicado a la equidad 0, las soluciones de este
sistema son el autoespacio correspondiente. Luego, por tanto, este
autoespacio sería el espacio generado por el vector 1, 1, 1. Siempre
conviene, por ejemplo, si alguien no está seguro de que ha hecho las
cuentas a mano y no está muy seguro, pues lo que podría hacer es
comprobar que, 1, 1, 1, verifica este sistema. Donde pone I pongo 1, donde
pone Z pongo 1, y donde pone X pongo 1, donde pone I pongo 1, y esto es
todo. Para el autovalor 6, he averiguado que, por el mismo método, que
este sería un autovector. ¿Por lo cual qué ocurre? Por lo cual ocurre
que la solución general de este sistema, lineal homogéneo, sería una
combinación lineal del autovector y E elevado al autovalor
correspondiente. O sea, si el autovalor es 2, su autovector para este
autovalor era este. Si el autovalor era 3, el autovector correspondiente
era este otro. Y si este es el autovalor de la 6, que era la red del
polinomio característico, este sería su correspondiente autovector.
Entonces, esta sería... Este sería la solución de un sistema en el que
he hallado en la matriz del sistema de ecuaciones diferenciales lineales,
tenía tres autovalores distintos y no había ningún problema para
calcular los autovectores correspondientes. Aquí va bien. Esto si
queréis, se puede expresar de otra manera. La función X, X de T, es... Es
una de las primeras coordenadas de todo esto. O sería C1 por E a la 2T,
más C2 por E a la 3T, más C3 por E a la 6T. La I sería la segunda
componente que sería 0. Pues C2 por E a la 3T, C3 por E a la menos 2 sea
6T. Y Z sería la tercera componente de esta igualdad de los dos. Bueno.
Entonces, esta, como veis, una de las maneras de escribir la solución
general, es esta, que digamos que es la que está más claro, se ve más
claro cómo la hemos calculado, con los autovalores y los autovectores.
Esta sería haber hecho el desarrollo, para hallar la función x, o
también lo podemos haber escrito así, es decir, ponemos las constantes
como un vector de constantes y aquí ponemos las componentes, e a la 2t, 0,
y menos e a la 2t, e a la 3t, e a la 3t y e a la 3t, y e a la 6t, menos 2,
e a la 6t, y e a la 6t. Cuando yo escribo las soluciones de esta manera,
como veis esto son simplemente cuestiones de notación, que tienen su
sentido. Esto es lo que se llama matemática. Esto es lo que se llama la
matriz fundamental, y si os fijáis en la matriz fundamental, lo que es la
matriz que tiene por columnas, estas serán las soluciones fundamentales.
Recordad que en una ecuación lineal, la solución general es una
combinación de soluciones fundamentales. Entonces, si yo cojo la matriz
que tiene por columnas las soluciones fundamentales, pues esta matriz se
llama matriz fundamental. Entonces, la solución general se puede expresar
como la matriz fundamental, que es la que tiene por columnas las soluciones
fundamentales, o una matriz de constantes. Hay una cosa importante, una
función importante, que es la que, si yo tengo una matriz fundamental,
esta es la matriz fundamental del sistema, que repito, es la que tiene por
columnas las soluciones fundamentales del sistema. La matriz fundamental
hace el papel de la solución del sistema. Entonces, verifica que la
derivada de una matriz fundamental es igual a, o sea, la matriz fundamental
verifica la ecuación. La ecuación era que x' era igual a x. Pues la m' es
igual a m. x era un vector, pero aquí es una matriz. Pero digamos que esta
sería la misma ecuación. Entonces, para recordar esta relación, podemos
decir que la matriz fundamental verifica la ecuación. Dicho con poco
rigor, pero bueno, a recordar. Fijaos que lo que estábamos viendo era
casos. Fijaos, tenemos un sistema y el primer caso que hemos visto es cómo
se haría cuando los autos valores son reales distintos. Cuando los autos
valores son reales distintos, las soluciones fundamentales son iguales. Las
soluciones fundamentales son el auto-valor y su auto-vector. Ese es el
caso, digamos, más fácil de calcular. Vamos a ver otro caso. Otro caso.
Cuando los autos valores son complejos conjugados. Ya sabéis que en una
matriz los autos valores, si tiene un sumo, son complejos conjugados, son
la raíz y el polinomio característico de los autos valores. Si es una
ecuación polinómica con coeficientes reales que tiene un valor complejo
como solución, también tiene que tener el conjugado, ¿no? Entonces, por
ejemplo, vamos a coger este ejemplo, que es la mejor manera de ver las
cosas. Yo tengo un ejemplo, que es esta ecuación. La ecuación es x' igual
a una matriz A por el vector x. Es una ecuación. ¿Veis? Diferencial de un
sistema escrito de una manera desarrollada. Si el vector x' es diferencial
de x, diferencial de t, diferencial de y, diferencial de t, pues sería
desarrollar esto aquí. Aquí pongo xy. Aquí pongo x'. Igual. El
desarrollo de esto sería x-y y 5-x. ¿Veis? Este sería mi problema. Que
voy a tomar como ejemplo. Entonces, yo digo, ah, pues muy bien. Voy a
calcular los autos valores. Luego me escribo el polinomio característico.
El polinomio característico es el determinante de A menos lambda. Pone 1.
Esto he puesto lambda. Esto es una m, claro. Es que es la costumbre porque
en álgebra usamos la norma m. 5. Todo lo correcto. Ah. Bueno. Entonces, el
polinomio característico sería el determinante de 1-m, menos 1, 5, menos
3, menos. Bueno. Ya sabéis que el polinomio característico, cuando yo
tengo un polinomio de grado 2, podría hacerlo desarrollando el
determinante. Pero no hace falta porque es m cuadrado menos la traza. La
traza es 1-3, o sea, menos 2. Pues menos la traza es más 2. Y más... Pone
m. Y más el determinante. Este determinante sería menos 3. Más 5. Menos
3 más 5 es 2. Pero este sería el polinomio característico. Bueno, si os
fijáis, este polinomio yo lo intento resolver, por ejemplo, con la
fórmula esta de la ecuación de segundo grado, de menos b más menor al
cuadrado de b cuadrado menos 4c. Pues me sale que yo tengo dos raíces
complejas conjugadas. Luego los autovalores son complejos conjugados. Es
decir, que m2 es igual al conjugado de m1. Bueno, ahora lo que voy a hacer
en este caso es ponerme a trabajar en variable compleja. Entonces, lo que
voy a buscar son los autovectores de estos autovalores. Aquí os comento
que en realidad solo hace falta... Voy a hallar uno. Porque si yo... Si un
autovalor tiene un autovector, su conjugado es el autovector... El
conjugado... El autovector... Si yo tengo un autovalor y tiene un
correspondiente autovector, el autovalor que es conjugado tiene como
autovector el conjugado de antes. O sea, del otro que había calculado. Con
lo cual solo me basta con calcular uno de los autoespacios. Entonces aquí
tengo que jugar un poco con variable compleja. Entonces yo me escribo cuál
sería el autoespacio correspondiente al autovalor menos uno y. Menos uno
más y. Bueno, entonces el autoespacio correspondiente al autovalor menos
uno más y sería el conjunto de los xy tales que esta matriz donde pone m
voy a poner menos uno más y. Esta matriz aplicada al vector xy da cero.
Bueno, pues si yo desarrollo esta punta de aquí... Sería menos uno menos
menos uno, que es dos. Dos menos y multiplicado por x. Menos y es igual a
cero. Y luego sería cinco por x. Menos tres menos menos uno son menos tres
más uno, que son menos dos. Menos y, porque lo que hicimos aquí es igual
a cero. Aquí fijaos que el determinante de esta matriz es cero. ¿Por qué
es cero? Porque precisamente he elegido m, los m que hacían que este
determinante fuera cero. Luego si le pongo en vez de m y pongo esto es
porque le hace cero. Luego una de las filas es un múltiplo de la otra.
Esto, si queréis, aquí no te da de ojo como cuando manejo números
enteros. Pero os puedo asegurar que una de las filas es combinación de las
otras. Bueno. Entonces. Si yo tengo que resolver. Esta ecuación. Que haya
una de las soluciones. Luego las otras son los múltiplos, ¿no? Entonces,
por ejemplo, una manera de hacerlo es decir, bueno, qué pasa cuando x es
uno. Cuando x es uno, ¿qué tengo que poner en la y para que se me dé
cero? Si x es uno, en la y tengo que poner dos menos y. Esto lo he resuelto
de una manera pues bastante limpia, ¿no? ¿Entendéis esto que he hecho? O
sea, uno, dos menos y es una solución de esta ecuación. Entonces en la x
le he puesto el uno porque me ha salido en los pies. ¿De acuerdo? Entonces
en la y he calculado a qué le toca. ¿Vale? Cuando x es uno. Entonces yo
tengo que el autoespacio sería este vector, el autovector y todos sus
múltiplos. Bueno, pues cojo esto, ¿no? Entonces este es un autovector.
¿Vale? Entonces fijaros que una solución fundamental, una solución
fundamental sería el autovector, que era uno, dos más y, por e elevado a
menos uno más it. Esta es una de las soluciones... Digamos en el... Si yo
considero la ecuación como un variable compleja, dice que las variables
son en números complejos, pues esta sería una solución fundamental.
Aquí, fijaros que aquí tengo una exponencial compleja. Una exponencial
compleja. Quiero recordar cuál es el significado de las exponenciales de
números complejos. Era e a la más b y era e a la, que era la parte real,
por coseno de la parte imaginaria b más i, por el seno. Esta es la
definición de la exponencial compleja. Entonces en nuestro caso, en
nuestro caso, si yo desarrollo esta exponencial compleja, sería... La
parte real sería menos t. Luego sería e a la menos t, que es la parte
real, y luego la parte imaginaria sería... i t. Luego e elevado a la i t
era coseno más i seno. Entonces pues... Fijaros que las exponenciales
complejas, para tener una idea intuitiva, la parte real amplifica las cosas
y la parte imaginaria lo que hace es que las pone a dar vueltas. Es en una.
Entonces yo tengo aquí que esta sería la solución compleja una vez que
he desarrollado la exponencial. Entonces, fijaros que si yo ahora separo la
parte real y la parte imaginaria donde yo escribo esto, voy a desarrollar
esto. ¿Cómo sería la primera componente? La primera componente sería 1
por e a la menos t coseno de t más e a la menos t seno de t. O la primera
componente, ¿cuál sería la parte real? La parte real sería e a la menos
t por coseno de t. ¿Y cuál sería la parte imaginaria, la que lleva la i?
La que lleva la i sería cuando yo he multiplicado e a la menos t por seno
de t. Porque la primera componente la puedes escribir así. Ahora voy a ver
por la segunda componente. La segunda componente tengo que hacer un poco
más de cuenta porque tendría que multiplicar 2 menos i por e a la t
coseno de t. Lo sería multiplicar si queréis lo hacemos de cabeza lo
podemos hacer en más pasos pero bueno, vamos a intentar hacerlo de cabeza.
Lo tenemos aquí. Entonces, en la segunda componente sería la parte real
sería 2 por la parte real de esto que sería 2 e a la menos t por coseno
de t. Y otra parte real aparecería cuando multiplico el menos i por el i.
i por i es menos 1 con el menos da más 1. Este menos i cuando lo
multiplico por todo esto cuando lo multiplico por el i me da el seno de t.
e a la menos t, seno de t. ¿Y ahora la parte imaginaria de dónde sale? La
parte imaginaria sale de multiplicar el menos i por e a la menos t coseno
de t y también sale la parte imaginaria de multiplicar este 2 por i seno
de t por 2 e a la menos t seno de t. Entonces, fijaos que yo he hecho esta
cuenta de aquí y lo he escrito como un vector que sería la parte real y
la parte imaginaria. Pero tengo que mi solución fundamental mi solución
fundamental x1 una vez que he desarrollado esta exponente tiene una parte
real y una parte imaginaria. Entonces, hay una cosa que es que es verdad
porque cuando haces la derivada de una función muy compleja como es la
derivada de una suma y la suma de la derivada la parte real y la parte
imaginaria son como funciones reales son dos soluciones reales o sea, si
tengo yo aquí una función compleja es solución de una ecuación
diferencial la parte real es solución de una ecuación diferencial y la
parte imaginaria también es solución de una ecuación diferencial.
Entonces, yo con una de las soluciones tengo que esta esta que es una
función real es una solución fundamental de la ecuación y esta que es la
parte imaginaria es otra solución fundamental de la ecuación. Es decir
que la solución de la ecuación sería una combinación de la solución de
la parte real y la parte imaginaria de la solución que he hablado.
Entonces, si yo quiero escribir esta solución como como la matriz
fundamental pues la matriz fundamental es la que tiene por columnas las
soluciones fundamentales es decir tiene por columnas coseno de t 2coseno de
t más seno de t por e a la menos t que como esto está en todos los sitios
lo saca aquí fuera y la otra columna que es la otra solución fundamental
sería la matriz fundamental. Estos dos casos son casos fenomenales porque
esto es lo que nos pasaba si recordáis en el en el cuatrimestre pasado
había cuando queríamos diagonalizar matrices había los casos que yo se
llama aquí por hacer un poco gracia casos chungos casos chungos en los que
no no funcionan bien las cosas entonces, por ejemplo aquí vamos a hacer un
catálogo de casos chungos en vuestro libro en vuestro libro nos ponen
hacer una relación de casos de casos chungos y te da más o menos una
solución la teoría que hay detrás de esto que evidentemente como es un
curso de ecuaciones diferenciales es la teoría que hay de hallarla en
matrices de Jordan yo bueno, como yo soy un matemático de estudios pues a
mi me gusta las las demostraciones y esas cosas cosa que claro no es la
finalidad de este curso de ecuaciones diferenciales porque eso
correspondería más a un curso, o sea si alguien saliera así en una obra
de corrido pues todo esto le resulta más fácil pero os he preparado unas
notitas unos documentos que os aportaré por si alguien lo quiere mirar
luego os las enseño un poco como se llega a todo esto intentando
diagonalizar matrices entonces vamos a ver qué pasa cuando yo tengo un
autovalor doble y en cambio un autoespacio tiene dimensión 1 entonces
fijaos que era uno de esos casos en los que no se podía diagonalizar,
porque el autovalor doble tenía para poder diagonalizarse necesitábamos
un autoespacio de dimensión 2 entonces si sólo tengo un autoespacio de
dimensión 1 pues tengo problema entonces fijaos lo que pasa es que si yo
tengo un autovalor doble y un autovector de dimensión 1 necesito dos
soluciones fundamentales pues las dos soluciones fundamentales van a ser el
autovector lo que antes se había puesto w, que he usado la anotación en
vuestro libro u por e a la kt que sería el autovalor con su autoespacio y
luego necesito otra otra solución fundamental, bueno, pues es ut e a la kt
más v e a la kt, dicho de otra manera ut más v por e a la kt v, ¿cómo
se calcula v? pues u es un autovector y v es es decir, es la solución de a
menos ki por u igual a 0 es el autovector y v es un vector que está en el
esto es lo que, si os acordáis del álgebra, esto u sería del núcleo el
núcleo de a y esto sería el núcleo cuadrado porque esto sería porque si
yo aplico a menos ki a u me da 0, pero sería los los vectores que se
transformaban en 0 es lo que se llamaba en el núcleo, el ket y el esto a
menos ki aplicado a v, da u y si yo vuelvo a aplicar otra vez a menos ki
como es un autovector da 0, lo que sería del, digamos del a ver, la v
sería un vector que ha aplicado al cuadrado, ha aplicado a la 0 bueno,
ahora veremos algunos ejemplos esto sería en dimensión 2 dimensión 2,
caso chungo esto pasamos a dimensión 3, ya dije que íbamos a ver solo los
casos chungos hasta dimensión 3 casos chungos en dimensión 3 que un
autovalor es triple pero yo solo tengo un autovector entonces pues se
calculan así las soluciones fundamentales donde u es un autovector este es
el autovector este es el ahora veremos un ejemplo otro caso chungo un
autovalor es triple, pero el autoespacio tiene dos autovectores pues
entonces pues tengo aquí las soluciones fundamentales una con un
autovector otra con el otro aquí esto bueno vamos a esto lo vamos a ver
con ejemplos yo preparo unas notitas que luego si salen un poco del
propósito del curso pues igual lo qué pasa cuando tenemos sistemas
lineales no homogéneos, es decir que tenemos la parte lineal y luego un
término forzado aquí entonces lo que se utiliza es una generalización de
la del método de variación de las constantes pero en este caso con
matrices aquí lo yo que si no voy a daros tantos que si vamos a pasar a
hacer algunos ejemplos y luego cuando aparezca esto volvemos un poco sobre
ello pero lo que simplemente queda es que cuando tenemos un término que no
es homogéneo porque tenemos un término forzado la solución es la
solución general de la homogénea más una solución particular de la
completa ¿cómo se da la solución particular de la completa? pues
generalizando el método de variación de las constantes, es decir si yo
tenía que x era igual a la matriz fundamental por un vector de constantes
en vez de ser un vector de constantes fijo es una función entonces se
sustituye y se hace exactamente igual que teníamos en el método de
variación de las constantes hay también maneras de hacerlo cuando el
término forzado son funciones trigonométricas o polinomios o
exponenciales pues también se puede aplicar el método de los vamos a
dejarlo aquí porque luego ya vamos a pasar al capítulo 8 vamos a
quedarnos en el capítulo en el capítulo entonces vamos a buscar otro
documento para seguir trabajando con él que es lo tenía por aquí parece
que lo tenía en la mano ejemplo me parece este es que si no nos vamos a
aburrir mucho vamos a hacer algunos ejemplos bien vamos a hacer unos
cuantos y aunque los hagamos por encima sin entrar en detalles por ejemplo
dice esto resuelve este sistema de ecuaciones aquí os he puesto la
anotación sin flechitas en otro libro pone una flechita este que lo pone
con mayúsculas que es la que utiliza nuestro libro tenemos el vector x que
son tres funciones x1, x2, x3 la matriz a la matriz del sistema y la matriz
de las derivadas y se resuelve el sistema x' igual a x entonces ¿cuál
sería el método de lo primero es estudiarse los autovalores los
autovalores de la matriz a son las raíces del polinomio característico,
¿cuál es el polinomio característico? pues es el determinante de a-
aquí usamos la letra r en las otras notas era la letra m pero bueno en los
libros varía entonces a-r y este es el determinante de donde pongo en la
diagonal pongo menos r menos r y menos r entonces este determinante
recordar como se calculaba era menos r cubo más la traza aquí la traza
era tres menos uno, dos dos menos uno, uno uno por r cuadrado, menos ahora
la suma de los adjuntos de los elementos de la diagonal que en este caso es
uno pues sería menos r más el otro entonces me da un polinomio cúbico
que factorizado lo puedo hacer utilizando Ruffini por ejemplo si lo estoy
haciendo a mano o si estamos usando Wolfram Alpha pues lo puedo hacer a lo
máximo, ya sabéis como si alguien no se acuerda de estas cosas así más
en detalle en el curso de algebra del cuatrimestre pasado bien hecho para
muchos ejemplos yo se lo puedo enviar si me lo pide yo se lo mando pues
tenemos aquí el polinomio característico factorizado ¿qué quiere decir
esto? que los autovalores son un autovalor real es el uno estos son
ejemplos para ver casos que uno se familiariza con todo el catálogo de
casos que pueda haber pues es cuestión de practicarlos y yo tengo dos
raíces, este polinomio r cuadrado más uno tiene dos raíces conjugadas
que son y y menos entonces yo tengo que calcular los autoespacios
correspondientes para el autovalor uno, el autoespacio he usado la letra
alfabeta gamma alfabeta gamma sería el autoespacio correspondiente al
autovalor uno serían los vectores de R3 tales que la matriz a menos lambda
y que es esta cuando el autovalor es uno cuando R pongo uno, tres menos uno
dos etcétera aplicado a alfabeta es igual a cero bueno pues ya sabéis que
lo que hemos hecho es que hacemos siempre una de las ecuaciones sobra
porque el determinante es cero entonces pues tenemos un sistema de dos
ecuaciones con tres incógnitas entonces la solución está generada por un
vector aquí hay trucos para hacerlo a ojo por ejemplo si yo le doy a alfa
el valor uno y a beta el valor dos al valor cero el gamma que tiene que ser
el gamma tiene que ser uno para que se edifique eso y luego lo compruebo
menos uno más uno cero bueno pues este como vemos este vector es un
autovector correspondiente a este autovalor eso que quiere decir que ya
tengo una solución fundamental una solución fundamental es el autovector
por e elevado al autovalor que era uno c ahora tengo que calcular otras dos
soluciones fundamentales pero aquí tengo que utilizar los autovalores
complejos ya sabéis que tengo uno y su conjugada entonces trabajo solo con
el autoespacio de uno porque toda la información que saque pues la saco
con el otro el conjunto entonces el autoespacio correspondiente al
autovalor i sería en el conjunto de basado al alfabeta gamma de c3 de los
complejos tales que yo ahora tengo la matriz a menos r i es decir tres
menos el autovalor que es i menos uno menos el autovalor que es i aplicado
alfabeta m es igual a cero si yo desarrollo este producto bueno una de las
ecuaciones la puedo quitar voy a quitar esta por ejemplo sería tres menos
i por alfa más dos por beta dos por gamma igual a cero y menos uno por
alfa más menos uno menos i por beta igual entonces si yo intento resolver
este sistema tengo que resolver este sistema entonces en este caso puedo
tomar gamma como parámetro y lo que he hecho ha sido ponerlo aquí
entonces como yo tengo que hallar me basta con hallar una solución
cualquiera este sistema este sistema es un sistema de dos ecuaciones con
tres incógnitas porque todas las soluciones van a depender de un
parámetro y yo tomo gamma como parámetro bueno este sistema si queréis
vamos hay muchas maneras de resolver un sistema no recordareis del del
cuatrimestre pasado pues había pues de reducir la forma escalonada la
fórmula de kramer eliminación sustitución entonces por variar un poco
fijaros que si yo lo utilizo el gamma como parámetro tengo que este es un
sistema que depende de un parámetro entonces yo tengo una solución de
esto entonces aquí el método que he usado vamos que hay miles de ellos es
tomar un valor concreto del parámetro por ejemplo cuando gamma es 1 pues
yo despejo cuanto vale resuelvo este sistema este es un sistema que tenemos
que poner por la regla por ejemplo por usar la regla de kramer aquí es que
cuando tengo números complejos el usar el método de gauss es más
complicado porque hay que multiplicar por números complejos y restar esto
es un poco latoso y esto es más fácil entonces si yo por ejemplo pongo
gamma igual a 1 este es un sistema de ecuaciones en el que el término
independiente es 2-1 entonces recordad que en la regla de kramer se ponía
cuando quería despejar la alfa pues en la columna se ponía el term2-1 y
aquí pues los coeficientes de la veta sería 2-1 y aquí sería el
determinante del sistema que sería 3-i2 y menos 1-1 si yo desarrollo este
determinante esto por esto menos esto por esto tengo que aquí tengo una un
coeficiente de números complejos os acordáis como se hacían los
coeficientes de números complejos bueno aquí lo he desarrollado esto de
aquí este es un producto este de aquí lo he desarrollado aquí por si
alguien tiene alguna dificultad es multiplicar como se multiplican los
polinomios entonces esto lo hemos simplificado yo tengo aquí un bueno
aquí lo voy a simplificar entre dos aquí tengo aquí tengo un coeficiente
de números complejos os acordáis como se dividían los números complejos
para a ver para dividir números complejos lo que se hacía era multiplicar
numerador y denominador por el conjugado del numerador perdón del
denominador pues esto sería como menos i multiplicado por el conjugado del
denominador que el conjugado del denominador es menos 1 así y dividido por
menos 1 menos i multiplicado por su conjugado que sería menos 1 así
entonces porque hacemos esto porque cuando multiplico un número complejo
por su conjugado sale un número real que es un módulo al cuadrado
entonces esto sería si yo multiplico menos i por menos 1 más i hay
diferencia de cuadrados sería menos 1 por menos 1 que es 1 y menos i al
cuadrado que es 1 entonces y menos i por menos 1 es i es este de aquí y
menos i por menos 1 perdón y menos i por i menos i por i sería i por i es
menos 1 con el menos da 1 o 1 más i partido por 2 aquí tenéis hecha si
alguien lo quiere mirar en el documento este pues lo tenéis hecho con todo
la beta pues lo mismo sería utilizando la regla Cramer en este sistema
hago lo mismo es la misma cuenta y al final he obtenido que beta es igual a
menos i partido por 2 fenomenal luego tenemos que el autoespacio sería el
autovector generado sería el alfa beta gamma entonces alfa habíamos dicho
que era esto beta habíamos dicho que era menos i partido por 2 y gamma
hemos dicho que es 1 entonces pues sería este de aquí sería el
autovector por lo tanto ya tengo bueno aquí he puesto como comentario que
no haría falta calcular el autovector porque si el autovalor es el
conjugado el autovector es el conjugado con eso no nos hace falta entonces
como sería la otra solución una solución fundamental pues una solución
fundamental sería variable compleja sería el autovector variable compleja
por e elevado a la i t que esto es el auto el autovalor entonces si yo
desarrollo si yo desarrollo este exponencial este exponencial que es esto
de aquí sería como la parte real es 0 sería e a la 0 t que es 1 que no
se pone y en la parte imagina que es por seno de t y seno de t y esto
sería el autovector entonces si yo cojo esta función que es otra
solución y separo la parte real y la parte imagina tengo la primera
componente la parte real es por seno de t y luego otra número real es
cuando yo multiplico i por seno de t que es menos seno de t la parte
imagina de la primera componente sería i coseno de t como más en la parte
cuando yo multiplico el 1 por seno de t i coseno de t más seno de t o sea
i por seno más coseno la segunda componente cuál sería la parte real la
sería la parte real saldría cuando multiplico el menos i por i que da
menos i por i es 1 la parte real sería seno de t y la parte imagina de la
segunda componente sería menos i coseno de t y la tercera componente la
parte real sería 2 coseno de t y la parte imagina sería 2 seno de t
entonces si yo tengo que una solución de la ecuación tiene esta función
real más i o esta función por i esta función sería una solución porque
si verifican la ecuación diferencial esta suma la verifican cada uno
sumando la derivada de una suma la suma de la derivada entonces tengo que
esta sería una solución fundamental y esta sería la otra pero tengo que
una solución fundamental es la parte real y otra es la parte imagina y la
solución general del sistema sería la combinación lineal de la que
obtuve el autovalor real más las dos que obtuve el autovalor de los
complejos conjugados otro problema estos y se compruebe estos son problemas
que han salido en ejercicios de exámenes se compruebe que si f es
solución del sistema homogéneo x' a x entonces f es una solución del
sistema completo x' a x más f y bueno dice aplicando lo anterior resolver
el siguiente sistema entonces aquí me da un sistema que tiene una parte
lineal homogénea y un término entonces la primera parte es simplemente de
de operar entonces compruebe que si f vamos a repetirlo otra vez compruebe
que si f es una solución del sistema es decir f' es igual a f entonces
tengo que comprobar suponiendo que eso es verdad ver que esta función es
solución de este sistema es decir que cuando yo sustituyo esta función
aquí la derivada de un producto es igual a lo pongo aquí donde y luego
vamos a ver dice x es igual a t f f de t la pregunta dicho de esta manera x
igual a t f de t verifica la ecuación x' es igual a x msg entonces fijaos
que si x es igual a t f de t y yo lo derivo esto es la derivada de un
producto que es la derivada del primer factor por el otro sin derivar más
el primer factor que es t por la derivada del segundo entonces ya me
planteo esto verifica esto de aquí o lo que es lo mismo esto que es lo
mismo que x' esto verifica esto de aquí es decir si yo paso aquí esta f
de t hay que quitar porque las tengo los dos miembros la pregunta es t f'
de t es igual a esto lo voy a poner aquí para ponerla en orden a t a f de
t entonces por ser f una solución de la homogénea a f de t es igual a f'
de t entonces si yo esto lo cambio por f' de t tengo que ¿es verdad que t
f' de t es igual a t f' de t? pues obviamente sí fenomenal ahora vamos a
hacer la segunda parte la segunda parte dice así aplicando lo anterior
resolver el siguiente sistema pues fijaos que la solución de la homogénea
vamos a hacer primero la parte homogénea la parte homogénea que es esta
de aquí entonces el polinomio característico es un un da un autovalor
doble otra vez lo mismo sería r al cuadrado más la traza menos la traza
por r más el determinante, ¿no? calculamos un autovalor doble calculamos
el autoespacio correspondiente el autoespacio correspondiente este
autovalor que es menos dos sería la solución de donde pone r menos uno
menos uno menos menos dos es menos uno más dos que es uno menos uno
también luego yo tengo que este sistema en la secuencia del arquito sería
alfa menos beta igual a cero luego una solución posible pero fijaos que yo
tengo un autovalor doble y un autoespacio de una dimensión luego aquí
tengo un poco de caso chungo ¿eh? un caso chungo entonces vamos a ver si
os acordáis lo que habíamos visto cómo se hacía esto era esto de aquí
teníamos un autovector y un autovalor doble aquí había un problema ¿eh?
entonces si os acordáis de la es que lo tengo en otro documento creo que
lo tengo copiado por aquí a ver, aquí un autovalor doble y un solo
autovector esto era uno de los casos chungos ¿de acuerdo? acordaros que la
solución fundamental no me acuerdo que lo tenía puesto aquí sería uno
sería x1 es igual a un autovector por e a la kt y el otro sería u p e a
la kt más v e a la kt escrito de tal manera así sacando el factor común
donde u es un auto vector y v es la solución de la ecuación esta entonces
fijaos vamos a intentar verlo con este ejemplo entonces una solución es
esta de aquí el auto vector u y el auto valor que era menos 2 pues e a la
menos 2t hecho desarrollado sería e a la menos 2t esta sería una de las
soluciones fundamentales para los ¿eh? entonces ahora tendría que llegar
ya tengo el vector u el vector u era el auto vector era el 1,1 este es lo
que habíamos llamado el vector u de acuerdo el u mayor ahora me tengo que
calcular cuál es el vector v el vector v se obtenía se obtenía haciendo
la ecuación esta de aquí que era la de a menos menos lambda t menos kt
perdón era este de aquí este vector de aquí el 1,1 aplicada alfabeta me
da el vector u este es v que es el que tengo que averiguar y este es el
vector u y esto ya es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas
sería alfa menos beta igual a 1 y alfa menos beta igual a 1 una posible
solución de esto que esta tiene varias sería el vector 1,0 1,0 ya v es el
1 luego la otra solución fundamental que sería esta de aquí sería u que
es el auto valor u 1,1 y v que es el 1,0 por e a la menos 2 entonces ya
tengo las tres soluciones fundamentales una que había obtenido donde
estaba el sistema este perdón aquí como esto era una un auto valor y un
auto espacio doble y un auto espacio este es uno de los casos chicos que
voy a tener la solución general es esto de acuerdo esto era el u que era
un auto vector y esto era el u u por t más v fenómeno si yo lo desarrollo
pues por ejemplo este que tiene el e a la c sub 2 lo puedo poner bueno lo
puedo escribir de mucho en menos fijaros que en el enunciado la función f
de t es precisamente una de las soluciones fundamentales a ver voy a volver
al enunciado me perdonáis si muevo mucho pero fijaros en esto yo tengo que
en la ecuación f de t es esta ecuación de aquí que es una de las
soluciones fundamentales que es esta fijaros y lo tengo en el enunciado yo
tengo que esta es una de las soluciones fundamentales f de t es una de las
soluciones fundamentales al ser esto una de las soluciones fundamentales
verifica la ecuación entonces me dice que t f de t es una solución del
sistema completo bueno pues como es una de las soluciones fundamentales
verifica la ecuación voy a ponerme aquí como esta verifica la ecuación
es la homogénea y la solución particular de la completa es precisamente
lo que me han dicho aquí t f de t es lo que habíamos mirado en el
apartado anterior t f de t por lo cual la solución general es la solución
particular de la completa y la solución de la homogénea fenomenal esto si
queréis le podemos dar más vueltas y agruparlo de otras maneras en fin
pero fenomenal bueno pues nada vamos a a ver otro documento que os tengo
puesto aquí eh a ver en la en la planificación de las tutorías tenéis
una hojita donde ven todos estos documentos que que tenemos entonces si
queréis por lo si queréis imprimir aquí esto sería como eh verse muchos
ejemplos hasta que coges un poco la el tranquillo ver muchos casos y ya
está aunque sean mirándolos por encima no había un tenemos problemas
aquí está problemas de problemas de ecuaciones lineales esto perdón hay
dos documentos de estos porque tengo muchos hechos vamos a abrir con abrir
con no es que nos me equivoca perdone es este aquí bueno no nos va a dar
tiempo de hacerlo hoy lo dejaremos ir para el tutorial siguiente a ver
problemas de ecuaciones diferenciales lineales entonces aquí tenemos
problemas de exámenes de sistemas de ecuaciones eh aquí como veis tenemos
muchos eh muchos problemas con los recordatorios oportunos de todos estos
entonces aquí tenéis varios entonces yo lo que recomiendo es ir haciendo
problemas de estos todos estos problemas también conviene aprender a
hacerlos luego lo veremos en otro tutorial aprender a hacerlos utilizando
Maxima o utilizando Wolfram Alpha por ejemplo si por no meterme a enredarme
si yo tengo aquí el Wolfram Alpha recuerda que teníamos por aquí Wolfram
Alpha Wolfram Alpha en en los ejemplos eh ecuaciones diferenciales falló
para aquí casi lo vamos a dejar aquí porque quiero ir a la otra a la otra
tutorial el próximo día si queréis si queréis alguno de los documentos
estos que tienen muchos hechos pues me los pedís aparte de que los pongo
enlazados en las estas y nada espero que os salga muy bien la la PEC te
estoy despidiendo hasta la próxima