Bueno, si alguien tenéis el ordenador conectado y podéis hacer de
monitor, os lo agradezco porque yo muchas veces no sé lo que se está
viendo. O sea, que agradezco que si alguno estáis conectados y entráis
con el perfil que entran los alumnos. Bueno, yo a veces intento traerme un
monitor, pero entro con mi perfil y veo exactamente lo mismo que veo aquí,
por lo cual no me ayuda nada. Bueno, ya sabéis que lo fundamental en la
UNED, en la metodología de la UNED, es entrar todos los días, si se
puede, al curso virtual, ir viendo todas las cosas que hay ahí. Hay un
vídeo de presentación. Está el cronograma. Tenéis todas las fechas de
las dos pruebas que hay de... las dos pruebas de evaluación continua.
Tenéis toda la información de cada tema, de cada tema. Como vimos el otro
día, el curso tiene seis temas. Estamos en el primer tema, que hoy, pues
en teoría deberíamos ya la semana que viene pasar al siguiente. De cada
tema, el equipo docente hace las indicaciones didácticas que considera
oportunas. Que es básicamente seguir el libro, hacer los problemas que
vienen ahí. Luego, mi recomendación es que como hay muchos exámenes
resueltos que os añaden de otros años, pues coger las preguntas que se
refieren al tema uno, que suelen ser las primeras, intentar hacerlas, coger
tu unidad. En el libro de problemas, pues también vienen muchos problemas
hechos. Es una manera bastante amena de estudiar a mi modelo. Y luego, creo
que lo han abierto, no sé si hoy... Hay unas pruebas de autoevaluación.
Son unas pruebas de autoevaluación que se supone que son lo que el equipo
docente interpreta que deberíais ir sabiendo del tema uno. Y te sirven muy
bien para comprobar qué tal lo llevas y para aprender de una manera
entretenida. Y al cabo de unos días, pues te ponen las soluciones para que
lo compruebes. Si alguien lo quiere, pues los podemos hacer aquí en la
tutorial. Y lo que podamos, pues lo hacemos. Ya sabéis que me podéis
escribir en cualquier momento. Hay compañeros que me escriben o con
sugerencias porque no hacemos esto. Ahora os comentaré alguna porque no
hacemos lo otro. O con dudas sobre algún tema concreto que yo, en cuanto
pueda, los respondo. Bueno, hoy vamos a dedicar del tema uno, que es
operaciones con matrices y resolución de sistemas de ecuaciones. Y
básicamente es manejar la herramienta del método de eliminación de
Gauss, que es un algoritmo muy eficaz para casi todo en el álgebra lineal.
Hay un tema que es un poco nuevo y que, en mi experiencia y por lo que me
habéis ido comentando, hay muchas dudas de cómo se hace. Y como casi
todos estos temas que son algorítmicos, la mejor forma de entenderlos es
haciéndolo. Entonces uno y lo aprendes haciendo. Es como la cocina.
Entonces hay un tema que viene, lo pongo aquí en estas notas. Las tenéis
a vuestra disposición. Las pongo en el foro de la tutoría, las notas que
utilizamos. Y en la grabación que también aparece en el Inteka. Y yo os
la mando también. En relación a las grabaciones, pues también. Incluido
dentro de la grabación, en el soporte de documentos aparece. Lo digo por
si alguien lo quiere leer con más detalle, si cree que merece la pena o
no. Es lo que se llama la factorización LU, de matrices cuadradas. La
factorización LU de matrices cuadradas sabremos por qué es interesante o
para qué se hace, porque no es un capricho. Bueno, yo tengo la costumbre
de escribir, sobre todo cuando haces notas para estudiar, pues te pones 3,
y el que lo hace para 3, lo hace para 4, para 5, para 6, para 8, por
ejemplo. La teoría del cesto, que el que hace un cesto, pues hace 100.
Entonces, por ejemplo, la factorización LU quiere decir que cuando yo
tengo una matriz, esta es una matriz A, la quiero descomponer como producto
de dos matrices. Una que vamos a llamar L, que es una matriz triangular,
triangular inferior, sabéis que las matrices triangulares inferiores son
las que los números que están, los términos que están, los elementos
que están por encima de la diagonal principal son ceros, normalizada, es
decir, que todos son unos. Y luego tenemos otra matriz superior, es decir,
que todos los términos que están por debajo de la diagonal principal son
ceros, que es una matriz. Evidentemente, L viene de lower en inglés y U
viene de upper en inglés. Entonces, esta factorización que veremos que es
una aplicación de lo que estuvimos estudiando el otro día, que es el
método de eliminación gaussiano con operaciones elementales de fila,
sirve para resolver sistemas de ecuaciones. Evidentemente, para resolver
sistemas de ecuaciones, por ahí alguien me dijo que no, me pide entrar, me
parece. Cuando quieres resolver sistemas de ecuaciones, pues evidentemente
si son un sistema 2x2 o 3x3, pues da igual el algoritmo que utilices.
Ahora, si es de un millón por un millón, pues claro, tener un algoritmo
óptimo del cual puedas controlar la aritmética, la precisión, etc., pues
sí que es importante. Entonces, el método este de la factorización L-U,
pues se basa en unos algoritmos que son bastante eficientes para resolver
sistemas de ecuaciones, un sistema de ecuaciones en general es de la forma
AX igual a B. Los números en negrita son vectores. X es el vector de las
incógnitas, X igual a B. Si yo lo factorizo como L-U, en vez de la A pongo
L-U, X igual a B, pues este sistema lo puedo escribir como L de U de X
igual a B. Entonces, si yo resuelvo el sistema U de X igual a Y, que es un
sistema muy sencillito de resolver porque es triangular, la matriz, la
matriz U es una matriz triangular, pues yo resuelvo U de X igual a Y y
luego, si U de X igual a Y, pues L-I es igual a B. Y vuelvo a resolver otro
sistema, pero triangular, que son los fáciles de resolver. Es decir, que
yo he resuelto, digamos, un sistema de ecuaciones con esta factorización
L-U, lo descompongo en resolver dos sistemas, dos sistemas triangulares.
Esto, digamos, puedes pensar que no te aporta nada, pero sí te tiene
interés cuando yo estoy resolviendo un sistema en el que los coeficientes
son los mismos, por ejemplo, imaginaos que son los coeficientes de un
circuito y yo le doy distintas entradas, que sería la B. Entonces, yo no
tengo que volver, si yo tengo un sistema nuevo a X igual a B, no lo tengo
que volver a repetir. Solamente cargo todo solamente en un sistema
triangular, ¿me explico? Entonces, pues es mucho más eficiente. Además,
el sistema este, la factorización L-U, pues como veremos, pues tiene
también interés, ya lo comentamos ayer el método de reducción de Gauss,
es que es un método sistemático de calcular determinantes. Porque, por
ejemplo, si yo tengo esta matriz y quiero calcular su determinante, pues
sería el determinante de esto, pues por el determinante de esto, el
determinante de esta primera matriz es un 1, y entonces el de la otra es
simplemente multiplicar los términos de la diagonal y lo calculas en un
bispas. Entonces, el problema infernal de calcular un determinante que no
sea 3x3, que ya es bastante difícil, pues lo haces de una manera pues más
rápida. Entonces, todo esto que vamos a aprender pues sirve para, entre
otras cosas, resolver sistemas o, por ejemplo, calcular determinantes.
Bueno, todo el asunto, el método de factorización L-U, pues se basa en
hacer transformaciones elementales de líneas. No sé si os acordáis que
eso lo vimos el otro día. Lo podéis leer en vuestro libro de dónde
estaba aquí. Lo vimos el otro día cuando teníamos, a ver, lo repito un
poquito rápido para que... Si yo tenía una fila, esta, que es la que hay
aquí arriba, que es la que llamo J, y tenemos un pivote P y luego tengo
una fila más abajo que tiene un valor A y quiero, con una operación de
filas que es simplemente a la fila I sumarle un múltiplo de la fila de
arriba de la fila pivote, eso le llamo P. Entonces, si yo quiero convertir
esto en un cero, lo que tengo que hacer es si yo quiero la P, si yo la
multiplico por A y la divido... Bueno, si yo la divido por P a la P me
queda un 1, la multiplico por A me queda A y se la resta pues consigo hacer
aquí un cero. Vale, pues utilizando las operaciones estas de reemplazar
filas, que es las que estuvimos estudiando el otro día, pues puedo hacer
los pasos que tenemos que hacer. Otra cosa que quiero recordaros es que
cuando hago una operación por filas, la matriz la transformo en otra. Es
decir, si yo tengo la matriz A y le hago una operación por filas, pues
obtengo una nueva matriz, pongamos A'. Entonces, para pasar de A a A',
equivale hacer la operación por filas o lo que es lo mismo,
pre-multiplicarlo por una matriz por un operador que equivale a hacer la
operación esa. Entonces, esa matriz que sirve para cuando yo la multiplico
una matriz, convertirla en la matriz transformada por una operación de
filas es lo que se llaman matrices elementales. ¿Y cuál es la matriz
elemental que se corresponde con una operación de filas? Pues, la matriz
elemental que se corresponde con una operación de filas es precisamente
hacerle esa operación de filas a la matriz identidad. Mirad, aquí yo he
puesto un ejemplo. Yo tengo una operación de filas que es a la fila 2 le
sumo tres veces la fila 1 y lo coloco en la fila 2. En vuestro libro,
lamento no haberlo escrito pero por no volver a reescribirlo todo pone la
fila 2 lo pone aquí delante pero bueno, lo entendemos, ¿no? Dice, la fila
2 le sumo tres veces la fila 1. Entonces, si esa operación de filas se la
hago a la matriz identidad se la hago a la matriz identidad que es a la
fila 2 que es esta de aquí yo toco yo la que voy a tocar es la fila 2 las
demás las copio como van porque no las voy a tocar luego a la fila 2 le
sumo tres veces la fila 1 es decir, aquí aparece un 3. Entonces, esto es
una matriz elemental porque es una transformación de filas hecha a la
identidad. Entonces, cuando yo multiplico pre-multiplico a una matriz por
la matriz elemental el resultado que se obtiene es hacerle la operación de
filas a esa matriz. Es decir, si yo tengo una matriz A y quiero sumarle a
la fila 2 tres veces la fila 1 se lo hago o digo, la he pre-multiplicado
por esta matriz elemental. ¿No? Entonces, cuando hago una serie de
operaciones de fila en cadena por ejemplo, quiero pasar de la matriz A a la
matriz U que es la matriz la matriz upper la matriz triangular superior
entonces, le hago voy a intentar escribir aquí con esto a ver entonces, le
hago la primera transformación con el pivote a este resultado le hago la
segunda transformación y a este resultado le hago la tercera
transformación es decir, le voy multiplicando por transformaciones
elementales. ¿De acuerdo? Fenomenal. Entonces, vamos a intentar verlo con
un ejemplito y lo antes luego ya os comento más cosas. Imaginaos que yo me
dan una matriz A entonces, mi primer paso lo primero que tengo que hacer es
hallar la matriz U que es una matriz escalonada es de las que hemos visto
cuando veíamos esta es una matriz upper que es una matriz triangular
superior que es dicho de otra manera es la matriz escalonada es decir, cojo
mi pivote de la primera fila y hago ceros hacia abajo. Paso al siguiente
paso cojo la segunda fila el pivote de la segunda fila y hago ceros hacia
abajo. Es decir, que si la matriz es 3x3 necesito hacerle tres tiquitacas
tres transformaciones de filas para reducirla es decir, con tres
operaciones he reducido una matriz 3x3 a una matriz escalonada entonces
vamos a suponer que no hay ningún problema y la primera fila es un pivote
el 2 ¿cuál sería la operación de filas que tengo que hacer para
convertir este 4 en A? a ver si gracias por advertirme esto lo voy a quitar
de aquí no sé si hay alguien por aquí que quiere entrar o algo y dónde
está la sala espera aquí ¿dónde me he dicho? aquí hay gente es verdad
¿dónde me he dicho? hay gracias por advertirme es que yo no eso si no no
lo estaba viendo gracias bueno muy bien seguís luego te mereces un par de
caramelos muchas gracias entonces fijaros yo tengo la matriz esta tengo mi
primer pivote mi primer pivote que es el 2 si yo quiero hacer aquí al 4
¿cuál es la operación de filas que tengo que hacer? bueno aquí me da de
ojo que es lo que tengo que hacer que es al 4 le quito el doble de la de
arriba pero si yo en vez de darme de ojo porque son números enteros fueran
fracciones fueran números irracionales fueran números con decimales
fueran fueran parámetros yo tendría que ir al método o quisiera
programarle un ordenador para que me lo haga ¿no? entonces ¿qué es lo
que tenía que hacer? tengo que dividir el 2 por 2 y multiplicar
multiplicarlo por 4 divido el 2 por 2 me da 1 y lo multiplico por 4 ¿no?
bueno entonces si a este le quito dos veces la de arriba pues me queda 4
menos 4 me queda 0 al 7 menos 4 me queda 3 al 7 menos 4 me queda 3 si yo
ahora quiero hacer otra operación de filas para convertir este otro en 0 a
este le quitaría tres veces la de arriba ¿no? entonces al 6 le quito 3
veces la de arriba y me queda 0 al 18 le quito 3 veces la de arriba y me
queda 12 al 22 le quito 6 y me quedan 16 entonces paso al siguiente pivote
que es este 3 y con este 3 tengo que hacer 0 el 12 con lo cual lo que tengo
que hacer es quitarle 4 veces la de arriba entonces a a 12 le quito 4 veces
3 y me queda 0 a 16 le quito 12 y me queda 4 bueno pues ya he conseguido
tener una matriz U la matriz U son con operaciones de fila entonces cada
operación de fila que he hecho cada operación de fila que he hecho tiene
su matriz elemental entonces voy a escribir aquí las matrices elementales
que se corresponderían con cada una de estas transformaciones de fila que
he hecho la primera transformación de fila que he hecho es que es la
transformación de fila 1 se correspondería con si yo se la hago a la
identidad es decir en las dos primeras filas las dejo como van las de la
identidad y en la segunda que es sobre la que estoy actuando le quito 2
veces la primera o sea la segunda le quito 2 veces la primera me queda
aquí un menos 2 y todo demás igual esta sería la primera o sea que para
pasar de A a esta lo que he hecho ha sido multiplicar hay alguien más por
ahí ha sido pre multiplicar por esta matriz elemental si yo cojo la
segunda operación de filas que he hecho esta que era que a la tercera fila
es decir las dos primeras de la identidad las dejo igual y a la tercera
fila le quito 3 veces la primera pues aquí me quedaría un menos 3 y todo
lo demás igual y a la tercera operación que he hecho pues sería que a la
F3 le he quitado 4 veces el F2 pues las dos primeras filas las dejo igual
porque no estoy actuando sobre ellas voy a mirar otra vez aquí a ver si
hay alguien que está entrando perdón a ver un momento a ver si hay dos
personas aquí entonces tendría esta matriz elemental de tal manera que yo
he partido de la matriz A le he multiplicado le he hecho la primera
transformación de filas que ha sido multiplicarla por el sub 1 a la
tercera fila al resultado le he hecho la segunda transformación de filas
que es multiplicarla por el sub 2 y al resultado pre multiplicar por el sub
2 y al resultado le he hecho la tercera transformación de filas que era
pre multiplicarla por el sub de tal manera que puedo escribir esta
relación de producto de matrices la matriz U que he obtenido la matriz
escalonada es E3 por E2 por E1 y por A cuando usamos matrices hay que tener
en cuenta siempre mucho cuidado porque la multiplicación de matrices no es
conmutativa no es lo mismo primero multiplicar por el sub 3 a E2 y a E1 que
hacer E1 por E2 y por E3 pues no es conmutativo es decir que en una
transformación de filas dicho de otra manera pensando en transformación
de filas no es lo mismo hacer una transformación de filas al resultado
hacerle otra transformación y al resultado que hacerle una transformación
de filas y luego la otra y cambiarlas el orden no se llegaría al mismo
sitio entonces muy bien yo tengo la relación fijaos que yo quería
escribir A como LU esta era la factorización que yo buscaba LU entonces
fijaos esta la tengo ya y esta la tengo porque era el dato si yo quiero
hacer L y quiero despejar L lo que tengo que hacer es multiplicar por
detrás por U a la menos 1 ¿de acuerdo? si yo quiero despejar L L esto me
daría L por U y por U a la menos 1 por detrás es decir la L la triangular
inferior normalizada que busco no sería nada más que A por U a la menos 1
entonces bueno pues L es A por U a la menos 1 ¿vale? entonces si yo
escribo lo que tengo que vale U U era esto de aquí ¿no? era E sub 3 por E
sub 2 por E sub 1 y por A entonces ya sabéis que U a la menos 1 es el
producto de las inversas en orden inverso ¿no? luego sería A perdón
sería A a la menos 1 por E sub 1 a la menos 1 bueno por E sub 2 a la menos
1 y por E sub 3 lo estoy escribiendo fatal porque estoy usando el ratón
bueno me perdonáis ¿vale? E sub 3 a la menos 1 equivalentes ¿vale?
entonces si esto es si yo ahora lo premultiplico por A A por U a la menos 1
que era esto de aquí fijaros no hace falta que lo escriba A por U a la
menos 1 el A a la menos 1 con este A se me van y me queda precisamente esto
que tenéis escrito aquí que sería E a la menos 1 E a la menos E sub 2 a
la menos 1 y sub 3 a la menos 1 porque estoy multiplicando por A por
delante la A la pongo aquí y esto es U ¿de acuerdo? entonces fijaros que
la matriz L la matriz L es muy fácil hallarla porque es hacer las
operaciones de fila a la identidad hacerle las operaciones a ver si yo
tengo una matriz elemental su inversa es la matriz que deshace el
movimiento es decir que si yo he restado tres veces la fila 2 la que
deshace el movimiento es sumar o sea sumar tres veces la fila la que sea
¿no? es decir que si yo tengo que la matriz L sería aplicarla a la
identidad si yo le pongo aquí la identidad sería hacerle la inversa de la
transformación 3 a la identidad a ese resultado le hago la inversa de la
operación 2 a la identidad y ese resultado le hago la operación inversa
de la operación 1 a la identidad ¿me explico? entonces esto
algorítmicamente es muy fácil porque fijaros yo voy a escribirme las tres
las transformaciones que hice las voy a ir escribiendo esta es la primera
que hice a la fila 2 esta es la primera que hice esta es la segunda
transformación que hay para obtenerla yo me las voy yo las hice y lo que
hago es irme me las apuntando apunto esta es la 1 esta es la 2 y esta es la
3 si yo me meto en la idea de que soy un ordenador que me han programado
eso está chupado porque hago una cosa y la apunto la dejo apuntada vale
entonces esta es la transformación 1 que hice esta es la transformación 2
que hice y esta es la transformación 3 que hice ¿cuál es la inversa de
esta transformación? pues la inversa de esta transformación es donde
pongo un menos pongo un más ¿ya está? ¿cuál es la inversa de esta
transformación? donde pone un menos pongo un más está chupado ¿no? la
inversa de la transformación 3 de filas es que donde pone un menos pongo
un más entonces yo ahora cojo la identidad y le aplico las inversas en
orden inverso es decir voy a aplicarle la inversa de la 3 a la identidad al
resultado le aplico la inversa de la 2 y al resultado le aplico la inversa
de la 1 entonces lo voy escribiendo si queréis lo pongo aquí para que se
vea más sencillo los pasos a la identidad le hago la inversa de la 3 la
inversa de la 3 es esta ¿no? que es sumarle 4 a la fila 3 bueno las dos
primeras filas las dejo como van y a la fila última a la fila 3 le sumo 4
veces la fila 2 que es ponerla ahí a este resultado le hago la inversa de
la transformación 2 es decir que actúo sobre la fila 3 también luego las
dos primeras filas las dejo como van y a la fila última la fila 3 le sumo
3 veces la fila 1 luego aquí me aparece un 3 y a este resultado le vuelvo
a aplicar la inversa de la transformación 1 es decir hago las inversas de
las transformaciones en orden inverso entonces como estoy actuando sobre la
fila 2 las 2 la 1 y las 3 las copio como van y a la fila 2 le sumo 2 veces
la fila 1 entonces fijaos que esta es precisamente la factorización es
decir he hecho 3 tiquitacas para hallar la escalonada y luego he hecho las
inversas de esas tiquitacas en orden inverso a la identidad y obtengo la
fila que se puede comprobar que dado como hemos elegido la restricción que
hemos puesto a la que la fila sobre la que actúo no vaya a multiplicar por
nada pues eso me garantiza que las filas como yo cuando hago es que le sumo
un múltiplo de las otras entonces me garantizo como es la identidad que a
los términos de la diagonal nunca los voy a tocar porque a un término de
la diagonal de una fila las otras no lo afectan porque las otras son ceros
ahí ¿me explico? y eso me garantiza que yo la fila L va a ser de estas
normalizadas con la fila A entonces en nuestro caso pues sería la matriz A
sería la matriz U que esta es la primera que haya que es la matriz
escalonada por el método de Gauss y ahí pues ya está que la tengo
escalonada y luego si me he apuntado las matrices elementales las
transformaciones que he hecho las aplico en orden inverso las inversas en
orden inverso a la matriz identidad y obtengo la transformación L ¿de
acuerdo? por ejemplo hay un problema que vamos a hacer aquí como ejemplo
rápidamente porque así rematamos para esto como veis es bastante tonto o
sea te aprendes cómo se hace el guiso te dan la receta en la C y ya está
con cuidadito entonces por ejemplo hay un ejercicio del libro que es el
ejercicio yo como no tengo que inventarla yo siempre los pongo en los
documentos estos que utilizamos en clase normalmente utilizamos siempre o
problemas de exámenes o cosas que vienen en el libro para que no para no
despistar bueno entonces pues y las notaciones que vienen en el libro si no
es así pues os lo advierto si me doy cuenta entonces te dice el ejemplo
del ejercicio 144 del libro página 44 del libro de texto dice calcula la
factorización L de esta matriz esta matriz y luego aplicarla a resolver el
sistema AX igual a 0 menos 5 7 fijaros si queréis hacer un un poco de
ejercicio veréis que una vez que lo tenemos factorizado el EU si tú me
cambias el término los términos independientes lo resuelves el mismo
esfuerzo lo has hecho de una vez y ya está ¿no? entonces otra cosa que os
quería comentar por ejemplo una vez que tengo hecho esto de aquí la
factorización LU y yo os preguntase ¿cuál es el determinante de la
matriz A? ¿cuál sería? sería el determinante de esto que es 1 o el
determinante de esto que es 2 por 3 6 6 por 4 24 o el determinante de esta
matriz es 24 es decir que con 3 tiquitacas 3 operaciones de fila que he
hallado la matriz U hubiera sido capaz de hallar un determinante por
ejemplo si la matriz A en vez de ser 3 por 3 fuera 4 por 4 el determinante
hallar ese determinante me hubiera llevado 4 tiquitacas 4 operaciones de
fila este por este si fuera 5 por 5 pues ya tendría que haber hecho puedes
contar la cantidad de ceros que he tenido que hacer para hacer una matriz 3
por 3 he tenido que hacer 3 ceros si fuera una matriz 4 por 4 ¿cuántos
ceros me faltaría? 1, 2, 3 4 ceros más o sea tantos ceros como hacen
falta hacer son operaciones de fila que he tenido entonces vamos a ver este
ejercicio que estábamos haciendo ¿cuál era esto? este aquí bueno te
decía que yo quiero factorizar esta matriz LU y luego aplicarla a resolver
este sistema bueno empezamos primer paso yo calculo la matriz LU la matriz
LU es empiezo por este pivote el 2 y tengo que hacer este de aquí abajo un
0 ¿no? luego a la fila 2 lo que le hago este 2 lo divido por 2 y lo
multiplico por 1 y lo resto entonces al 2 lo divido por 2 si lo escribís y
os dejáis el huequito puesto es muy fácil al 2 lo divido por 2 y lo
multiplico por 1 y lo resto entonces sería 2 menos 2 0 sería menos 3
menos 2 partido por 2 que sería menos menos 1 que sería 2 más 1 menos 2
y 1 menos 4 partido por 2 que sería 1 menos 2 menos 1 ya he hecho el
primer cambio este luego tendría que hacer voy a ampliarlo un poquito
porque alguien me ha pedido que lo el luego tendría que hacer usando este
pivote sigo con este pivote tengo que hacer 0 aquí abajo ¿lo que tengo
que hacer? pues divido por 2 multiplico por 3 y lo resto lo divido por 2
multiplico por 3 y lo resto bueno pues esto me daría 0 el menos 2 lo
divido por 2 me da menos 1 menos 1 lo multiplico por 7 sería menos 7 lo
resto sería más 7 luego ¿no? a ver lo el menos 2 lo divido por 2 me da
menos 1 por 3 son menos 3 más 7 10 perfecto el 5 lo divido por 2 el 4 lo
divido por 2 que sería 2 lo multiplico por 5 que sería 10 a ver el 4 lo
divido por 2 que me da 2 2 menos 2, lo divido por 2, queda menos 1, lo
multiplico por 3, que será menos 3 y los restos, o sea, más 3, 7, más 3,
10. Perfecto. 5, 4 entre 2, que son 2, 2 por 3, 6, menos 6 más 5, menos 1.
Bueno, y ahora paso al siguiente pivote, que sería dividir el menos 2 por
2 y multiplicarlo por 10, es decir, multiplicarlo por 5. Entonces, pues
hago lo mismo y ya lo tengo, ya tengo la matriz U. Ahora, que esto es hacer
la matriz escalonada vulgarmente. Entonces ahora, fijaros, esta era la
primera operación que hice, esta era la segunda operación que hice y esta
era la tercera operación que hice. Esta es la inversa de la primera
operación. Esta es la inversa de la segunda operación y esta es la
inversa de la tercera operación. Es decir, donde era sumar lo he cambiado
por restar, donde era sumar lo he cambiado por restar, lo que era restar lo
he cambiado por sumar y lo que era restar pues lo he cambiado por sumar.
Entonces, ahora tengo que coger y hacer las inversas en orden inverso pero
a la identidad. ¿Vale? Entonces, cojo la identidad y a la tercera fila,
las dos primeras las dejo como están, le restamos. Entonces, a la tercera
fila le sumo tres medios de la primera y a este resultado le aplico esta de
aquí. Como estamos actuando sobre la segunda fila, las dos otras dos las
dejo como iban y lo que hago es que le sumo a la segunda fila un medio de
la primera y ya tengo la segunda fila. La matriz L. ¿Vale? Bien. Ya he
hecho la descomposición LU. Fenomenal. Ahora tengo que aplicarla. Sí,
viene. Es única. Es única. Bueno, a ver, en la factorización LU puede
ocurrir que yo no encuentre el pivote. O sea, que la primera fila sea un
cero. En ese caso hay que permutarla. Y en la factorización LU, en el caso
general, puede haber una permutación. No, no, porque si yo impongo que las
transformaciones de filas sean de este tipo, o sea, que son las que se
llaman de sustitución, a la fila sobre la que estoy actuando le sumo un
múltiplo o le resto un múltiplo del pivote. Entonces, eso me garantiza
varias cosas. Me garantiza que esto sea único y que esto sea... No. ¿Eh?
No las puedo permutar. O sea, si admito que las puedo permutar, la cosa
cambia, claro. Pero es la matriz A, no la matriz... Entonces, la
factorización sería A igual, no LU, sino una permutación por LU. Vamos,
yo lo puedo decir que esto lo factorizo por una matriz triangular, no sé
qué, y una permutación, si tú cambias las filas. En lo que viene en
vuestro libro, no admite cambiar las filas. Luego veremos ahora cuando es
máxima, pues, por ejemplo, no tengo otro remedio que hacerlo cuando el
pivote, o sea, el primer elemento que voy a utilizar como pivote no puede
ser cero. Entonces, fijaos, yo tengo la factorización, yo quiero resolver
el sistema, era el sistema AX igual a B, acordaros, ¿eh? Y yo, me pedían
en el problema este que es el que viene en el libro, luego si queréis lo
veis, me piden que resuelva este sistema AX igual a B, donde B era la
matriz, esto era B, ¿no? Era el vector B, el vector de los términos
independientes. Entonces, en mi método, en mi método que es LUX igual a
B, ¿de acuerdo? Yo primero resuelvo, esto lo llamo I, entonces yo
resuelvo, esto es L, esto es U, si esto lo llamo I, yo resuelvo LI igual a
B. LI igual a B. Como este es un sistema triangular, se resuelve del
tirón, porque yo tengo I1 igual a 0, un medio de I1 que es un medio de 0,
más I2 es igual a menos 5, luego I2 es igual a menos 5, y luego I2 es
igual a menos 5, y si yo vuelvo a sustituir esto, no sé si hace falta que
lo escribamos, es 3 medios de I1, que es 3 medios de 0, menos 5 veces I2,
que es menos 5 veces 5, que es menos 25, más I3 es igual a 7, entonces 25
menos 7 es 18, menos 18. Entonces yo, fijaos, este es un sistema
triangular, pues lo resuelvo exactamente. Entonces, si yo ya tengo que I es
igual a 0 menos 5 menos 18, ahora lo que resuelvo es L, por lo que haya
como I igual a B. Perdón, resuelvo, perdona, L. A ver, ahora ya he hablado
que sí, ahora lo que tengo que resolver es que UX es igual a I, ¿vale?
Pues si UX es igual a I, U es una matriz triangular. Por X es igual a esta
matriz, que es la I, este vector que es el I, pues es otro sistema
triangular que se resuelve en catarata, pim, pam, pim, pam, se despejaría
aquí uno, y lo va sustituyendo en los otros, que sería un sistema
escalonado, y ya está. Vale, entonces ya tengo cuánto vale la X.
Entonces, fijaros que hay una cosa que es muy fácil, que es que si yo
varío el... Bueno, vamos a dejar el comentario porque... Máxima, máxima.
Entonces el programa máxima te lo hace del tirón. Todo esto está bien
hacerlo, luego lo compras usando máxima. Ya sabéis que estamos utilizando
este pantallazo de una versión un poco más antigua del VX máxima. Bueno,
ya sabéis que como es el VX máxima, lo que tiene es una página de
edición de texto, como cuando tú editas, yo no sé si ya estáis
acostumbrados a la programación. Ya sabéis si estáis acostumbrados a la
programación. Tú en realidad escribes texto, que luego el compilador o el
intérprete te lo ejecuta, pero el código está escrito con un editor de
texto, ¿no? Entonces esto es como una especie de editor de texto que
tienes aquí. También le puedes poner comentarios, que pues como en casi
todos los editores de texto de código, pues se hacen con la barra
asterisco. Entonces, en el VX máxima también se permite el máximo de
textos, en el VX máxima el editor de texto también te permite hacer
cabeceras, o sea, te permite incluso hacer como una especie de memoria del
problema que estás haciendo. Pero vamos, nosotros ahora lo que en este
momento lo que nos vamos es a familiarizar con los comandos del máxima
para que un poco veas las potencias que tiene el máxima. Entonces, un
ejemplo, por ejemplo, si este es el ejemplo, este ejemplo es el que hemos
hecho el primero. Dice M es la matriz, dos puntos es la asignación de un
nombre a un objeto matemático. Entonces, el nombre M lo podría llamar mi
tía, ¿sabes? M es un objeto matemático, que es una matriz que se designa
por un conjunto de arrays, de vectores, que se pone así con esta
anotación. Entonces, se introduce la matriz M, si yo, ya sabéis que esto
es las y son los inputs, es un sistema de consola y O es el output, ¿vale?
Entonces, si yo le digo, le doy la orden LU-Factor de M, estoy dando la
orden de que me haga la factorización LU de la matriz M que le he metido
aquí arriba. Entonces, inmediatamente, si le doy yo la, aquí no está
puesto, pero habría que poner el punto y coma mayúsculas enter, que es la
orden de ejecución de mayúsculas enter, pues te ejecuta y te da este
paquete. Este es una información empaquetada, te da esta matriz. Esta
matriz son los datos empaquetados de la factorización LU. Si os fijáis,
aquí van la parte triangular y que la otra, como era unos, no lo pone y te
pone la otra parte, ¿me explico? Ya lo veréis que, o sea, la
factorización LU, en realidad, si yo superpongo la U y la L, me daría una
matriz. Si yo obvio los unos que sé que van en la diagonal de la L y las
superpongo, puedo empaquetar toda la información sobre la factorización
LU, la empaqueto en una matriz, que es esta, la que te da el máxima. Luego
me va a dar un orden, que es el 1, 2, 3, ¿eh? ¿Perdón? Aquí. Sí.
Bueno, entonces, lo que os estaba diciendo, cuando yo le doy la orden al
máxima de LU factor de M, esto, a ver, el máxima no entra dentro de lo
que van a examinar, pero bueno, yo lo introduzco porque además es... Un
poco... Instrucciones del equipo docente, ¿no? Pero bueno. Tampoco le
pongáis algo a bien si no sabéis usar el máximo. Pero bueno, yo os voy
introduciendo un poquito. Si tú tienes la información de la
factorización LU, la puede empaquetar en una matriz. Imagina que
superponéis las dos matrices, la inferior con la superior, pues ya te da
la información de la... Luego te da una... Una... ¿Qué es lo que habías
comentado tú antes? Que es que yo le... No le he permutado. O sea, le he
cogido la fila 1, la fila 2, la fila 3. Bueno, y aquí pones general link,
pues es una cosa de interna del máxima que te dice cómo lo está
manejando. Pero bueno, no entremos en eso. Entonces, si yo quiero
desempaquetar esa información, si yo quiero desempaquetar esa
información, le doy... El máximo está pensado para... Es muy
profesional. Entonces, hay muchas veces que quiere estar... Hay datos a un
fichero, a no sé qué, pues los transfieres dentro del programa o de los
módulos del programa empaquetados. Pero bueno, si yo quiero desempaquetar
esto, escribo get LU factors, esto que es el porcentaje, lo que me está
diciendo es que desempaquete justo lo que tengo arriba. En máxima, cuando
le pongo el porcentaje, le estoy diciendo que me refiero al comando
anterior. Podría haberle puesto... UPUT 2. Desempaquetame el UPUT 2, pero
si no le pongo el número, interpreta que es el que hay delante. Entonces,
esto me lo desempaqueta. Te pone... Esta es la matriz de la permutación,
que es la matriz P, que es tal. Esta sería la matriz L, la matriz lower,
que os fijáis en los datos empaquetados, es precisamente esto de aquí. Y
esta sería la matriz U, que es esta de aquí. Otro ejemplo, si yo cojo
la... Que este es el otro ejemplo que hemos hecho. Si yo cojo esta matriz,
que era el del ejemplo 2 que hicimos, y yo le doy el LU factor, me lo
factoriza, los datos empaquetados, y yo los desempaqueto y tengo la la
factorización L. ¿De acuerdo? Para los que uséis máxima, todo en
versiones que son estas pitufas para los móviles o algo así. Entonces,
máxima, cuando se carga, tiene una serie de paquetes de algoritmos y de
funciones por defecto. Se los carga siempre. Lo que sea, los normales, los
sumar, multiplicar, lo que sea, poniendo a mitad. Pero si quieres, como hay
paquetes específicos, además como esto es una cosa abierta, pues se van
creando. Pues hay uno de teoría cuántica de campos, otro de... Para
resolver ecuaciones hiperbólicas de no sé qué. Hay gente que lo ha
hecho, se lo ha trabajado. Y entonces hay paquetes ya preparados. Entonces,
si es una versión pitufa que te carga el mínimo mínimo y solo te carga
lo inicial, y yo quiero utilizar un determinado paquete y lo quiero cargar,
pues en algún caso... No es normal, ¿eh? Salvo versiones para móviles
muy pequeños o algo así, que son muy antiguas, debería cargar el paquete
en línea de álgebra. Entonces, en el paquete en línea de álgebra están
implementadas, pues todas las funciones estas de factorizar,
diagonalizar... ¿Vale? Entonces, bueno, en general la factorización LU
sería una matriz de permutación si he tenido que permutar la fila y ya
está. Bueno, fenómeno bueno. No vamos a dedicarlo mucho más tiempo a
esto. Si queréis, podemos hacer algún problemita de otros años. Para ir
practicando. Bueno, hay... Esto lo vamos a hacer muy deprisa porque ya lo
hemos visto. Es el ejercicio de febrero del 2020. A ver, febrero del 2020.
Este, por ejemplo, este ejercicio aquí. Este ejercicio aquí yo siempre os
propongo para... Pues ejercicios semejantes a los que aparecen en los
exámenes para practicar alguna cosa. Bueno, dice... Este es un ejercicio
que es el número uno de esas preguntas cortas que valen un punto, que dice
calcular la factorización LU de esta matriz. Bueno, pues calcular la
factorización LU de esta matriz. Ya lo hacemos más rápidamente para no
entretenernos mucho. Primero calculábamos la matriz U, que es la matriz
escalonada. La matriz escalonada, que es con operaciones de fila. Es el
tiquitaca de Gauss, ¿vale? Coges el pivote y haces cero para ir. Entonces,
como tengo aquí... Vamos a ver. No sé qué he hecho. Ah, aquí. Vale.
Perdón. Si yo cojo mi pivote, que es el uno, y tengo que hacer un
cuatro... Este cuatro me lo quiero cargar. Lo que tengo que hacer a la fila
dos, le quito cuatro veces la fila uno. ¿Vale? Uno por cuatro menos cuatro
por uno. Y luego, ¿qué hago? Yo tengo uno cero. Uno por tres menos cuatro
por cero, tres. Uno por cinco menos cuatro por dos, cinco menos ocho menos
tres. Estoy multiplicando. Ya pensando rápidamente lo puedo hacer con el
dedo. Cojo este numerito y multiplico la de abajo. Y este numerito,
multiplico la de arriba y la resto, ¿vale? Si quiero hacer el cero aquí,
pues tengo que coger la de abajo por uno, la de arriba por dos y la resto,
cero. Por cero menos dos por cero, cero. Uno por uno menos dos por dos,
menos cuatro, menos tres. Y si yo cojo... Ahora ya, fijaros que ya no tengo
que hacer más, porque ya tengo aquí cero. Cuando usé el tres como
pivote, ya esto ha sido muy bueno. El que plantea este problema es un
santo. Y con dos tiquitacas, pues ya se lo he arreglado. Ya lo tengo en
escalonada. ¿Vale? Bueno. Entonces, ahora yo tengo que hacer. Fijaros, si
lo quiero hacer directamente, sin hacer ese cuadro que hicimos antes para
entender un poco la cosa. Si yo lo hago directamente, yo cojo. Cojo la
identidad. Me cojo la última operación que hice, que es esta. Y pongo su
inversa. Es decir, donde aquí restaba dos, sumo dos. Y se lo hago a la
identidad. Entonces, como estoy actuando sobre la fila y a la fila tres, le
sumo dos veces la fila uno. Me queda esto. Luego me voy y cojo la primera
que hice. Estoy aplicando las inversas en orden inverso. Esta es la primera
que hice. Esta es la segunda que hice. He aplicado la inversa de la segunda
y luego hago la inversa de la primera. Es decir, aplico las que he hecho,
las inversas en orden inverso. Entonces ya siempre te cojo la identidad.
Cojo esta, la inversa, y la hago. Y al resultado le hago la inversa de
esta. Que la inversa de esta es muy buena. Y luego le hago la inversa de
esta. Es muy fácil porque donde tengo restado cuatro, le sumo cuatro.
Entonces, ¿qué me ocurre? Pues como estoy actuando sobre la fila tres,
las dos primeras... No, estoy actuando sobre... Ahí lo he copiado mal.
Esto es un dos. Ah, mira. Esto es un dos. ¿Ves? Hay aquí una rata. Mira,
lo tengo que cambiar. Lo tengo que cambiar. Bueno, lo cambio y lo vuelvo a
poner. Como estoy haciendo ahora la inversa... De la uno, es a la fila dos.
Luego las tres... La primera y la tercera las dejo como van. Le sumo cuatro
veces la primera. Entonces ya está. Bueno, pues esta sería la L. Entonces
la factorización LU sería LU igual a esto. Si queréis comprobarlo con el
máxima, yo no sé si me habré equivocado. Voy a hacerlo con máximo.
Entonces escribiría la matriz, le daría factorizar la matriz A, me da el
resulte empaquetado y luego pues lo desempaqueto. Y ya está. ¿Vale?
Fenomenal. Esto es otra cosa que lo he hecho porque ha habido una persona
que me ha preguntado en nuestro libro. Habla de lo que llaman los sistemas
mal planteados. Los sistemas mal planteados. Bueno, lo voy a... Vamos a
comentarlo un poco rápidamente solo por... Sin entrar en hacer muchos
detalles. Los sistemas mal condicionados. ¿Vale? Bueno, imaginaos... Voy a
poner un ejemplo. Imaginaos que yo tengo un sistema de dos ecuaciones con
dos incógnitas. Sistema de dos ecuaciones. Que esto lo sabemos resolver
desde el colegio. Entonces una manera de resolverlo, por ejemplo, sería la
regla de Cramer. Cojo la matriz de los coeficientes que sería 3 menos 1,
menos 1, 3. Y si yo quiero despejar la X, pues yo cambiaría la columna de
las X de la matriz de los coeficientes, este 3 menos 1, por el 1, 3. Sería
el determinante 3 más 13, 16. Y la matriz de los coeficientes, el
determinante es 9. 9 menos 1, 8. Total de 2. ¿Vale? Si yo quiero hallar la
Y, pues sería donde pone en la matriz de los coeficientes, donde pone la
Y, le pondría el 1, 13. ¿No? Sería 3 por 13 más 1, 40. 39 más 1, 40.
Partido por 8, 5. Entonces este sistema, pues yo lo he resuelto por la
regla de Cramer y me ha dado 2 y 5. X2 y 5. Entonces ahora yo me puedo
plantear un problema matemático interesante. Y es, si yo, por ejemplo,
estos coeficientes, normalmente estamos acostumbrados a que en la escuela,
pues te los datos, te los da el profesor. Dice, a ver, tengo 3 ovejas, en
un taller hay 3 motos, o no sé qué, y tal. Entonces los datos me los da
el profesor, me los da el enunciado. Pero en la vida normal de un
científico, los datos pueden provenir de tomar medidas. Yo tengo una
resistencia, mido cuánto vale, cuántos ohmios vale, he medido tal, y tomo
los datos experimentalmente. Y luego resuelvo el sistema. Entonces yo
podría plantearme el siguiente problema. En vez de, he medido una
resistencia y vale 3 ohmios. A lo mejor no son 3 ohmios, son 3,01 o 2,89.
9. Entonces, si se varía por la temperatura, por alguna circunstancia, si
se varían los datos, yo me puedo plantear si las soluciones, vale, en vez
de ser 3 es 2,1. Vale. Y en vez de ser menos 1 es menos 0,99. Varía un
poquito. Entonces, vale, las soluciones no son 2 y 5. Pero bueno, serán
parecidas. Será casi 2, será casi 5, bueno, más o menos. Si varío los
datos un poquito. La solución varía un poquito. Bueno, entonces yo me
puedo plantear matemáticamente, ¿eso es verdad o no? ¿Cuándo es verdad
o no? ¿Cuándo es verdad o no? Bueno. Entonces fijaros, yo os he puesto
aquí unos ejemplos que es el que viene en vuestro libro. Que es que te
pone un sistema, entonces yo lo varío un poquito, como este, y entonces,
pues fijaros, si es un sistema como el que tenía aquí arriba, y yo varío
los datos un poquito, pues los resultados varían un poquito. No es 2, pero
es casi 2, y no es 5, pero es casi 5. Pero puede darse el caso de que
variando los datos un poquito, sí varían los resultados un poquito.
¿Cuándo ocurre eso? En matemáticas. Hay que tener cuidado en eso. Cuando
estudies cálculo, lo usaréis mucho este razonamiento. El problema es
cuando se divide por cantidades. Es decir, que si yo tengo un cociente, por
ejemplo, yo tengo 10 próximas a 0. Cuando yo divido por cantidades
pequeñas próximas a 0, la variación en el resultado puede ser muy
grande. Por ejemplo, si yo tengo 10 entre una décima, me da 100. Pero si
es en vez de entre una milésima, me da 1000. Es decir, cuando yo varío de
una décima a una centésima he variado muy poquito. De una décima a una
centésima he variado una mierdecilla. Pero el cociente ha variado un
montón. Si yo divido por una milésima, entre una décima y una milésima
hay prácticamente nada. Hay menos de una décima. No hay nada. Pero la
variación se ha multiplicado por 10.000. Es una barbaridad. ¿Cuándo hay
problemas? ¿Cuándo hay problemas de estabilidad? Hay problemas de
estabilidad en las soluciones cuando esta cantidad que hay aquí abajo es
próxima a 0. Es decir, cuando el determinante en la matriz de los
coeficientes es próximo a 0. ¿Cuándo es 0 un determinante? Vamos a
pensar. ¿Cuándo es 0 un determinante? El determinante es 0 cuando una
fila depende linealmente de las otras. Es decir, que cuando yo tengo un
sistema en el que el determinante de los coeficientes es muy próximo a 0,
ya no es estable la solución. Hay que tener ojo con eso. Eso se llama
problemas mal condicionados. Porque pequeñas variaciones en los datos
tienen variaciones muy importantes en las soluciones. Bueno, esto
gráficamente... Aquí os he hecho una serie de operaciones que yo no me
voy a entretener en hacerlas, que es un poco justificarlo geométricamente.
Es decir, una ecuación es donde se cortan dos rectas. Si esas dos rectas
tienen pendientes muy distintas, aunque varíe un poquito la pendiente, las
rectas se cortan muy próximamente. Y si esta recta naranja, si yo la muevo
un poco la pendiente, bueno, pues se moverá un poquito el corte, pero no
mucho más. En cambio, si... porque también he utilizado para hacer esto
simplemente... Es una... Si alguien lo quiere leer, lo lee, pero vamos, no
es del programa ni de solos es sobre el tiempo. Pero lo he hecho también
con una intención y es presentaros el otro programa de matemáticas que
también es muy útil, que es el Wolfram Alpha, que para el guarindongueo
este, de que yo quiero mirar una cocina y dar con el móvil o con una
tablet y tal, viene muy bien. Por ejemplo, este es el Wolfram Alpha.
Entonces, si yo le escribo un sistema de ecuaciones, pues me da la
solución y me hace cosas aunque yo no se las pida. Por ejemplo, me las
pinta gráficamente. O sea, no hay que escribir como en el máxima, que
pone punto y coma, la coma, el corchete, el paréntesis, tal. Entonces, en
cambio, este sería el mismo problema de esta ecuación que hemos visto
antes, pero variándole un poquito. Esto es lo mismo que viene en la
escrita, pero hecho correcto. Con el Wolfram Alpha, ¿veis? Varía un
poquito, pero sigue estando el punto de corte muy cerquita. Pero, ¿qué es
lo que pasa si las dos rectas tienen pendientes muy parecidas? Es decir,
son casi paralelas. Si son casi paralelas, el variar un poquito hace que el
corte esté muy disparado. Es decir, que cuando el determinante de los
coeficientes son dos líneas, son una múltiple. La otra, una combinación
lineal de la otra. Entonces, el determinante es cero. Entonces, si no son
una múltiple de otra, pero casi, el determinante es muy próximo a cero. Y
entonces, al dividir por cero, puedes variar mucho el cociente. Y
gráficamente eso equivale a decir que el sistema es donde se cortan dos
rectas que son prácticamente la misma recta. Si son dos rectas que son
prácticamente la misma recta, o se cortan aquí o después de siete
kilómetros. No sé si me explico. Mucho es como si tú coges una vía del
tren y giras un poco la vía. Igual se te acaban cruzando en Ávila. Pero,
¿sabes? Se cortan muy mejor. Bueno, pues todo esto lo tenéis aquí.
Tenéis aquí esto mismo. Veis que el máxima también sirve para dibujar.
Aquí os he presentado el Wolfram Alpha, el máxima. Como veis, el máxima
se hace todas estas cosas, pero hay que decirle muchas más cosas. Vamos a
hacer algún problema que nos queda un cuartito de hora. Hacemos algún
problema más de exámenes. Bueno, esto, como alguien me lo había
preguntado, rápidamente es lo que tiene en vuestro libro como problema mal
condicionado. Desde un punto de vista de cómo se razonan matemáticas,
está bien pensarlo un poquito, ¿vale? Bueno. Hay aquí alguien, me
parece, ¿no? No creo, ¿no? Bueno. Bueno, vamos a ver uno del... Los
problemas del año pasado, en el equipo docente se ha puesto de los
últimos años. Yo los tengo hechos también en cuanto a detalle, con el
máxima y tal, que algún día lo usaremos, pero lo dejaremos para repasar,
si hay acaso, ¿vale? Entonces vamos a hacer del otro año algunas
preguntas del año 23, ¿vale? Por ejemplo, tenemos por aquí septiembre
del año 23. A ver si lo... Septiembre del año 23. Bueno, este es el
enunciado. Dice así. Preguntas cortas. Este es el enunciado, ¿vale? Dice,
considere el sistema matricial a X igual a B, siendo A una matriz 5 por 6.
5 filas, 6 columnas, ¿no? Ya sabéis que la matriz es... La dimensión de
una matriz se nombra filas por columna, ¿no? Entonces sería una matriz 5
por 6. Sea la matriz de los coeficientes X, es la matriz 6 por 1, es decir,
es un vector de 6 filas y una columna, es un vector columna, es la matriz
de las incógnitas. Y B es una matriz 5 por 1, es decir, 5 filas y una
columna, que sería un vector columna de la matriz de los términos
independientes. ¿No? Entonces, o sea, el vector de los términos
independientes. Dice, clasifique el sistema sabiendo que el rango de A es
5. Clasifique el sistema sabiendo que el rango de A es 5. Bueno. Cuando me
están diciendo... Bueno, aquí lo he escrito expandido para que sea un
poco más fácil. Yo lo que me están diciendo es... Ya veis, como esta es
una matriz que tiene 6 incógnitas, 6 incógnitas y son 5 ecuaciones. Las
filas de la matriz A indican el número de ecuaciones. Y el 6, que es el
número de columnas, significan el número de incógnitas. Fijaos que si yo
tengo esta matriz, multiplicaría A1 1 por X1 más A1 2 por X2 más A1 3
por X3 más A1 4... ...por X4 más A1 5 por X5 más A1 6 por X6 igual a B1.
Esta sería la primera ecuación. Entonces yo tengo que este sistema, que
esto era 5 filas y 6 columnas, escrito... A ver, todas estas cosas las
haces una vez en la vida hasta que te acostumbras que tú ves una matriz y
ya ves el sistema. Pero bueno, alguna vez tienes que desarrollarlo para
verlo de esta otra manera. Entonces yo tengo que esto es un sistema de 5
ecuaciones con 6 incógnitas. Me están diciendo que el rango de A es 5.
¿Qué quiere decir que el rango de A es 5? Que el rango de A es 5 es que
hay 5 ecuaciones linealmente independientes. Es decir, que esto en realidad
son de verdad, de verdad, 5 ecuaciones con 6 incógnitas. De verdad, o sea,
linealmente independientes. ¿Por qué? Podría añadir aquí combinaciones
lineales de estas y te diría que tengo un sistema de 80 ecuaciones con 6
incógnitas. Pero bueno, de esas me podría quedar solo... O sea, las otras
no aportan nada. Las que aportan nada para definir cuál es la solución
serían las que son linealmente independientes. Pero yo tengo aquí que son
5 ecuaciones con 6 incógnitas. Si yo quisiera resolver este sistema de
manera general, yo puedo imaginar que... He sido capaz de reducir la forma
escalonada. Eso se puede hacer. Gauss nos enseñó cómo se hace. Entonces
yo siempre me lo puedo imaginar que tenga un sistema equivalente
escalonado. Entonces tendría aquí. Entonces sería un sistema que sería
como así. Ahí. No, no lo estoy haciendo bien. Bueno. Entonces, si yo
tengo 6 ecuaciones y... Perdón. 5 ecuaciones y 6 incógnitas. Para que sea
un sistema resoluble, me sobra una incógnita. O sea, sería el número de
incógnitas menos el número de ecuaciones. Es el número de las que me
quedan sueltas, que son el número de parámetros. Cuando yo hallo la
solución general, el número de parámetros de la solución general es la
diferencia que hay entre el número de incógnitas y el número de
ecuaciones linealmente independientes. O sea, el rango. Entonces en nuestro
caso, como yo tengo que... Eh... Son 5 ecuaciones. Pues la última
incógnita la puedo tomar como parámetro y pasarla al otro miembro y ya
tener un sistema de 5 ecuaciones con 5 incógnitas. Esto las he pasado
restando como un parámetro. Entonces, la solución general de este sistema
va a ser de esta manera. Va a ser una solución más un múltiplo... O sea,
va a depender de un parámetro. La solución general va a ser la solución,
pero con un parámetro. Fijaos que el método de ayer, la solución general
era pasar esto aquí restando a su 1, 6, x, 6, que sería el parámetro
lambda. O sea, sería coger el parámetro lambda como x, 6, ¿de acuerdo? Y
pasarlo aquí restando. Entonces la solución sería resolver un sistema de
5 ecuaciones con 5 incógnitas, pero en términos independientes hay un
parámetro. Entonces la solución general va a ser de esta forma. En
nuestro caso, yo ya sé que la solución general va a depender de un
parámetro. Entonces, si yo tengo que la solución general va a depender de
un parámetro, ¿qué me dice que clasifique ese sistema? ¿Qué puedo
decir de ese sistema? Pues que tiene infinitas soluciones, o sea que es
indeterminado. A mí la nomenclatura esta de determinada y indeterminada
pues no me gusta mucho. Pero bueno, el espacio de las soluciones sería una
solución fija más una recta, o sea que va a depender de un parámetro.
Entonces la solución general sería de esta forma. Y esto es la
clasificación de esto. Es decir, es un sistema compatible porque tiene
soluciones indeterminadas. ¿Vale? Bueno. Otro, este sería un problema
de... Vamos a ver otro del año 23 para ver cómo es. Y ya está. ¿Dónde
está aquí? ¿Dónde lo tengo yo aquí? Bueno, aquí tengo otro. Bueno,
este otro. Este es del año... Perdón. No sé qué yo quería. Este. Este
ya acabamos. Dice así. Es decir, sean A y B, sean A y B, estos dos A y B,
números reales. Esta sería una matriz 5x5. Y este, sabiendo que A es
igual a 15, calcule el siguiente determinante. Y te da otra matriz que es
muy parecida a esta. Muy parecida a esta porque fijaros que esta fila de
aquí es esta fila de aquí. Y esta de aquí, esta de aquí. A ver, sumar
estas dos. Esta de aquí es lo mismo que esta primera, que la han cambiado
de sitio. Pero bueno, entonces me piden que calcule un determinante
conocido que la matriz... El determinante de esta es una matriz de... De la
que sabemos cuánto vale. Bueno, entonces... A ver, este es para calcular
el determinante. Lo que necesito utilizar aquí en este problema es
conocer... Cuáles son las transformaciones que tengo que hacer de un
determinante para... Para llegar a otro que valga lo mismo. O sea, entonces
las operaciones que hay con determinantes es que las he hecho aquí un
resumen. Si una matriz se permuta en líneas. Líneas son filas o columnas.
En el cálculo de determinantes se utiliza muchas veces para enunciar las
propiedades el término línea. Porque donde pone línea... Pues pone fila,
pone columna, lo que te dé la gana. Si se permutan filas o columnas, el
determinante cambia de signo. Si se multiplican todos los elementos de una
línea por una constante, el determinante resulta multiplicado por esa
constante. Y si se reemplaza una línea por el resultado de sumar a esa
línea un múltiplo de otra línea, el determinante no cambia de valor.
Entonces si se hace una operación de fila, esas que hemos visto, el
determinante no cambia de valor. Y otras propiedades son, aunque aquí no
las vamos a utilizar, es que un determinante es igual al determinante de su
traspuesta y el determinante de un producto es igual al producto de los
determinantes. Bueno, en este caso lo que hay que hacer es utilizar... Ver
qué operaciones vamos haciendo para calcular el... Llegar de la matriz a
la otra. Bueno, entonces la primera cosa que observo es que tengo que
cambiar la fila 1 por la 4. Entonces yo tengo que... La fila 1 por la 4
obtengo una nueva matriz, que es la B, que es el cambio de signo al
determinante de A. Como el determinante de A me habían dicho que era 15,
pues esto es igual a menos 15. Aquí tenía que haber puesto un menos 15,
pero bueno. El determinante de B es igual al determinante de A. Esto es un
menos... Bueno. Ahí. Un menos 15. Bueno. Pero tengo que cambiarlo a valor,
¿vale? Luego, para pasar de la B a otra C, ¿qué le he hecho? Pues a la 3
veces la fila 2 le sumo... La he multiplicado... La fila 2 la he
multiplicado por 3. La fila 2 la he multiplicado por 3 y la tengo aquí. Y
entonces, pues el determinante de C es 3 veces el determinante de B. Que
era menos 3 veces el determinante de A. Aquí yo he vuelto a recobrar la...
Que ya va bien. Sería menos 145. Y luego, para pasar de la C a la D, que
es la que me dan, pues ¿qué tengo que hacer? Pues sumarle a la fila 5 la
fila 3 con la fila 5. Entonces, el determinante no varía. El determinante
de B es el determinante de... Esto es un menos 145. Bueno. Aquí está
esto. A ver. Ah. Esto es un poco lío. A ver. Bueno. Dejarme que esto lo
revisara en el mismo... Bueno, me he perdido un poco el hilo. Pero se ve
que cuando lo he copiado... Bueno, lo revisaré y lo pongo bien. Vale. La
verdad es que me tengo... Hay una persona y me está poniendo un poco...
Así que me voy a despedir ya. Lo pongo bien, ¿vale? Antes de ponerlo, lo
pongo bien. Bueno, pues nada. Hasta otro día. Voy a dejar de grabar.
Muchas gracias. Nada.