Muy bien, de acuerdo en principio vamos a ver si lo dejo este archivo este
que estamos viendo ahora mismo que es con el que ya empecé la semana
pasada es el que tenéis en Teams están todas las diapositivas del curso
hay 128 y posiblemente se irán añadiendo alguna más conforme como cada
año surgen cosas nuevas o ideas nuevas o problemas nuevos y caen otros
pues yo me permite también un cierto grado de imagen de libertad para ir
actualizando las cosas en cualquier caso archivo actualizado siempre lo
vais a tener arriba porque siempre lo voy cambiando de hecho este que
estamos viendo ya tiene alguna modificación que es lo que vamos a ver
ahora mirad, la primera parte estas primeras semanas nos vamos a centrar
por supuesto en el bloque 2 de vuestro temario que es el campo eléctrico
independiente del tiempo el campo electrostático en el vacío y en medios
densos medios condensados, sensorios y como los campos eléctricos externos
afectan al comportamiento eléctrico de los materiales y como estos a su
vez interfieren en los campos eléctricos externos pero bueno, estamos en
la primera clase de hecho, entonces el primer objetivo es la situación
más sencilla posible para que podamos ver cuál es el método el
procedimiento para resolver estos problemas que como vais a ver siempre es
el mismo procedimiento O bien, el cálculo directo, que es el método que
vamos a ver hoy. Dos, o bien si podemos aplicar algún teorema que nos
simplifique el problema. Estoy hablando del teorema de Gauss, del flujo
superficial del campo eléctrico. O bien, ya un tercer método que es muy
específico, que es el método de las imágenes. Cuando intentamos resolver
campos eléctricos en un punto del espacio, cuando en la proximidad de ese
punto hay distribuciones de conductores a potencial cero o a potencial
constante. Esto distorsiona el entorno, pero a su vez el problema resuelto
directamente, que podría ser muy complejo, se utiliza un método, que es
el método de las imágenes. Digamos que este es a vista de pájaro un poco
recorrido de estos meses. Bueno, pues ya la semana pasada empezamos a...
Bueno, un poco a ir al grano. Si nos vamos al chenck, el primer tema que es
sobre el concepto de carga eléctrica, que es una carga, cómo se genera...
Bueno, pues ahí yo he pasado un poco de puntillas. Yo os comenté la
semana pasada que primero vamos a ver o a calcular campos eléctricos de
cargas puntuales. O dicho de otra manera, campos eléctricos creados por
distribuciones de carga que estamos tan lejos de ellas, tan absolutamente
lejos de ellas, que cuando intentamos... observarlas, lo único que vemos
de ellas es un punto. Estamos a esas distancias. Y a esas distancias
funciona lo que estoy marcando aquí, la ley de Coulomb. La famosa ley de
Coulomb, que en cursos... iniciales de electricidad, de física 1, etc.,
pues aparece como una ley que, al depender de la inversa del cuadrado de
distancia, pues tiene su evocación a la ley de gravedad universal. Pero
esta no es tan universal, la del campo eléctrico. Esta solamente es
válida, la que estoy marcando aquí, cuando las distribuciones, estamos
tan lejos de ellas que las podemos aproximar simplemente a un punto
geométrico. Básico. Si estamos en la distancia en la que distinguimos si
tiene forma de cilindro, de esfera, o amorfa, o tiene cavidades, etc.,
etc., etc., no nos vale. Entonces, estamos en esta aproximación. Y nos
quedamos la semana pasada viendo cómo se maneja, estamos viendo el manual
de instrucciones de esta integral. Tanto para la expresión vectorial, que
es la del cálculo del campo eléctrico, que es esta de aquí, para
distribuciones lineales, superficiales, lineales, superficiales o de
volumen, y en términos de energía, el concepto de potencial, que es una
cantidad escalar. Bueno, pues nos quedamos con un ejemplo, que es, ahora
vamos a ir viendo varias geometrías diferentes y nos piden siempre
calcular el campo eléctrico. La semana pasada nos quedamos en este
casquete hueco, calcular el punto en el origen, y es la aplicación del
campo eléctrico, colombiano, para una distribución superficial de carga.
¿De acuerdo? En el origen. Primero, hay que... Cada uno de los elementos
del numerador, densidad, los dos vectores de posición que aparecen, el
elemento diferencial de superficie, Todos tienen su expresión en
coordenadas. La R sin primas es la posición fija del punto donde viene a
calcular el campo. Eso no se integra, es un número, es un vector. Es una
posición fijada. R' sí que incluye o contiene las variables y los
diferenciales que se van a integrar en la expresión. Entonces, densidad de
carga constante. Densidad constante, R es cero, porque en este caso el
punto donde yo necesito o voy a crear el campo es justo el origen. R' es la
posición genérica de cualquier elemento de carga del casquete. Todos
están a la distancia radio, R, y están señalados por el vector unitario
radial. Esto es lo más importante, porque después se construye el módulo
de R'. R' que es R y elementos superficiales esféricas. Para el radio
constante, que es el que os estoy señalando aquí, se sustituye todo. La
integral de ángulo. Tenemos el ángulo ecuatorial que gira una vuelta
completa, de 0 a 2pi. Y el ángulo que va de norte a sur solamente gira la
mitad. ¿De acuerdo? Que va desde el eje vertical hasta el suelo formado
por el plano xy. Esta es la integral. El paso de aquí a aquí es donde me
quedé justo la semana pasada. Que es lo que voy a intentar explicar,
porque esta situación que vamos a ver ahora se nos va a parecer con
bastante frecuencia integrales de coordenadas esféricas y cilíndricas.
¿De acuerdo? Yo cuando sustituyo la primera integral, efectivamente,
perdón, la densidad de carga es constante, esto va a salir de la integral.
R menos r' vector me queda este menos r dirección radial, elemento
diferencial de superficie, dividido por el r al cubo, pues hago las
simplificaciones oportunas, y me queda una integral del vector radial entre
los dos ángulos. Y aquí hacemos un pequeño paréntesis, porque quiero
comentar dos cosas en las dos pizarras siguientes. Mirad, esta integral que
veis aquí aparece con muchísima frecuencia en la integración de campos
eléctricos y magnéticos de los problemas de esta asignada. Estamos en
coordenadas esféricas, estamos en volumen. Este es el vector radial en
volumen, vector radial que viene definido desde el origen de coordenadas,
el vector radial. Entonces, en la integral que nos afecta o que queremos
resolver, veis que tenemos la integral del vector radial y es una integral
angular. ¿De acuerdo? Le vamos a hacer girar al vector radial una vuelta
completa. Por el ángulo ecuatorial, ¿vale? Esta situación de aquí. Una
vuelta completa por el ángulo ecuatorial. Viene indicado aquí con esta
marca, bueno, con este círculo puesto aquí de esta manera. ¿Qué ocurre
cuando doy una vuelta completa del vector radial? Pues, me voy a fijar en
concreto en un vector radial este, específicamente este. Pues siempre
pueden encontrar un opuesto a él, de tal manera que si descomponemos la
vertical en su plano, las componentes verticales se van a sumar, que es la
componente contigua desde el triángulo rectángulo que cierra, u sub r y u
sub z. ¿De acuerdo? Donde no hay ningún problema en ver que esta es la
relación trigonométrica entre ambos vectores. Tres cuartos de lo mismo
ocurre con este triángulo de la izquierda, entre miedos de módulos en la
misma expresión. Y quiero decir que al girar, siempre las componentes
zetas de u sub r y de su opuesto se van a sumar en la dirección u sub z.
Pero, ¿qué ocurre con los de las componentes? Las componentes x e y que
se encuentran proyectadas en el suelo, en el plano, que se anulan,
aparecen. El más u sub x con el menos u sub x, el más u sub e con el
menos u sub. De tal manera que esta integral en una vuelta completa siempre
está formada en esta de aquí. En dos veces la componente u sub z. Y esta
ya es independiente del giro. Por mucho que giremos, esa componente siempre
estará mirando hacia el norte, podríamos decir, hacia arriba. Y las
componentes x y y se anulan. Pues mirad, esta misma integral, cuando
esté... Vemos en coordenadas cilíndricas o polares. Bueno, al fin y al
cabo las polares son unas cilíndricas donde la altura es tan pequeña como
yo quiera. Esta integral siempre es cero en el plano. Por razones obvias,
como veis aquí. Este integral se puede dividir entre los dos
semicírculos, entre 0 y pi, y pi y 2pi. En el primer sector el usuario es
positivo, en el segundo sector tengo siempre la pareja opuesta que se
cancelará con la primera, de forma que este integral siempre es nula,
teniendo en cuenta que sólo se dará de igualdad a cero si estamos en
coordenadas polares. ¿De acuerdo? O, bueno, como nos pasará en alguna
circunstancia en unos problemas más adelante, coordenadas cilíndricas.
Porque en coordenadas cilíndricas el vector radial no está tomado desde
el origen de coordenadas, que es como ocurre en esféricas. Recordar que el
vector radial en coordenadas cilíndricas tiene como origen el eje que
constituye la altura. Es decir, el eje que constituye la altura. ¿De
acuerdo? De hecho, el radio del cilindro es el que define el vector radial
en coordenadas cilíndricas. Bueno, esto es importante porque, de hecho,
muchos problemas, si no se tiene en cuenta esto, nos van a aparecer siempre
al menos dos componentes, una radial, otra angular, y dices, uff, ¿esto
cómo lo voy a integrar? Pues a veces la mitad de ese problema es nulo, lo
tenemos delante y no lo damos cuenta. Bueno, esto es importante. Esto, si
os sale en algún... Si os sale en algún problema, basta con indicar que,
por cuestiones del sistema de coordenadas adoptado, que es esféricas, la
vuelta alrededor del ángulo ecuatorial del vector radial es dos veces la
componente de la proyección. de la componente Z. Bueno, pues esto es lo
que hemos aplicado aquí. Es decir, que el vector radial cuando le hago
girar con respecto a U sub Z se transforma en 2GZ su componente contiguo.
¿De acuerdo? El seno viene del elemento superficial. Bueno, pues ahora
esto se integra, es una integral inmediata. Esto es 2pi, todo lo demás
constante. El U sub Z ya sale constante de las integrales y la integral
coseno seno que es inmediata y nos da bueno, pues no llegué a término,
pero bueno, este es el se sustituye para pi medios y para cero y lo que nos
dé la cantidad. Es el campo lento. ¿De acuerdo? Muy bien. Otro ejemplo
Necesito un pequeño puntero. Lo voy a improvisar con la flecha. Otro
ejemplo lo vamos a utilizar ahora con un plato. Un plato donde se han
distribuido una carga homogénea. Bueno, no es homogénea, perdón. Mirad,
aquí en este caso la densidad de carga tiene una dependencia radial. Se
acumula sobre todo en la periferia y cuanto más me acerco al radio, menos
carga hay. Bueno, pues no es una distribución homogénea. La expresión
matemática de la distribución de carga, pues lo único que nos hace es
complicarnos la integral. Si es constante nos hace un favor porque sale de
la integral. Y punto. Si no, pues bueno, pues hay que ver lo que nos queda.
El potencial colombiano, pues para una densidad superficial lo tenemos
aquí. No es un vector. Son cantidades escalares. Me dicen que calcule el
potencial en un punto situado en su vertical. Y mirad, aquí en esta
diapositiva, por una cuestión simplemente de economía, no he puesto los
denunciados, pero bueno, siempre lo que nos piden es básicamente lo mismo.
Calcula campo, calcula potencia. A una altura fijada del centro del disco.
Bueno, pues entonces R viene fijada por esa altura que la he llamado Z sub
0 o H o como la queramos llamar. Eso es fijo. Eso es un dato del problema.
Eso es un número que cuando nos lo dan exactamente os lo vamos a llevar
arrastrando como valor Z sub 0. Y por lo tanto, lo que calculemos será
válido para cualquier punto de ese eje vertical. Es la generalización que
podemos hacer de este campo. R' es la posición genérica de cualquier
elemento diferencial de carga. Pues este de aquí, el del otro lado,
siempre va a variar el rayo usual. Y a todo lo demás construimos los
elementos de la integridad. El módulo de R se reprima en la raíz cuadrada
de cada uno de los componentes al cuadrado. Y el elemento diferencial
superficial. Diferencial superficial. Bueno, esto es en, podemos decir en
cilíndricas o en polares. En realidad, este elemento superficial es muy
fácil de deducir sin echar manos de la memoria porque en realidad yo he
cogido este elemento diferencial que es un anillo a una distancia R'.
Entonces, si yo a este anillo que es rayado aquí en el interior. Lo sacase
de ahí, hiciera un corte y lo estirara. Vamos a ver si lo consigo. Si yo
este anillo lo cojo y lo estiro, pues me saldría una barra rectangular
cuya área es lado por lado. Entonces, el espesor que es uno de los lados
de este anillo es precisamente diferencial de r, este de aquí, y la
longitud, que es el otro lado, sería 2pi por r. Si en vez de coger todo el
anillo, estoy cogiendo simplemente, hago dos cortes y me quedo con el
trozo, pues... Entonces, uno de los lados sería el arco subtendido por ese
sector, que es el radio por el ángulo subtendido. O sea que, al fin y al
cabo, estamos calculando el área de un rectángulo. Es lado por lado.
Bueno, pues bien, con esto, a sustituirlo en la integral. Lo sustituimos en
la integral. Claro, aquí, el elemento diferencial de superficie nos indica
las dos variables, que es el ángulo... El ángulo, bueno, ecuatorial,
llamarlo como queráis, que da una vuelta completa. Y el radio, que va de
cero al valor r mayúscula. Sustituyo todos los valores, saco constante la
sigma, la r mayúscula al cuadrado, me queda una integral, que aquí, yo
reconozco que no la he desarrollado, simplemente he cogido... un
solucionario de integrales y os he puesto la solución. Y no he sustituido,
es decir, a partir de aquí tendría que haber sustituido por R mayúscula
y restar la misma expresión por cero. Ese es el valor de potencia.
Reconozco que tengo que mirar las tablas de resolución de integrales
porque esta puede salirnos en un problema. Y en los problemas no nos dan, o
no es habitual alguna vez que ha ocurrido, un pie de página o un añadido
del examen donde dan algún modelo de integral indefinida o algo así. Esta
es la integral de R cubo. Bueno, voy a poner... No lo he puesto aquí, pero
bueno. Ahora es la integral de... Vamos a ver. Es una integral que se
utiliza mucho... En este tipo está claro que es un cubo aquí y esto es un
diferencial de X, lo quito el cero porque no es el caso. Y aquí es...
Vamos a ver. Aquí la éndesis, una constante al cuadrado más... X al
cuadrado. Esta integral, ponerlo en vuestras agendas... porque sale con
mucha frecuencia, elevado a un medio. Aquí, por supuesto, no hay que poner
nada. Será la indefinida. Vamos a ver si puede hacer, porque hay que
rebajar el grado del numerador. Pero bueno, en un examen de dos horas,
estas cosas, pues a lo mejor no se tiene tiempo. Bueno, pues yo aquí no
tengo ahora el resultado. Es elevado a tres medios, creo recordar. Pero
bueno, lo miráis en la historia. Pero esta es una de las integrales tipos
que en campos electrostáticos y en campos magnéticos no pueden salir.
Esto va a salir en la grabación, perdonad. ¿De acuerdo? ¿Yo puedo
calcular el campo eléctrico a partir de aquí? Sí, claro. Es otra forma.
Es decir, yo podría haber calculado la dirección del campo eléctrico.
Pero si yo calculo primero el potencial, me va a quedar en función de la
Z0. Y el gradiente del potencial precisamente me da el campo eléctrico. Yo
tampoco lo he determinado. Pero el resultado que nos da aquí, si lo
deriváis respecto a la Z, a la Z sub cero, es el campo que este disco, con
esta dirección, la densidad de carga, ejerce sobre cualquier punto situado
en la vertical de este disco. ¿De acuerdo? Muy bien, pues este es otro
ejemplo. Aquí el objetivo de estos primeros ejercicios es que veáis un
poco el paso de la integral teórica, modelo matemático, traducido a los
elementos reales que vais a utilizar en la integral. El último paso, que
es la reducción de la integral, bueno, aquí nos hemos encontrado con la
primera dificultad y la primera integral indefinida que es importante tener
en cuenta. Bueno, pues otro ejemplo. Vamos bajando un poco de
complicación. Esto es un anillo de radio R. Me piden calcular la potencia
en un punto genérico cualquiera de su eje vertical que pasa por su centro.
Es un poco lo mismo, pero mucho más sencillo. Bueno, ¿por qué? Bueno,
vamos a ver. Aquí la carga está situada toda en el exterior. R, como en
el caso anterior, siempre está... Está fijada por la altura, es un dato.
La densidad de carga, mirad, aquí nos la han complicado un poquito más.
No depende del radio, depende del ángulo de giro. Esto luego, pues en la
integral, pues veremos cómo la integramos. R' aquí ya no es R u su R,
sino es la R grande porque todas las cargas están a la misma distancia y
ya construimos la integral. R' en módulo es la rígida de las componentes.
Y R menos R' que es Z sub cero menos R. Bueno, esto en este caso no es
necesario. Estaba pensando en el campo eléctrico. ¿De potencial? Pues
sustituimos 1 sobre 4 piensos y 2 sub cero. La vuelta completa. 0 a 2 pi,
la densidad de carga, lambda sub cero sin seno al cuadrado, que esto es lo
que el creador del problema es el que decide cuál es la distribución de
carga y el que nos puede complicar un poco más o un poco menos la
integral. El elemento diferencial de línea, que bueno, es un sector, es
decir, vamos a ver, si tenemos un sector, pues esta longitud, ¿dónde
está? Lo tenemos aquí, es r, el radio por el arco superior. Obtendido r
por diferencial de fin, es la longitud de recorrida, que es esta de aquí.
Con lo cual, bueno, esta integral es sumamente sencilla porque el único
variable es el ángulo. Todo lo que no sea ángulo sale de la integral
directamente y me sale la integral de un seno al cuadrado, que bueno, salvo
error, es esta de aquí y se hace el desarrollo. Aquí, salvo error
matemático. A la hora de la resolución veis que depende zeta sub cero. El
campo lo tengo que hacer el gradiente del potencial y tengo que derivar
esta expresión con respecto a zeta sub cero. Y la dirección va en la
dirección z con cambiada de seno. ¿De acuerdo? ¿Se puede hacer el campo
de otra manera? Sí, claro. No lo voy a detallar aquí, pero yo podría
haber cogido esta expresión. Vamos a ver aquí. Yo podría haber cogido la
expresión del campo para el caso de distribución en línea, que está
aquí abajo, y directamente, sin pasar por el cálculo de potencial,
calcular el campo. Aquí sí que me hubiera hecho falta poner en el
numerador r menos r' vector, que es que en el caso de potencial no aparece.
Y r menos r' es esta resta vectorial de los dos vectores, que podéis
pensar que es mucho más complicado, porque tengo arriba en el numerador y
tengo dos vectores y me salen dos integrales. Es cierto, pero mirad, una de
las dos integrales que van a salir va a ser la integral de 0 a 2 pi,
precisamente, de u sub. En el plan. Es decir, estamos hablando, como hace
unos cuantos minutos, estamos hablando de esta integral para el caso del
disco. Es decir, cuando integremos esta parte del numerador, que es esta de
aquí, a 1 cero a 2 pi, se nos va a ir y la integral se nos quedará en
función de z0 u sub z. Integral que, bueno, puede ser inmediata, no lo
puede ser tanto, no lo sabemos. En cualquier caso, siempre tendremos,
disponemos de dos caminos, calcular el potencial y derivarlo. Ventajas, la
integral suele ser más sencilla y es una integral escalar, no hay
vectores. O bien, abordar el campo eléctrico directamente. Bien, hemos
visto dos superficies. Vamos a seguir avanzando. Entonces, yo no sé si
hay... Lo que yo os comenté el otro día, si tenéis dudas, apuntarlas y
luego me las enviáis. Yo luego dedico un tiempo a responder dudas. O bien,
me las envíéis por Teams o a través del foro de tutoría, como queráis.
A veces las dudas se procesan y vienen al cabo de un tiempo. Pues, lo
mismo. Bueno, antes de abordar Gauss, que es un método, vamos a seguir
insistiendo en esta forma de resolver el campo. Me voy a saltar algunas
diapositivas. Como veis, sigo el orden. Vamos a hacer... Voy a saltar unas
cuantas para volver. Pero siempre con la finalidad. Con la finalidad de que
veáis un poco el cálculo de campos y de potenciales. Campos potenciales,
campos potenciales para diferentes distribuciones. Bueno, teniendo en
cuenta que voy a volver para el cálculo de Gauss, que es la diapositiva
número 12. Voy a la 13. Así me la salto de puntillas para luego volver. Y
esto es otro caso. De una cuestión de examen. Que hacía ya muchos años.
Me da como dato una varilla unidimensional. Que es esta de aquí. La que
viene reflejada por aquí. Que termina aquí. Aquí, donde está el origen.
Tiene una carga distribuida por toda la longitud. Es una forma de darme la
densidad, como veis aquí. Y aquí. Al ser homogénea, mirad, esta doble
igualdad es importante que la tengáis como referente. Da igual que cojáis
toda la longitud o cojáis una muestra muy pequeña de la longitud, la
carga continuidad de esa muestra o toda la carga continuidad en toda la
longitud, su cociente siempre es el mismo. Esto es condición de
homogeneidad y de otras cuantas cosas más. Pero bueno, una distribución
homogénea significa esto. Que cuando interesa la lambda es toda la Q
partido por toda la L, cuando interesa la lambda es ese trocito de carga
entre el espacio que ocupa ese trocito de carga. ¿De acuerdo? La carga se
encuentra uniformemente distribuida a lo largo de la varilla. Entonces me
pide que calcule el campo eléctrico situado en un punto alineado con la
varilla que se encuentra a una distancia del extremo de la varilla. Bueno,
la situación es esta. Aquí. Vamos a ver si cojo un poco más. La varilla,
toda la carga está distribuida en esta longitud de L. Aquí no hay nada y
ese punto donde me pide calcular el campo está en una distancia de
mayúscula que es un dado. Bueno, primero sistema de referencia para tomar
distancias y medidas, posiciones y para poder hacerle integrar. ¿De
acuerdo? Bueno, pues bien. Bueno. Bien. Entonces. Entonces voy a coger un
elemento diferencial de carga y este elemento diferencial de carga, el
campo que crea en este punto es esculón. Coulomb es K por la carga partido
por la distancia a la que se encuentra esta carga de este punto. Que bueno,
con todas las medidas puestas aquí, ese elemento de carga que he elegido
está en una distancia X variable dentro de la varilla. Si la longitud es L
y el punto está a D de la varilla, pues desde el origen es L más D. Con
lo cual puedo determinar la distancia X de la carga al punto P, pues como
veis es L más D menos X de aquí. Y esto es Coulomb directamente. Ahora,
vamos a ver, aquí. Muy bien, aquí. Ahora tengo que hacer la integral. La
integral es de 0 a L, que es hasta donde carga. Ahí ponga hasta. Estamos
sumando la contribución de todas las cargas. La densidad de carga es
constante, puede salir de la integral y me queda el elemento diferencial de
carga partido por esa distancia al cuadrado. Esta es inmediata. De acuerdo,
con lo cual, bueno, salvo error. Bueno, no error porque me coincide con
alguno de los resultados. Me queda en función de la Q pequeña, en
función de lambda. Lambda, ¿cómo es? Entonces, Q partido por toda la
longitud, pues bueno, me queda esta expresión. Que es, en realidad es de
campo eléctrico. ¿De acuerdo? Que es, en este caso, KQ de L. Sería el
caso de la C. Hoy siempre es, bueno, este caso es un caso sencillo, pero...
Siempre abordamos la aproximación colombiana porque partimos de un
diferencial que es tan pequeño como queramos y ahí sí que funciona el
elemento del integral, suponiendo que el resto de distribución de carga
que forma la distribución está formado por pequeños diferenciales de
carga puntuales. Esta es la clave. A veces este modelo no es práctico
cuando la geometría a la que me somete la distribución de carga es
demasiado exigente y hace que las integrales, cuando tengan solución
definida, haya que hacer la aproximación o haya que recurrir a otros
métodos, como veremos un poco más adelante. Bueno, otro ejemplo más.
¿De acuerdo? Aquí. También es muy sencillo. Me dice, bueno, con un hilo
fino, vamos a ver, aquí. Con un hilo fino se construye un semianillo de
radio R, el alambre se carga con una carga total. Entonces me piden que
calcule el campo eléctrico y el potencial. ¿En qué punto? Se carga
distribuida de manera, integrando sobre los elementos de carga, calcula en
el centro de la misma. Si no me dicen el punto, no puedo calcular el campo.
Es decir, los campos se definen y se calculan en puntos definidos. Si os
habéis dado cuenta, en todos los ejercicios que llevamos, pues, con alguna
excepción obvia, como el caso anterior, pues, sobre todo cuando hay
geometrías esféricas o radiales, polares me refiero conviene que el
origen de coordenadas sea posible coincidir con el punto esto simplifica
bastante las integrales entonces pues muy bien yo en vez de coger todo el
semianillo cojo un elemento diferencial del anillo con lo cual el campo
creado por ese elemento diferencial si que es aplicable el Coulomb K por el
valor de la carga partido por su distancia que es el radial cuadrado
elemento diferencial de carga como veis es lambda por diferencial de L y en
un sector de longitud es el radio por el ángulo subtendido integro entre 0
a pi me da esta expresión la lambda en función de la carga y de la
longitud se sustituye y me queda la expresión colombiana y el potencial
también se obtiene de la misma manera aquí si os fijáis es sumamente
sencillo es la misma diferencial lo único que la expresión no va al
cuadrado tengo la expresión del potencial después otra expresión otro
cálculo este de aquí bueno este ya lo hemos comentado lo que pasa es que
he preferido porque esto lo encontré después en el problema de esto lo
pusieron en un examen lo tenía resuelto más arriba y ahora acabo de
recordar que también puse esta diapositiva capturada del valeriano López
Rodríguez que es el libro de problemas de la forma de timón que os
comenté porque el dibujo está mucho mejor hecho que el que yo os he
puesto un poco más adelante este ya está comentado Vamos a ver más
problemas de distribuciones, pero en donde el medio ya interviene. Donde
hay una inducción de K hasta el nivel del medio y con lo cual... Pero el
cálculo de integrales va a ser exactamente el mismo. Aquí tengo un poco
más adelante, pero bueno, lo haremos en unas cuantas sesiones. Hay un
método, que es el método de Gauss, que simplifica extraordinariamente el
cálculo de campos. Pero es muy restrictivo porque solamente lo podemos
utilizar cuando la distribución de carga es esférica o semiesférica o
cilíndrica o distribuida en una superficie o en una caja de cerillas. Es
decir, una superficie con espesor. Cuando son distribuciones de carga que
se escapan a esto que os acabo de comentar, hay que aplicar el cálculo
directo del campo. Es decir, las integrales de E y de V que hemos estado
haciendo hasta hace unos minutos. Esta es la expresión del teorema de
Gauss para una superficie comentada. Lo que quiere decir es lo siguiente.
Vamos a ver. Porque aquí hay cosas muy importantes a tener en cuenta.
Primero, esto es una integral de un producto escalar. Es el campo
eléctrico que es lo que tenemos que calcular siempre. Y esto es un
elemento de superficie. Ahora veremos qué es esa superficie y cómo se
define. Y esto de aquí es la carga. Es toda la carga. que está incluido
en lo que se llama la superficie de Gauss. Mirad, vamos a ver. Yo tengo una
distribución de carga real, que es esta que tenéis aquí. ¿De acuerdo?
Voy a quitar esto un momento. Yo tengo una distribución de carga esférica
que puede estar distribuida en toda la esfera o en parte de la esfera o en
el interior o de forma discontinua. ¿Discontinua? No lo sé, pero está
dentro de esa esfera y tiene una cierta simetría esférica. ¿De acuerdo?
Y me pide calcular el campo en un punto exterior a la esfera. ¿De acuerdo?
Pues si la distribución esférica se puede aplicar para su resolución lo
que se llama el teorema de Gauss. El teorema de Gauss me dice lo siguiente.
Es decir, vamos a ver si lo consigo poner bien. Esta es la radio. ¿Vale?
La distribución de carga real la he puesto aquí. ¿De acuerdo? Y yo
necesito... Quiero calcular el campo en este punto que está a una
distancia r Eso es, que está a una distancia r de la distribución real de
carga. Bien, pues lo que se hace es hay que trazar una superficie
matemática es decir, no existe realmente que incluya en su trazado que uno
de los puntos de esa superficie sea el punto en donde yo quiera calcular el
campo. ¿De acuerdo? Quiero decir que si este punto estuviera... Que si
este punto estuviera más lejos, la superficie tendría que tener un rayo
lo suficientemente grande para que ese punto se quedase en la superficie.
Es una superficie matemática, no existe. Entonces, cuando se trata esa
superficie... Bueno, vamos a ver, me he descentrado un poquito con el
dibujo. Aquí. Mi idea es que esto sea concéntrico. Muy bien. Entonces,
esto está en la distancia r. De acuerdo, más o menos. Ya está trazada la
superficie. Y ahora, primera cosa que yo necesito saber. Es decir, yo a
priori, antes de hacer cualquier cosa, yo ya sé la dirección y sentido
del campo eléctrico que ha creado esa distribución de carga. Esta es la
dificultad máxima. Es decir, si yo no sé cuál es la dirección del
campo, la dirección y sentido, o sea, vector del campo creado por esa
distribución de carga, yo no puedo aplicar Gauss. Porque Gauss nunca me da
el vector campo. Me da el módulo del campo eléctrico. Nunca me da el
vector. Entonces, si es una distribución esférica, yo sé, el Chenk me lo
explica muy bien, que una distribución de carga esférica siempre queda un
campo radial que va hacia el exterior o hacia el interior según el sentido
de la carga. Pero es radial. Va en el campo eléctrico. Si me fijo en este
punto, pues aquí el campo eléctrico lleva esta dirección. Va a esta
dirección, que es la del campo eléctrico. porque es radial, y el punto
como está en esa superficie, pues es así. Y ese elemento de superficie,
esa superficie habla de la superficie de Gauss que yo he tenido que trazar
y que uno de esos puntos es precisamente el punto donde yo tengo que
calcular el campo. El elemento diferencial de superficie, precisamente
ahí, tiene la misma dirección radial. Y esto no es casualidad, esto se
hace expresamente así. Para que el producto vectorial de E por diferencial
de S, el producto escalar de dos vectores en la misma dirección y sentido,
pues es el producto de sus módulos. ¿De acuerdo? Es decir, yo sé, en
realidad, voy a poner aquí por partes, esta integral sería E diferencial
de S. Además, yo sé. Se me olvidaba que el campo que crea esa
distribución de carga tiene solo dependencia radial. Fijaros que yo, a
priori, necesito saber muchas cosas para poder aplicar Gauss. Que el campo
tiene dirección radial y que además su dependencia funcional es radial.
Si esto no se da, no podemos aplicar Gauss. ¿De acuerdo? Y lo que me dice
Gauss es que ese producto vectorial, ese producto vectorial, es
proporcional, bueno, digo que es proporcional porque, vamos a ver, perdón,
es proporcional porque el 1 partido por el 4pi, epsilon sub cero, vamos a
ver, es proporcional. el épsilon sub cero es la constante de
proporcionalidad y la Q no es toda la Q de la distribución de carga, es
solamente la Q que ha quedado encerrada en el interior de la superficie de
Gauss. En este caso, toda la carga real ha quedado incluida en la
superficie de Gauss, con lo cual esta Q es la carga total, en este caso que
estamos viendo, que es aquí. Y además, el campo es uniforme, sale de la
integral, y la integral diferencial de superficie, la diferencial es 4 pi r
cuadrado, está aquí, esta es la superficie de Gauss, 4 pi r cuadrado,
esta es toda la carga, esta es la carga total, porque la carga que ha
quedado, que ha quedado... dentro de la superficie de Gauss, y obtengo el
campo. Como veis, lo que obtengo es un número, un escalar. Yo a ese
número le pondré una flecha en la parte superior y le pondré un vector
unitario, que será el vector radial, pero será a posteriori. El otro caso
que tenemos es que ocurre si me piden calcular... si me piden calcular
Gauss en un punto del interior de la distribución de carga. ¿De acuerdo?
El único requisito es que la superficie de Gauss tenga en su superficie,
al punto donde tengo que calcular el campo. Claro, aquí hay carga que ha
quedado fuera de la superficie, esa no interviene en la expresión de
Gauss. Hasta tal punto que, si esto es una esfera hueca donde toda la carga
está en la cáscara, en la corteza, en el interior no hay campo. Porque
cuando yo trazo la superficie de Gauss, dentro de esa superficie no hay
carga. La carga se ha quedado fuera, se ha quedado en la periferia. Ahora
bien, si es una distribución homogénea dentro de toda la esfera, pues
como veis hay parte de la carga que ha quedado dentro y parte de la carga
que ha quedado fuera. Ahora bien, toda la hipótesis que os he estado
comentando en el otro caso es exactamente la misma. Quiero decir que esto
de aquí ocurre igual. Que en el punto de la superficie del campo y la
superficie son paralelos, tienen el mismo sentido. El punto escalar del
coseno es cero, la es homogénea, tiene dependencia radial, sale de la
integral. La superficie es 4 pi r al cuadrado, eso es idéntico. Pero ahora
esta Q del interior, cuidado, ya no es toda la carga. Es igual. La carga
que ha quedado en el interior. Y normalmente estos problemas se hacen por
pura proporcionalidad. Si la distribución es homogénea, pues si toda la
carga se distribuye en todo el volumen, que es 4 tercios de pi r grande al
cubo, la que ha quedado a esa distancia r, que es la carga interior de la
superficie de Gauss, es la que está en este volumen. Se multiplica en cruz
y se despeja la Q interior, que queda en función de la carga exterior. Y
me sale un término que es r pequeña sobre r al cubo, que dividido por el
r cuadrado de la superficie me da una dependencia del campo en el interior
de una esfera donde se ha distribuido la carga homogéneamente en su
interior. que es dependencia lineal. Este resultado es muy importante y nos
va a aparecer en los problemas de esferas concéntricas con diferentes
distribuciones de carga para calcular el potencial en todo el espacio y el
campo en todo el espacio. Como veis, en R igual a cero el campo ya existe.
Tiene un valor. No hay discontinuidad. Recordad que Coulomb tiene una
discontinuidad cuando R es igual a cero. Cuando R es igual a cero es
infinito y ahí tendríamos problemas. Pero aquí se resuelve la
discontinuidad. ¿De acuerdo? Esto es a grandes rasgos los cuidados que hay
que tener con K. Vamos a ver como veis, yo a priori conozco la dirección
que va a ser radial. Yo después a este campo si lo tengo que expresar de
forma vectorial pues yo aquí tendría que poner el vector pues sería el
módulo por el uso R porque esto esto se añade esto es un a priori Gauss
no me da la dirección del campo. Yo la sé antes de aplicar por eso no se
aplica Gauss, por ejemplo, en un cubo Bueno, esto lo podríamos discutir en
alguna clase pero no creo que deba de aprovechar mucho el tiempo aquí. Es
decir, si yo tengo la cara de disculpar vamos a ver Este a priori, vamos a
ver, es necesario. De hecho, en un problema de, por ejemplo, este que vamos
a ver a continuación, nosotros al final calculamos el módulo, pero
después le añadimos el uso. Bueno, este. Me dicen, sobre una esfera de
radio R, no sé si se aprecia bien, de radio R grande, tenemos una
distribución de carga cuya densidad, no sé si se aprecia bien en la
pantalla, la distribución es radial, ¿de acuerdo? Y es proporcional al
radio. Calcular el campo en función de R. Es una esfera. Bueno, pues ya
llegamos directamente. Y me piden calcular el campo, como veis, en el
interior y en el exterior. ¿De acuerdo? Bueno, es una esfera, elemento
diferencial de superficie es este de aquí. El campo, mirad, este. Esto es
un a priori. Es decir, esto que estoy señalando aquí ahora mismo, pues si
no, no se puede aplicar. Yo sé que tiene distribución radial porque es
distribución esférica y su dependencia es radial. ¿De acuerdo? Si no,
nos olvidamos de Gauss. No lo podemos hacer. ¿De acuerdo? Entonces. Se
simplifican mucho las cosas porque, mirad, este es el primer término. Voy
a coger la expresión, vamos a ver, esta de aquí, para que todo resulte,
para poder compararla, que es esta de aquí. Tengo el módulo del vector
campo eléctrico por la superficie de Gauss, 4πr al cuadrado, estoy en el
exterior, y ahora tengo, bueno, si estoy en el interior, como veis, la
carga que ha quedado en el interior es de 0 a r. Si estamos en el interior,
y es, bueno, este es el valor de la densidad y el elemento diferencial de
superficie. Con lo cual, al despegar r me da una dependencia, bueno, para
la gráfica. Bueno, pues muy bien, pues esa es. ¿De acuerdo? Y le
añadimos... La dependencia radial y el vector. ¿De acuerdo? Bueno, esto
de aquí, bueno, que nadie se asuste por esta expresión, pero esto
directamente es el módulo en esféricas. Pero esto es 4πr al cuadrado.
Siempre que... Bueno, estamos hablando de una esfera que no nos hayan
quitado porciones o gajos de la naranja y demás, pues siempre vamos a
integrar para... ...para todo el ángulo ecuatorial y para todo el ángulo
azimutal entre 0 y π. ¿De acuerdo? Y se hace la integral. En el exterior
es mucho más... Es mucho más sencilla. Porque en el exterior la integral
va para todo r. Es decir, aquí la r... es grande, es decir no lo pone el
ejercicio pero bueno lo voy a hacer yo para el caso de r mayor que radio
por lo que yo me encontraría sería lo siguiente sería 4pi vamos a ver
sería 4pi por r al cuadrado por el módulo del campo que ya sé que es
radial y aquí tendría sería 1 partido por epsilon sub 0 vamos a ver 1
partido por epsilon sub 0 y aquí la integral perdón no la quiero aquí la
integral la quiero aquí y ya no sería entre 0 y r pequeña sino es entre
0 y r grande porque la superficie de Gauss va por y abarca toda la esfera y
es la densidad por 4pi r al cuadrado diferencial de r que bueno esto es 4
tercios de rq por ar y ya bueno en este caso estos 4 tercios de pi rq por
la densidad que es a por r con lo cual si sacamos la e a la a aquí y ya
tenemos la quitamos, tenemos el 4pi, vamos a ver, este de aquí lo pongo
aquí, este de aquí lo pongo aquí y me queda r cubo, r cubo, ¿de
acuerdo? y es r4 partido por 4, me queda esto de aquí y me queda r a la
cuarta partido por 4, ¿de acuerdo? Pero bueno, esta r es la r, ¿de
acuerdo? Y todo esto... Se divide luego, para hallar el valor del campo, es
fracción, este 4pi, este de aquí se coloca en el denominador y aquí, en
la parte de arriba, colocamos todo esto de aquí. La tercera fracción, que
parece muy complicado, pero cuidado, no perdáis de vista que esto de
arriba es un número, ¿de acuerdo? Y esto nos ha salido así de raro, es
decir, aquí la dependencia es colombiana. Es 1 partido por r al cuadrado y
la dependencia es colombiana porque precisamente estamos en la zona
exterior en donde toda la carga ha quedado incluida en la superficie de
Gauss, de igual como se distribuye a la carga. ¿De acuerdo? De igual si es
de forma discontinua, si es solo en el exterior, todo el interior, de forma
aparentemente sin orden. Pero si la superficie de Gauss incluye
absolutamente toda la carga, toda la distribución de carga, es la carga
total. Y como es un escalar, simplemente se suma. ¿De acuerdo? Bueno, esto
es un poco... Hasta aquí hemos llegado. Seguiremos avanzando con Gauss.
Aún me quedan unos cuantos ejercicios y volveremos a retomar algún
problema de cálculo directo. Pero no me preocupa demasiado porque conforme
avancemos en campo eléctrico, volveremos con el cálculo directo pero con
medios densos. Bueno, más o menos creo que hemos avanzado bastante. Vamos
a ver si hay alguna duda o alguna pega. Bueno, dudas yo me imagino que unas
cuantas. Yo os animo a que me las dejéis en algún sitio. O sea, me las
dejáis o bien por el foro que os comenté. Bueno, es un canal que nos
beneficia. Lo beneficiamos todos. O bien de forma privada por correo. Y si
es un problema, yo os animo a que me envíéis captura de pantalla si es un
problema trabajado. Y decirme, Javier, mira, me he quedado aquí y me lo
envías. Y ya me hago una idea y os reenvío la solución más o menos por
el mismo canal. Bueno, pues lo dejamos aquí. Tengo ahora una sesión. Y
bueno, pues nada. Si alguno se ha conectado más tarde. Aquí le he dicho
que si no podéis entrar en Teams, por favor envíadme por correo cuando os
venga bien. Javier, que no entro y os doy acceso. ¿De acuerdo? Muy bien,
pues nada. Hasta la semana que viene.