Pasaríamos a la segunda sección de este capítulo, que se dedica al
método de escalonamiento de Aus. También es conocido de cursos
preuniversitarios, pero ahora le vamos a dar un uso mucho mayor. Este
método nos va a servir para detectar cuántas filas independientes o
linealmente independientes hay en una matriz. Y luego ya veremos para qué
nos va a servir ese concepto. Tenemos un primer ejemplo en el libro en el
que tenemos una matriz con cinco filas y cuatro columnas. Es una matriz de
orden 5x4. Y podemos ver que la fila 5 la podríamos obtener del siguiente
modo, haciendo dos veces la fila 1 más la fila 2 menos tres veces la fila
3 más 0 por la fila 4. O sea, con la fila 4 no la usaríamos, pero la
marcamos así. Entonces podemos decir que la fila F5, o decimos formalmente
que la fila F5, es una combinación lineal de las demás filas. Como mucho
va a tener cuatro filas linealmente independientes porque hay una, al menos
una quinta, que se puede obtener a partir de las demás. Ya definiremos
esto con más formalismo. Para determinar las filas linealmente
independientes de una matriz vamos a utilizar el método de Gauss que nos
va a transformar una matriz en escalonada. Tenemos dos conceptos muy
importantes que son el de matriz escalonada y matriz escalonada conocida.
Antes de entrar en la matriz escalonada hay que definir el concepto de
pivote. El pivote es el primer elemento no nulo de una fila de una matriz.
Hay filas que pueden no tener pivotes y en el caso de las filas, nulas.
Entonces la matriz escalonada viene definida por dos propiedades. La
primera es que si tiene filas nulas son las últimas. Y la segunda
propiedad es respecto a cómo están ubicados los pivotes. Todo pivote
tiene a su izquierda más ceros que el de las filas lineales. Entonces la
matriz escalonada es la fila anterior. Lo vemos en este ejemplo. Tenemos la
primera matriz. Llamemos a esta primera matriz y comenzaríamos marcando
los pivotes de cada una de las filas. En la fila primera es menos i, el
primer elemento no nulo. En la fila segunda i. Y en la fila tercera dos. La
fila cuarta es nula y no tiene por tanto pivotes. Entonces se cumple la
primera propiedad. Hay una fila nula y es la primera matriz. Y cada pivote
tiene a su izquierda más ceros que el pivote de la fila anterior. Hemos
trazado aquí una línea que va recorriendo de pivote en pivote las filas y
produce ese efecto escalón debajo de esa escalera. Todos los elementos son
nulos. La matriz b, segunda que tenemos aquí en este ejemplo, sigue siendo
también una matriz escalonada. Los pivotes o primeros elementos nulos de
cada fila son estos cuatro. No tiene ninguna fila nula y cada pivote tiene
más ceros a la izquierda que el de la fila anterior. Así que las dos
matrices son escalonadas. Vamos a ver si son escalonadas reducidas. La
primera no, porque no cumple la primera de las propiedades que dice que
todos los pivotes tienen que ser iguales a uno. Y la matriz b, pues veamos,
efectivamente todos los pivotes son unos y luego tiene que cumplir que toda
entrada es situada en la misma columna, por lo que un pivote sea igual a
cero, es decir, en la columna 1 el resto entrará a salvo del pivote, son
ceros. Lo mismo tiene que pasar en la columna 4 en la columna 6 y en la
columna 7 Por tanto b si es escalonada reducida. El método GAUSE se basa
en ir haciendo operaciones con las filas de una matriz que llamamos
operaciones elementales de filas. Tenemos tres tipos de operaciones El tipo
uno es el intercambio de filas. podemos intercambiar la fila i con la fila
j y lo denotamos así. El tipo 2 de operación es que a una fila le podemos
sumar otra multiplicada con un escalar y lo denotamos así. A la fila i le
sumamos la fila j multiplicada por un escalar beta. Y el tipo 3
consistiría en que podemos multiplicar una fila por un escalar no nulo.
Esto es muy importante. Podemos multiplicar y lo denotamos así. A la fila
i la multiplicamos por alfa con alfa distinto de cero. Esto no se nos puede
olvidar porque es un error que cometemos con mucha frecuencia. No podemos
multiplicar por cero una fila. Aquí tenemos un primer ejemplo de cómo se
realizan operaciones elementales de filas. Vamos a hacer la operación de
intercambiar la fila 1 con la fila 3 que denotamos así. Esta fila 1 va a
pasar abajo a la posición de la fila 3 y la fila 3 se va a intercambiar y
va a ir a la posición en que estaba la fila 1. Y así iremos aplicando el
resto de operaciones elementales. En este ejemplo vemos que realizando tres
operaciones conseguimos transformar la matriz A inicial en una matriz B
escalonada. Tenemos un importante concepto que es el de la equivalencia por
filas y que es el siguiente. Dos matrices A y B vamos a decir que son
equivalentes por filas. Y la matriz A y B es equivalente por filas y lo
vamos a denotar así con este símbolo. A es equivalente por filas. Si las
matrices son iguales, esto no es necesario diferenciarlo pero para que no
se produzca confusión. O si podemos obtener la matriz B a partir de A
mediante una cantidad finita de operaciones elementales. Esta es una
relación de equivalencias, una relación reflexiva, simétrica y
transitiva. Y ocurre que una matriz puede ser equivalente por filas a
distintas matrices escalonadas. Puedo transformar A en una matriz B
escalonada, en una matriz C escalonada distinta. Hay muchas infinitas
matrices a las que yo podía llegar escalonadas. Pero hay una única matriz
escalonada reducida a la que puedo llegar transformando A mediante
operaciones elementales. A esa matriz que es única la llamamos la forma
escalonada reducida de A con el artículo determinado o bien también se
llama forma de ermite por filas de A. Y la anotamos así. Tenemos dos
algoritmos descritos en el libro. El método de Gauss es el teorema 1.24
que nos indica cómo podemos transformar A en una matriz escalonada B
siguiendo un procedimiento estandarizado. Y luego tenemos el teorema 1.27
que es el método de Gauss-Bordanes. Aplicamos el método de Gauss y
continuamos una serie de pasos extra para transformar A no en una matriz
escalonada cualquiera sino en su forma escalonada reducida o forma de
ermite por filas. Existe una relación directa entre la aplicación de
operaciones elementales de filas y el producto de matrices. Y la relación
está en lo que se denominan matrices elementales. Vamos a definir una
matriz elemental asociada a cada operación elemental. Y la anotamos así.
La matriz elemental sur con esta anotación es la matriz resultante de
aplicar la operación elemental en cuestión a la matriz identidad. O sea,
si cogemos la matriz identidad y le aplicamos el intercambio de filas
obtenemos la matriz elemental e f . Eso lo podemos hacer para todos los
tipos de operaciones elementales y se tiene la siguiente relación.
Realizar en A una operación elemental de filas x equivalente a multiplicar
A por la izquierda por la matriz elemental correspondiente. Podemos ver un
ejemplo. Tenemos aquí una matriz a la que le aplicamos la operación de
intercambio de filas. Cambiamos la fila 1 por la fila 3 y obtenemos esta
matriz. Podemos comprobar que obtenemos lo mismo multiplicando nuestra
matriz original por la matriz elemental asociada a esa operación
elemental. De modo que tendríamos la siguiente caracterización de la
equivalencia por filas. Dos matrices hemos definido que son equivalentes
por filas. Si se puede transformar una en otra mediante una sucesión
finita de operaciones elementales esto va a ser equivalente a decir que
existan matrices elementales e1 hasta eK, una por cada operación elemental
que hemos aplicado. De manera que la matriz final B que se obtiene tras
aplicar operaciones elementales de filas A es igual a A multiplicada por
todas las matrices elementales asociadas a las operaciones. En la tercera
sección de este capítulo se introduce el concepto de rango. El rango de
una matriz, vamos a denotarlo así, rango de A, es el máximo número de
filas linealmente independientes que tiene. Para estudiar este rango nos
vamos a apoyarnos en las matrices escalonadas. Utilizamos el siguiente
resultado. El rango de una matriz cuando es escalonada es igual al número
de filas nómulas que tiene. Y la siguiente propiedad también. Si tenemos
dos matrices equivalentes por filas, ambas tienen el mismo rango. Entonces
¿cómo vamos a proceder? Pues partiremos de una matriz A, haremos
operaciones elementales de filas hasta obtener una matriz B escalonada.
Ahora tenemos que A es equivalente por filas a B. El rango de A por ser
escalonada es igual al número de filas nómulas que es 3 y, por tanto, el
rango de A al ser equivalente a 3 por filas también será igual a 3.
Tenemos varios teoremas, como se indica ahí, que expresan propiedades del
rango en relación con las operaciones de matrices y con la equivalencia
por filas. Un resultado muy importante es el que ya hemos anunciado antes
pero escribimos aquí formalmente si A es equivalente por filas a B
entonces el rango de A es igual al rango. Aquí quiero destacar
específicamente que el recíproco de este resultado no es cierto. Es
decir, que dos matrices A y B sean equivalentes por filas es una condición
suficiente para que tengan el mismo rango, pero no es una condición
necesaria. Es decir, dos matrices pueden tener el mismo rango y no ser
equivalentes por filas. Vamos a introducir otra relación de equivalencia
que nos va a permitir caracterizar el rango con una condición necesaria y
suficiente. Sería la relación de equivalencia, que la incluimos aquí.
Pero ahora hablaremos de ella más adelante. Y con esta nueva relación si
se cumple que si A es equivalente a B, esa sí es una condición necesaria
y suficiente para que los rangos sean iguales. Otras propiedades que
expresan estos teoremas pues tienen que ver, como digo, con propiedades del
rango en relación con la suma de matrices, con el punto de escalar, con la
matriz traspuesta, con el producto matricial, etcétera. Las mismas
operaciones. Las mismas operaciones que hemos definido entre filas de una
matriz se pueden definir igualmente entre columnas. Entonces tenemos lo que
denominamos operaciones elementales de columnas, que serían igual que
antes, las del tipo 1 intercambiar dos columnas, el tipo 2 sumarle a una
columna múltiplo de otra y el tipo 3 multiplicar una columna por un
número distinto de cero. Definimos igualmente la equivalencia de matrices
por columna, si podemos transformar una matriz en otra realizando
operaciones elementales de columnas. Y también en el caso de la matriz de
cero. En el rango se va a caracterizar por coincidir con el número de
columnas independientes de una matriz. Exactamente, coincidirá con el
número de filas independientes. Usamos esta notación. A es equivalente
por columnas AB y si se da esta condición pues tenemos el mismo resultado
que antes. En esta situación el rango de A coincide con el rango de B y
como dije anteriormente el recíproco no es cierto, dos matrices pueden
tener el mismo rango pero no ser equivalentes por columnas. Así vamos.
Vamos a introducir una nueva relación de equivalencia y así tendríamos
tres relaciones de equivalencia. La relación de equivalencia por filas,
por columnas y la relación de equivalencia en la que podemos realizar
tanto operaciones de filas como de columnas. Esta tercera relación sí que
nos va a permitir caracterizar, como decíamos antes, el rango. Esta
caracterización la tenemos en el teorema 1.49 que viene a decir que el
rango de A es equivalente al rango de B si y sólo si A es equivalente a B.
Otra forma de expresar el enunciado de este teorema, a lo que llamo aquí
versión 2 para que nos familiaricemos con el lenguaje, sería la
siguiente. Una condición necesaria y suficiente para que dos matrices del
mismo orden tengan el mismo rango es que sean equivalentes. Y una tercera
versión que dice lo mismo sería la siguiente. Dadas dos matrices A y B
del mismo orden. Son equivalentes las siguientes afirmaciones. La primera
afirmación dice A y B son equivalentes y la segunda A y B tienen el mismo
rango. De acuerdo, esto serían tres formas, una, dos y tres de enunciar el
mismo teorema con la misma y completa formalidad y con un lenguaje
diferente en cada caso. Y con esto terminaríamos el resumen de contenidos
de este primer vídeo. ¡Gracias por ver el vídeo!