Aquí anirem a repassar una miqueta la part de cinemàtica, repassant una
mica tant el moviment rectilínic com els moviments circulars, tant
l'uniforme com l'uniformament accelerat. I després veurem també una mica
de tir parabòlic. Només alguns recordatoris interessants, que treballem
amb el sistema internacional. Quan feu problemes, quan resoleu al final,
tot i que s'utilitzin magnituds que no siguin del sistema internacional,
sinó que els resultats sempre els acabem donant en unitats del sistema
internacional. Llavors, parlem de magnitud, la dimensió i la unitat.
Llavors, a vegades en aquests problemes inicials ens demanen alguns
aspectes relacionats amb tema d'equació dimensional o quines són les
dimensions. Llavors, recordeu una mica, o recorda com estan les lletres
aquestes d'aquí. La longitud, la dimensió és una L i les unitats són
metres. El temps són segons, la massa en quilos. I d'altres? Que estan
més relacionades amb altres magnituds més específiques, com són la
temperatura, que s'utilitza en kelvins, no grau kelvins, que està mal dit,
sinó kelvins directament, la intensitat en amperes, els molts i la
intensitat lluminosa, en aquest cas amb candeles. Anem a veure un primer
exemple de l'anàlisi dimensional. Recorda, dimensional fa referència a la
dimensió. Per tant, longitud és L, temps és T, massa és M. Aquestes
serien les principals que utilitzarem nosaltres. Per tant, si em demanen
anàlisi dimensional, haig de fer servir això, no les unitats. Les
unitats, no. Anàlisi dimensional, les dimensions. D'acord, llavors, em
diuen que tenim una qüestió que la velocitat al quadrat és una constant
multiplicada per la distància. Molt bé. I em demanen que determini les
dimensions de T, d'aquesta constant. Representa que nosaltres tenim moltes
fórmules on apareixen constants. Tenim la llei de la gravitació
universal, on apareix la constant G, que és la constant de gravitació
universal. Amb el tema de les càrregues elèctriques i la força
elèctrica apareix una altra constant, que és K. Doncs aquestes constants
tenen dimensions. I en aquest cas em posen una fórmula, una equació, en
la qual la velocitat al quadrat és proporcional a la distància. Però hi
ha un terme de proporcionalitat, que és aquesta T d'aquí. I em pregunten
quines són les dimensions d'aquesta T. Doncs, al final, hem d'acabar
resolvint-ho. Resolvint el problema amb dimensions. Dimensions, què vol
dir? Bàsicament el que m'estan demanant és la dimensió de T. Quan a
nosaltres ens diuen dimensions, ho posem així entre aquestes corxeres o
aquests claudators. Per tant, jo el que haig d'acabar aïllant és aquesta
d'aquí. Tinguent en compte que jo sé que la velocitat es dona en longitud
partit per temps i la distància es dona en longitud. Per tant, el que
diré és que les dimensions d'una banda de l'equació han de ser... ...el
mateix que les dimensions de l'altra banda de l'equació. Dimensions,
dimensions. Llavors, d'aquesta banda de l'equació sé que la velocitat és
longitud entre temps. Per tant, longitud, temps a la menys 1. I tot això
al quadrat. I ha de ser igual a la dimensió de T, que aquesta no la sé,
que és el que estic buscant, per longitud. Perquè la distància es mesura
amb... La dimensió de la distància és la longitud. Llavors, aïllaré
això d'aquí. I què em quedarà? Em quedarà, doncs, L al quadrat T a la
menys 2... ...dividit... ...dividit entre L. Que en aquest cas s'entetxarà
una L i em quedarà que l'equació seria, doncs, longitud partit per temps
al quadrat. O, si ho estiguéssim demanant en unitat, seria metres partit
per segon al quadrat. Sí? Llavors, amb això d'aquí ja tenim la
dimensió. Recordem, dimensions fem servir aquesta columna d'aquí.
Perfecte. Llavors, fem un altre problema i em diu... ...tenim el període
d'un pèndol simple... ...per petites oscil·lacions. Diuen, doncs, que
intenti deduir la fórmula. Les constants no les podria deduir, però sí
quina relació hi ha d'aquest període del pèndol amb les magnituds que jo
crec que pot dependre. Llavors, m'estan demanant directament la fórmula
del període d'un pèndol per petites oscil·lacions. Un pèndol, eh? Tenim
penjada una massa d'aquí amb un cos. Llavors, representa que aquí tenim
un angle i ens demanen, doncs, quin seria el període del pèndol... ...si
tenim en compte que aquest angle és petit. Aquest angle, la teta,
normalment ha de ser més petit que uns 20 graus... ...perquè es
compleixin les condicions de les equacions diferencials, etcètera,
etcètera. Bé, llavors, nosaltres diem que el període d'aquest pèndol
pot dependre de què? De la massa del cos, és a dir, d'aquest cos que tinc
aquí sota que va penjant, que va fent oscil·lacions. Pot dependre de la
longitud del pèndol i pot dependre també de la gravetat. Òbviament, no
és el mateix que estiguem fent el pèndol aquí a la Terra. Com que el fem
anar a la Lluna. Llavors, el període... No, que no tinguem per aquí...
Llavors, el període ha de dependre d'aquestes tres variables. Llavors,
què fem? Diem que simplement seria una constant, que li dic K,
multiplicada per què? Doncs per la massa elevada a un exponent A, la
longitud elevada a un exponent B i la gravetat elevada a un exponent C.
Perquè jo crec que aquest període... El període ha de dependre
d'aquestes tres magnituds. I un cop he fet això, ja passo a valorar les
dimensions de cada un dels elements. I dic que el període es mesura en
unitats de temps. Per tant, em quedarà que de massa no n'hi ha, de
longitud no n'hi ha i temps estaré elevada a la 1. I a l'altra banda, què
tindria? La constant K, que en aquest cas no li posaré. Per què? Perquè
representa que serà una constant, un número que no m'afectarà. I la...
La massa l'elevaré a l'exponent A tal com he dit, la longitud a l'exponent
B i la gravetat a l'exponent C. Recordeu que la gravetat es mesura en
metres partit per 7 al quadrat. Per tant, longitud partit per temps al
quadrat. O T a la menys 2, que és exactament el mateix. Llavors, un cop
tinc aquests tres exponents, què puc fer? Doncs, puc fer una mica
d'àlgebra. Aquest L amb aquesta L d'aquí segurament se'm sumarà, no
passaran coses. I amb els temps, doncs, passarà més o menys similar. Per
tant, anem a veure. Com que amb aquests altres termes d'aquí no hi ha res,
no hi ha res. No tinc cap massa. Simplement puc igualar l'exponent de la
massa d'aquesta banda d'aquí amb l'exponent d'aquesta altra massa d'aquí.
I em queda que A igual a 0. Per tant, vol dir que el període del pèndol,
en principi, no depèn de la massa. Continuem. La longitud aquí ha de ser
un 0. En canvi, a l'altra banda tinc aquesta B que em depèn d'aquesta L i
aquesta C que tindria en aquesta banda d'aquí. Per tant, B més C. Si tinc
el producte de L elevat a B per L elevat a C, se sumen els exponents. Per
tant, aquí em quedaria B més C. M'agrada igual a 0. I pel que fa al
temps... Doncs aquí tindria menys 2C, ha de ser igual a 1. Perfecte, doncs
amb la C aquesta d'aquí puc treure-la, que C en aquest cas em donaria
menys un mig. I si C em dona menys un mig, B m'ha de donar un mig perquè
sumats ha de ser igual a 0. Per tant, què vol dir? Que l'exponent de B,
que seria la longitud, és la real quadrada i l'exponent de G, en aquest
cas, seria la real quadrada però no el denominador. Per tant, em queda que
el període és aquesta constant numèrica, que no sé quan és, i poso
numèrica i ho ressalto perquè... És diferent d'això que havíem vist
aquí. En aquest cas, d'aquí dalt, aquesta constant tenia unitats, però
en aquest cas d'aquí, les unitats les tinc totes amb les magnituds
físiques que estic treballant i aquesta K només és un número. El
període de la K ha partit per L partit per G. Llavors, si ho comprem amb
la fórmula real, que és que el període d'un pèl és... Crec que és 2pi
arrel de L partit per G, o el 2pi va dintre, no ho sé. Però se diu
força. Què vol dir això? Que el període d'un pèndol depèn de la
longitud, és a dir, com més llarg és el pèndol, més tard anem a fer
al·lucinacions, i és inversament proporcional a l'acceleració de la
gravetat. El que vol dir que com més gran és la gravetat, més petit és
el període del pèndol. De fet, això ho podem comprovar amb el tema dels
gronxadors, que no és res més que un pèndol una mica més complex, però
acaba sent un pèndol. Si tinc un gronxador d'aquests de nens petits,
d'aquests que estan aquí apujats i després aquí hi ha el gronxador,
doncs si aquest longitud del cable és petit, el gronxador, diguem-ne, es
gronxa molt ràpid. En canvi, si agafo un gronxador d'aquests dels grans
que tenen els cables molt llargs, doncs tarda molt en fer tota una
oscil·lació. Perquè aquí hi ha la dependència aquesta d'arrel de L que
havíem dit. Vaig a tancar la porta perquè crec que no ve ningú més.
Doncs ara ja estem una llaveta aquí. Continuem endavant. Una mica de
treball amb el tema dels sistemes de referència i tot això. Recordem que
en coordenades cartesianes, d'on tinc els vectors unitaris en cada una de
les tres direccions, X i Z, que normalment això ho podem fer amb la mà
esquerra. L'eix de les X seria aquest d'aquí, l'eix de les I seria aquest
d'aquí, l'eix de les Z seria el polze. Llavors d'aquesta manera sempre
acabaríem trobant X i Z. No m'ho feia amb la mà dreta perquè llavors no
quadra. Aquí tenim dos vectors en funció dels vectors unitaris en
cadascuna de les tres direccions. El treball en cinemàtica és
relativament senzill. En una dimensió, en dues dimensions es complica,
però en tres dimensions ja serem en compte una mica tot el tema dels
vectors. Recordeu també el producte escalar, que si tinc els vectors en
components seria component per component i a través de dos vectors i el
producte escalar jo tinc un número, és a dir, un escalar. L'altra manera
de fer-ho és fent el mòdul dels dos vectors multiplicat pel cosinus de
l'angle que formen. Això d'aquí em permet determinar si hi ha dos vectors
que són perpendiculars o les projeccions d'un vector respecte a l'altre,
etc. Recordem també el producte vectorial, que s'utilitza sobretot en
temes més de càlculs de camps magnètics, però que cal tenir-lo en
compte aquí. Recordeu que el producte vectorial de dos vectors em dóna un
vector perpendicular als dos inicialment, o sigui, el producte vectorial de
A vectorial B em dóna un vector C que és perpendicular a A i és
perpendicular a B. La manera de calcular-lo és matricialment i recordeu
que l'altra manera de calcular el mòdul d'aquest vector seria, doncs, el
producte dels mòduls per als sinus de l'angle que formen. Recordeu, però,
que a diferència del producte escalar o el producte vectorial, obtingo un
vector. Dos vectors em donen un vector, producte escalar dos nombres, dos
vectors em donen un nombre. Continuem amb el tema de la cinemàtica, que
és el tema que ens ocupa principalment avui. El vector posició seria la
composició de tres moviments en funció del temps en cada una de les tres
direccions. L'increment de posició és finalment inicial, això ho tenim
clar. La velocitat mitjana es calcula amb increments de posició a partir
per increment de temps i la velocitat instantània es calcula com la
derivada de la posició respecte al temps. Recordeu, mitjana amb
increments, instantània amb derivades. En el cas de l'acceleració,
exactament el mateix. L'acceleració mitjana es calcula amb increments de
velocitat i l'acceleració puntual, doncs, es calcula amb derivades. Si en
comptes de passar de posició a velocitat i de velocitat d'acceleració,
que ho fem derivant, ho volem fer al revés, doncs la posició és la
integral de la velocitat i la velocitat és la integral de l'acceleració.
Això és més fàcil recordar-ho com si nosaltres fem la posició, la
velocitat i l'acceleració. Si derivem respecte al temps de la posició,
obtenim la velocitat. Si derivem respecte al temps la velocitat, obtenim
l'acceleració. En canvi, si de l'acceleració volem passar a la velocitat
ens caldrà integrar respecte al temps i si de la velocitat volem arribar a
la posició doncs ens caldrà integrar respecte al temps. Això pot ser
especialment útil quan nosaltres ens donen posicions o ens donen
acceleracions que depenen del temps i ens demanen les altres magnituds.
Llavors hem de tenir clar què ens cal fer, si ens cal derivar o ens cal
integrar. Ara anem a veure alguns exemples. de tot això. Abans, algunes
consideracions també relacionades amb el tema de l'acceleració. Aquí ens
expliquen una mica les components de l'acceleració. Si jo tinc una
acceleració, aquesta acceleració sempre la puc descomposar en dues
components. Una component tangent a la trajectòria, que n'hi direm
acceleració tangencial perquè és tangent a la trajectòria i el que fa
és augmentar la velocitat, el mòdul de la velocitat. Una que seria
l'acceleració centrípeta que és perpendicular a la meva trajectòria i
no fa canviar el mòdul de la velocitat, sinó que l'únic que fa és
canviar la direcció de la meva trajectòria. N'hi diem acceleració
centrípeta o acceleració normal. L'acceleració en si és la composició
o la unió de les dues acceleracions. Una fa canviar el mòdul de la
velocitat, és a dir, em fa anar més ràpid o més a poc a poc i l'altra
el que fa és canviar la meva trajectòria. L'acceleració real, doncs la
tenim aquí, seria la unió vectorial d'aquestes dues acceleracions. Per
calcular l'acceleració centrípeta sabem que és la velocitat del quadrat
partit per el radi de curvatura i l'acceleració normal seria la derivada
del mòdul de la velocitat respecte al temps. Seria una manera de
calcular-la. Derivada del mòdul de la velocitat. La velocitat és un
vector, en calculo el mòdul i aquest mòdul el derivo respecte al temps i
amb això obtinc l'acceleració tangencial, perdoneu. L'acceleració
tangencial. La derivada del mòdul de la velocitat respecte al temps.
Recordeu que havíem quedat que l'acceleració tangencial era la que em
feia canviar el mòdul de la velocitat. Em feia anar més ràpid o més a
poc a poc. Per tant té sentit que calculem la derivada del mòdul de la
velocitat. En canvi amb l'acceleració centrípeta o l'acceleració normal
doncs en aquest cas ens apareix el radi de curvatura. Això que comentava.
Doncs anem a veure diferents problemes. En el que em donen una velocitat en
funció del temps i a partir d'aquí em demanen que trobi doncs les altres
magnituds. Una partícula es mou amb aquesta velocitat. Fixeu-vos que en
aquest cas seria dues dimensions I i J. Em donen la posició en el temps
igual a 2 i em demanen que trobi l'equació de la trajectòria. L'equació
de la trajectòria el que m'estan demanant és I . Si representa aquí
l'eix de les X i aquí l'eix de les I si a mi em donen l'equació diguem-ne
paramètrica jo podria anar donant valors del temps i podria anar trobant
punts. Perquè trobaria doncs la coordenada X en funció del temps la
coordenada I en funció del temps i podria anar trobant punts i podria
dibuixar la trajectòria. Una altra manera seria sense dependre del temps
que obtenir directament I . Si obtinc directament I puc dibuixar la
funció. Doncs és això el que m'estan demanant. Si ho recordem si tinc la
velocitat i vull trobar la posició doncs haig d'integrar respecte al
temps. Recordeu el que havíem vist aquí. Si tinc la velocitat que és
aquesta d'aquí i em demanen la posició haig d'integrar la velocitat
respecte al temps per trobar la posició. Doncs anem-ho a fer. Aquí el que
tinc és que l'increment de posició és la integral de la velocitat
respecte al temps que això és el que dèiem. Fixeu-vos. Si jo treballo
directament R és la integral de V doncs en aquesta integral mi sortirà
una constant. Jo faré tot el càlcul i mi sortirà una constant K. Com la
trobo aquesta constant K? Doncs imposant R perquè me l'estan donant.
Aquesta seria una manera de fer el problema. En canvi si en comptes de
fer-la indefinida aquesta integral la faig definida què voldrà dir? Doncs
que aquí hauré de posar increment de posició i aquí la posició inicial
que en aquest cas hi puc posar la posició en temps igual a 2 i la posició
final que la faria en temps igual a T. D'aquesta manera faig un increment
de posició. Recordeu que increment de posició seria posició final que
seria R menys R . Per què? Perquè aquesta d'aquí seria la posició
inicial que coincideix amb el límit inferior de la meva integral. Per
tant, tinc dues maneres de fer-ho. O la faig indefinida i poso una constant
que surt de la integral perquè recordeu que les integrals donen una
funció més una constant de tal manera que quan derivi aquest resultat de
la integral aquesta constant se m'eliminarà i obtindré doncs el valor que
estava buscant. Una manera fer-la indefinida i afegir una constant una
altra manera fer-la definida i posar-hi els increments reals amb els que
estem treballant. Llavors aquí estem utilitzant la part aquesta
d'increments. Fixeu-vos R de T menys R de 2 que seria final en qualsevol
instant de T menys inicial amb R de 2 per què faig servir R de 2? Perquè
és el que m'estan donant. I llavors quan defineixo la integral si la poso
definida no em cal definir una constant aquí. Li dic que és des de 2 fins
a T que coincideixi la posició final amb el límit superior aquest de la
integral i el temps inicial que seria aquest R de 2 doncs que coincideixi
amb la part inferior de la integral. Sí? Perfecte doncs faig la integral
fixeu-vos que a l'hora d'integrar com que és una suma haig d'integrar cada
un dels dos termes la integral de 2T menys 2 em donaria T quadrat menys 2T
perquè el més 2 aquest d'aquí ve d'aquesta banda d'aquí no el tinc en
compte. T quadrat menys 2T la integral de 3 em quedaria 3T i fixeu-vos que
ara en aquesta banda d'aquí tinc 2I més 3J que seria aquest d'aquesta
banda que em quedaria més un 2 per tant tinc aquesta part d'aquí que em
prové de la integral més aquesta part d'aquí que em ve del terme inicial
de R de 2 i el mateix passa amb l'altra banda simplement el 3T a menys 3
aquest d'aquí fixeu-vos que en aquest cas d'aquí el 3J aquest d'aquí em
donaria el el 3T i la part del 3 ve de l'altra banda doncs que en aquest
cas passaria passaria bastant sí llavors tinc que l'equació de la
trajectòria em dona X de T I més I de TJ llavors X de T en aquest cas
seria T quadrat menys 2T més 2 i I de T seria 3T menys 3 recordeu que si
ara jo vull representar aquesta funció simplement he d'anar donant valors
de T com que l'instància inicial és T igual a 2 doncs el primer valor
seria de T igual a 2 i em donaria el punt 2,3 que seria el punt 1,2 1,2,3
que seria aquest punt d'aquí el següent punt queda o no T igual a 3 a
partir d'aquí doncs donaria 3 al quadrat menys 6 més 2 doncs això em
donaria 5 doncs en aquest cas seria 5 i aquí buscaria l'altre punt
d'aquesta manera podria anar marcant jo la meva trajectòria sí només
posaria X I i en aquest cas aquí posaria T i aquí posaria T igual a 2 3 4
5 i aquí aniria calculant la meva X i la meva Y en el cas de 2 em donarà
2 3 en el cas de 3 hem quedat que ens donarà 5 no sé què i això d'aquí
són coordenades que jo puc anar representant aquí això seria per
representar el gràfic però a mi em demanen l'equació de la trajectòria
per tant més que tot això m'estan demanant I per trobar I de X què faré
aïllaré el temps d'aquí que fixeu-vos que la relació és lineal em
quedarà que temps és I menys 3 dividit entre 3 i després el posaré
aquí dintre i al final intentaré trobar quant val I de X que en aquest
cas és aquesta part d'aquí i com que tinc I de X doncs és el que m'estan
demanant que és l'equació de la trajectòria per tant repassant una mica
tot aquest problema què tenim tenim la posició tenim la velocitat en
funció del temps i em demanen la posició en funció del temps em demanen
em donen també unes coordenades inicials per tant el que faig és integro
la velocitat amb una integral definida i l'increment també el poso definit
a partir de la meva posició inicial faig tots els càlculs i obting la
posició en funció del temps un cop tinc aquesta posició en funció del
temps determino quina és la coordenada X la coordenada I i intento posar I
en funció de X X en funció d'I desfent-me del temps i en aquest cas doncs
era més fàcil desfer-se d'aquesta banda d'aquí continuant diu l'equació
de l'acceleració d'un mòbil és A0 E-KT diu el seu moviment es rectilini
a l'instant inicial es troba en repòs d'integrals i de les condicions
inicials es troba a la velocitat màxima que assoleix i l'expressió del
vector posició va fixem-nos que si jo em represento l'acceleració en
funció del temps això parteix d'una acceleració inicial i després d'una
exponencial de creixent què vol dir que per temps molt grans és com si no
tingués acceleració per tant representa que hauria de recuperar per temps
grans un moviment rectilini uniforme i l'increment de velocitat és la
integral de l'acceleració diferencial de temps i passo d'increment de
velocitat per què perquè això seria velocitat en funció del temps menys
uv de 0 perquè representa que començo comptant el temps inicial i uv de 0
ens diu a l'instant inicial dividir per la constant l-t fixem-nos que quan
ho avaluem en t doncs em dóna la mateixa exponencial de creixent però
quan ho avaluem en 0 l'exponencial de 0 em dóna 1 i com que aquí hi ha un
negatiu serà com si girés aquests intervals per tant em donarà la
constant u- l'exponencial aquesta negativa fixem-nos que si nosaltres
representem això d'aquí doncs que tinc que en aquest cas em tindria
aquest valor límit que seria aquest a0 menys kt i fixem-nos que
inicialment l'avançat és 0 i a mesura que augmentem el temps ens anem
apropant en aquesta velocitat límit perquè aquesta exponencial d'aquí
cada vegada tindrà menys valor perquè és una menys negativa i em
quedarà a0 entre k això seria velocitat en funció del temps llavors
això què vol dir vol dir que acabem obtenint el que seria una velocitat
terminal val que no acabem assolint mai però aquí tindria doncs la
velocitat màxima que podríem acabar assolint que és a0 entre k un cop
tenim aquest de la velocitat en funció del temps què podem trobar podem
trobar la posició en aquest cas podem fer exactament el mateix que hem fet
que l'increment de posició seria posició final menys posició inicial
però com que em diuen que la posició inicial ja és 0 doncs puc passar
directament d'increment a posició fixem-nos que la integral de tot això
d'aquí seria de la integral de 1 és t i la integral de l'exponencial
torno a fer exactament el mateix que he fet abans menys 1 partit per k etc,
etc a partir d'aquí avaluo entre 0 i t i obting aquest element i fixeu-vos
a l'hora d'avaluar aquest element d'aquí doncs m'acaba quedant el que
dèiem nosaltres d'un moviment rectilínea que el que el que acabaré
obtenint és una expressió en funció del temps que avançarà de manera
lineal i que serà més o menys l'ordenada de l'origen per tant si jo acabo
representant la posició x en funció del temps doncs acabaré trobant el
que seria una una recta eh on aquí tindria a0 entre k que seria per aquí
suposa que sigui aquest positiu i tindria un element d'aquests d'aquí i
això d'aquí que se m'aniria apropant en el moviment aquest rectilínea
uniforme que tindria quan aquest terme d'aquí doncs gairebé fos gairebé
fos 0 val? un tema interessant en el que hem vist que les condicions
inicials em poden ser favorables en el sentit que em permetin calcular
aquests increments d'una manera molt senzilla i després només em fa falta
integrar doncs les diferents magnituds en aquest cas l'acceleració i la
velocitat continuem diu el vector posició d'un mòbil ve donat per
aquestes aquests termes d'aquí van demanant posició diu troba les
expressions de la velocitat l'acceleració i les seves components val?
l'acceleració i les seves components a què es refereix l'acceleració
normal i l'acceleració tangencial val? doncs vinga som-hi em donen la
posició per trobar la velocitat que haig de fer derivar per tant és molt
fàcil derivar diuen que és un mètode en canvi integrar és un art
perquè integrant doncs s'ha de tenir una mica més d'inventiva no? però
derivar això és molt fàcil és 4i i en aquest cas em donaria doncs 4tj
4i més 4tj la velocitat en aquest cas d'aquí és relativament senzilla no
tenim problemes l'acceleració val? torno a derivar un altre cop en aquest
cas la derivada de 4 és 0 la derivada de 4t és 4 per tant directament
l'acceleració em dóna 4j metres partit per segon al quadrat val? i aquí
doncs ja tindria les dues parts que és la velocitat ara em demanen les
seves components val? les seves components seria l'acceleració normal i
l'acceleració tangencial l'acceleració normal la tenim una mica cru per
què? perquè és la velocitat del quadrat partit pel radi clar i jo com
sé quin és el radi de curvatura? en principi no ho sé en canvi amb
l'acceleració tangencial recordem que la derivada del mòdul de la
velocitat respecte al temps això sí que ho puc trobar no? que agafo
primer de tot trobo el mòdul de la velocitat el mòdul de la velocitat que
dic a partir d'aquí seria primera component al quadrat més la bona
component al quadrat arrel al quadrat doncs llavors ho faig seria 16 més
16t quadrat arrel al quadrat això és el mòdul de la velocitat que és 4
arrel de 1 més t quadrat això és el mòdul de la velocitat perfecte i
ara l'acceleració tangencial com la calculo? com la derivada d'això
d'aquí val? derivada del mòdul de la velocitat respecte al temps em
quedaria 1 partit per dues vegades l'arrel per la derivada del que tinc del
que tinc aquí el 4 es quedarien aquí dues vegades l'arrel que és això
d'aquí òbviament aquí me faltaria un 2 i la derivada d'això és 2t el 2
aquest del 2t s'entatxa amb el 2 de l'arrel i em quedaria doncs aquesta
expressió d'aquí això d'aquí és la derivada del mòdul de la velocitat
respecte al temps 4t dividit arrel de 1 és t quadrat val? però continuo
sense saber aquesta part d'aquí però el que sí que tinc clar és que
l'acceleració és l'acceleració tangencial més l'acceleració normal i
sé que aquestes dues són perpendiculars per tant el que jo puc dir és
que si són perpendiculars doncs continuem complint el teorema de
Pitágoras que seria que l'acceleració al quadrat és l'acceleració
tangencial al quadrat més l'acceleració normal al quadrat per tant a
partir d'aquí puc trobar l'acceleració normal com l'arrel quadrada de
tota l'acceleració més l'acceleració tangencial al quadrat que és
exactament el que hem fet aquí l'acceleració total al quadrat em queda 4
per tant em queda que era els 16 aquests i l'acceleració tangencial al
quadrat al quadrat partit per 1 més t quadrat ara aquí puc acabar fent
una miqueta d'àlgebra i acabo arribant al resultat aquest que
l'acceleració normal és 4 evident d'arrel de 1 més t quadrat llavors
fixem-nos en com ho hem trobat si nosaltres em dóna les expressions en
aquest cas la posició puc trobar la velocitat però seria el vector
velocitat després a partir del vector velocitat puc trobar el vector
acceleració si tinc el vector velocitat puc trobar el mòdul de la
velocitat i per trobar l'acceleració tangencial haig de derivar el mòdul
de la velocitat l'acceleració normal si no em donen més dades l'haig de
trobar en aquesta altra màquina és a dir a partir de l'expressió de
l'acceleració total i a partir de l'expressió de l'acceleració normal i
de l'acceleració tangencial i després l'acceleració normal trobar-la
fent la resta vinga continuem ara sí que ja anem a treballar el tema dels
tirs parabòlics o tirs en tres dimensions fixeu-vos que el tir parabòlic
jo el puc acabar posant en un pla i sempre podria acabar-lo posant en
direcs amb dues dimensions x i però si ens hi volen afegir vent o altres
elements doncs òbviament seran tres coordenades serien tres dimensions si
un projectil es llança amb velocitat inicial 0,0 1 m per segon 0,0 vol dir
que el llancem verticalment perquè normalment això és x i z doncs vol
dir que si agafem x i en el pla doncs la z en aquest cas aniria cap amunt
que seria lògic vol dir que el llancem cap amunt amb punt de coordenades
en aquest cas té coordenada 1 i està front més a l'acceleració de la
gravetat 0,0 menys 10 lògic si això és 1 i allenço cap amunt doncs
l'acceleració de la gravetat serà menys 10 que aniria cap avall i una
acceleració constant deguda al vent això que dèiem que és 2,0,0 per
tant aquí ja m'ho estan complicant vol dir que a part de l'acceleració de
la gravetat doncs tinc una acceleració deguda al vent calcula la posició
del projectil en qualsevol instant perfecte doncs primer de tot em trobaré
el mòdul el vector acceleració per què perquè recordeu que si jo vull
trobar la posició aquí ho hem vist si vull trobar la posició que és
aquest d'aquí haig de partir de l'acceleració integrar respecte al temps
i tornar a integrar respecte al temps primer per trobar la velocitat i
després per trobar la posició que és el que estem fent ara doncs val
primer de tot em trobo el vector acceleració que òbviament serà la suma
d'aquests dos és a dir el vector velocitat per trobar el vector velocitat
com que em dóna les condicions inicials que són aquestes d'aquí doncs
puc agafar i puc trobar increment de velocitat la integral de 0 a t de
l'acceleració en funció del temps recordeu que aquest increment seria la
velocitat final que és v de t menys v de 0 que me la donen aquí 0,01 per
tant integro això respecte al temps això em donarà 2t això em donarà
menys 10t aquest seria el 2t aquest em donarà menys 10t i aquest 1 d'on ve
aquest u recordeu-vos que és les condicions inicials que seria v de t
menys v de 0 passaria a l'altra banda sumant per això tinc aquest més un
aquí val i directament després per trobar la posició torno a integrar en
aquest cas puc tornar a fer increment de posició que és posició final
menys posició inicial i la posició inicial la passo a l'altra banda
sumant i en aquest cas em queda l'u00 que és aquest element d'aquí per
tant torno a integrar això i sumo l'u00 i trobo directament la posició en
funció del temps vinga continuem un cos inicialment en repòs situat a
l'origen d'angles és accelerat en una trajectòria circular d'1,3 m de
radi per una acceleració en aquest cas estem parlant d'acceleració
angular val només fem una mica de paral·lelisme entre temes angulars i
temes lineals jo sé que moviment rectilínea uniforme sé que la posició
és la velocitat pel temps doncs en el moviment rectilínea uniforme en
comptes de posició estarem parlant d'angle girat i en comptes de velocitat
velocitat angular per temps recordem que la relació aquesta que hi ha
entre el moviment rectilínea moviments circular uniforme i el moviment
circular és que l'angle girat és ho fem al revés que la distància
recorreguda és això seria fi que es mesurarien radians i això ha d'estar
en radians sí o sí en canvi en moviment rectilínea uniformament
accelerat tindríem el moviment circular uniformament accelerat val
tindríem que l'acceleració o que la velocitat velocitat és aceleració
per temps en canvi aquí doncs que l'increment d'omega és alfa t i
podríem establir un paral·lelisme entre totes les equacions val recordem
que la velocitat lineal és la velocitat angular pel radi i que
l'acceleració lineal és l'acceleració angular pel radi aquesta
aceleració d'aquí diriem l'acceleració tangencial recordem que
l'acceleració normal és la uv quadrat entre r sí llavors recordem que
això estan radians per segon això en radians partit per segon al quadrat
i això en radians fixeu-vos que la relació entre les magnituds lineals i
les magnituds angulars és directament al radi em donen l'acceleració
angular a partir de l'acceleració angular què faig trobo la velocitat
angular inicialment en repòs inicialment en repòs què vol dir vol dir
que omega de 0 és igual a 0 per tant puc passar de l'increment d'omega
directament a omega de t que és el que hem fet en aquí omega de t integro
directament això que seria 120t3 que en aquest cas 123 és 40 aquest seria
48t quadrat entre 2 que seria 24 i aquest d'aquí seria 16t directament que
tinc aquest element d'aquí i com que omega de 0 val 0 no cal afegir-hi res
més això seria omega de t ara com ho faig per trobar l'angle en funció
del temps haig de tornar a integrar això inicialment en repòs i situat a
l'origen d'angle què vol dir això que teta de 0 és 0 per tant puc tornar
a passar d'aquest increment a directament teta de t integro això té la 4
entre 4 per tant això en deu t això d'aquí té el cub entre 3 per tant
em dóna 24 entre 3 que és 8 per tant perfecte que és el que em demanaven
troba teta de t omega de t també l'he trobat diu els valors de les
acceleracions tangencial i centrípeta per t igual a 1 segon com ho fem
doncs fàcil l'acceleració tangencial hem vist aquí que és
l'acceleració angular pel radi i en aquest cas l'acceleració angular me
la donaven a mi que és aquesta d'aquí doncs li posava temps igual a 1 que
serà 120 menys 48 més 16 en aquest cas em dóna doncs alfa de 1
multiplicat pel radi que en aquest cas el radi és 1,3 doncs al final
obtinc el resultat aquest d'aquí o sigui no l'ha calculat directament
l'acceleració angular i després l'ha multiplicat per 1,3 sinó que ho ha
calculat directament aquí i l'altre l'acceleració centrípeta com seria
seria velocitat del quadrat partit per el radi o si volem si en comptes de
velocitat aquesta d'aquí substitueixo per omega doncs em quedarà omega
quadrat R quadrat dividida entre R aquestes R se'n van i em queda omega
quadrat R que és el que estem utilitzant aquí llavors l'acceleració
centrípeta de 1 seria la omega de 1 que ara tinc en aquí omega de T
hauria de substituir aquest valor per 1 i multiplicar-ho al quadrat i tot
això multiplicar-ho per el radi que en aquest cas d'aquí doncs em dóna
que és 1,3 metres i obtinc directament el resultat que són 1.331,2 metres
en el quadrat que és una una acceleració considerable val vinga doncs
continuem en aquest cas anem a veure com canvia el problema si canviem el
nostre sistema de referència aquí ens parla d'un tren que es mou a
velocitat constant i un observador que està a sobre del tren llança una
pilota verticalment i ens demana que fem el problema des de dos punts de
vista des del punt de vista d'una persona que està amb el tren junt amb la
persona o la persona que llença la pilota que està a dalt del tren o des
del punt de vista d'una persona que està fora del tren és a dir que està
parada i em demanen els tipus de moviment el temps que està la pilota en
l'aire respecte als dos observadors el mòdul de la velocitat inicial la
distància horitzontal que ha avançat la pilota la velocitat mínima les
acceleracions i l'altura màxima de la pilota per cada observador per
l'observador del tren l'observador del tren vol dir que si ell està a
sobre del tren i llança una pilota cap amunt doncs per ell la velocitat
horitzontal de la pilota serà la mateixa que la seva per tant
horitzontalment no s'acabarà movent per tant simplement en comptes de
tenir un moviment parabòlic o un tir parabòlic tindrem un moviment lineal
perquè ell es mou exactament diguem-ne amb la mateixa velocitat
horitzontal que la pilota per tant no tindrem component x i només tindrem
component i i puc utilitzar les fórmules de cinemàtica en aquest cas la
velocitat inicial seria 15 i l'acceleració seria menys g per què hi posem
menys g perquè representa que la velocitat inicial la considero positiva
per tant consideré positiu cap amunt i anirà cap avant a partir d'aquí
doncs puc acabar trobant el temps recordeu que aquí la posició en l'eix
de les x no s'ha mogut perquè em moc exactament de la mateixa manera que
es mou la pilota i l'altura màxima la trobaré quan la velocitat sigui
mínima recordeu doncs que en aquest cas podríem dir que la velocitat
final seria la velocitat inicial menys gt menys continuo dient el tema del
temps per tant hi posaré que la velocitat final ha de ser igual a 0 i a
partir d'aquí trobaré el temps que em donarà v0 entre g és més o menys
el que hem fet en aquesta part d'aquí què passa si en comptes d'estar
fora del tren a dins del tren estem fora del tren doncs si estem fora del
tren què passa que en aquest moviment en l'eix de les i ja haig de sumar
un moviment en l'eix de les x per tant en comptes de fer un moviment lineal
estarem fent un moviment un tir parabòlic en aquest cas tinc l'equació de
la paràbola perquè representa que el temps amb la posició en l'eix de
les x doncs també està relacionat el podria posar aquí i al final podria
trobar idx i fixeu-vos que em queda una equació quadràtica cap a bany
perquè l'acceleració és negativa per tant obtinc una paràbola a partir
d'aquesta paràbola fixeu-vos que els temps són exactament iguals perquè
el temps pels dos observadors és el mateix el que passa que la distància
recorreguda en l'eix de les x doncs en aquest cas doncs canvia molt
respecte a l'altre perquè aquí no es movia en canvi aquí sí que se
m'acaba un moment l'altura màxima continua sent la mateixa l'únic que em
canvia és la distància recorreguda en l'eix de les x val i en relació a
cinemàtica doncs ens poden acabar complicant molt tots els tots els
problemes val tot i que pugui semblar relativament senzill i simple doncs
es poden acabar complicant enormement aquest és aquest és un exemple on a
partir de molt poques dades hem d'acabar resolent un problema que és
algebraicament relativament complex i bueno que ens pot portar una mica de
mal de cap diu una pilota des d'una alçada H1 per tant tinc aquesta pilota
d'aquí i al mateix temps es llança des de terra verticalment una altra
pilota val representa que si es deixa caure la velocitat inicial d'aquesta
d'aquí a 0 en canvi aquesta si l'haig de llançar cap amunt doncs ha de
tenir una certa velocitat inicial diu quan es creuen a una alçada H2 o
sigui es creuen aquí vol dir que aquesta ha caigut fins aquí i aquesta
doncs ha pujat fins aquí la pilota que cau té el doble de velocitat de la
que puja vale llavors aquesta que cau li dic que es mou a velocitat ve
baixa i la que puja si té el doble doncs aquesta d'aquí serà ve baixa
mitjons diu quina és la relació H1 entre H2 val fixeu-vos que aquí ja
hem plantejat el problema i ho hem masterat tot molt val llavors les
nostres variables quines són H1 que és l'alçada des d'on deixa anar la
pilota de dalt amb velocitat inicial d'aquesta no en tinc i d'aquesta tinc
que és VZ per tant anem a veure els diferents tipus de moviment que
segueixen cada una de les dues pilotes la primera velocitat és
acceleració per temps com que la velocitat va cap avall i l'acceleració
va cap avall fixeu-vos que puc considerar el mateix signe de la velocitat i
l'acceleració i això és important que tinguem en compte aquesta seria la
primera pilota i la segona doncs quan arriba en aquesta alçada d'aquí que
tinc que la seva velocitat que és V mitjos recordeu que havíem parlat
d'això que és la velocitat inicial que hem quedat aquí de V0 menys
acceleració per temps per què menys per què en aquest és més i aquí
és menys doncs perquè fixeu-vos que la velocitat que porta la pilota quan
puja és positiva i si considero que la velocitat quan puja és positiva
doncs vol dir que l'acceleració ha de ser negativa i això no entra en
contradicció cada cos ha de tenir el seu conveni de signes si jo tinc tres
cossos i vull fer servir tres convenis de signes diferents puc però cada
cos ha de tenir el seu conveni de signes el que no puc fer és dintre una
mateixa equació canviar el conveni de signes però en aquesta està clar
que la velocitat va cap avall l'acceleració va cap avall per tant poden
tenir el mateix signe si ho posarem negatiu ho posarem menys menys i
després multiplicarem tot per menys un i ens dóna més i en el cas de la
que puja tenim velocitat considero positiva cap amunt per tant acceleració
negativa cap avall molt bé continuem aquesta B la poso aquí dintre i em
quedarà Gt mitjus és igual a V0 menys Gt aquest Gt passa a l'altra banda
i em quedarà doncs un sumat aquesta velocitat representa que l'he posada
aquí i l'he posada a l'altra banda i em quedarà que 3B mitjus és V0 que
seria aquesta primera relació d'aquí que em dóna la velocitat entre la
relació entre la velocitat final del cos que baixa i el cos que puja en
aquest cas la U perfecte tenim la primera relació però em demanava la
relació que hi havia entre H1 i H2 i quina altra equació puc utilitzar
clar puc utilitzar el tema de la distància que tenim aquí llavors què
diré d'aquesta partícula que cau diré que la velocitat final al quadrat
és la velocitat inicial al quadrat més 2ax que seria la distància
recorreguda la fórmula de cinemàtica és que la velocitat final al
quadrat és la velocitat inicial al quadrat més 2ax la velocitat final la
velocitat inicial l'acceleració i la distància recorreguda aquesta és la
fórmula de cinemàtica que estem utilitzant aquí i hem dit que la
velocitat final al quadrat del cos que cau és la velocitat inicial al
quadrat però m'havíem quedat que el deixàvem caure per tant aquesta
d'aquí me la puc carregar és a dir a més 2a en aquest cas seria 2g i la
distància recorreguda quina és la distància recorreguda és aquesta
d'aquí que en aquest cas seria h1-h2 perfecte això seria per al cos que
baixa i per al cos que puja doncs puc fer exactament el mateix velocitat
final al quadrat que en aquest cas és v mitjos és igual a la velocitat
inicial al quadrat que en aquest cas no me la puc carregar perquè és v0
al quadrat i li poso menys per què menys perquè he considerat que cap
amunt era positiva i en canvi cap a baix doncs en aquest cas seria negatiu
menys 2g h2 per què perquè només arriba fins a h2 no arriba fins a h1
val tinc aquestes dues equacions a partir d'aquí les puc unir i puc
incorporar aquest element d'aquí que havíem vist i al final acabo trobant
doncs la relació que hi ha entre h1 i h2 fixeu-vos que torna a ser un
problema de cinemàtica però en aquest cas el càlcul és més complex diu
si les dues pilotes estan caient i la velocitat de la que cau des d'acu és
4 vegades superior a l'altra a quina alçada es creuen val per tant
fixeu-vos que aquí què m'estan dient jo llenço la pilota que és aquesta
d'aquí aquesta arriba a la seva màxima alçada torna a caure i després
aquesta l'enganxa val per tant estan caient totes dues vol dir que aquesta
d'aquí ja ha arribat a dalt i ara està caient cap a baix en què ens
canvia el nostre problema ens canvia amb el tema dels signes eh que en
aquest cas aquesta d'aquí cau ab baixa i aquesta d'aquí cau ab baixa
quarts i el signe de totes dues acaba sent exactament el mateix val
velocitat és l'acceleració per temps per la que cau i velocitat quarts
és g i en aquest cas fixeu-vos que en aquí què tindríem gt i en aquí
hi posaríem menys b0 més gt per què perquè el conveni de signes que hem
fet servir aquí és diferent b0 quarts b quarts que hem considerat que cap
aquí era positiu per tant la velocitat inicial com ha de ser ha de ser
negativa fixeu-vos g per b0 dividit entre g em dóna menys b0 per tant vol
dir que cap a dalt estem considerant negatiu jo en cada problema que faci
puc considerar el meu conveni de signes i dins el mateix problema també el
puc canviar el conveni de signes però dins una mateixa equació no puc
canviar el conveni de signes val aquí puc acabar fent una mica d'àlgebra
i torno a trobar una relació entre la velocitat inicial i la velocitat
final que és exactament el mateix que he fet en aquest cas que teníem
aquí anteriorment val i un cop he tingut la relació entre aquests dos puc
tornar a plantejar la mateixa equació que havia plantejat abans velocitat
final més 2a en aquest cas distància o recorregut fixeu-vos aquí seria
la velocitat final al quadrat i aquesta d'aquí seria la velocitat inicial
al quadrat i aquí el 2ax que aquí tindria doncs el tema de la relació
aquesta que tindria val puc tornar a aplicar la mateixa fórmula un altre
cop velocitat final 2a incrementa x fixeu-vos aquesta és la que cau i
aquesta d'aquí seria la que puja i a partir d'aquí puc tornar a trobar la
relació que hi ha entre aquestes alçades en aquest cas doncs em dona un
terç vinga i anem a per l'últim que és una mica un problema d'idea
feliç llavors anem a veure el que ens diuen diu dos cossos es connecten
mitjançant una barra rígida de longitud L vol dir que aquí tinc el cos A
i aquí tinc el cos B i es connecten mitjançant aquesta barra que és
rígida per tant vol dir que la distància entre aquests dos sempre és la
mateixa la distància en línia recta diu els cossos A i B poden lliscar
només en la direcció dels eixos X i Y respectivament vol dir que aquest
cos A només es pot moure cap aquí i aquest cos B només es pot moure cap
aquí no poden sortir de les línies per tant tot això es mou de manera
conjunta diu si A es mou cap a l'esquerra amb velocitat B baixa o sigui
aquest d'aquí això que ens diuen aquí aquest es mou cap allà amb
velocitat B baixa diu determinar la velocitat del cos B quanteta sigui 60
graus aquest angle d'aquí 60 graus fixeu-vos que la velocitat de B tot i
que A es mogui a velocitat constant no té per què ser constant perquè
aquí tindríem que aquest element ho limita fixem-nos doncs el que sí que
se m'acabarà complint sempre és el teorema de Pitágoras és a dir que
aquesta distància i aquesta distància al quadrat sumades doncs m'han de
donar aquesta distància d'aquí al quadrat per tant el que se m'acabarà
complint és que X quadrat més I quadrat ha de ser igual a L quadrat amb
això estem d'acord eh en qualsevol instant de temps doncs fixeu-vos per
tal de trobar la velocitat I que és aquesta velocitat perquè els edics ja
la sé em diuen que és V doncs què faré ho derivaré tot respecte al
temps vaig a derivar respecte al temps tota l'equació val la derivada de X
quadrat és 2X derivada de X respecte T la derivada de I quadrat és 2I
derivada de I respecte T i la derivada de L quadrat és 0 aquests dos dos
se'm van esmordar i què ens queda la derivada de X respecte T és VX i la
derivada de I respecte T és VI per tant què em queda X VX més I VI ha de
ser igual a 0 i el que a mi m'interessava VI què és igual és igual A
menys X VX partit entre I fixeu-vos això què em diu em diu que segons
quina sigui la relació entre X i I tindré que aquesta velocitat doncs
serà diferent VX és constant però VI fixeu-vos que no és constant
llavors la dada interessant és aquesta que em deien teta igual a 60 graus
teta I entre X la tangent de teta és I entre X eh el que té l'oposat
partit per aquest puntiu per tant això em quedaria que això seria igual
menys VX partit per tangent de teta sí I entre X per tant això em
quedarà que és menys VX en aquest cas si aplico els 60 graus aquí ho
tinc en petitet la tangent de 60 graus és arreu de 3 menys VX dividit
entre arreu de 3 per tant la velocitat d'I en aquest instant de temps
fixeu-vos que si l'angle en comptes de ser 60 graus fos 30 graus o 45 graus
en aquest cas la tangent seria 1 i en cas de 45 graus podem dir que la
velocitat d'I seria la mateixa que la velocitat d'X però en els altres
casos doncs no té per què ser així sinó que va canviant en funció de
l'angle que tenim bueno avui ho vam explicar així una mica rapidet però
jo crec que la part d'aquesta cinemàtica és conceptualment senzilla el
que passa que algebraicament ens comencen a sortir derivades integrals i
aquests càlculs que ens demanen que tinguem una mica frescos per poder per
tal de poder resoldre tots els problemes vaig a deixar de gravar a veure