Bien, buenas tardes. Vamos a empezar esta sesión donde voy a describiros
la parte teórica con algunos ejemplos prácticos de los temas 9, 10 y 11.
11 sólido rígido, 9 y 10, y de equilibrio que es muy poquita cosa. Para
así dar por finalizada, digamos, la parte que os entra en la PEC 2. En la
próxima sesión haremos ejercicios. Bueno, vamos a recordar lo que era la
velocidad angular. La velocidad angular instantánea es... El ángulo
recorrido por unidad de tiempo cuando este intervalo de tiempo tiende a
cero. Lo representamos como W, omega, y es un vector axial, perpendicular
al plano. Matemáticamente sabemos que este límite es la derivada del
ángulo con respecto del tiempo. Las unidades de la velocidad angular
serán radianes partido por segundo. ¿Qué relación existe entre... ...el
ángulo y el espacio recorrido en un movimiento circular? Esto lo sabemos
de matemáticas que la longitud del arco... La longitud del arco... La
longitud del arco es igual al ángulo multiplicado por el radio. S es igual
al ángulo multiplicado por el radio. El ángulo en radianes, que ya
sabéis que no es una magnitud física fundamental y que a la hora de
determinar las unidades para que la ecuación sea homogénea no se tiene en
cuenta. Entonces, radianes, R en metros y el espacio en metros. ¿Vale? De
acuerdo. ¿Cómo es este vector velocidad angular? Pues, lo hemos dicho
antes, es un vector axial. De manera que si la partícula gira en sentido
antihorario el vector W va dirigido hacia arriba. Mientras que si gira en
sentido horario el vector W irá hacia abajo. Es lo que se llama también
la regla de la mano derecha para determinar el sentido, dirección y
sentido del vector velocidad angular. ¿Vale? De acuerdo. ¿De acuerdo?
Sentido antihorario hacia arriba. Sentido horario hacia abajo. ¿Qué es la
aceleración angular? Bueno, si la velocidad angular cambia en función del
tiempo tenemos una aceleración angular. Una aceleración angular que puede
ser media que sería el cociente de la variación de la velocidad angular
en un intervalo de tiempo dado. Pero si nosotros queremos saber cuál es la
aceleración angular instantánea igual que cuando hablábamos de la
aceleración lineal instantánea tenemos que hacer el límite del cociente
de incremento de omega a partir del incremento de t cuando el incremento de
t tiende a cero. ¿Vale? Y eso es por definición la derivada. La derivada
de la velocidad angular respecto del tiempo. ¿Ven? La derivada de la
velocidad angular respecto del tiempo. Y eso sería la aceleración angular
derivada de omega respecto de t. ¿De acuerdo? Desde el punto de vista
vectorial alfa es un vector también axial que tiene la misma dirección
que omega y tendrá sentido positivo si alfa es positivo si aumenta la
velocidad angular y negativo si disminuye la velocidad angular. Nos
representa el cambio instantáneo de la velocidad angular. Aquí tenéis el
dibujo el vector alfa ¿Bien? Y aquí tenéis el dibujo es decir alfa no
tiene por qué tener el mismo sentido que w alfa, el sentido de alfa aunque
tiene la misma dirección que omega alfa tendrá un sentido positivo si la
partícula aumenta su velocidad angular. Si incremento de omega es positivo
alfa irá hacia arriba. Si incremento de omega es negativo disminuye alfa
irá hacia abajo. Tendrá sentido contrario. ¿Vale? Independientemente del
sentido de giro que tenga mi sistema. En este caso esta rueda. Bien. Al
igual que en movimiento rectilíneo uniformemente acelerado nosotros
obteníamos unas ecuaciones que nos relacionaba el espacio la aceleración,
el tiempo y la velocidad también en el movimiento circular con
aceleración angular constante con aceleración angular constante tendremos
unas ecuaciones similares a las del movimiento rectilíneo. De manera que
comparando ¿no? tendremos que la velocidad angular final es igual a la
velocidad angular inicial más la aceleración angular por el tiempo
después veremos, pondremos las dos fórmulas en rectilíneo y circular y
veréis las imágenes. El ángulo en función del tiempo es igual al
ángulo inicial más velocidad inicial por tiempo más un medio de alfa t
cuadrado siendo alfa la aceleración angular y a zeta el ángulo el ángulo
en función del tiempo y nos quedaba la ecuación de los cuadrados que es
muy útil cuando no tenemos los tiempos. Entonces velocidad angular al
cuadrado igual a velocidad angular inicial al cuadrado más dos alfa por el
incremento del ángulo inicial al cuadrado por el incremento del ángulo
recorrido. Este sería zeta menos zeta sub cero posición angular del
cuerpo en un tiempo t menos la posición angular en un tiempo cero muchas
veces la posición angular inicial es cero y aquí tenéis una, en esta
tabla una comparación ¿no? de sendas ecuaciones de movimiento rectilíneo
visualmente acelerado y del movimiento circular con aceleración constante
alrededor de un eje fijo fijaos que las fórmulas son las mismas donde
antes había aceleración tangencial ahora hay alfa donde antes había v
ahora hay w donde había x ahora hay ángulo ¿de acuerdo? ¿cuál es la
relación entre las magnitudes lineales y angulares? es muy importante
tenerlo presente ya hemos visto una antes hemos visto que el espacio es un
espacio es igual al ángulo multiplicado por el radio ¿eh? el espacio es
igual al ángulo multiplicado por el radio pues si vamos derivando esta
ecuación la derivada del espacio con respecto del tiempo es la velocidad y
la derivada del ángulo es la velocidad angular ¿no? con respecto del
tiempo entonces la velocidad lineal es igual a la velocidad angular
multiplicada por el radio pensemos en las velocidades unidades v metros por
segundo r son metros omega son radianes por segundo cuidado con estos
detalles ¿eh? la rapidez angular radianes por segundo r son metros y v
metros por segundo metros multiplicado por radianes por segundo son metros
por segundo porque el radial no es una magnitud física fundamental ¿y
qué relación existe con la aceleración tangencial? recordemos que la
aceleración tangencial es la derivada del módulo de la velocidad con
respecto del tiempo pues que v es omega por r si derivamos siendo r
constante me queda r por la derivada de omega con respecto de t que es la
aceleración angular luego esta fórmula también es importante tenerla
presente aceleración tangencial igual a aceleración angular multiplicado
por el radio bien pero sabemos que en un movimiento circular tenemos otro
tipo de aceleración que es la aceleración radial o centrípeta que va
dirigida hacia el centro ¿eh? hacia el centro esta es la relación
aceleración tangencial aceleración angular y la aceleración radial o
centrípeta que yo la puedo poner en función de la velocidad lineal v
cuadrado partido por r vimos en su momento o si sustituyo v por omega por r
operando ¿no? fácilmente os daréis cuenta que esto sería omega r todo
al cuadrado partido por r igual a omega cuadrado multiplicado por r bien
aquí tenéis en esta imagen ¿no? una partícula que describe un
movimiento circular que posee los dos tipos de aceleraciones la
aceleración radial y la aceleración tangencial ¿por qué posee la
aceleración radial? porque la partícula describe un movimiento no
circular no rectilíneo siempre que una partícula describa un movimiento
no rectilíneo vamos a tener una aceleración radial que va a ir dirigida
en el caso del monito circular hacia el centro del círculo y después como
esta partícula tiene una aceleración tangencial tiene que la velocidad
angular no es constante entonces tenemos una aceleración angular ¿no? que
está relacionada con la aceleración tangencial de manera que la
aceleración tangencial es igual a la aceleración angular multiplicado por
el radio de manera que fijaos en el dibujo tenemos una aceleración radial
hacia el centro una aceleración tangencial tangente a la trayectoria que
tiene la misma dirección que el vector velocidad que tiene la misma
dirección que el vector velocidad y que la composición de estos dos
vectores me da la aceleración total ¿qué pasa? como veis está dirigida
hacia la parte interior de esa curva ¿eh? está dirigida hacia la parte
interior de esa curva errores habituales pues confundir la aceleración
centrípeta y la tangencial ¿vale? la aceleración centrípeta depende de
la distancia al eje de giro ¿vale? y aparece siempre que está girando
mientras que la aceleración angular solo depende de la distancia si la
velocidad angular cambia con el tiempo y también hay que recordar que
ambas aceleraciones la radial o centrípeta y la tangencial dependen de la
distancia al eje de giro las magnitudes lineales dependen de la distancia
al eje de giro mientras que las angulares no valen lo mismo en todos los
puntos omega y alfa valen lo mismo a cualquier distancia del eje de giro
mientras que a sub t y a sub r no un momentito ya estoy de vuelta bueno
aquí tenemos un ejemplo de un lanzador de disco en un círculo con un
radio determinado y dice que gira a 10 radianes por segundo y la rapidez
angular está aumentando con 50 radianes por segundo al cuadrado calcule la
componente de la aceleración tangencial y centrípeta así como la total
bueno pues aquí no se trata más que de sustituir la aceleración
tangencial será la aceleración angular multiplicada por el radio y la
aceleración radial o centrípeta es omega al cuadrado por r sabemos todos
los datos ponemos la distancia al radio en metros y tenemos la aceleración
angular no y tenemos la velocidad angular ¿y cuál será la aceleración
total resultante? pues raíz cuadrada de cada una de las componentes al
cuadrado ¿vale? si quisiéramos también podríamos calcular el ángulo
que forma este vector ¿no? con la aceleración radial o con la
aceleración tangencial si llamo por ejemplo esta alfa el ángulo que forma
el vector con la aceleración radial la tangente de alfa sería la
aceleración radial partido de la aceleración tangencial y alfa sería
igual arcotangente de estas dos aceleraciones bien vamos a hablar ahora de
energía en el movimiento de la rotación bien cuando nosotros hablamos de
la rotación de una partícula o de un sólido rígido ¿no? tenemos que
hablar de lo que se entiende por el momento de inercia de un cuerpo que
gira alrededor de un eje dado si nosotros tenemos un sistema formado por un
número finito de partículas nosotros definimos el momento de inercia de
una partícula puntual como el producto de su masa por su distancia al eje
de giro al cuadrado el producto de su masa por su distancia al eje de giro
al cuadrado ¿vale? si tenemos un conjunto de partículas puntuales el
momento de inercia resultante sería la suma individual de los momentos de
inercia de cada una de las partículas ¿vale? bien cuando un cuerpo está
girando alrededor de un eje la energía cinética que posee ese cuerpo se
define como un medio de su momento de inercia por la velocidad angular al
cuadrado siendo hoy el momento de inercia respecto al eje de rotación
¿vale? de manera que la energía cinética de rotación depende del
momento de inercia cuanto mayor sea el momento de inercia mayor será ¿no?
la energía cinética de rotación para un mismo valor de la velocidad
angular bien fijaos aquí tenéis aquí este sistema y se trata de que
nosotros le ejerzamos un momento para que empiece a girar si ejercemos un
mismo momento en estos dos sistemas el de la izquierda y el de la derecha
estaréis de acuerdo conmigo que el de la izquierda tiene menor momento de
inercia pero porque estas dos masas están muy cerca al eje de giro y hemos
dicho antes que el momento de inercia es mr cuadrado siendo r la distancia
del eje de giro entonces el momento de inercia del mi figura de la
izquierda es menor que la de la derecha entonces como el trabajo total que
actúa sobre un sistema sobre una partícula es igual a la variación de
energía cinética ¿no? para obtener la misma variación de energía
cinética tendré que ejercer más trabajo a la derecha que a la izquierda
porque su momento de inercia es mayor pensar que esto sería un medio de i
omega cuadrado menos un medio de i omega sub cero cuadrado ¿de acuerdo?
entonces a mayor momento de inercia mayor trabajo para realizar la misma
variación de energía cinética y por eso está y que tenemos aquí
también la llamamos una inercia rotacional cuanto mayor sea el momento de
inercia de un cuerpo que tenga que girar ¿no? mayor será el trabajo que
tendré que hacer para que adquiera una velocidad angular determinada igual
pasaba con la masa en el momento de traslación cuanto mayor es la masa
mayor es la inercia mayor es el trabajo que tengo que hacer para producir
un cambio de velocidad pero no siempre tenemos masas puntuales sino que
tenemos tenemos sólidos rígidos que tienen una forma geométrica
determinada hasta la fecha en los exámenes que ha salido algún problema
de sólido rígido el equipo docente ha facilitado los momentos de inercia
con respecto al eje de rotación ya sea con respecto al extremo o con
respecto al centro de masas entonces su memorización no es necesaria aquí
tenéis un conjunto de momentos de inercia de varillas salió en el último
examen en septiembre con respecto al centro de masas y con respecto a un
extremo una lámina plana poco habitual de un cilindro macizo sí que ya es
habitual de un cilindro hueco también es habitual de una esfera sólida
también habitual y de una esfera maciza hueca perdón también habitual
las varillas los cilindros de un cilindro y un disco es lo mismo lo digo
porque el momento de inercia de un cilindro fijaos que es un medio de mea
recuadrado ¿no? depende del espesor pues un disco será lo mismo el
momento de inercia es idéntico un cilindro que un disco y una esfera
porque la masa será diferente ¿no? si tiene más altura y una esfera
sólida o una esfera hueca ¿vale? son los más habituales ahora tenemos
aquí el teorema de los ejes paralelos o también llamado el teorema de
Steiner el teorema de Steiner nos relaciona a los momentos de inercia de un
cilindro rígido con respecto a dos ejes paralelos normalmente se utiliza
para comparar o para calcular el momento de inercia con respecto a un eje
¿no? que está a una distancia determinada con respecto al eje que pasa
por el centro de masas caso habitual pues puede ser el caso de una varilla
tenemos una varilla ¿no? que voy a dibujar dos ejes uno que pasa
aproximadamente por el centro de masas y otro que pasa por el extremo este
sería el centro de masas y este sería el extremo pues esta varilla va a
tener dos momentos de inercia distintos ¿no? si yo por ejemplo estoy
girando esta varilla de masa M ¿no? y tiene una longitud L perdón ¿no?
sabemos de la tabla por ejemplo que el momento de inercia con respecto a un
eje que pasa por el centro de masas es un doceavo de ML cuadrado ¿cómo
puedo calcular el del extremo? pues será igual a IDC de M un doceavo de ML
cuadrado más el producto de la masa por la distancia entre ambos ejes al
cuadrado que es L medios tengo un doceavo más un cuarto factor común de
ML cuadrado un cuarto son tres doceavos tres doceavos más un doceavo son
cuatro doceavos igual a un tercio pues un tercio de ML cuadrado sería el
momento de inercia de esta varilla cuyo eje pasa por el extremo ¿veis?
fijaos aquí como sale un tercio de ML cuadrado bien podemos recordar la
energía potencial gravitacional que sabemos que es una proviene porque la
fuerza gravitacional es una fuerza conservativa si os acordáis cuando
tenemos un sólido rígido y hablamos de la energía potencial
gravitacional no de un sólido rígido es decir de una varilla de un
cilindro de un disco de una esfera nosotros claro la energía potencial
sería la suma de las energías potenciales gravitacionales de cada una de
las partículas ¿vale? de cada una de las partículas lo que ocurre es que
nosotros podemos sustituir nosotros podemos sustituir ¿no? la suma del
momento de inercia de cada una de las partículas por el momento de inercia
perdón la energía podemos sustituir la energía potencial que es la suma
de las energías potenciales de cada una ¿no? de las partículas que
constituye mi sólido rígido por la energía potencial de un punto de mi
sólido rígido en concreto del centro de masas donde ahí estaría
concentrada toda la masa de mi sistema entonces nosotros podemos decir que
la energía potencial gravitatoria de un sólido rígido es la energía
potencial ¿no? de una partícula que tiene toda la masa del sólido
rígido y que está concentrada en el centro de masas entonces es
importante que sepamos que cuando tenemos un sólido rígido en movimiento
¿no? tengamos estamos nosotros siguiendo el movimiento del centro de masas
que cuando tenemos una simetría y tenemos una densidad constante el centro
de masas coincide con el centro de gravedad bueno aquí tenemos un cable
que se va desarrollando tenemos un disco que está fijo ¿no? y un cable
del cual prende un cuerpo tenemos un cable ligero y que nos estira un
cilindro sólido de masa M y radio R el cilindro gira con rozamiento
despreciable alrededor de un eje horizontal y conforme el bloque cae el
cable se desenrolla ¿vale? sin estirarse y nos pide calcular la rapidez
del bloque y que cae y la rapidez angular ¿no? cuando el bloque golpea el
suelo es decir cuando baja a una altura determinada fijémonos en la figura
de la izquierda y la figura de la derecha creo que nos demos cuenta y esto
lo vamos a hacer por conservación de la energía aquí hay un trabajo de
rozamiento nulo por lo tanto la energía mecánica se conserva y aquí
tenemos inicialmente tenemos una energía potencial pero una energía
potencial ¿de quién? alguien me va a decir pues del cuerpo que va a caer
y del y del cilindro sí pero el cilindro está fijo en un eje fijo no
cambia esa altura entonces si no va a cambiar su altura no va a cambiar su
energía potencial y nosotros no hace falta que consideremos esa energía
potencial que posee el cilindro ¿no? ¿vale? porque no tiene variaciones
de altura del momento que no tiene variaciones de altura nosotros
consideramos que la energía potencial del cilindro es constante pero el
que sí varía su altura es el cuerpo que cae entonces trabajo de
rozamiento igual a cero energía mecánica en A igual a energía mecánica
en B por lo que es lo mismo la energía potencial y cinética en A es igual
a la energía cinética y potencial en B en A solo tenemos energía
potencial MGH y en B ¿qué tenemos? pues la energía cinética del cuerpo
que ha descendido un medio de MV cuadrado más la energía cinética que ha
adquirido el cilindro a rotar un medio de I omega cuadrado pero esta
velocidad y esta velocidad lineal y esta velocidad angular están
relacionadas porque la velocidad lineal que tiene el cilindro en el extremo
coincide con la velocidad lineal del cuerpo que está cayendo y podemos
decir que omega es V partido por R o si queréis V igual a omega
multiplicado por R ¿de acuerdo? bien y además sabemos nos lo darán de
dato que el momento de inercia de un cilindro es un medio de MR cuadrado
pues con estas dos consideraciones tenemos aquí la fórmula como se nos ha
sustituido MGH igual a un medio de Mv cuadrado más un medio de un medio de
MR cuadrado mayúscula por cambiar a diferenciar las dos masas por V
cuadrado partido de R cuadrado fijámonos como los radios se me van se me
simplifican y a partir de aquí puedo sacar V sacando factor común y
operando me queda que V es raíz cuadrada de 2GH pues la expresión que
tenéis aquí de esta manera no es imprescindible dejarlo así porque a ver
en este caso no podemos tachar las masas evidentemente ¿no? porque tenemos
masas diferentes y nosotros podríamos dejar por ejemplo que V sería igual
a 2 MGH partido M más un medio de M mayúscula si dividimos el denominador
por bueno denominador y denominador por la M minúscula la masa del cuerpo
que cae nos queda la expresión que aquí nos han escrito ¿vale? ¿de
acuerdo? bien vamos ahora ya con el tema 10 que nos habla de dinámica del
movimiento de rotación bien lo que origina el movimiento de rotación es
lo que se llama la torca o el momento de una fuerza torca o momento de una
fuerza la torca o el momento de una fuerza es un producto vectorial de dos
vectores ¿vale? R siendo R la distancia al eje de giro y F la fuerza
aplicada el módulo de esta torca sería el módulo de R el módulo de F
por el seno del ángulo que forma porque recordemos que el producto
vectorial de dos vectores su módulo es el módulo del primero por el
módulo del segundo por el seno del ángulo que forman ambos vectores de
hecho aquí tenéis la fórmula RF seno de de Fi el módulo de la torca y
también es cierto que nosotros podemos sustituir F seno de Fi por la
componente tangencial la componente tangencial de la fuerza aplicada lo
veremos después en un dibujo ¿de acuerdo? las unidades de la torca o del
momento son Newton metro no debemos caer en la tentación de llamar esto
julios ya sabemos que Newton metro cuando hay un desplazamiento son julios
pero no la torca o el momento son Newton metro y estaréis de acuerdo
conmigo que si R y F son paralelos si yo aplico una fuerza paralela a R o
antiparalela de manera que si alfa es 0 o 180 grados la torca será 0 o el
momento será 0 mientras que si alfa es de 90 grados la torca tendrá un
valor máximo de R por F cualquier otro ángulo me dará un valor
intermedio de la torca o momento como es un vector la torca o momento es un
vector y a partir de la definición del producto vectorial nosotros tenemos
que saber que el vector momento o el vector toca es un vector perpendicular
al plano determinado por R y F ¿de acuerdo? un vector perpendicular al
plano determinado por R y F de manera que si nosotros giramos R sobre F en
sentido antihorario en sentido antihorario como veis aquí en la figura de
la izquierda estoy girando en sentido antihorario la torca atendiendo a la
regla de la mano derecha que habíamos comentado ya previamente al
principio no la torca irá hacia arriba en sentido antihorario el vector
torca el vector momento irá hacia arriba será positivo mientras que
nosotros giramos si nosotros giramos en sentido horario si nosotros giramos
en sentido horario ¿no? fijaos aquí giro F sobre estoy girando este
tornillo en sentido horario ¿no? una rotación en sentido horario el
vector torca el vector momento irá hacia abajo ¿vale? existe una fórmula
que nos relaciona la torca aplicada y la aceleración angular es que esto
no es más que la ecuación de dinámica de la rotación de un sólido
rígido ¿os acordaos cuál era la ecuación de dinámica traslación de
una partícula F igual a M por A? pues ahora será el sumatorio de todas
las torcas o momentos igual a I por alfa ¿vale? si nosotros consideramos
¿no? una rotación en un plano perpendicular al eje Z su módulo sería I
por alfa y alfa y la torca estarían sobre el eje Z ¿vale? no nos
olvidemos que es una magnitud vectorial pero que nosotros sabemos que I es
un escalar que la torca es un vector que tiene la misma dirección que alfa
¿ven? que tiene la misma dirección que alfa hay que saber errores que se
cometen que la torca depende de la magnitud de la fuerza aplicada y de
dónde está aplicada esta fuerza depende de la distancia del eje de giro y
del ángulo que forma ¿cuál es el sentido de la torca y de la
aceleración angular? pues hay que tenerlo presente que siempre el sentido
contrario a las agujas del reloj será positivo y el sentido de las agujas
del reloj negativo ¿vale? ¿qué pasa cuando tenemos el movimiento de un
suelo rígido alrededor de un eje móvil? ¿qué quiere decir un eje
móvil? aquel que se desplaza con el cuerpo por ejemplo un cilindro que cae
por un plano inquinado una esfera un aro que se mueve en un plano inquinado
o en un plano horizontal entonces el eje es móvil entonces la energía
cinética que nosotros la podemos expresar acordaos yo estoy acostumbrado a
ponerle F pero también cada vez habitual en el libro era un medio de I por
omega cuadrado siendo I el momento de inercia con respecto al eje de giro
claro si tenemos a un cuerpo que está girando en un plano horizontal o en
un plano inquinado el eje de giro es el punto de apoyo el punto de apoyo
¿vale? el punto de apoyo pero yo puedo expresar nosotros podemos expresar
la energía cinética de un suelo rígido en función de dos sumandos esto
es muy importante por una parte y lo veremos después en la siguiente en la
siguiente figura ¿no? esta expresión equivale estas dos expresiones que
veis aquí en rojo y en negro son equivalentes porque no resulta más que
de aplicar el teorema de Steiner siendo R la distancia entre ejes que
sería el radio del cilindro o lo que fuera ¿no? entonces fijaos el
momento en la energía cinética yo la puedo expresar en función del
centro de masas sería la energía cinética de traslación del centro de
masas más la energía cinética de rotación alrededor del centro de masas
esto nos puede llamar la atención pero pero es muy útil y es muy cómodo
la hora de trabajar siempre con respecto al centro de masas y lo vais a
entender en esta figura que tenéis aquí ¿cómo tenemos este este aro que
tiene dos movimientos un movimiento de traslación hacia la derecha y vemos
como hemos representado el vector velocidad del centro de masas que
coincide en todos los puntos ¿no? en el 1 2 3 y 4 y con el centro digamos
del cuerpo ¿vale? ¿sí? todo se desplaza a la misma velocidad estamos de
acuerdo y que además ojo tiene un movimiento de rotación bueno si tiene
un movimiento de rotación vamos viendo como v1' v2' que es tangente es
tangente al anillo ¿no? es tangente al anillo v1' v2' v3' v4' ¿no? es
tangente al anillo fijaos cuando yo hago la composición de los dos
movimientos cuando yo hago la composición de los dos movimientos me doy
cuenta que en el punto 1 abajo del todo es como si tuviera una velocidad
nula y de hecho está fijo ese punto cuando gira ¿no? y en el punto 3 v3
es dos veces la velocidad del centro de masas y en el centro de ese aro
tendríamos la velocidad del centro de masas fijaos como en 2 y 4 ese
vector velocidad es la composición de las dos velocidades ¿no? de
traslación y de rotación y que no es tangente a la trayectoria sino que
es tangente porque forma unos ángulos determinados en concreto es ahí de
45 grados con respecto a la horizontal ¿de acuerdo? interesante que
tengáis presente este dibujo y que lo entendáis como energía cinética
de rotación alrededor de un eje móvil ¿cuál es la condición para que
un cuerpo ruede sin deslizar por un plano horizontal o por un plano
inclinado? esto es muy importante también el año pasado pues hubo un
problema de estas características hacer ¿no? debe cumplirse que la
velocidad del centro de masas que la velocidad del centro de masas sea
igual a la velocidad angular por R por el radio esta ecuación sólo se
cumple para el caso de que un cuerpo ruede sin resbalar sin deslizar cuando
un automóvil por ejemplo arranca y va dando tirones los neumáticos
traseros giran con gran rapidez ¿no? mientras que el cuerpo casi no se
mueve de manera que R omega es mayor que la velocidad y lo contrario cuando
aplicamos unos frenos con mucha fuerza el cuerpo derrapa ¿no? y las ruedas
casi no giran de manera que R omega es menor que la velocidad del centro de
masas nosotros esta fórmula sólo la podremos considerar ¿no? cuando
tenemos un movimiento de rotación sin resbalar ¿eh? sin resbalar es
importante nos podemos interesar en un momento determinado como calcularlo
vamos a ver a calcular la rapidez de este yoyo este yoyo que es un cuerpo
que se está está enrollado en una cuerda ¿no? y que se está
desenrollando y que rueda sin deslizar ¿vale? está rodando sin deslizar
inicialmente este cuerpo va a tener bueno siempre estamos considerando que
no hay trabajo de rozamiento el trabajo de rozamiento es nulo por lo tanto
se conserva la energía mecánica inicial es igual a la energía mecánica
final inicialmente el cuerpo está el yoyo está enrollado ¿no? y tendrá
una energía potencial que será MGH a medida que se va desenrollando este
cuerpo ¿no? está rodando sin deslizar el eje es móvil como veis ¿no? de
este eje que tendríamos aquí y sería un medio de I omega cuadrado y que
habría que calcularlo con el teorema de Steiner pero sería es más
cómodo para nosotros trabajar siempre alrededor del centro de masas ¿de
acuerdo? y a partir de aquí igualamos desarrollamos ponemos la velocidad
angular en función de la velocidad del centro de masas como hemos visto
antes y obtenemos esta velocidad del centro de masas que es cuatro tercios
de GH una vez que hemos tachado las masas nos damos cuenta que la velocidad
lineal depende de la altura y de la forma geométrica porque si esto es un
disco el momento inicio es un medio de M cuadrado si fuese una esfera
sería dos quintos de M cuadrado y la velocidad sería distinta de hecho
aquí tenemos una serie de cuerpos ¿no? que se dejan caer por un plano
inquinado y démonos cuenta y queremos saber cuál llegará con mayor
velocidad en la base mirad eh depende de la forma geométrica entonces
arriba del todo tendremos una energía potencial MGH y abajo del todo
tendremos una energía cinética de traslación del centro de masas un
medio de la masa por la velocidad del centro de masas al cuadrado más un
medio de I de C de M por omega cuadrado el momento de inercia depende de la
forma geométrica le llamamos C por M R cuadrado donde C valdrá uno en el
caso de un aro y por ejemplo C vale dos quintos en el caso de una esfera
maciza ¿vale? entonces sustituimos ¿vale? abajo del todo ya no hay
energía potencial ponemos la velocidad angular en función de la velocidad
del centro de masas ¿vale? porque podemos ponerlo porque rueda sin
deslizar y tachamos las masas y me queda que la velocidad del centro de
masas es función de este parámetro C estaréis de acuerdo conmigo que
aquel parámetro que tenga la C más grande tendrá la velocidad más
pequeña y por lo tanto tardará más en llegar a la base del plano
inquinado el aro es el que tiene C igual a uno es el que tiene más grande
y por lo tanto es el que tardará más ¿no? en llegar a la base del plano
inquinado y por lo tanto el que tendrá menos velocidad tendrá menos
velocidad al final del plano nosotros también podemos estudiar el
movimiento de un cuerpo que gira y que se traslada a partir de las dos
ecuaciones fundamentales de dinámica de la traslación como veis aquí
sumatorio de las fuerzas externas igual a la masa por la aceleración del
centro de masas y el sumatorio de las torcas o momento de las fuerzas
externas igual a la id del centro de masas por la aceleración angular
¿eh? aceleración angular ¿no? porque este cuerpo estaría girando con
respecto a un eje Z perpendicular al plano de manera que nosotros podemos
estudiar el mismo problema que hemos visto antes de un de un yo-yo que se
va desarrollando una cuerda aplicando las ecuaciones fundamental de
dinámica de traslación y de rotación si aplicamos nosotros lo que
tenemos que hacer es dibujar las fuerzas que actúan lo tenéis en B las
fuerzas que actúan por una parte tenéis la tensión que es una fuerza
tangente que va del cuerpo hacia la cuerda y por otra parte tenemos el peso
que está aplicado sobre el centro de masas del cuerpo del centro de masas
del cuerpo de manera que este cuerpo lo que hace es desenrollarse baja con
una aceleración lineal del centro de masas con una aceleración angular
alfa evidentemente y una aceleración lineal en la periferia igual que
tendrá una velocidad lineal ¿no? del centro de masas si nosotros
aplicamos la ecuación fundamental de dinámica de traslación a este
cuerpo ¿no? fijaos fuerzas a favor del movimiento el peso fuerzas en
contra la tensión igual a la masa por la aceleración ¿no? la
aceleración ¿no? que desliza ¿eh? por la cual está deslizando ¿no?
cayendo hacia abajo ¿de acuerdo? y si aplico dinámica a la rotación pues
sumatorio de momentos igual a i por alfa pero ¿qué fuerza ejerce momento?
es únicamente la tensión es la única fuerza que ejerce momento porque
está a una distancia del eje de giro r el peso no ejerce en ningún
momento porque la distancia al eje de giro es cero está sobre el centro de
masas entonces la única fuerza que produce la rotación que genera la
rotación es la tensión por lo tanto la torca sería t por r igual a i dc
de m por alfa donde la i es un medio de m r cuadrado ¿de acuerdo? aquí no
veo más desarrollo de todas formas después lo que tenemos es que
fácilmente t por r es igual a un medio de m r cuadrado y alfa es a partido
por r ¿vale? fijaos como de aquí se nos van todas las r y me queda que la
tensión es un medio de m a y de por otra parte tenemos que la tensión es
un tercio de m g igualamos las dos expresiones me queda que la aceleración
es dos tercios de g ¿de acuerdo? aquí tenéis otro ejemplo de un cuerpo
que desliza por un plano inclinado por un plano inclinado ¿vale? una bola
de bolos rueda sin resbalar bajando por una rampa que está inquinada a un
ángulo beta ¿qué aceleración tiene la bola y cuál es la magnitud de la
fuerza de fricción? considere la bola como una esfera maciza aquí es
importante que nos demos cuenta que cuando un cuerpo o este cuerpo está
rodando sin deslizar tenemos una fuerza de rozamiento de entrada nosotros
no podemos poner que la fuerza de rozamiento sea muy paranormal ¿no?
porque no sabemos si tenemos la fuerza de rozamiento máxima que es muy
estática o la normal o estamos en una situación intermedia porque al
estar en movimiento tendremos una muy cinética pero por ello os quiero
decir lo siguiente nosotros tenemos esta descomposición de fuerzas como
veis aquí tenemos el peso que es vertical que se descompone en una px que
es mg seno de beta y una pi que es mg coseno de beta la normal que es la
fuerza de reacción que ejerce la superficie de contacto sobre el cuerpo y
sobre todo muy importante esa fuerza de rozamiento porque tenemos que tener
claro es muy importante que para que un cuerpo ruede por una superficie
tiene que tener fuerza de rozamiento porque si no siempre deslizará para
que un cuerpo ruede por un plano inquinado debe tener fuerza de rozamiento
y esta fuerza de rozamiento es la que ejerce un par de rodadura para que
este sistema ruede si esa fuerza de rozamiento no existiera el sistema
nunca rodaría patinaría y lo que ocurre con las ruedas de un coche en una
superficie helada si la fuerza de rozamiento es muy pequeña no llega a
producirse esa rodadura y por lo tanto las ruedas patina entonces lo que
hacemos aquí es aplicar la segunda ley de Newton a este cuerpo fuerzas a
favor px mg seno de beta menos la fuerza en contra que es f aquí
representada por f igual a la masa por la aceleración y la ecuación de
dinámica de rotación sumatorio de momentos sumatorio de torcas igual a i
por alfa ¿vale? f por r igual a i por alfa siendo i el momento inicial
respecto al centro de masas que en las tablas aparece como dos quintos de
mr cuadrado y ojo aplicamos la fórmula que la aceleración sobre el eje x
es igual a r por la aceleración angular por la aceleración angular sobre
el eje z acordaos la aceleración angular era perpendicular sobre el eje z
la aceleración lineal aquí en este caso evidentemente tiene la misma
dirección la misma dirección que el movimiento de la bola que le hemos
llamado eje x px aceleración x entonces nosotros podemos dejar tenemos un
sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ¿no? podemos poner f
perdonad f que es la fuerza de rozamiento sería dos quintos de m por a si
nos han ido las radios ¿vale? si esta expresión lo sustituimos en la
ecuación de la unidad de aceleración tenemos la aceleración que sale
cinco séptimos de g seno de beta y a partir de aquí de la aceleración
puedo tener la fuerza de rozamiento que es dos séptimos de m g seno de
beta ¿vale? ¿de acuerdo? venga trabajo y potencia el movimiento de la
rotación el trabajo de rotación para que exista un trabajo de rotación
esto es importante tiene que haber un desplazamiento angular se tiene que
recorrer un ángulo de por si el momento de una fuerza no genera un trabajo
tiene que haber un ángulo se recorre tiene que girar un ángulo
determinado ¿vale? entonces el trabajo de rotación se define como el
producto de la torca ¿no? por el ángulo el ángulo recorrido si esa torca
es constante tenemos la ecuación de aquí abajo como veis ¿no? que es la
torca multiplicada por el ángulo recorrido incremento de z el ángulo
final menos el ángulo inicial si la torca no es constante tendríamos que
integrar la torca por el diferencial del ángulo no es habitual
encontrarnos problemas con torcas que no son constantes ¿eh? trabajo
organizado por una torca constante entonces aquí sí que hablaríamos de
julios alguien me dirá bueno pero es que teníamos newton metro si estos
son newton metro multiplicado por radianes esto sí que le puedo llamar
julios porque esto sí que es un trabajo que hay una rotación ¿vale?
ahora bien nosotros también podemos saber recordando el teorema de la
energía que el trabajo total es igual a la variación de energía
cinética del sistema entonces fijaos como nosotros el trabajo igual que
ocurría en dinámica traslación lo podemos extraer lo podemos considerar
por dos vías una como el producto de la torca por el ángulo o también
como la variación de energía cinética de rotación energía cinética de
rotación la potencia de forma análoga a dinámica traslación es igual a
la torca por la velocidad angular ¿cómo se obtiene derivando trabajo con
respecto del tiempo? ¿vale? sería la torca por la derivada del ángulo
con respecto del tiempo que es omega ¿de acuerdo? aquí tendríamos el
producto escala de dos vectores ¿no? son paralelos y por lo tanto la
potencia es un número no es un vector ¿y qué unidades tiene la potencia?
vatios vamos a hablar ahora muy importante del momento angular de hecho en
los últimos ha caído ya en dos exámenes la teoría ¿no? del momento
angular y el principio de conservación del momento angular esta parte es
muy importante de teoría ¿eh? ¿cómo se define el momento angular de una
partícula? el momento angular de una partícula es un producto vectorial
de dos vectores que es r que es el vector de posición de la partícula con
respecto a un punto o con respecto vamos a calcular ahí el momento angular
por el producto vectorial sobre p p que es la cantidad de movimiento o
momento lineal cantidad de movimiento o momento lineal entonces l es r
vectorial p r vectorial mv ¿vale? producto vectorial el módulo sería r
por el seno del ángulo que forma r, m, v por el seno del ángulo que forma
momento lineal ¿no? que es masa por velocidad ¿sí? si nosotros
derivásemos esta ecuación derivada de l con respecto de t tendría la
derivada de un producto sería derivada de r con respecto de t vectorial p
y la derivada más r vectorial derivada de p con respecto de t pero esta
primera derivada esta primera esta de aquí la derivada de r es la
velocidad y tendría el producto vectorial de dos vectores paralelos v y p
son dos vectores paralelos entonces el producto vectorial de dos vectores
paralelos es cero por lo tanto derivada de l con respecto de t sería r
vectorial f porque f es la derivada de p con respecto de t entonces sería
r vectorial f y esto no es más que la torca de la fuerza externa entonces
a partir de aquí nosotros podemos escribir la ecuación fundamental de
dinamica de la rotación ¿no? de manera que la reacción del cambio del
momento angular ¿no? es igual a la torca neta de la fuerza neta que actúa
sobre ella la derivada temporal ¿no? como veis de l con respecto de t es r
vectorial f igual a la torca ¿vale? ¿y cómo es este momento angular?
¿cómo es este momento angular? ¿no? es un vector es una magnitud
vectorial como veis que para un sólido rígido se transforma en i por
omega antes la expresión que hemos visto antes era para una partícula r
vectorial p pero para un sólido rígido se transforma esa ecuación en i
por omega siendo i el momento de inercia con respecto al eje de giro
entonces es un vector que va a tener la misma dirección que omega ¿no?
¿de acuerdo? y además en el mismo sentido porque i es el momento de
inercia es un número positivo ¿vale? si la partícula el sólido rígido
gira en sentido antiorario omega va hacia arriba y l va hacia arriba si la
partícula gira en sentido horario omega va hacia abajo y l va hacia abajo
¿de acuerdo? bien para un sólido rígido ¿no? si yo tengo l i por omega
la derivada temporal de l con respecto de t como i es constante es la
derivada de omega con respecto de t y eso por definición que es la
aceleración angular ¿no? con respecto al eje z de manera que nosotros
podemos decir ¿no? fijaos como hemos deducido que la torca resultante es
igual a i por alfa ¿no? siendo alfa y la torca son dos vectores que están
sobre el eje z sus módulos sería lo que tendríamos aquí ¿de acuerdo?
vamos a hablar ahora del principio de conservación del momento angular muy
importante hasta ahora hemos visto que la torca resultante es igual a
derivada de l con respecto de t ¿vale? ahora bien si la torca resultante
¿no? que actúa sobre una partícula es cero estáis de acuerdo en que la
derivada del momento angular o cinético ¿no? se le puede llamar es cero o
lo que es lo mismo el momento angular o cinético de mi sistema se conserva
es constante ¿vale? es constante entonces el momento angular de mi sistema
y por omega ¿no? es igual a y' por omega' o i1 por omega1 igual a i2 por
omega2 ¿vale? evidentemente esto sería el momento angular de un sólido
rígido que tiene rotación si yo tengo una partícula ¿no? también que
está en movimiento de rotación su momento angular sería rmv siendo v la
velocidad tangente ¿no? en ese movimiento de rotación entonces el
principio del momento angular lo que nos dice es que si la torca resultante
el momento de las fuerzas externas que actúa sobre mi sistema es nulo el
momento angular o cinético de mi sistema de partículas permanece
constante o invariable aquí tenemos un ejemplo de aplicación ¿no? que
nos dice un profesor de física se pone de pie en el centro de una mesita
giratoria y sin fricción con los brazos extendidos horizontalmente y una
mancuerda de 5 kilos en cada mano se le pone a girar sobre un eje vertical
dando una revolución una vuelta cada 2 segundos si me dice a mi que doy
una vuelta cada 2 segundos puedo calcular omega ¿no? serían 2 pi partido
por 2 ¿vale? calcule la velocidad angular final del profesor si el pega
las mancuerdas a su atomen el momento de inercia es el momento es de 3
¿no? con los brazos extendidos y baja a 2 con 2 si coloca las manos en el
abdomen las mancuerdas están a un metro del eje al principio y 0,2 al
final es decir el hombre tiene un momento de inercia de 3 cuando tiene los
brazos extendidos y de 2 con 2 cuando tiene los brazos encogidos y la
mancuerda está inicialmente a un metro y al final a 0,2 aquí vamos a
considerar que el momento de las fuerzas externas resultante es 0 que la
torca resultante es 0 y que el momento angular de mi sistema va a ser
constante siendo omega un vector axial e i es el momento de inercia de mi
sistema inicial e i prima el momento de inercia de mi sistema final ¿por
qué cambia el momento de inercia? ¿y por qué cambia la velocidad
angular? porque al encoger los brazos al encoger los brazos disminuye el
momento de inercia de la persona y disminuye el momento de inercia de las
mancuerdas porque están más cerca del eje de giro todo esto va a producir
que para que se conserva el momento angular la velocidad angular del
taburete se incremente aumente ¿de acuerdo? aquí tenemos el dibujo
correspondiente y aquí la resolución ¿cuál es el momento de inercia
inicial del sistema? 3 que es la persona más como hay dos mancuerdas dos
pesas 2 por 5 por 1 al cuadrado sale 13 y la velocidad angular dice que da
una revolución cada dos segundos lo ha puesto en revoluciones por segundo
se podría poner en radianes por segundo serían pi radianes por segundo y
el momento de inercia final sería 2 con 2 más las dos mancuerdas que
ahora están a 20 centímetros 2 con 6 vemos que ha disminuido
significativamente entonces si aplicamos la fórmula ¿no? que el momento
angular ha de ser constante ¿no? la nueva velocidad angular vemos que es 5
veces mayor que la inicial ¿no? 2,5 revoluciones por segundo o 10 pi 5 pi
perdón 5 pi ¿no? si lo he pasado a radianes por segundo ¿de dónde surge
esta nueva velocidad angular? porque la velocidad angular aumenta esto
supone un aumento de la energía cinética de mi sistema ¿de dónde
aparece esta energía cinética? ¿de dónde viene? del trabajo realizado
por las fuerzas internas al aproximar las mancuerdas al cuerpo hay un
trabajo realizado por las fuerzas internas que produce este incremento de
la energía cinética de mi sistema bueno este es un problema que cayó el
año pasado lo explicaremos en una otra sesión y simplemente estaba
interesado en hablaros muy brevemente de equilibrio equilibrio es el
último tema que está en la P2 ¿no? y muy brevemente sobre la parte de
teoría equilibrio y elasticidad ¿vale? ¿cuál es la condición de
equilibrio? la condición de equilibrio en dinámica de traslación es que
el sumatorio de las fuerzas sea cero y condición de equilibrio en
dinámica de la rotación es que la torca resultante sea cero ¿vale? la
torca resultante ha de ser cero aquí tenemos varios ejemplos fijaos como
aquí se cumple la primera condición de equilibrio el sumatorio de las
fuerzas es cero ¿no? dos fuerzas hacia arriba y dos fuerzas hacia abajo
que se equilibra entonces la condición de equilibrio estático se cumple
la condición de equilibrio estático se cumple ¿no? y la condición de
equilibrio de rotación también se cumple porque tenemos dos torcas de la
fuerza de la derecha y fuerza de la izquierda que se anulan sin embargo en
el caso de la derecha solo se cumple la condición de equilibrio de
traslación porque tenemos una fuerza hacia arriba otra fuerza hacia abajo
la fuerza resultante es cero pero la segunda condición no se cumple hay
una torca distinta de cero que es dos veces f por l porque producemos una
rotación en sentido horario ¿vale? en el tercer caso fijaos en este
tercer caso vemos que la condición de equilibrio de traslación no se
cumple porque tenemos una fuerza resultante hacia arriba tres f y la de
rotación sí que se va a cumplir porque la torca sería una torca hacia la
derecha f de rotación hacia la derecha f por l y hacia la izquierda una
rotación hacia la izquierda en sentido horario que sería una torca un
medio de l por dos f claro la distancia es la mitad y la fuerza es la doble
la segunda condición sí que se incluye sí que se cumple y por lo tanto
este cuerpo no estaría en equilibrio tendría un movimiento de traslación
hacia arriba hay que tener en cuenta que la torca puede ser positiva o
negativa aquí tenemos dos torcas una positiva que giraría en sentido
antihorario y una torca negativa que giraría en sentido horario y que se
contrarresta bien hay que decir que el centro de masas de una partícula
perdón de un sistema de partículas se puede calcular mediante esta
expresión que tenéis aquí eso lo vimos en otro tema es sumatorio de las
masas por el vector de posición de cada una de las partículas partido por
la masa total y a partir de aquí tendría el vector de posición del
centro de masas bien hay que tener en cuenta que si tenemos un cuerpo que
tiene una simetría determinada ¿no? y que su densidad es constante
podemos decir que como la gravedad varía poco con la altura que el centro
de gravedad ¿no? coincide con el centro de masas ¿no? y siempre vamos a
suponer siempre vamos a suponer que el centro de masas y el centro de
gravedad son idénticos ¿vale? ¿de acuerdo? entonces podemos calcular el
centro de gravedad con la fórmula anterior pensemos en la ley de Hooke
¿no? que nos habla que cuando aplicamos una fuerza ¿no? por ejemplo
según un resorte el cociente del esfuerzo y la deformación es una
constante esa constante nosotros la podemos llamar módulo de elasticidad y
depende que si tenemos estamos hablando de la elasticidad de un muelle de
una goma de un cuerpo en dos o tres dimensiones ese módulo de elasticidad
depende del material del cual está hecho el cuerpo ¿vale? aquí por
ejemplo tenemos el módulo de Young por tensión la deformación por
tensión aplicamos una fuerza tangente este módulo de Young es el cociente
entre la fuerza por unidad de área aplicada dividido por la deformación
por unidad de longitud la deformación por unidad de longitud de manera que
el módulo de Young fijaos como está relacionado con por el esfuerzo
aplicado la tensión por unidad de área ¿no? y la deformación por unidad
de longitud aquí lo tenemos ¿no? un objeto en tensión ¿no? la fuerza
neta que actúa sobre el objeto es cero pero el objeto se deforma ¿vale?
aquí tenemos como se produce una deformación ¿no? al aplicar esta fuerza
esta tensión ¿no? ¿vale? entonces el esfuerzo de tensión es fuerza por
unidad de área ¿no? y la deformación por tensión es incremento de L
partido de L es cero fijaos ¿no? entonces el cociente de ambas expresiones
es lo que se llama módulo de Young ¿eh? aquí tenemos vamos a introducir
la presión o esfuerzo de deformación volumétrica la presión sabemos que
la fuerza normal por unidad de superficie y hablamos de deformación
volumétrica esfuerzo volumétrico dividido deformación volumétrica ¿no?
este esfuerzo volumétrico ¿no? se calcula a partir de la presión que se
ejerce ¿vale? adicional ¿no? incremento de P e incremento de V partido
por U0 es la variación relativa del volumen ¿vale? donde beta es el
módulo volumétrico por compresión después tenemos el módulo de corte
que es el esfuerzo de corte partido de deformación de corte ¿vale? aquí
tenéis ¿no? los dibujos correspondientes a este digamos ah deformación
volumétrica ¿no? ese incremento de presión y que produce una compresión
un incremento de volumen negativo por eso la fórmula parecía un signo
menos y aquí una deformación por corte ¿no? esfuerzo de corte bien ahora
ya quedarían unos ejercicios que los dejaríamos también para otra
sesión yo de este tema aparte de las condiciones de equilibrio y cosas muy
sencillitas muy poca cosa digamos es habitual digamos en las PECS y en los
exámenes hasta la fecha ¿eh? hasta la fecha muy bien muchas gracias la
próxima sesión haremos ejercicios de aplicación de todo esto