Bien, buenas tardes. Vamos a realizar ahora la segunda grabación. Una vez
que hemos visto ya cinemática, vamos a hablar de las leyes de la
dinámica. Es decir, vamos a estudiar ahora las causas que producen el
movimiento. Hasta ahora habíamos visto los tipos de movimiento sin
considerar las causas. Ahora nos vamos a basar en las leyes de la
dinámica. Y lo primero, hablemos un poquito de lo que entendemos por la
inercia. ¿Qué es la inercia de un cuerpo? Pues es la tendencia que
manifiesta una partícula, un móvil, en continuar en su estado inicial. Es
decir, en reposo o en movimiento. ¿De qué depende la inercia de un
cuerpo? Pues depende de su masa. A mayor masa, mayor inercia. Si nosotros
queremos parar un camión, la inercia que lleva un camión es mucho mayor
que la que puede aportar una bicicleta, porque su masa es
significativamente mayor. La inercia de un objeto, de un cuerpo, de una
partícula, está relacionada con su masa. Que ya sabéis que en el sistema
internacional se espesa en kilogramos. Vamos a introducir una magnitud
física importante, significativa, como es la cantidad de movimiento o
momento lineal de una partícula. Es una magnitud vectorial que obedece al
producto de la masa, que es escalar por el vectorial. Es el vector
velocidad. ¿De acuerdo? Las unidades de esta magnitud física, de la
cantidad de movimiento o momento lineal, es el producto de las unidades de
la masa por la velocidad. Kilos por metro partido por segundo. No tienen un
nombre especial. Es kilos por metro partido por segundo en el sistema
internacional. Claro, que una partícula tenga mayor o menor cantidad de
movimiento nos va a dar una idea también de la cantidad de movimiento. Y
también de que va a necesitar mayor o menor fuerza para modificar su
estado de movimiento. Vamos a verlo. Bueno, la primera ley de Newton, la
ley de inercia, que nos dice que cuando un cuerpo está sujeto a una
resultante de fuerzas nula o cuando no actúa ninguna fuerza, este cuerpo
permanece en reposo o dispone de un movimiento retilíneo, es decir, de
entrada tenemos que decir que un cuerpo siempre está sujeto a fuerzas.
Nosotros vivimos en un campo gravitatorio y no podemos hablar que sobre un
objeto no actúe ninguna fuerza. Entonces diremos que cuando un objeto, la
resultante de todas las fuerzas que actúan es nula, ese cuerpo continuará
en su estado de reposo o MRU. Movimiento retilíneo uniforme. En ningún
caso diremos que en un movimiento retilíneo uniforme, un movimiento
circular uniforme, donde ya haya aceleración, una aceleración normal o
centrípeta, acordaos que ya lo hemos comentado, ahí no podemos decir que
no actúe ninguna fuerza. ¿Vale? De acuerdo. La cantidad de movimiento o
movimiento lineal de un cuerpo aislado, o lo que es lo mismo, la resultante
de las fuerzas que actúan sobre él es nula, es constante. Bueno, hablemos
un poco de sistemas de movimiento. Los sistemas de referencia. Los sistemas
de referencia inerciales y no inerciales. ¿Qué es un sistema de
referencia inercial? Aquel que se encuentra en reposo o movimiento
retilíneo uniforme. El caso A. Aquí tenemos los dos sistemas de
referencia, el de la izquierda y el central. Uno está en reposo y otro se
desplaza a velocidad constante. Ambos son sistemas de referencias
inerciales. Y en estos sistemas de referencias inerciales son aplicables
las leyes de Newton, tal como las estamos explicando y vamos a seguir
explicando. Sin embargo, en un sistema de referencia no inercial, como es
por ejemplo el caso de la derecha, que tenemos un sistema de coordenadas
que está dando vueltas a una velocidad angular omega, entonces en un
sistema de referencia no inercial no son válidas así como las vamos a
expresar las leyes de Newton. ¿De acuerdo? Los sistemas de referencia no
inerciales son aquellos que poseen aceleración, ya sea aceleración normal
centípeta o aceleración tangencial. Entonces, siempre nosotros vamos a
estar trabajando con sistemas de referencia inerciales, es decir, aquellos
que carecen de aceleración. Bien. Cuando sobre un cuerpo se ejerce una
fuerza, una interacción, se va a producir una modificación o un cambio
del momento lineal o cantidad de movimiento de la partícula. La rapidez
con que varía esta cantidad de movimiento o momento lineal, es decir, la
derivada o el incremento de P partido incremento de T, nos da la medida de
la fuerza que actúa sobre la partícula. Entonces nosotros podemos
expresar la segunda ley de Newton, F, siendo F la fuerza que actúa sobre
una partícula, como el cociente de incremento de P partido incremento de
T, o la derivada de P con aspecto de T del tiempo si nosotros estamos
considerando una variación infinidesimal. Esta sería la ecuación
fundamental de la dinámica de la traslación, que también le llamamos
segunda ley de Newton. F vector igual a incremento de P partido incremento
de T o derivada de P con aspecto de T. En el sistema internacional la
fuerza se expresa en Newton. ¿Y qué es un Newton? Lo veremos después.
¿A qué equivale un Newton? Fijaos, si la fuerza resultante que actúa
sobre una partícula es cero, nosotros ahí podemos indicar que el
incremento o la derivada es cero, o lo que es lo mismo que incremento de P
es cero, o lo que es lo mismo que la cantidad de movimiento o momento
lineal de la partícula es constante. Y de manera que estamos como
demostrando implícitamente la ley de inercia, la primera ley de Newton.
Porque estamos diciendo que si la resultante de las fuerzas es nulo, la
cantidad de movimiento de la partícula permanece constante, constante en
módulo, dirección y sentido. ¿De acuerdo? Bien, si nosotros en la
expresión que hemos visto anteriormente, la derivada de P, que es la
derivada de la masa por la velocidad, hacemos la derivada de este producto,
recordemos, la derivada de un producto es la derivada del primero, por el
segundo, más la derivada, más el primero por la derivada del segundo.
Nosotros si consideramos sistemas de masa constante, la derivada de m con
respecto de t es cero. Y por lo tanto me queda que la fuerza resultante es
m por la derivada temporal del vector velocidad, que no es más que el
vector aceleración. Entonces, otra forma de expresar la segunda ley de
Newton, es f igual a m por a. Y nos permite expresar esta ley de Newton, en
función de la masa, del parámetro inercial de mi cuerpo. ¿De acuerdo? Y
nos daremos cuenta que a mayor masa, a igual fuerza aplicada, la
aceleración que adquiere un objeto es menor. Cuanto mayor es la masa de un
objeto, a igualdad de fuerza aplicada, la aceleración es menor. Las
unidades, hemos comentado anteriormente que le íbamos a decir ahora, en el
sistema internacional son Newton. ¿Y qué es un Newton? Pues es la fuerza
que hay que aplicar a un cuerpo de un kilógramo para que adquiera una
aceleración de un metro por segundo al cuadrado. Eso es un Newton. Tercera
ley de Newton. La tercera ley de Newton también se denomina ley de acción
y de reacción. ¿Vale? ¿Y cómo la podemos enunciar? Pues cuando un
cuerpo ejerce una fuerza de acción sobre otro, éste ejerce sobre el
primero una fuerza de reacción de igual módulo y dirección pero de
sentido contrario. Vectorialmente, aquí lo tenéis escrito, F1-2 vector es
igual a menos F2-1 vector. F1-2 vector es igual a menos F2-1 vector. ¿De
acuerdo? Aquí lo tenemos. ¿Vale? A ver, ejemplo de fuerza de acción y
reacción. La Tierra nos ejerce una fuerza de acción que es el peso.
Nosotros atraemos a la Tierra con la misma fuerza. ¿Vale? Mismo módulo,
misma dirección pero sentido contrario. Son dos fuerzas de acción y
reacción. Lo que ocurre es que el peso es una fuerza significativa para
nosotros pero la fuerza que nosotros ejercemos sobre la Tierra debido a su
masa tan grande del orden de 10 elevado a 24 kilos no produce ningún
efecto sobre la Tierra. ¿De acuerdo, no? Bien, si a partir de la tercera
ley de Newton ¿no? aquí tenemos F1-2 igual a menos F2-1 nosotros
sustituimos estas expresiones por la variación de la cantidad de
movimiento que expresaría la primera y la segunda partícula con un signo
menos si pasamos todo a un mismo miembro a la izquierda ¿de qué nos damos
cuenta? Que la variación temporal de la cantidad de movimiento de esos dos
objetos que interaccionan es cero. Esto es lo mismo que decir que la
cantidad de movimiento total de mi sistema de partículas es constante. Por
lo tanto podemos afirmar que en ausencia de fuerzas externas porque las
fuerzas internas siempre existen y siempre interactúan siempre las fuerzas
de interacción siempre existen pero cuando el resultante de las fuerzas
externas es nula no hay ninguna fuerza más adicional que las fuerzas
internas entonces el momento lineal o cantidad de movimiento del sistema
permanece invariable en el tiempo permanece constante. Es decir si la
resultante de las fuerzas externas es cero la cantidad de movimiento o
momento lineal del sistema permanece constante y esto es lo que se cumple
en los determinados procesos que se llaman colisiones o choques igualmente
en el caso de explosiones tanto en el caso de colisiones como de
explosiones se cumple que la resultante de las fuerzas externas es cero y
que la cantidad de movimiento del sistema de partículas permanece
constante si tenemos dos partículas lo podemos representar en forma
vectorial la conservación de la cantidad de movimiento cantidad de
movimiento de uno a la cantidad de movimiento de dos es igual a la suma de
las cantidades de movimiento después del choque después de la
interacción bueno bien ahora bien qué pasa si actúa una fuerza externa
está claro que si actúa una fuerza externa sobre una partícula va a
haber una variación de la cantidad de movimiento entonces esa variación
de la cantidad de movimiento va a depender del tiempo que actúa o que se
ejerce esa fuerza del tiempo entonces definimos una nueva magnitud física
que es vectorial que se define como el producto entre la fuerza aplicada y
el intervalo de tiempo que se aplica esa fuerza el impulso mecánico el
impulso mecánico f por incremento de t fijaos si nosotros sustituimos y
aquí está ya resaltado en pantalla f por incremento de p partido de
incremento de t podemos simplificar los incrementos de tiempo y me queda
simplemente ya me queda que el impulso mecánico es igual a la variación
de la cantidad de movimiento ajá es decir el producto de la fuerza
aplicada por el tiempo es igual a la variación de la cantidad de
movimiento a la variación de la cantidad de movimiento y la pregunta es un
newton por segundo equivale a las unidades de la cantidad de movimiento un
kilo por metro partido por segundo pues aquí lo tenemos fijaos yo
sustituyo que es un newton un newton es masa por aceleración es un kilo
por un metro partido por segundo al cuadrado y si a esto lo multiplicamos
por segundos que me queda pues este segundo con este cuadrado se me va y me
queda un kilo por metro partido por segundo que son las unidades de la
cantidad de movimiento es decir es una ecuación homogénea todas las
ecuaciones físicas tienen que ser homogéneas las unidades de lo que
tenemos a la izquierda ha de ser igual a las unidades de lo que tenemos a
la derecha vale de acuerdo por lo tanto un newton por segundo equivale a un
kilo por metro partido por segundo vamos a hablar ahora de fuerza de
rozamiento bueno distintas investigaciones aquí tenemos como tons y
coulomb no estudiaron la dependencia de la fuerza de rozamiento con
distintas variables las experiencias los hechos experimentales permitieron
llegar a las siguientes conclusiones que la fuerza de rozamiento entre dos
cuerpos es proporcional a la fuerza normal del cuerpo no a la fuerza normal
que está sujeto un cuerpo que ejerce un cuerpo sobre el otro es decir la
fuerza de rozamiento de un cuerpo que se desliza sobre una superficie es
proporcional a la normal a la fuerza normal que ejerce la superficie sobre
el cuerpo el rozamiento esa fuerza de rozamiento no depende del área de
contacto no depende del área de contacto y que es ese rozamiento también
es distinto según la naturaleza de las superficies de contacto es distinto
según la naturaleza de las superficies de contacto de acuerdo también es
independiente de la velocidad relativa no en que se mueva la superficie y
ojo va a depender de la rugosidad y esa rugosidad va determinada por un
coeficiente que se llama coeficiente de rozamiento un coeficiente de
rozamiento que habitualmente está comprendido entre 0 y 1 aunque puede
tener valores superiores a 1 y que nos va a medir la rugosidad entre las
dos superficies de contacto entre la que está fija y la que se desliza
encima si es que hay una fija y la otra se desliza en algún caso singular
pueden moverse las dos superficies bien entonces ¿cómo es esta fuerza de
rozamiento? esta fuerza de rozamiento es una fuerza que siempre se opone al
movimiento por ejemplo aquí a la izquierda este dibujo si tenemos un
cuerpo que se desliza hacia la derecha a una velocidad determinada su
fuerza de rozamiento irá hacia la izquierda la fuerza de rozamiento va a
ir hacia la izquierda va a tener la misma dirección que la velocidad
factorialmente fr menos mu n por un vector unitario en la misma dirección
y sentido que la velocidad ¿y qué pasa si estamos en un plano inquinado?
en un plano inquinado hay algo que es muy importante si queremos estudiar
un cuerpo en un plano inquinado tenemos que descomponer el peso siempre hay
que descomponer el peso en dos fuerzas perpendiculares entre sí una fuerza
paralela al plano inquinado de los ángulos que tenemos aquí por ejemplo
un ángulo alfa que tenemos aquí más el ángulo alfa que tenéis aquí
dibujado entre pp que le he llamado pp y el peso son los mismos ángulos
¿por qué? porque estos dos lados de estos dos triángulos no son iguales
entre sí por eso sus lados forman el mismo ángulo bien si nosotros
hacemos el seno y el coseno aunque sea reiterativo el seno de alfa sería
px partido por el peso y el coseno de alfa es pi partido por el peso esta
descomposición siempre es igual da igual que el cuerpo suba o baje y hay
que saberlo ¿eh? siempre que tomemos el ángulo alfa que por ejemplo en el
equinado alfa es lo que tenemos aquí dibujado y siempre px va a ser igual
a mg seno de alfa y pi siempre va a ser igual a mg coseno de alfa aquí
tenéis algunos coeficientes de rozamiento ¿no? de distintas superficies
fijaos que se dan siempre los datos de las dos superficies ahora bien
tenemos que pensar y tenemos que hablar de dos tipos de coeficiente de
rozamiento un coeficiente de rozamiento estático y un coeficiente de
rozamiento dinámico ¿por qué? porque no es lo mismo la fuerza de
interacción que tenemos en dos cuerpos que están en contacto en reposo
que cuando ya están en movimiento pensad que dos cuerpos que están en
reposo hay unas fuerzas de interacción ¿no? de atracción entre ambos
cuerpos ¿vale? y que cuando está en movimiento esas fuerzas se van
rompiendo y formando porque hay un desplazamiento del cuerpo entonces en
general siempre afirmaremos que el coeficiente de rozamiento estático de
un cuerpo sobre una superficie determinada es mayor o igual que el
dinámico o cinético mayor o igual que el dinámico o cinético digo mayor
o igual porque no siempre será mayor en algunos casos será igual porque
es tan pequeño que no hay diferencias significativas como puede ser aquí
el teflón sobre el teflón lo veis aquí en el dibujo después veremos
otra tabla ¿eh? entonces pensad que siempre el coeficiente de rozamiento
estático va a ser mayor o igual que el dinámico por eso la mayor fuerza
de rozamiento la establece la fuerza de rozamiento estática la fuerza de
rozamiento estática ¿si? bien aquí tenéis una imagen ¿no? bueno decir
que la fuerza normal o de fricción sucede en la interacción entre las
moléculas ¿no? de los puntos límites de la superficie que están en
contacto aquí tenéis otra tabla de coeficientes de rozamiento ¿no?
estático y dinámico muy parecido a la anterior un poquito más completa
entonces vamos a pensar un poco esta situación que tenéis aquí en esta
imagen fijaos tenemos un cuerpo en reposo sobre una superficie horizontal
¿qué fuerzas actúan? tenemos el peso el peso ¿por qué el peso? porque
estamos en la tierra y la tierra nos atrae y tenemos el peso que actúa
sobre el cuerpo evidentemente que este peso se va a transmitir sobre la
superficie de contacto pero ahora sólo estoy dibujando las fuerzas que
actúan sobre el cuerpo ¿vale? y después ¿qué tenemos? bueno pues este
cuerpo ejerce una fuerza de acción sobre la superficie de contacto y la
superficie de contacto por la tercera ley de Newton ejerce una fuerza de
reacción de igual módulo y dirección pero de sentido bueno de sentido
contrario a la fuerza de acción ojo que yo no estoy diciendo que la fuerza
de acción sea el peso cuidado yo sólo estoy diciendo que la fuerza de
reacción que ejerce la superficie de contacto ¿eh? es de igual módulo y
dirección y de sentido contrario a la de acción que ejerce el cuerpo
sobre la mesa ¿vale? que en algunos casos será el peso y otras veces no
será el peso cuidado ¿vale? a esa fuerza de reacción le llamo la normal
tenemos dos fuerzas que actúan sobre este cuerpo y evidentemente que en
este caso como no hay más fuerzas la normal coincide con el peso vale pero
¿y qué vale la fuerza de rozamiento de entrada? cero ¿por qué? oiga
pues porque yo no estoy ejerciendo ninguna fuerza hacia la derecha para que
se desplace si yo no ejerzo ninguna fuerza hacia la derecha no me puede
aparecer ninguna fuerza que se oponga a ese movimiento cuando yo empiezo a
ejercer esta fuerza hacia la derecha fijaos que tiro del cordel con una
tensión T ya que estoy ejerciendo una fuerza con una cuerda ¿no? entonces
a medida que yo voy aumentando esta fuerza esta tensión va aumentando la
fuerza de rozamiento va aumentando la fuerza de rozamiento ¿de acuerdo?
¿hasta cuándo? hasta que llega un valor máximo ¿cuál es el valor
máximo de la fuerza de rozamiento? mu estático por la normal mu estático
por la normal mu estático por la normal ¿de acuerdo? mu estático por la
normal mu estático entonces este sería el pico que veis aquí ¿y qué
pasa cuando aplico ya consigo mover el objeto? que la fuerza de rozamiento
disminuye veis que baja ¿no? y que después más o menos tendría que ser
constante aquí aparecen unas líneas quebradas porque estoy empujando con
una cuerda ¿no? si tuviera un dinamómetro pues evidentemente sería muy
difícil mantener una fuerza constante ¿no? para que se desplace esta este
objeto a velocidad constante sin aceleración pero en teoría sería esta
fuerza de rozamiento una vez que está en movimiento sería mu dinámico
por la normal mu dinámico por la normal mu dinámico por la normal la
fuerza de rozamiento es mu dinámico por la normal mu dinámico por la
normal ¿de acuerdo? eso es importante tenerlo presente mu dinámico por la
normal creo que esto es importante que lo entendamos que la fuerza de
rozamiento va apareciendo a medida que yo ejerzo una fuerza ¿eh? si no si
no aplico ninguna fuerza de entrada no va a haber no va a haber esa fuerza
de rozamiento estática también nos conviene hablar ahora un poquito de la
ley de Huth de la fuerza elástica que está sujeta a un resorte siempre
que estemos dentro del límite de elasticidad podemos decir que la fuerza
de recuperación de un resorte que se opone siempre a la separación de la
posición de equilibrio a la distancia de la posición siempre se opone a
la distancia a la posición de equilibrio es proporcional a esa distancia a
mayor separación de la posición de equilibrio mayor fuerza de
recuperación ejerce el resorte cuanto mayor quiera separar separar un
resorte de la posición de equilibrio tendría que ejercer mayor fuerza si
estamos en el límite de elasticidad esta dependencia es lineal y f es
igual a menos k por incremento de x al desplazamiento siendo el incremento
de x la distancia a la posición de equilibrio y k es lo que se llama la
constante recuperadora elástica de un resorte que viene dado en las
unidades de la fuerza partido por la distancia newton partido por metro
bien vamos a ver ahora cómo se dibujan las fuerzas no vamos a ver en
cuerpos que están en un plano equilibrado si va a subir si va a bajar
etcétera bien vamos a identificar las fuerzas que actúan sobre este
cuerpo fijémonos en el dibujo de arriba un cuerpo que tenemos el peso que
es vertical una fuerza de rozamiento que iría en contra del posible
movimiento porque si el cuerpo se abandona lo que va a hacer el cuerpo es
caer o no se mueve o cae eso es así ¿no? y tenemos la normal ¿qué es la
normal? la fuerza de reacción que ejerce la superficie de contacto sobre
el cuerpo la fuerza de reacción que ejerce la superficie de contacto sobre
el cuerpo siempre como os he dicho antes tenemos que descomponer el peso en
dos fuerzas perpendiculares entre sí nosotros dibujamos unos ejes de
coordenadas un eje de coordenadas paralelo al plano equilibrado al plano
equilibrado bueno más o menos ¿no? y a partir de aquí nosotros obtenemos
las componentes del peso px mg seno de alfa y pi mg coseno de alfa como
hemos dicho antes y para estudiar la aceleración cuando terminamos la
aceleración lo aplicamos es la segunda ley de Newton fuerza resultante
igual a masa por aceleración pero ¿qué es la fuerza resultante? las
fuerzas que van a favor del movimiento menos las fuerzas que van en contra
del movimiento igual a masa por aceleración lo digo porque el movimiento
es a través del plano equilibrado ¿y qué pasa sobre el eje i? sobre el
eje i hay una situación de equilibrio porque el cuerpo ni se hunde ni se
levanta entonces n igual a ppi n-ppi igual a cero como queráis ¿qué pasa
por ejemplo en el caso de tener dos cuerpos que están en contacto y se
aplica una fuerza f? fijaos yo aplico una fuerza f sobre la masa m mayús
sobre la masa m perdón al estar en contacto los dos cuerpos yo voy a
transmitir una fuerza f' sobre la masa m' y por la tercera ley de Newton
sobre el cuerpo de masa m tendré o se ejercerá una fuerza de igual
módulo y dirección y del sentido contrario que será igual a menos f' es
decir sobre el cuerpo de masa m actúan dos fuerzas f y menos f' y sobre el
cuerpo de la derecha actúa una única fuerza que es f' ¿qué vamos a
hacer? pues vamos a mmm aplicar la segunda ley de Newton ¿no? la segunda
ley de Newton a cada cuerpo al cuerpo de masa m pues será f-f' igual a m
por a al cuerpo de masa m' pues será f' igual a m' por a y tenemos un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas un sistema de dos ecuaciones
con dos incógnitas ¿qué hacemos ahora? pues sumamos las dos ecuaciones y
de aquí podemos obtener la aceleración por ejemplo ¿vale? y esta fuerza
f' la podemos calcular pues una vez que tenga la aceleración y la fuerza
neta que actúa sobre cada objeto pues una es f' y otra es f-f' seguimos
vamos a ver aquí por ejemplo cuando un cuerpo se desplaza por un plano
horizontal y se aplica una fuerza f que forma un ángulo alfa pues aquí
otra vez vamos a descomponer siempre en primer lugar esta fuerza en dos
componentes perpendiculares entre sí una siempre en la dirección del
movimiento y otra perpendicular a la dirección del movimiento porque
pretendemos que este cuerpo se deslice por esta superficie horizontal por
esta superficie horizontal ¿de acuerdo? entonces descompongo f en fx y en
fi fx es la componente x y ojo aquí cuando hacemos esta descomposición
nos tenemos que dar cuenta que el coseno de alfa es cateto contiguo fx
partido por f y el seno de alfa es cateto opuesto perdonadme un momento que
me ha salido aquí esta raya seno de alfa que es fi partido por f daos
cuenta que es lo contrario a lo que habíamos visto antes porque ahora el
ángulo alfa es respecto a la horizontal y antes en el dibujo en un plano
inclinado el ángulo alfa estaba medido sobre el eje vertical el eje y no
sé si os fijaos bien en este detalle entonces fx es f coseno de alfa y fi
es f seno de alfa si yo quiero calcular la aceleración aplico f igual a mi
por a fuerzas a favor fx menos 0 porque no me habla nada de rozamiento y
porque la fuerza y porque el peso es perpendicular y sobre el eje y está
en reposo sobre el eje y es un sistema en equilibrio fi más n menos el
peso igual a 0 cuidado pues eh cuidado con este detalle con este detalle eh
fi más n que son las dos fuerzas que van hacia arriba menos el peso es
igual a 0 entonces la aceleración no sería fx partido por m ahora bien
miremos el dibujo de la derecha qué pasa si este sistema tiene rozamiento
pues tengo que dibujar una fuerza de rozamiento y esa fuerza de rozamiento
¿a qué es igual? es igual a mu por la normal pero la normal ¿qué vale
la normal? lo acabamos de ver ahora la normal es p menos fi mg menos f seno
de alfa mg menos f seno de alfa mg menos f seno de alfa ¿De acuerdo?
Entonces, cuando yo aplico la segunda ley de Newton tendré fuerzas a
favor, fx, fuerzas en contra, fr, igual a m por a. Muy bien. ¿Y qué vale
fr? Mu para la normal, mu por mg menos f sub i. Aquí lo tenéis. ¿De
acuerdo? Así se obtendría la aceleración. ¿Qué pasa si el cuerpo se
desliza por un plano inquinado y queremos calcular la aceleración,
queremos calcular el tiempo de recorrer un espacio, una velocidad final,
todo ello? Pues fijaos. Peso, ¿no? Un cuerpo que se deja caer
inicialmente, la velocidad inicial puede ser cero en este caso. ¿Vale? Y
tenemos px, mg seno de alfa, menos fr, que es mu por la normal, igual a m
por a. Pero aquí quiero que os deis cuenta que la normal es igual a p sub
i. Amg coseno de alfa. Por lo tanto, la fuerza de rozamiento es mu mg
coseno de alfa. ¿De acuerdo? Bien. Entonces aplicamos la segunda ley de
Newton y podemos obtener la aceleración y nos damos cuenta que la
aceleración es independiente de la masa. Solo depende del coeficiente de
rozamiento y del ángulo. Interesante este resultado. ¿Qué pasa si ahora
yo lanzo este cuerpo hacia arriba, con una velocidad inicial hacia arriba?
Pues lo que ocurre, al lanzar este cuerpo hacia arriba, es que la fuerza de
rozamiento ahora va a ir hacia abajo. Yo ahora no tengo ninguna fuerza a
favor del movimiento, porque px va hacia abajo y fr va hacia abajo. Es que
la descomposición del peso en un plano inquinado siempre es la misma. No
depende de que si el cuerpo suba o baje o esté en reposo. Siempre es la
misma. Px hacia abajo, pi perpendicular. Siempre. Entonces lanzamos un
objeto de abajo a arriba con una velocidad inicial. La velocidad inicial, v
sub cero. La velocidad, la fuerzas a favor, cero. Fuerzas en contra, px y
fr. ¿Y qué vale la normal? P sub pi, mg coseno de alfa. La normal es P
sub pi, mg coseno de alfa. ¿De acuerdo? Entonces, aquí, lógicamente, nos
tiene que salir una aceleración negativa, a igual a menos g paréntesis,
seno de alfa. Más mu coseno de alfa, negativa, ¿eh? Negativa, ¿vale? Y
aquí sí, cuando aplico las fórmulas de cinemática, tengo pero una
velocidad inicial. ¿Eh? Pues si no, no subirá el objeto. Y la
aceleración, el signo menos, lo puedo poner implícitamente en la fórmula
o pongo más y después ya sustituyo numéricamente con el valor negativo
que me dé. Lo que no podemos hacer es poner dos veces el signo menos,
¿eh? Cuidado ese detalle. Bien. Ahora queremos subir un cuerpo hacia
arriba. Aplicando una fuerza F. Y tenemos una fuerza de rozamiento, en
sentido contrario a ese movimiento. ¿En qué se diferencia el caso
anterior? Que ahora yo estoy aplicando una fuerza constante hacia arriba.
Una fuerza constante hacia arriba. ¿De acuerdo? Entonces, tendremos Px,
bueno, a favor F, en contra Px, mg seno de alfa y, en contra también, la
fuerza de rozamiento mu, por ejemplo. Px, mg seno de alfa. Igual a qué? A
ma. Luego, ¿cómo calculo la aceleración? Pues despejando. Aquí hay una
cuestión muy interesante. Las masas no se pueden simplificar, ¿eh? Porque
F no tiene m. No podemos tachar las masas, ¿no? Hombre, puedo tachar las
masas de los segundos y terceros sumando, pero manteniendo F partido por m,
en todo caso. Y las fórmulas de cinemática que aplicaríamos, pues
serían estas de esta cuestión. ¿Vale? Lo del signo menos aquí no
estaría correcto. Yo pondría aquí el más, porque dice que el cuerpo
sube debido a una fuerza. Si está subiendo, la aceleración será
positiva. Entonces, estos dos signos menos son erróneos. Se pone un más.
¿De acuerdo? Vamos a ver ya cuerpos enlazados. ¿No? Veamos aquí. Tenemos
estos dos cuerpos. Están uno en una mesa horizontal y el otro que está
colgando. Y hemos dibujado las fuerzas que actúan. Vuestro sentido común
os va a decir que este cuerpo puede hacer dos cosas. Este sistema puede
hacer dos cosas. O estar en reposo o desplazarse hacia la derecha. Pero en
ningún caso ir hacia la izquierda. Si no hay ninguna fuerza que tire hacia
la izquierda. Eso está claro, ¿eh? Por muy grande que sea la masa m2.
Porque hay gente que piensa... A veces uno se despiste y dice... Ah, no, m2
es más grande que m1. Pues va hacia la izquierda. No fastidies. No puede
ir nunca hacia la izquierda si no aplica una fuerza. ¿De acuerdo?
Entonces, o estará en reposo o se moverá hacia la derecha. Supongamos que
se mueve hacia la derecha. Y introducimos un concepto, una fuerza, que es
la tensión. ¿Qué es la tensión? La tensión se suele definir siempre...
La tensión de la cuerda. La tensión de la cuerda es una fuerza... ¿No?
Es una fuerza que va siempre dirigida del cuerpo hacia la cuerda. Del
cuerpo hacia la cuerda. Que en algunos casos irá a favor del movimiento...
Y en otros irá en contra del movimiento. Y en otros casos irá en contra
del movimiento. ¿De acuerdo? En contra del movimiento. Entonces,
apliquemos la segunda ley de Newton a cada cuerpo. Al cuerpo 1, como
desciende, m1g-t igual a m1a. El cuerpo 2, como se desplaza hacia la
derecha, sería... La tensión... Menos fr igual a m2a. Pero además
sabemos que sobre el eje y está en reposo... La normal es igual a m2g. La
normal es m2g. Entonces, claro, alguien podría decir... Oye, mire, ¿y
cuál es la condición para que este sistema se mueva hacia la derecha?
Pues que p1 sea mayor que la fuerza de rozamiento estática. Que la fuerza
de rozamiento estática. Mu estático por m2g. Aquí no me habla de mu
estático. Aquí ya me dice que este sistema se mueve. Pero lo veremos
después, esta condición, ¿eh? Lo veremos con algunos ejemplos. ¿De
acuerdo? Esta sería la condición para que empezase a moverse hacia la
derecha. ¿Sí? ¿Cómo se resuelven estos problemas, estos ejercicios?
Pues normalmente las dos ecuaciones de dinámica... ¿No? La 1 y la 2... Lo
que se hace siempre es sumarlas. Porque de esta manera se va la tensión,
se simplifica la tensión. Y fr será mu por m2g. ¿No? Entonces sumando y
despejando la aceleración tenéis la expresión que tenemos aquí. ¿Y la
tensión? Pues la tensión se puede obtener a partir de cualquiera de las
dos fórmulas. Una vez que tengo la aceleración no va a ser un problema.
Lo veremos después con ejemplos numéricos. ¿De acuerdo? Siempre la mejor
estrategia es sumar las ecuaciones porque así se simplifica la tensión.
Bueno... Y también dependerá del que nos pidan. Porque a lo mejor me
pueden pedir la tensión de entrada y me dan la aceleración. Me piden una
masa, un coeficiente de enlazamiento... Bien, aquí tenemos otra vez dos
cuerpos enlazados. Y estamos suponiendo que el sistema se desplaza hacia la
derecha. ¿Qué tiene que cumplirse para que esto se desplaza hacia la
derecha? Fijaos que otra vez tenemos un cuerpo en un plano inquinado. Y el
cuerpo en un plano inquinado el peso es vertical. Hay gente que dibuja el
peso inclinado en un plano inquinado. No. El peso siempre es vertical. Y
siempre hay que descomponerlo en dos fuerzas perpendiculares entre sí. Una
paralela al plano, que será Px, y otra perpendicular al plano, que será
Pi. Aquí lo tenéis dibujado en azul. Y, otra vez, la fuerza de rozamiento
siempre en contra del movimiento. Es una fuerza que siempre se opone al
movimiento. La fuerza de rozamiento siempre se opone al movimiento. Por lo
tanto, las fuerzas... Hemos dibujado las fuerzas que actúan... sobre cada
cuerpo. Las fuerzas que actúan... sobre cada cuerpo. Cuerpo 1, M1GT. La
tensión. La tensión, como antes, siempre es una fuerza que va del cuerpo
hacia la cuerda. Si el cuerpo 1 desciende, la segunda línea de N para el
cuerpo 1 sería M1G-T igual a M1A. Porque la tensión va en contra del
movimiento en el cuerpo 1. Es la fuerza que soporta la cuerda. Y el cuerpo
2. El cuerpo 2 sube. Fuerzas a favor, la tensión. En contra, Fr. Y P2X.
Igual a M2A. ¿No? A M2A. ¿Y qué vale Fr? Pues igual que antes. Mu para
la normal y la normal es P2I. M2G cos . Pues tenemos un sistema de dos
ecuaciones con dos incógnitas. De manera que si sumamos las dos
ecuaciones... y ponemos Fr en función de la normal, tenemos esta
expresión de la tensión... de la aceleración. Y la tensión la podemos
calcular tanto como el cuerpo 1 como por el cuerpo 2. Y ahora os adelanto
que la tensión calculada por ambas ecuaciones, ya sea del cuerpo 1 o del
cuerpo 2, nos tiene que salir lo mismo numéricamente. Si no sale lo mismo
numéricamente, es que nos hemos equivocado a hacer las cuentas. Fijaos.
Otro ejemplo de cuerpos enlazados. Lo que se llama, clásicamente, la
máquina de Awood. Que es una polea con dos cuerpos que están verticales.
Bien. Aquí tenemos muy sencillo ver por qué se movería este sistema
hacia la derecha. Porque P1 es mayor que P2. P1 es mayor que P2. ¿No? Si
P1 es mayor que P2, el sistema evolucionaría hacia la derecha. Hacia la
derecha. ¿No? M1G menos T igual a M1A. Y el cuerpo que sube, la tensión
menos M2G, igual a M2A. La tensión menos M2G, igual a M2A. Si sumamos las
dos ecuaciones, aparecerá una aceleración. Y a partir de aquí, una
tensión. ¿De acuerdo? Y por último tenemos aquí este péndulo cónico.
Hay algo más después del péndulo cónico. Bueno. Como esto lo tenemos
escrito... Mira. Para explicarlo, porque lo había escrito previamente, os
lo voy a borrar. Mirad. Vamos a ver el dibujo que tenemos aquí del
péndulo cónico y ahora lo voy a escribir otra vez todo. ¿Vale? Fijaos.
Esto es un péndulo que describe un cono. Un cono de ángulo alfa. Y vamos
a ver las fuerzas que actúan sobre este cono. Tenemos el peso vertical y
la tensión. Y la tensión, que es una fuerza que va dirigida siempre del
cuerpo hacia la cuerda. Eso sería la tensión. Y, como antes, como
siempre, vamos a descomponer la tensión en dos componentes perpendiculares
entre sí. Una paralela al eje Y y otra al eje X. Ahí estamos. Una
vertical y otra horizontal. De manera que los puntos de corte sobre cada
eje de coordenadas tendré Tx y Ti. Tendré Tx y Ti. ¿Vale? Tx y Ti.
Entonces, no sé ahora por qué... Si yo... A ver, este ángulo alfa que
veis aquí dibujado esto también es alfa. ¿No? Tanto el que está
dibujado en negrito como el que ahora dibuja en amarillo, ambos son alfa.
Seno de alfa, que será igual a Tx partido por T. Coseno de alfa, Ti
partido por T. ¿Por qué me sale ahora el seno con el X? Porque estoy
tomando el ángulo que forma con la vertical. Si tomamos siempre el ángulo
que forma con la vertical, la X será con el seno y la Y con el coseno. Si
tomo el ángulo que forma con la horizontal, al contrario. Pero claro, esto
no hay por qué memorizarlo. Simplemente es mirar el dibujo y entenderlo.
Entonces, si nosotros aplicamos la segunda ley de Newton sobre el eje Ti
menos Mg será igual a cero. Pero, ojo, como describe un movimiento
circular, describe un movimiento circular, está sujeto a una aceleración
normal o centrípeta que va dirigida hacia dónde? Hacia el centro. Una
aceleración normal o centrípeta dirigida hacia el centro. Aceleración
normal o centrípeta dirigida hacia el centro. ¿Vale? De acuerdo.
Aceleración normal o centrípeta dirigida hacia el centro. Aplico la
segunda ley de Newton Tx igual, que sería lo que se denomina vulgarmente
como fuerza centrípeta la que origina este movimiento circular igual a la
masa por aceleración normal o centrípeta. Tx es esta expresión de aquí
igual a la masa por aceleración normal o centrípeta. ¿De acuerdo?
Entonces tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. ¿Vale?
Si nosotros dividimos miembro a miembro las dos ecuaciones me queda esta
ecuación de aquí abajo y la cual me permite obtener la velocidad a la
cual debe girar este cono para que forme un ángulo alfa determinado con la
vertical. ¿Y qué vale la tensión de la cuerda? Pues fijaos muy
fácilmente a partir de la segunda ecuación se calcula la tensión la cual
no es necesario aplicar nada más. ¿Eh? No es necesario aplicar nada más.
Ahora sí que por último vamos a ver lo que marca un ascensor no perdón
lo que marca una báscula que está en el interior de un ascensor y aquí
tenemos una persona subida en la báscula y vamos a ver tres casos uno
cuando el ascensor sube con una aceleración constante cuando baja con una
aceleración constante y cuando se desplaza a velocidad constante. Entonces
lo que va a marcar la báscula es la fuerza de acción que ejerce la
persona sobre la báscula que es lo mismo que la fuerza de reacción que
ejerce la báscula sobre la persona. Entonces si nosotros somos capaces de
calcular la normal la fuerza de reacción que ejerce la báscula sobre la
persona nosotros podemos determinar lo que va a marcar la báscula lo que
va a marcar la váscula entonces vamos a mirar las fuerzas que actúan
sobre la persona por un lado tenemos el peso mg y por otro lado la normal
esa normal o fuerza de reacción no que evidentemente es lo que nos va a
marcar esa báscula o balanza si aplico la segunda ley de Newton tomando
positivo fuerzas que van hacia arriba porque la aceleración es positiva o
hacia arriba diría que normal menos mg igual a ma luego a partir de aquí
la normal es mg más ma la normal es mg más ma qué pasa si ahora
desciende con una aceleración a pues si desciende con una aceleración a
qué ocurre pues que ahora la fuerza que va a favor es mg y la que va en
contra es la normal y qué ocurre es igual a 0 no hay aceleración y la
normal será al peso cuando se desplaza la velocidad constante se uva o
baje pues como no hay aceleración aquí la normal menos mg es igual a 0 no
hay aceleración y la normal será igual al peso entonces el peso aparente
coincide con el peso real voy a abrir ahora la página el archivo de los
problemas y vamos a trabajar ejercicios dice desde la base de un plano
inquinado de 30 grados se desea subir un cuerpo de 2 kilos y me pide qué
fuerza constante hay que aplicar para irla al plano si se desea que se
desplace a velocidad constante o con sin rozamiento después con rozamiento
y después repetir ¿no? que suba una aceleración de un metro por segundo
al cuadrado y después a su vez me pide qué fuerza mínima para ir al
plano hay que aplicar para que empiece a moverse si el coeficiente de
rozamiento estático es de 0,4 bien pues aquí abajo tenemos un dibujo muy
aclaratorio eso es fundamental un problema de dinámica tiene que llevar
asociado un dibujo de fuerzas lo más claro posible las fuerzas las tenemos
que dibujar nosotros y lo primero que hacemos es dibujar unos ejes de
coordenadas x y aquí lo tenéis en amarillo uno paralelo al plano y el
otro perpendicular al plano y el otro perpendicular al plano ¿de acuerdo?
entonces descomponemos el peso en px y pi ¿de acuerdo? tenemos aplicando
una fuerza f que me piden y la fuerza de rozamiento hacia abajo lo tenéis
en azul a mí me gusta muchas veces dibujar la fuerza de rozamiento en la
superficie de contacto aunque sí es cierto que en general las fuerzas se
pueden dibujar siempre en el centro de masas del objeto en el centro de
gravedad pero bueno es una forma de resaltar que es una fuerza de
rozamiento ¿no? de las dos superficies de contacto f r esa fuerza de
rozamiento que sería mu por la normal mu por p pi bien pues vamos allá en
primer lugar sin rozamiento fuerzas a favor f en contra px y además con
aceleración nula pues f tiene que ser igual a px 9,8 vale con rozamiento
pues f menos px menos fr es igual a m por cero ¿no? porque la fuerza de
rozamiento iría en contra fijaos como la fuerza que se ha de aplicar pasa
de 9,8 a 14,9 es mayor lógico si yo quiero subir un cuerpo y hay
rozamiento ese es el coeficiente de rozamiento dinámico es la fuerza que
yo tengo que ejercer para que se mueva a velocidad constante ¿y qué pasa
si quiero que tenga una aceleración de un metro por segundo? pues
simplemente en lugar de sustituir la a por cero ponemos a igual a 1 y
despejamos y vemos que la fuerza que se ha de aplicar es mayor 11,8 16,9
ahora bien ¿cuál es la fuerza mínima que hay que hacer para que esto
empiece a subirse? para que empiece a moverse ahora si el cuerpo está en
reposo y quiero saber la fuerza mínima para que empiece a subir ¿no?
¿qué tiene que suceder? pues que la fuerza de rozamiento la fuerza de
rozamiento que tengo que aplicar ahora es la fuerza de rozamiento estática
mu estático por p sub i mu estático por mg coseno de alfa entonces la
fuerza ha de ser mayor o igual que px más f de rozamiento estático y sale
16,58 fijaos que esta fuerza ¿no? con rozamiento es mayor de los 14,89 que
había que aplicar para que subiera a velocidad constante lógico para
moverse no para subirlo a velocidad constante daos fijaos la diferencia no
es lo mismo ¿eh? vamos aquí con este ejercicio que es interesante porque
es este ejercicio se los plantea a vosotros para resolverlo para entregarlo
¿eh? como actividad como es uno de los ejercicios que tendréis que
entregar ¿eh? bien y explicarlo ¿eh? aquí también lo vamos a explicar
aquí también venga un cuerpo se deja caer desde lo alto de un plano
inquinado de 45 grados determine la velocidad al final del plano si la
altura es de un metro ¿eh? si la altura es de un metro dice al final del
plano sigue el cuerpo por un plano horizontal que espacio recorre hasta
detenerse venga pues vamos allá una de las cosas que tendremos que hacer
es calcular la longitud del plano inquinado el ángulo es de 45 grados pues
seno de 45 el seno de 45 es uno partido por la hipotenusa es uno partido
por la hipotenusa uno partido por incremento de x si queréis ¿eh? de
acuerdo bien ¿qué más? bueno la descomposición que veis aquí del peso
y de fuerza de rozamiento es lo mismo que hemos visto antes solo que ahora
el cuerpo el plano inquinado está dibujado de esta manera el cuerpo baja
la fuerza de rozamiento va hacia arriba ¿no? px y pi la descomposición es
idéntico entonces ¿qué tenemos que hacer? aplicar la segunda ley de
newton para calcular la aceleración px-fr igual a m por a sale 5,5 a
partir del seno de 45 yo puedo calcular el espacio que ha de recorrer una
vez que tenga el espacio que ha de recorrer puedo calcular la velocidad
final que es 3,95 ahora el siguiente paso es calcular qué espacio recorre
hasta detenerse por el plano horizontal y tenemos una fuerza a favor
ninguna porque ya va por el plano horizontal no hay nada que empuje este
cuerpo hacia la izquierda por lo tanto 0-fr igual a m por a de hecho me
tiene que salir una aceleración negativa porque si no no podemos
justificar que el cuerpo se pare la aceleración evidentemente en este caso
simplificando las masas es menos mu por g menos 1,96 metros por segundo al
cuadrado de manera que v si yo aplico la fórmula de los cuadrados de la
velocidad y sabemos que al final se ha de detener puedo calcular el espacio
que recorre hasta detenerse que será 3,98 metros por el plano horizontal
fijaos que hay dos signos menos y por ello el espacio va de salir positivo
vamos con este otro ejercicio dice aquí desde la base de un plano
inclinado de 30 grados se lanza un cuerpo con una velocidad de 36 km por
hora el coeficiente de rozamiento dinámico vale 0,25 qué tiempo está en
movimiento el cuerpo y la altura que alcanza qué tiempo está en
movimiento del cuerpo y la altura que alcanza ahora estamos lanzando un
cuerpo por un plano inclinado hacia arriba fuerzas a favor ninguna porque
lo lanzo y no aplico ninguna fuerza entonces 0 menos px menos fr igual m
por a por lo tanto me ha de salir una aceleración negativa porque si no no
se llegaría a parar y se llegará a parar porque no hay ninguna fuerza a
favor del movimiento aquí tenemos la expresión de la aceleración menos g
seno de alfa más mu coseno de alfa no una aceleración negativa menos 7
metros por segundo al cuadrado entonces cuánto tiempo está en movimiento
v igual a u sub 0 más at el tiempo sería 1,425 segundos vale qué espacio
recorrería el objeto no hasta detenerse en estos 1,425 segundos pues 7,127
vale pero claro a mí no me pide el espacio si no me pide qué altura
alcanza vale que tiempo está en movimiento el cuerpo y la altura que
alcanza pues el seno de alfa es igual a h partido por incremento de x luego
h será seno de alfa por incremento de x después dice cuál debe ser el
coeficiente de rozamiento para que el cuerpo no descienda no vale esto así
calculamos la altura en 3,56 metros bien para que no baje vamos a ver las
fuerzas que actúan que tenemos el px hacia abajo siempre px hacia abajo y
la fuerza de rozamiento estática siempre en contra del movimiento siempre
en contra del movimiento entonces la fuerza de rozamiento estática es muy
estática por la normal es muy estática por la normal y ha de ser mayor o
igual para que no baje ha de ser mayor o igual que px para que no baje
entonces la fuerza de rozamiento estática es mayor o igual que px mu
estático mayor o igual que qué que la tangente de alfa que la tangente de
30 mu estático en este caso al menos ha de ser igual a 0,58 aquí tenemos
el ejemplo cuando un cuerpo está sujeto a una fuerza que forma un ángulo
alfa bajo la normal perdón bajo la horizontal perdonadme bajo la
horizontal cómo poder determinar la normal mirad sobre el eje y qué
fuerzas actúan qué fuerzas tenemos sobre el eje y siempre como siempre no
os olvidéis de descomponer la fuerza f en dos componentes perpendiculares
entre sí una sobre el eje x y otra sobre el eje y fx y fi fx y fi entonces
sobre el eje y que tiene que estar en equilibrio no entonces diríamos que
la normal no la normal es igual a f y más p el módulo evidentemente
vectorialmente ya habéis visto la suma de los tres vectores es igual a 0
despejamos el vector n y evidentemente que el módulo de n va a ser igual
al módulo de f supi más p por lo tanto n en este caso sería igual a f
seno de alfa más mg y alguien puede decir oiga y ahora porque me sale fi
con el seno porque el ángulo alfa está tomado ¿no? con el eje x
horizontal ¿no? y ya lo hemos visto en los distintos casos de todas formas
se hace seno de alfa cateto opuesto partido de hipotenusa ahí se despeja
bueno aquí tenemos otro ejemplo ¿no? en que una fuerza se aplica a una
fuerza f que forma un ángulo beta distinto al ángulo alfa del plano
inquinado y quiero saber qué vale la normal aquí la normal se complica en
este caso se complica fijaos tengo que descomponer esta fuerza f en una f x
y una f y la f y es la que está sobre el eje y la normal pero además
tengo la descomposición del peso que es p x y p y por lo tanto f x y p y
la suma de estas fuerzas ha de ser cero o si queréis las fuerzas que tiran
hacia arriba n más f x han de ser igual a las que tiran hacia abajo igual
a p x luego la normal será igual a p x menos f x cuidado aquí tenemos ya
demostrado a que es igual a f x que es f seno de beta por lo tanto la
normal que es p x menos f x será m g cos alfa que es p x menos f x y una
fuerza de rozamiento en sentido contrario al movimiento. Fijaos que me dan
2 metros de altura el plano equinado. Tendré que calcular la hipotenusa,
pero el seno de 30 es h partido por la hipotenusa. Por lo tanto, la
hipotenusa serán 4 metros porque el seno de 30 es 1 medio. Entonces yo
calculo en primer lugar la aceleración, ¿cómo? Aplicando la seguridad de
Newton, px-fr igual a m por a. Desarrollo, sustituyo, simplifico las masas
y me queda una aceleración de más 3,2. Aplicando la ecuación de los
cuadrados de las velocidades, podemos calcular la velocidad final después
de recorrer un espacio de 4 metros, que sale 5,06. Pues esta velocidad
final será la velocidad inicial del tiro parabólico. Pero ojo, una
velocidad inicial que forma un ángulo de 30 grados bajo la horizontal.
Entonces cuando planteo las ecuaciones de tiro parabólico, que tenéis
aquí, ¿no? Por saltadas, las ecuaciones de x y las ecuaciones de xy. Y de
la velocidad, aquí tenemos las 4 ecuaciones, sustituimos con los datos que
tenemos, ¿no? Porque la altura es 1 metro, como se dice, eso no está a
escala, evidentemente. La segunda parte también es 1 metro. Y tenemos una
velocidad inicial que es 5,06 y sustituimos. El ángulo es de menos 30
grados. Ya sabemos que el coseno de menos 30 es igual que el coseno de 30,
pero el seno de menos 30 es negativo. Y por eso, la v sub 0i nos tiene que
salir negativa. Y es importante que nos demos cuenta. Que sale negativa la
v sub 0i, porque la componente y de la velocidad inicial ha de ser
negativa. Y será siempre negativa, ¿no? Porque va hacia abajo el objeto.
Si yo pinto aquí los vectores, ¿no? Aquí tengo la v sub x y aquí tengo
la v sub pi. v sub 0x y v sub 0y. Negativa porque va hacia abajo. ¿Vale?
Entonces la ecuación del movimiento es lo que tenemos aquí. ¿Vale? 4,39t
e i igual a 1 menos 2,53t menos 4,9t cuadrado. Fijaos que la segunda parte
también me dice que es un método. ¿Veis que no está en escala? Está
hecho al revés. Los datos están al revés. ¿Qué vamos a hacer? No pasa
nada. El dibujo es correcto. Entonces r de t, el vector de posición será
la ecuación de x en función del tiempo por i más la ecuación de i en
función del tiempo por j. Podemos poner ij. O ponemos x vector e i vector.
Como queráis. Depende del manual que se utilice en cada momento. Tendremos
esos vectores unitarios. Incluso, ponedlo como en matemáticas, entre
paréntesis y comas. ¿Vale? Entonces si esto es el vector de posición, el
vector de velocidad lo puedo tener derivando. La derivada de 4,39t es 4,39,
etc. O bien sustituyendo en estas fórmulas que tenemos aquí. Si no
queréis derivar, os saldrá lo mismo. Ojo. El ángulo es menos 30 grados.
No os olvidéis. Entonces, ¿qué tiempo tarda la partícula en llegar al
suelo? Pues se hace tiempo, se hace la i igual a cero y se despeja el
tiempo. Y sale 0,026. Pues a partir de aquí puedo calcular el vector
velocidad de impacto. El vector velocidad de impacto. Fijaos como la vx, la
vx es constante, no varía con el tiempo, pero la vi sí. Tenemos menos
2,53 menos la contribución de la gravedad, que la ha hecho acelerar hacia
abajo. Por lo tanto tenemos este vector velocidad, como veis aquí. Y su
módulo sería raíz cuadrada de cada una de las componentes al cuadrado.
El ángulo que forma sobre el eje x es la tangente de beta, v sub i partido
v sub x, que como v sub i es negativo, evidentemente el ángulo será
negativo. Estaría en el cuarto cuadrante. Bueno. Quería cambiar de color
para que se vea mejor. ¿Vale? Aquí dibujo unos ejes de coordenadas, ¿no?
Esto es v vector, ¿no? Y este sería beta. ¿Vale? Tangente de beta es v
sub i menos v sub x, aquí lo tenéis. Y beta sería arco tangente, menos
32,4. Menos 32,4. Luego, lo puedo dejar de esta manera o bien expresarlo en
función del primer cuadrante. 360. Menos 32,4 grados. Vamos a ver este
ejercicio de dos poleas, ¿no? Que prenden dos cuerpos de igual masa.
Inicialmente están a la misma altura. ¿Qué sobrepeso hay que añadir a
las masas para que la diferencia de altura sea de un metro al cabo de dos
segundos? Aquí el problema es sencillo, pero hay que darse cuenta de una
cuestión importante. Que es que si la diferencia de alturas ha de ser de
un metro al cabo de dos segundos, quiere decir que uno ha de bajar medio
metro y el otro ha de subir medio metro. ¡Ojo! Si no, lo haremos todo mal.
Es decir, lo que tiene que hacer cada cuerpo es recorrer medio metro en dos
segundos. Porque de esta manera, inicialmente equilibrado, tendré una
diferencia de un metro en dos segundos. Una diferencia de un metro en dos
segundos. Por lo tanto, calculamos la aceleración para recorrer medio
metro en dos segundos. ¿Vale? Y si aplicamos la segunda ley de Newton, si
aplicamos la segunda ley de Newton, F igual a M por A. ¿Y qué hacemos?
Aplicamos la segunda ley de Newton. ¡Ojo con ese detalle! Hemos dibujado
las fuerzas, la tensión que va del cuerpo hacia la cuerda, y al aplicar la
segunda ley de Newton, crecemos el cuerpo de la hétinel, el sobrepeso de
mi prima g. Sumamos las dos ecuaciones y me va la tensión, y podemos
calcular la tensión. Y podemos calcular la masa fácilmente. ¿Vale?
Aquí, este ejercicio es un doble plano inquinado, y me está pidiendo el
sentido del movimiento. Bueno, está claro que aquí, como las dos masas
son iguales, creaos que ya está dibujado. Yo, porque he dibujado en un
principio que esto se movería si se mueve hacia la derecha, porque el
ángulo es de 60 grados a la derecha y a la izquierda es 30, estaría de
acuerdo conmigo que Px1 es mayor que Px2. ¿Por qué? Porque, si tiene la
misma masa, el que tenga mayor ángulo, va a ganar. Pero, para decidir si
esto se mueve o no se mueve, con el coeficiente de enrociamiento estático
0.35, tengo que tener en cuenta todas las fuerzas que actúan sobre el
sistema, menos la tensión, porque se anulan 2 a 2. Yo tengo que Px1 ha de
ser mayor que Px2, y además mayor que Fr1 más Fr2. Es decir, Px1 ha de
ser mayor que 3 fuerzas. Aquí lo tenemos. Y, ojo, tengo que mirar con mu
estático, porque estoy mirando... Si se mueve, ¿y qué ocurre? Que al
sustituir numéricamente no se cumple esta desigualdad. Pues, alguien puede
pensar, pues se moverá en el sentido contrario. No. Si lo hacéis, veréis
que no se mueve en el sentido contrario, que P2x no es mayor que P1x más
Fr1 más Fr2. Los sistemas pueden quedar inmóviles en equilibrio, que es
lo que ocurre en este caso. El sistema no se mueve y no puedo calcular la
aceleración porque no se mueve, no se desplaza. De acuerdo. Aquí tenemos
un cuerpo de 500 gramos que se sitúa en un plano equilibrado de 20 grados.
El coeficiente de arrozamiento es 0,4. Determina la fuerza paralela que se
ha de aplicar para que empiece a bajar. Para que empiece a subir, o qué
ángulo debería tener para el cuerpo a deslizar sin aplicar ninguna
fuerza. Bueno, pues para que empiece a bajar, pues la fuerza más Px, las
fuerzas que van a favor, ha de ser mayor que las fuerzas que van en contra.
F más Px tiene que ser mayor que la fuerza de arrozamiento estático.
¿Vale? Y para subir, pues que la fuerza aplicada ha de ser mayor que Px
más Fr. Es 3,51. ¿Y para qué empieza a deslizar sin aplicar ninguna
fuerza? Pues Px, que tira hacia abajo, ha de ser mayor que la fuerza de
arrozamiento estática. Entonces, aquí despejamos y el ángulo ha de ser
al menos de 21,8 grados. Claro, con 20 grados no se mueve. Le damos al
menos 21,8 grados. Aquí tenemos otro problema. No, el sistema se desea que
se mueva hacia la derecha. Determina la fuerza paralela del coeficiente de
arrozamiento para que se mueva hacia la derecha y la tensión. Bueno,
dibujamos las fuerzas. Ya lo veis, es el mismo dibujo de siempre. La
extensión del cuerpo hacia la cuerda, la fuerza de arrozamiento hacia
abajo, descomponemos el peso. Queremos que la aceleración sea cero y
queremos determinar mu ahora. Fijaos cómo la tensión la puedo calcular
directamente como m1g y ya después lo otro, pues aplicando la segunda ley
de Newton al cuerpo 2, ¿no? Teniendo ya la tensión, podemos despejar el
coeficiente de arrozamiento que sale en 0,58. Este es un problema parecido,
¿no? Fuerza para que no descienda, fuerza que se va a aplicar para que no
deslice. En la suerte de esa fuerza, ¿cuál es la aceleración de caída?
¿Qué ángulo debe tener el plano equinado para que el cuerpo no deslice?
Es decir, yo creo que este ejercicio es muy parecido al que hemos visto ya.
Si os parece, vaya a pasar un poquito rápido porque hay que acabar. Aquí
tenemos este sistema de la figura, ¿no? Me dice qué fuerza horizontal
tengo que aplicar, ¿no? Para que se mueva a una velocidad constante con mu
igual a 0,3 y la tensión de la cuerda. ¿Vale? Una fuerza F, bueno, pues
aplicamos la segunda ley de Newton. ¿No? Fijaos que la fuerza tiene que ir
hacia la izquierda para que suba el sistema y las dos fuerzas de
arrozamiento van hacia abajo. Y lo que hacemos es aplicar la segunda ley de
Newton. Aquí no me habla de fuerza de arrozamiento. El coeficiente de
arrozamiento estático. Se supone que el sistema ya está en movimiento,
¿no? ¿Y qué fuerza tengo que hacer para que se mueva a velocidad
constante? Pues aplicamos la segunda ley de Newton a cada cuerpo. Y a
partir de aquí, como sabemos que la aceleración es cero, yo puedo
calcular, en un caso, puedo calcular la tensión en el cuerpo 1 y la fuerza
en el cuerpo 2. Bueno, cuando tenemos aquí una dinámica de movimiento
circular, vamos a ver este ejemplo de un cuerpo que toma una curva a
velocidad constante. Cuando tenemos un cuerpo que toma una curva a
velocidad constante, siempre tenemos que pensar que tenemos una
aceleración normal o centripeta dirigida hacia el centro. Y queremos saber
cuál es la máxima velocidad para que no derrape. La máxima velocidad
para que no derrape... Claro, la fuerza de arrozamiento ¿hacia dónde va
aquí? Es sentido contrario al posible derrapamiento, que es hacia afuera.
La fuerza de arrozamiento va hacia la izquierda, hacia adentro. Por lo
tanto, para que no derrape, para que no derrape, tiene que cumplirse que fr
estática sea igual a m por a sub n. Al menos la fuerza de arrozamiento
estático ha de ser igual a la masa por la aceleración centripeta. Si no
es al menos igual a esto, el cuerpo saldrá despedido hacia afuera. Saldrá
despedido. ¿De acuerdo? Entonces se tiene que cumplir que la fuerza de
arrozamiento estática es igual a la masa por la aceleración normal para
que no salga despedido lateralmente. Y aquí, en los tres ejemplos que nos
ponen, me dan de dato, en un caso, me dan mu y r y me pide la v, en otro
caso me pide el coeficiente de arrozamiento con la velocidad y la r, y en
el tercer caso me pide la r. Ahí está puesto, tres ejemplos donde la
incógnita varía. Este es el caso de tomar una curva con un peralte de 20
grados. Esto ya es un poquito más difícil. Aquí, simplemente descomponer
el peso y aquí sí que tendríamos que trabajar sobre el eje x paralelo al
plano y tendríamos una aceleración a sub x que sería a sub n por coseno
de alfa. Este es un poquito más difícil. Ya lo pongo, pues ya ha subido
de nivel, desde el curso cero este ejercicio. Aquí ya me he pasado un
pelín. Pero bueno, px ha de ser igual a m por a sub x que es seno de alfa
y a sub x es a sub n por seno de alfa. Y a partir de aquí podéis despejar
la velocidad máxima. Esto es interesante, un cuerpo que está dando
vueltas y queremos que no baje. ¿Aquí cuál es la dificultad? Que nos
demos cuenta que la normal no es el peso. No, porque sí que hay una fuerza
de arrozamiento hacia arriba y un peso hacia abajo. La normal, ¿cuál es
la normal? ¡Ojo! La normal es la fuerza centrípeta, la que va dirigida
hacia el centro. La normal es f igual a m por a sub n o a sub c hacia el
centro centrípeta. n igual a mv cuadrado partido por r. ¡Ojo! Esa es la
normal aquí en este ejemplo. Mucho cuidado, ¿eh? Que podríamos caer en
la tentación de decir que la normal es igual al peso. Aquí tenemos un
cuerpo que da vueltas, ¿no? En un plano horizontal conectado a una cuerda.
Me pide determinar la tensión de la cuerda. Bueno, ¿cuál es aquí la
fuerza centrípeta? La que origina el movimiento o la tensión. Bueno,
aplico la segunda ley de Newton sobre este cuerpo y siendo la fuerza, la
tensión. Tensión igual a mv cuadrado partido por r. A partir de aquí
puedo calcular la tensión y el periodo, ¿cómo lo puedo determinar? Pues,
sin necesidad de calcular la tensión. T periodo, T mayúscula, Td periodo,
¿eh? v es igual a omega por r, omega es dos pi más o igual al periodo y a
partir de aquí sacamos la tensión. Este es un cuerpo que está dando
vueltas en un plano vertical donde está dando vueltas a velocidad
constante. Cuando veamos la siguiente sesión de trabajo y energía,
veremos cómo puede cambiar la velocidad en función de la altura. Pero
aquí estamos suponiendo que está dando vueltas a velocidad constante y
queremos determinar la tensión de la cuerda, la posición más baja,
posición horizontal y la posición más alta. Fijaos cómo dibujamos todas
las fuerzas con detalle y esmero. El peso siempre vertical, en verde. La
tensión, en azul, una fuerza que va siempre del cuerpo hacia la cuerda.
¿De acuerdo? Y la relación normal la pinto fuera, no es una fuerza. Lo
veis que está en verde fuera no es una fuerza. Siempre dirigida hacia el
centro. ¿Y qué hacemos a continuación? Aplicamos la segunda ley de
Newton al cuerpo en A, B y C. De manera que fuerzas a favor las que tienen
el mismo sentido que a su pene y fuerzas en contra las que tienen sentido
contrario a su pene. Y a partir de aquí obtenemos esas tensiones. Fijaos
ya para acabar un cubo lleno de agua se hace girar en un plano de un metro
de radio. Se termina la velocidad mínima en el punto más alto para que no
caiga el agua. ¡Ah! Para que no caiga el agua. Es decir, la velocidad
mínima es decir que el agua no ejerza ninguna presión sobre el cubo es lo
mismo que decir que la normal sea cero. Entonces P más normal igual a M
por a su pene siendo a su pene la tracción centrípeta. Aquí ¿vale? Como
me piden la velocidad mínima es decir el peso ha de ser igual a M por a su
pene para que no caiga. Si no, caería. Si va a mayor velocidad pues
tendré una normal. No es el caso. ¿Vale? Y esa sería la velocidad
mínima. Muy bien. Pues hasta aquí hemos llegado. Espero que os sea de
utilidad. ¿No? Y este material estará a vuestra disposición durante todo
el curso. Muy bien. Muchas gracias.