Muy bien, pues buenas tardes. Empezamos la nueva sesión del curso cero de
física y en esta primera parte vamos a hablar de sólido rígido,
esencialmente dinámica y energía. La cinemática la hemos comentado, pero
vamos a insistir un poquito más en ella. Bueno, sabemos que en todo
movimiento circular tenemos una aceleración. ¿Qué aceleración es? La
aceleración normal o centrípeta. Por el hecho de describir un movimiento
circular, toda partícula tiene aceleración. A veces las personas piensan
que cuando tenemos un movimiento uniforme no hay aceleración y eso no es
correcto. Cuando tenemos un movimiento uniforme no tenemos aceleración
tangencial. Tangencial. Que es la responsable del cambio del módulo de la
velocidad, del cambio de la celeridad. Porque celeridad o módulo de la
velocidad es lo mismo. Pero cuando tenemos un movimiento circular, sea
uniforme o no, vamos a tener una aceleración normal. Una aceleración
normal o centrípeta dirigida hacia el centro de la circunferencia. ¿Qué
es la responsable? La responsable del cambio de la dirección de la
velocidad. ¿De acuerdo? Tenemos aquí una partícula que describe un
movimiento circular, que por lo tanto, con lo dicho, tiene siempre una
aceleración normal o centrípeta. ¿Qué parámetros tenemos en un
movimiento circular? Pues tenemos, por una parte, el ángulo descrito, como
veis aquí, que estará relacionado con el espacio recorrido, la longitud
del arco y el radio de la circunferencia. Sabemos de matemáticas que la
longitud del arco recorrido, la longitud del arco de una circunferencia, es
igual al ángulo descrito en radianes multiplicado por el radio. El ángulo
descrito por radianes multiplicado por el radio. O si queréis, el ángulo
es igual a la longitud del arco partido por el radio. Dividido por el
radio. ¿De acuerdo? Esta relación es importante. Hay que saberla, la
relación entre el espacio y el ángulo recorrido. Si nosotros derivamos la
derivada del ángulo recorrido por unidad de tiempo, ¿a qué será igual?
Pues a la velocidad angular instantánea. Porque, ¿qué será la velocidad
angular media? Pues el cociente entre el ángulo, recorrido partido del
intervalo de tiempo transcurrido. ¿Vale? Y la derivada de la velocidad
angular con respecto del tiempo, pues será la aceleración angular
instantánea. ¿Que proviene de qué? De la aceleración angular media, que
es el cociente entre la variación de velocidad angular partido del
intervalo de tiempo. Acordaos cómo obteníamos las magnitudes
instantáneas en función de los valores medios, haciendo que los
cocientes, no el incremento de t tiende a cero. El límite de incremento
del ángulo partido de incremento de t, cuando el incremento de t tiende a
cero, esto por definición es la derivada del ángulo con respecto del
tiempo. Esto es omega, la velocidad angular instantánea. ¿Vale? Si existe
una correlación entre magnitudes lineales y angulares, la distancia
recorrida, o sea, s en metros, o incremento de s, el ángulo descrito en
radianes, sistema internacional. ¿Y la relación? Ya la hemos comentado,
¿no? Espacio igual al ángulo por r. Igualmente tenemos una relación
entre la velocidad lineal y la velocidad angular. Si nosotros derivásemos
la ecuación de aquí arriba que está en recuadro, obtendríamos que v es
igual a omega por r. Velocidad lineal es igual a velocidad angular
multiplicada por el radio. Las unidades de la velocidad angular radianes
por segundo. Velocidad lineal, metros partido por segundo. La aceleración
lineal le correspondería a la aceleración angular. ¿Qué relación
existe? Cuidado. Ahora hay que ir con cuidado. Porque hablamos siempre de
dos aceleraciones. Una aceleración tangencial y una aceleración normal.
La aceleración tangencial es igual a la aceleración angular multiplicada
por el radio. Y la aceleración normal es omega cuadrado por r. ¿No?
Cuidado con la diferencia de las dos aceleraciones. La primera es la
responsable de la variación del módulo de la velocidad. Angular, si
queréis. Y la segunda es la responsable del cambio de la dirección del
vector velocidad. Del vector velocidad. De hecho, a sub t es la derivada de
la celeridad con respecto del tiempo. ¿Vale? Y a sub n es v cuadrado
partido por r. Lo que pasa es que podemos dejar estas expresiones en
función de magnitudes angulares. ¿Cómo? Poniendo v igual a omega por r.
Entonces tengo la derivada de un producto, en el primer caso, donde r es
constante. Me queda la derivada de omega con respecto de t, que es alfa. En
el segundo caso, simplemente v es omega por r. Si le vamos al cuadrado, se
me va una r y me queda omega cuadrado por r. Pero estas fórmulas están
ahí. ¿De acuerdo? Vamos a ver, a recordar un poco cuál es la dirección
de estos vectores. Recordemos, la aceleración normal es un vector que
está dirigido hacia el centro de la circunferencia. Siempre hacia el
centro de la circunferencia de la aceleración normal. El radio lo tenemos
claro. Es un vector que parte del centro hacia el punto de la trayectoria.
Y el vector velocidad. El vector velocidad es un vector constante. Es
tangente a la trayectoria. De manera que si describo un movimiento
circular, este vector será tangente a la trayectoria. Esto será v. Este
vector que es tangente a la trayectoria. ¿Y cómo es el vector velocidad
angular? Bueno, aquí tenéis unas expresiones de productos vectorial que
os pueden resultar un poco extrañas. Tenemos que saber que el vector
velocidad angular es un vector axial. ¿Qué quiere decir esto? Que es
perpendicular al plano de la circunferencia que describe la partícula. De
manera que si describe una circunferencia en sentido antihorario, el vector
velocidad angular irá hacia arriba. Y si describe en sentido horario, irá
hacia abajo. ¿Y qué relación tenemos con el vector aceleración angular,
α? Pues α y w son dos vectores que tienen la misma dirección. La misma
dirección. El sentido ya dependerá si α es positivo o negativo. Pero una
aceleración angular positiva que se incremente tendrá también un sentido
hacia arriba como está aquí dibujado. ¿De acuerdo? Entonces, α y ω son
vectores axiales perpendiculares al plano de la circunferencia. a sub n va
dirigido hacia el centro de la circunferencia. Y aquí tenéis unas
ecuaciones vectoriales. Y si hacéis estos productos vectoriales, ponéis
los vectores en un punto de la trayectoria, por ejemplo. Pues os saldrá el
vector, la dirección de v. Porque ω por r, ¿no? Si hacéis ω por r,
pues será un vector que gira. Un producto vectorial de dos vectores es un
vector perpendicular al plano. De manera que si gira en sentido antihorario
irá hacia afuera. Y si gira en sentido horario irá hacia adentro. En un
movimiento circular uniforme, ¿vale? Tenemos que decir que la velocidad
angular es constante. ω es constante. Entonces, tenemos que hablar de dos
parámetros. Dos parámetros importantes. El periodo, que es el tiempo que
invierte la partícula en dar una vuelta completa. Y la frecuencia, que es
el número de vueltas que da la partícula cada segundo. El periodo viene
dado en segundos. Y la frecuencia viene dado en segundos a la menos uno. En
segundos a la menos uno, la frecuencia. Y el periodo en segundos. ¿Vale?
Aquí... Aquí nosotros podemos escribir la ecuación del movimiento
circular uniforme. Que no es más que muy similar, después lo veremos, al
movimiento rectilíneo uniforme. Ángulo igual al ángulo inicial más ωt.
No hace falta hacer este proceso de integración. ω es constante y no es
necesario. Y t sub cero, aquí siempre estamos considerando como cero. Esta
ω, que es la velocidad angular, es el ángulo, acordaos, partido por el
tiempo. Claro, si yo... El ángulo es una vuelta, que son dos pi radianes.
Ese tiempo, por definición, es el periodo. Por ello ω también se escribe
como dos pi partido por el periodo. El ángulo, una vuelta, dos pi
radianes. Y t, el periodo, el tiempo de dar una vuelta. O también, en
función de la frecuencia. Que la frecuencia es la inversa del periodo.
Porque si el periodo es el tiempo que tarda en dar una vuelta, la
frecuencia será el número de vueltas que realiza cada segundo. ¿Y qué
será un movimiento circular uniformemente acelerado? Pues, es aquel cuya
aceleración tangencial es constante. Tenemos una aceleración tangencial
constante. O si queréis, una aceleración angular constante. El término
uniformemente acelerado quiere decir aceleración tangencial... Perdón,
constante. a sub t es α por r. Claro, si decimos que a sub t es constante
y como r es constante, ¿esto qué implica? Que α va a ser constante. ¿Y
cómo son las ecuaciones del movimiento circular uniformemente acelerado?
Pues aquí las tenéis. Os he puesto también las ecuaciones con la
integración, pero fijaos que son muy análogas, muy similares, a las que
ya conocéis del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Sólo que
ahora donde antes había el espacio, ahora está el ángulo. Donde antes
teníamos... la v, ahora hay w. Y donde antes teníamos... a, ahora tenemos
α. Entonces ya sabéis que la tercera ecuación de los cuadrados es
combinación lineal de las dos primeras. Y que no nos es muy útil trabajar
cuando no tenemos tiempos, etc. Aquí tenéis una comparación de estas
ecuaciones que hemos estado diciendo hasta ahora. ¿Vale? Fijaos. Fijaos
cómo hay un paralelismo entre las dos tablas que tenemos a la izquierda,
rectilíneo, y a la derecha, circular. Donde había espacio, hay ángulo.
Donde hay velocidad lineal, hay velocidad angular. Y donde hay aceleración
tangencial, tenemos aceleración angular. Aceleración angular. Sobre todo
son las tres primeras fórmulas. La cuarta es mucho menos habitual, aunque
sabéis que existe. El espacio recorrido no es la semisuma de la velocidad
inicial y final multiplicada por el tiempo. Bueno. Aquí volvemos a
insistir en estas relaciones entre las magnitudes lineales y angulares, la
rapidez y la velocidad angular, la aceleración tangencial r por α, la
aceleración radial o centrípeta ω cuadrado por r. Estas fórmulas que
nos relacionan las magnitudes lineales y angulares debemos tenerlas
presentes. Aquí tenéis un esquema donde me dibujan el vector
aceleración, el vector aceleración tangencial y la aceleración radial.
Fijaos que la aceleración radial o normal o centrípeta son tres
sinónimos va dirigido siempre hacia el centro de la circunferencia que la
aceleración tangencial es tangente a la trayectoria y por lo tanto tiene
la misma dirección que el vector velocidad tiene la misma dirección que
el vector velocidad es igual esta aceleración tangencial a rα, su módulo
y la velocidad lineal es la velocidad angular multiplicada por r. Claro, la
composición de esta aceleración tangencia y esta aceleración radial o
normal me daría la aceleración total que como veis va dirigida hacia la
parte interior de esta circunferencia no va dirigida hacia afuera. Claro,
¿por qué no va dirigida hacia afuera? Pues porque la aceleración radial
siempre va hacia el centro a no ser que sea muy grande, muy grande la
aceleración tangencial que haga que salga fuera del círculo la resultante
pero normalmente va dirigida hacia el interior del círculo bueno, no hacia
el centro, hacia el interior del círculo. Aquí tenemos un ejercicio
numérico al menos uno solo de cinemática de movimiento circular un disco
de 40 cm de radio parte del reposo y en 20 segundos alcanza 60 RPM ¿Qué
son las RPM? Es una forma de expresar la velocidad angular RPM RPM es la
abreviatura de revoluciones por minuto hay que recordar que una revolución
o una vuelta son dos pi radianes y que un minuto equivale a 60 segundos a
la hora para hacer los factores de conversión Bien, entonces dice que
transcurrido ese tiempo el disco gira durante 10 segundos a velocidad
constante y posteriormente inicia un frenado que lo hace detenerse en dos
vueltas se detiene en dos vueltas ¿Vale? calcular las aceleraciones
angulares al acelerar y al frenar el número de vueltas total dadas por el
disco Bueno, bien En primer lugar siempre hay que trabajar en el sistema
internacional y la velocidad angular lo que tenemos que hacer es
transformarla en radianes por segundo. Si tenemos 60 revoluciones por
minuto hay que transformarlo en radianes por segundo en radianes por
segundo Entonces una vez tenido esto apliquemos omega igual a omega sub
cero más alfa t y obtendremos la aceleración angular de este primer tramo
de este primer tramo esta aceleración angular ¿Cuál será el número de
vueltas dadas? Pues calculemos el ángulo recorrido ya que sabemos el
tiempo, 10 segundos velocidad triangular inicial es 0 Entonces ya quedan 10
vueltas en este primer tramo En el segundo tramo gira durante 10 segundos a
velocidad constante Vamos a ver cuántos radianes ha recorrido en 10
segundos a esa velocidad constante de 6,28 o 2 pi y tenemos 62,8 que
equivale a 10 vueltas ¿Y qué hace al final? Dice que se detiene al dar
dos vueltas más ¿Cuántas vueltas totales lo tenemos? 10 por aquí, 10
por aquí más 2 del último tramo, 22 vueltas ¿Pero cuál sería la
aceleración del último tramo? Porque me pide la aceleración angular del
primero al acelerar y al frenar Pues ya que sabemos que da dos vueltas que
son 4 pi radianes dos vueltas son 4 pi radianes y aplicando la ecuación
esta de los cuadrados menos omega sub 0 cuadrado igual a 2 alfa por el
ángulo aquí el ángulo sería 10 pi perdón, 10 pi 4 pi, son dos vueltas
son 4 pi y la velocidad angular final es 0 la inicial es 6,28 pues
sustituyendo me queda una aceleración angular de menos 1,57 Vamos a
introducir ahora el concepto de momento angular momento angular o momento
cinético depende del libro que consultéis, del manual etc. Se define con
una letra L mayúscula es una magnitud vectorial y es el producto vectorial
de dos vectores r, vector de posición y p, cantidad de movimiento o
momento lineal ya sabéis que la cantidad de movimiento o momento lineal es
el producto de la masa por la velocidad por lo tanto en este dibujo yo creo
que lo tenéis claro l es r vectorial p si hemos dado producto vectorial
recordaremos que el producto vectorial de dos vectores es un vector que es
perpendicular al plano determinado por ambos vectores y que el sentido es
el del avance de un sacacorchos si queréis o si queréis si el sentido
antihorario va hacia arriba y el sentido horario va hacia abajo o si
queréis la regla de la mano derecha la regla de la mano derecha me indica
los dedos me indican el sentido de giro y el pulgar L como veis aquí en la
imagen en este caso como este sistema gira en sentido antihorario pues por
lo tanto tendrá una L positiva vale de acuerdo bueno positiva hacia arriba
el módulo pues mv por el seno del ángulo que forma claro este seno del
ángulo que forma si se trata de un movimiento circular en un circular alfa
es de 90 grados y por lo tanto me quedaría mvr o m omega cuadrado por r
vale cuáles son las unidades en el sistema internacional pues las de la
masa kilos vale la velocidad metros por segundo por la distancia metros si
queréis kilos metro cuadrado segundos a la menos uno vale bueno vamos
ahora a derivar esta ecuación del momento angular o cinético r vectorial
p si yo derivo con respecto del tiempo tengo la derivada de un producto la
derivada es la derivada del primero por el segundo más el primero por la
derivada del segundo entonces la derivada de r con respeto de t por p mas r
por la derivada de p con respeto de t que vale la derivada de r con respeto
de t la velocidad vale la fuerza pero creo que si os dais cuenta V sobre P
P, V sobre P, este punto vectorial V sobre P es el punto vectorial de dos
vectores paralelos que tienen la misma dirección porque la única
diferencia entre V y P la única diferencia entre V y P es que P está
multiplicado por la masa, que es un escalar. ¿Y cuál es el punto
vectorial de dos vectores paralelos? Cero. ¿Por qué? Porque el seno de
cero que vale. El seno de cero es cero. Recordaos, esto sería R P por el
seno de cero, que es cero. ¿De acuerdo? Entonces, ¿qué me queda? Que la
derivada temporal del momento angular o cinético es R vectorial F. Y este
R vectorial F es lo que se llama la torca o el momento de la fuerza, que
viene a ser otro producto vectorial, R vectorial F. Decía que según el
libro que consultéis se le llamamos momento de la fuerza o torca de la
fuerza. ¿Vale? ¿Qué pasa si, ahora dejamos este cuadro que hay aquí,
prefiero explicaroslo porque no me gusta cómo está aquí escrito, y
decimos que si el momento de las fuerzas que actúan sobre una partícula
es cero, L será constante. ¿Y por qué puede ser cero el momento de las
fuerzas que actúan? Pues puede ser que se compensen o porque no haya
ninguna fuerza porque, ojo, el momento sería R por F por el seno del
ángulo que forma, otra vez. Si alfa vuelve a ser cero grados, el momento
es cero. ¿Cuándo es cero grados? O ciento ochenta grados, me da igual.
Por ejemplo, en las fuerzas centrales, en el movimiento de los planetas. En
el movimiento de los planetas, R y F son antiparalelos, ¿vale? Forman
ciento ochenta grados y ciento ochenta es cero. Eso quiere decir que en el
movimiento de los planetas, el momento de las fuerzas externas o la torca
es nula. Y si la torca es nula, el momento es nulo, quiere decir que el
momento angular o cinético de los planetas es constante. Es constante. En
módulo, dirección y sentido. Cuando veamos campo gravitatorio
insistiremos un poquito en ello. ¿Eh? En módulo, dirección y sentido.
Constante. Bueno, aquí tenéis el vector torca, el vector momento, ¿cómo
lo tenemos? Es un vector perpendicular, perpendicular a R y F. Aquí me
dicen que F va hacia afuera de la pizarra, hacia afuera de la hoja, por lo
tanto lo voy a pintar hacia aquí. Sería el vector F, que haría girar
este tornillo en sentido antihorario. Y por lo tanto, aplicando la regla de
la mano derecha, la torca, un momento, iría hacia arriba. ¿De acuerdo?
Bien, veamos un poco las magnitudes angulares que hemos introduciendo y su
relación con las magnitudes lineales. Momento lineal P le corresponde a un
momento angular L. Fijaos como el paso de magnitud lineal angular es hacer
el producto vectorial R, vectorial, la magnitud lineal. Porque abajo, donde
tenemos la fuerza, que es la causa del movimiento, el momento de la fuerza
o la torca es la causa del movimiento en dinámica de la rotación. Para
que un cuerpo rote, tiene que haber un momento de la fuerza. No basta con
que haya una fuerza. El momento de la fuerza ha de ser distinto de cero.
Para que exista una rotación, para iniciar una rotación, la torca o
momento de la fuerza ha de ser distinto de cero. R vectorial F. En
dinámica traslacional hablábamos del principio de conservación del
momento lineal y aquí hablaremos dentro de un momentito de conservación
del momento angular. Fijámonos en las magnitudes P, lo que es la cantidad
de movimiento momento lineal y aquí lo que es el momento angular. La I es
lo que se llama el momento de inercia. Ahora después hablaremos de lo que
es esta I, del momento de inercia. Pero también, evidentemente, veis un
paralelismo donde había V, ahora hay W y donde había M, ahora hay I. I de
momento de inercia. Ahora lo definiremos. En dinámica traslación
hablábamos de la resultante de las fuerzas externas igual a M por A o
derivada de P. Ahora aquí tenemos la torca o derivada de L con respecto a
T. La torca o momento derivada de L con respecto a T igual a I por alfa.
Claro, ¿y por dónde viene este I por alfa? Porque tenemos que L es I por
omega y es una constante. Hablaremos ahora del momento de inercia. Y es una
constante. Y omega, si nosotros hacemos la derivada de omega con respecto a
T, es alfa, ¿no? La aceleración angular. ¿Vale? Y fijaos en la
expresión de la energía cinética traslación, V cuadrado y la energía
de rotación, un medio de I omega cuadrado respecto a un eje fijo, ¿no?
Voy a ponerlo. Respecto a un eje. Bueno, fijo o no fijo, después
hablaremos de ello. ¿Vale? Respecto a un eje. Un medio de I omega cuadrado
donde I vuelva a ser el momento de inercia. Fijaos, donde había M, ahora
hay I. Donde había V, ahora hay W. Y donde había A, ahora hay alfa. ¿No?
Y donde había fuerza, ahora hay momento de la fuerza, P, momento angular.
¿De acuerdo? Bueno, aquí tenéis estas equivalencias que siempre os
pueden ayudar, ¿no? Y entonces, como os decía, tenemos que hablar de lo
que es el momento de inercia. I es el momento de inercia y es un parámetro
que depende del eje de giro que estemos considerando. Yo puedo tener un
conjunto de masas puntuales, ¿no? De masas puntuales. Podemos tener un
conjunto de masas puntuales, ¿sí? Que tengan M1, M2, M3 y que se
encuentren a una distancia determinada de un eje de giro. Entonces, el
momento de inercia de este sistema de partículas respecto a un eje de
giro, respecto al eje de giro concreto, es la suma de los productos de cada
masa, por la distancia al eje de giro al cuadrado. ¿Vale? Esto es cuando
tenemos un sistema de masas puntuales, finita, pero cuando tenemos un
sólido rígido no deformable. Un sólido rígido es un sólido no
deformable. ¿Qué quiere decir no deformable? Que la posición relativa de
las partículas se mantiene constante en el tiempo. ¿Vale? Constante en el
tiempo. Entonces, para calcular el momento de inercia de un sólido
rígido, ¿no? De un sólido rígido que tenga unas dimensiones
determinadas, depende de su geometría. Entonces, yo, lo primero que os
tengo, que os he hecho hincapié aquí, es que el momento de inercia
depende del eje de giro. Porque es el producto de la masa por la distancia
al eje de giro. Si yo cambio el eje de giro, voy a cambiar el momento de
inercia. ¿Vale? Aquí tenéis un esquema de momentos de inercia de
distintos cuerpos. Normalmente, cuando tengáis un ejercicio, si os hacéis
un ejercicio, si os sale alguna vez un ejercicio de sólido rígido, los
momentos de inercia se dan en el pie del problema, etc. Normalmente, aquí
tenéis el momento de inercia de una varilla cuyo eje pasa por el centro de
masas y de una varilla que pasa por el extremo. Estas láminas planas es
muy poco habitual, igual que este cilindro hueco con pared gruesa, pero un
cilindro macizo sí que es muy habitual, como veis. Un cilindro macizo un
cilindro hueco de pared delgada, es lo mismo que un disco también. ¿No?
Es MR cuadrado. A ver, el momento de inercia de un cilindro o de un disco
es lo mismo, un medio de MR cuadrado. El momento de inercia de un cilindro
hueco o de un aro es lo mismo, MR cuadrado. Y el de una esfera maciza es
dos quintos de MR cuadrado y de una hueca, dos tercios. ¿Eh? ¿Cómo
nosotros podemos relacionar el momento de inercia de un sólido rígido
respecto a un eje cuadrado? ¿Cualquiera partido del centro de masas? Pues
mira, si queréis os lo cuento aquí porque tenemos la I del centro de
masas y me da la I del extremo. ¿Cómo sacamos esta I del extremo? Con el
teorema de los ejes paralelos que me dice que la I es igual a I de CDM, que
en este caso es un doceavo de MR cuadrado. Recordad que el mínimo momento
de inercia que tiene un sólido rígido es siempre respecto al centro de
masas. Con respecto a cualquier otro eje siempre será más grande. M por
la distancia. Entonces, tengo aquí un cuarto y un doceavo. Un cuarto más
un doceavo es un tercio. Un tercio de ML cuadrado. Vamos a hablar ahora del
principio de conservación del momento angular o momento cinético. Bueno,
hemos dicho que para un sólido rígido el momento angular o cinético es L
igual I por omega. I por omega. Pero, ¿y qué sería para una partícula?
Vale la pena reseñarlo. Sería RMV por el seno de alfa. ¿No? Si tenemos
un movimiento circular sería RMV. ¿No? RMV. Ángulo 90 grados entre R, el
vector de posición y la velocidad. El vector momento angular en función
de omega ya os dais cuenta que es una magnitud vectorial y que tiene la
misma dirección y sentido que omega vector. Que omega vector. Es decir,
que si el sistema gira en sentido antihorario omega va hacia arriba y L va
hacia arriba. ¿Por qué digo esto? Porque la I es el momento de inercia.
Es un número que siempre es positivo. El momento de inercia viene a
representar un poco en un sólido rígido lo que la masa en un movimiento
de traslación. El momento de inercia, lo dicen las palabras, es un poco la
inercia del sólido rígido. La inercia que tiene a rodar, etcétera.
Entonces, hemos dicho que la ecuación fundamental de dinámica de
rotación sería que el momento de las fuerzas externas o sumatorio de
torcas de dos maneras son correctas. Podéis poner M externa, siempre el
momento de las fuerzas externas derivada de L con respecto de T y también
se puede sustituir I por omega I, perdón, I por alfa. I por alfa, ¿no?
Siendo I el momento de inercia y alfa la aceleración angular. Ahora bien,
la rotación de un cuerpo rígido nosotros que está, por ejemplo, un
cuerpo, un sólido rígido que se mueve por un plano horizontal que se
desliza por... No, que va rodando por un plano horizontal o por un plano
inclinado. El movimiento de este aro, de este disco, de esta esfera yo lo
puedo desglosar en dos sumandos. Porque claro, cuando yo me muevo por un
plano horizontal o un plano inclinado el eje, el punto de apoyo es el eje
por el cual está girando. Pero es un eje que no está quieto, que avanza
con el cuerpo. Que avanza con el cuerpo. Pero yo de una manera más
sencilla puedo estudiar el movimiento ¿no? de un sólido rígido que rueda
sin deslizar por un plano inclinado por un plano horizontal considerando el
movimiento del centro de masas. De manera que la energía cinética total
de mi sólido rígido yo la puedo expresar como suma de dos términos. Esto
es importante. La energía cinética de traslación del centro de masas
más la energía cinética de rotación alrededor del centro de masas.
Cuidado, ¿eh? Energía cinética de traslación del centro de masas más
energía cinética de rotación alrededor del centro de masas. ¿Y cuál es
la condición para que un cuerpo ruede sin resbalar, sin deslizar? Pues que
se cumpla que V es igual a R por omega. ¿Eh? A veces R por omega es más
pequeño que V o viceversa, más grande. Por ejemplo cuando un coche
arranca en forma de tirones las ruedas prácticamente no giran ¿no? eso
sí giran mucho, muy deprisa. ¿Sí? O cuando vamos a frenar ¿no? cuando
vamos a frenar de una forma brusca ¿no? tampoco se cumple, ¿no? porque el
coche patina se bloquean las ruedas. Bueno aquí es una demostración de
que el momento de inercia en la energía cinética de rotación respecto a
un eje fijo se puede poner como asomatorio de estos dos momentos perdón,
que la energía cinética alrededor de un eje fijo como es aquí el punto 1
el punto de apoyo ¿no? podría ser el punto de apoyo abajo ¿no? se puede
expresar como la suma de la energía cinética de rotación del centro de
masas alrededor del centro de masas más la energía cinética de
traslación del centro de masas del centro de masas. Fijaos que el primer
círculo nos está indicando la velocidad de traslación del centro de
masas la velocidad de traslación del centro de masas Vcm ¿sí? Y en el
segundo dibujo tenemos la velocidad ¿no? tangencial que tiene cada punto
de esta rueda ¿cuál será la velocidad la velocidad resultante de cada
punto de cada punto material? Pues la suma de sendos vectores que tenemos
en 3 y en T' en 1 y 1' con ello lo que nos damos cuenta que es que el punto
1 abajo tiene velocidad nula o está fijo y la velocidad en 3 en el extremo
superior es 2 veces la velocidad del centro de masas ¿no? y en 4 y en 2
vemos que forma un ángulo determinado ¿no? Bien nosotros podremos
realizar los ejercicios de este capítulo de sólido rígido con dos
estrategias una aplicando la ecuación fundamental de dinámica de
traslación y la ecuación fundamental de dinámica de la rotación F igual
m por a y momento de las fuerzas externas igual a i por alfa ¿no? o bien
aplicar conservación de la energía o también el teorema de la energía
para un sólido rígido trabajo total igual a variación de energía
cinética de rotación pero lo que sí también se puede aplicar en sólido
rígido es conservación de la energía mecánica alguien me puede decir
oiga pero no hay rozamiento si tiene que haber rozamiento para que ruede
sintetizar pero esa fuerza de rozamiento instantánea que tiene el objeto
¿no? en el punto de apoyo que rueda sin deslizar en un principio no
realiza trabajo porque no es que sea despreciable es porque no hay
desplazamiento no hay desplazamiento es puntual y vamos ya a meternos a
hacer ejercicios mirad aquí tenemos una polea sin fricción que tiene la
forma de un disco sólido me da su masa y su radio y una piedra que cuelga
de 1,5 kilos no sujeta un alambre de masa despreciable pero el sistema se
deja en libertad ¿qué distancia debe descender la piedra para que la
polea tenga 4,5 julios de energía cinética? 4,5 julios de energía
cinética bueno y después ¿qué me pide? ¿qué porcentaje de la energía
cinética total tiene la polea? bueno sabemos que el momento de inicio de
un disco macizo es 1.000 m2 me lo va a dar el enunciado y por lo tanto el
momento de inicio de la polea es 0,05 kilos metro cuadrado si la polea no
avanza su energía cinética de rotación se corresponderá simplemente
como un medio de I omega cuadrado siendo I el momento de inercia con
respecto al centro de masas ¿vale? y la omega será raíz cuadrada de dos
veces la energía cinética de la polea partido el momento de inercia de la
polea por lo tanto su velocidad angular es 13,4 radianes por segundo que le
corresponderá una velocidad lineal en el extremo que coincida con la
velocidad lineal de la piedra que cuelga del extremo con un hilo con un
alambre V igual a omega por R siendo R 20 centímetros el radio 2,68 ahora
bien si quiero calcular qué distancia tiene que descender para que
adquiera esa energía cinética la polea vamos a aplicar conservación de
la energía mecánica la energía mecánica en un punto es igual a la
energía mecánica en otro punto energía cinética más potencial inicial
es igual a la energía cinética más potencial final pensar que
inicialmente no no tiene energía cinética en mi sistema la polea y la
piedra están en reposo y puedo tomar origen de alturas el el punto inicial
la altura a la cual se deja caer ¿vale? por eso H1 sería 0 ¿eh? de
acuerdo H1 sería 0 ahora bien ¿qué pasa cuando ha descendido una altura
H? que la polea tiene esta energía cinética de la polea la piedra tiene
otra energía cinética y tenemos la energía potencial de la piedra que va
a ser negativa ¿por qué? porque está va a estar por debajo del nivel 0
de altura porque yo he tomado origen de alturas aquí arriba ¿eh? aquí
hemos tomado H perdón H igual a 0 entonces cuando caiga ¿no? aquí
tenemos una altura negativa porque estoy por debajo del nivel 0 ¿vale?
entonces tendremos que ha descendido o si tiene que haber descendido 67,3
centímetros ¿vale? y ¿qué porcentaje de la energía cinética que posee
la polea del sistema perdón es de la polea pues calculamos la energía
cinética total ¿no? y después la energía cinética el porcentaje de la
energía cinética de la polea será esa energía cinética a partir de la
total multiplicada por 100 un 45,5 seguimos un alambre ligero y delgado se
enrolla alrededor del borde de una rueda como se muestra en la figura la
rueda gira sin fricción alrededor de un eje horizontal fijo que pasa por
su centro esto siempre va a pasar ¿eh? la rueda siempre vamos a tener
sistemas que giran sin fricción ¿vale? la rueda si gira sin fricción de
un eje fijo que pasa por su centro la rueda es un disco uniforme ya nos
dicen que es un disco el movimiento de inercia lo miramos en las tablas es
un medio de m2 y del extremo libre del alambre se encuentra suspendido un
objeto de 4,2 kilos el sistema se libera del reposo y el objeto desciende
con aceleración constante 3 metros en 2 segundos este dato de que
desciende como decía constante 3 metros en 2 segundos me permitirá a mi
calcular la aceleración tangencial ¿eh? la aceleración tangencial ¿eh?
del objeto y por lo tanto la aceleración tangencial del extremo de la
polea a un disco vamos a ver las fuerzas que aplicamos primero vamos a
calcular la aceleración porque sabemos que recorre 3 metros en 2 segundos
luego la aceleración sale 3 medios ¿de acuerdo? y también podemos
calcular qué vale la velocidad en esos 2 segundos 3 metros por segundo y
por lo tanto su velocidad angular que es la velocidad lineal para partir
por el radio velocidad angular de la rueda para ti igual a 2 segundos 10,7
¿eh? ahora bien vamos a aplicar conservación de la energía energía
mecánica en un punto es igual a energía mecánica en otro punto energía
cinética más potencial en un punto será energía cinética más
potencial en otro punto bueno dejamos caer este objeto ¿no? desde una
altura de 3 metros inicialmente está en reposo luego tendremos una
energía potencial ¿de quién? de la piedra como está en reposo todo lo
restante no hay energía cinética y cuando hayamos bajado esos 3 metros la
altura será 0 la energía potencial será 0 habíamos tomado origen de
alturas abajo del todo y tendremos un medio de mv cuadrado más un medio de
i omega cuadrado ¿no? la energía cinética de traslación del objeto que
cae más la energía cinética de rotación de la polea que está fija y
que rueda ¿eh? cuidado ¿eh? son de cuerpos diferentes a partir de aquí
vamos a despejar el momento de inercia ¿no? y como sabemos que para un
disco es un medio de mv cuadrado podemos despejar la masa y sale 46,5
kilogramos bien aquí tenemos un bloque pequeño de 0,025 kilos en una
superficie horizontal sin fricción está toda una pieza de cuerda de masa
despreciable que pasa por un agujero el bloque inicialmente está girando a
0,3 metros con una velocidad angular de 1,75 ahora se tira de la cuerda
desde abajo acortando el radio del círculo que describe el bloque a 0,15 a
la mitad el bloque puede tratarse como partícula dice ¿se conserva el
movimiento angular del bloque? ¿por qué? ¿qué valor tiene ahora la
rapidez rectangular? calcula el cambio de energía cinética y cuánto
trabajo se afectó al tirar de la cuerda bueno interesante ¿se conserva el
movimiento angular? ¿qué fuerza aplicamos aquí la tensión? ¿y qué
vale el momento ejercido por la tensión? es que el momento que ejerce el
momento del torque ejercido por la tensión es 0 ¿por qué? porque r y t
son vectores que forman un ángulo de 0 grados ¿vale? de 0 grados ¿por
qué? porque el vector de posición ¿no? está claro que el vector de
posición y el vector tensión son paralelos aquí ¿de acuerdo? entonces
se conserva el momento angular i por omega es igual a i' por omega' podemos
calcular el nuevo momento de inercia porque la distancia pasa de 0,3 a 0,15
por r ¿no? y la velocidad angular ha pasado de 1,75 a 7 ha aumentado a
menor distancia mayor velocidad angular ¿vale? ¿y qué vale la velocidad
lineal en cada uno de los puntos? pues omega' por r' ¿prima no? y la
velocidad inicial pues sería omega por r ¿no? las energías cinéticas
pues las energías cinéticas ¿no? de rotación inicial un medio de i
omega cuadrado un medio de inercia smr cuadrado omega sub v cuadrado
partido de r cuadrado es igual con la final un medio de m r' cuadrado y v'
cuadrado partido por r' cuadrado es decir nosotros podemos determinar ¿no?
las energías cinéticas inicial y final a partir de la expresión de un
medio de mv cuadrado en este caso pensad que el momento de inercia de una
masa puntual es smr cuadrado ¿vale? ¿y cuál es la variación de la
energía cinética? pues aquí la tenéis 1,03 por i elevado a menos 2
julios ¿y de dónde proviene? pues del trabajo positivo que ejerce un
trabajo positivo ¿no? estamos tirando de la cuerda ejercemos una fuerza o
una tensión y habrá un desplazamiento este ejercicio es importante porque
es el que aparece para para digamos el trabajo ¿no? del curso cero si lo
elegís para hacer para explicar pues aquí lo tenemos pero sabéis que
basta hacer cinco dice desde la base de un plano equilibrado se lanza con
la misma velocidad un aro un cilindro y una esfera y un disco de la misma
masa determine cuál alcanza mayor altura si se deja caer de la misma
altura cuál llega antes bueno aquí tenemos que tener primero que estos
datos del momento de inercia los tenemos ¿no? en los apuntes la
bibliografía de manera que de esos tres cuerpos yo lo puedo abreviar
poniendo i igual a k smr cuadrado siendo k uno para el caso de un aro para
un disco cilindro un medio y para una esfera dos quintos entonces lo
primero que me piden es cuál llegará a mayor altura ¿no? y después si
se dejan caer desde el mismo punto cuál llegará antes a la base inclinada
¿vale? bien trabajo de rozamiento cero energía mecánica constante
recordad que para que exista un movimiento de rodadura tiene que haber
rozamiento pero aquí el trabajo de rozamiento es cero porque esa fuerza de
rozamiento siempre es una fuerza instantánea porque el eje de giro va
avanzando con el cuerpo energía mecánica constante energía mecánica
inicial igual a energía mecánica final abajo del todo ¿qué tenemos? una
energía cinética ¿vale? la energía cinética del cuerpo que se lanza
rodando sin deslizar un medio de mv cuadrado más un medio de iu mv
cuadrado igual a la energía potencial que tenemos arriba mgh ¿vale?
entonces voy a sustituir el movimiento de inercia de cada cuerpo de forma
genérica como kmr cuadrado sin tocar una constante que como habéis visto
antes puede ser uno un medio o dos quintos si sustituimos la i por kmr
cuadrado tachamos las masas y sacamos factor común sacamos factor común
un medio de v cuadrado a partir de aquí podemos determinar la altura ¿y
cuál llegará a mayor altura? aquel que tenga la k más grande ¿no? la k
más grande la k mayor porque vemos que es proporcional ¿no? a la k ¿no?
¿si? vale entonces ¿quién llegará a mayor altura? el aro después el
disco y por último la esfera ¿y si lo dejo caer para que llegue a la
base? ¿cuál llegará antes a la base? el que llegue con mayor velocidad
porque su aceleración será mayor arriba del todo energía potencial mgh
abajo del todo energía cinética de traslación más de rotación del
centro de masas ¿de acuerdo? entonces la energía potencial es igual a la
energía cinética traslación más la energía cinética de rotación
ponemos la i como kmr cuadrado por ejemplo ¿no? podemos simplificar las
masas los r cuadrados y me queda que la velocidad final es raíz cuadrada
de 2gh partido de 1 más k después llegará abajo con mayor velocidad pues
está claro que es el que tengo en la k más pequeña que es la esfera
después el disco cilindro macizo y por último el aro ¿no? que tiene la k
más grande al tener la k más grande que es 1 la k ¿no? tendrá la
velocidad más pequeña vamos con este otro ejercicio dice un patinador que
gira los brazos extendidos de un patinador que prepara un giro pueden
considerarse como una varilla delgada que pivota sobre el eje que pasa por
su centro cuando los brazos se juntan el cuerpo para ejecutar el giro se
pueden considerar como un cilindro hueco de pared delgada los brazos y las
manos tienen una masa combinada de 8 kilos cuando se extienden abarca 1,8
metros encogidos 25 centímetros de radio el momento inicial del resto del
cuerpo es 0,4 ¿no? y su rapidez inicial es de 0,4 revoluciones por segundo
¿cuál será la rapidez angular final? bueno pues aquí tenemos que decir
que el momento de las fuerzas externas es 0 siempre todos estos sistemas de
acróbatas etc patinadores ¿no? el momento angular del sistema permanece
constante o invariable y l antes y después no serán los mismos bueno
inicialmente consideramos los brazos como una varilla alrededor de un eje
que pasa por el centro de masas los brazos encogidos actúan o se
consideran como un cilindro o hueco ¿qué valdrá el momento angular de mi
sistema inicialmente? pues la I del cuerpo que es un dato 0,4 más la I de
los brazos que será un doceavo de ml cuadrado donde pongo la masa total no
lo desgroso en dos saldría lo mismo por omega 0,4 ¿y L' pues la I del
cuerpo más la I' la I' de los brazos cuidado por omega' y igual a 0,4 más
8 0,25 bueno omega' ¿no? de acuerdo esta vez no está incógnita entonces
si L ha de ser igual a L' y por omega es igual a I' por omega' de aquí
podemos despejar omega' vale ¿y esto que nos queda? 2,56 entre 0,9 2,56
entre 0,9 0,4 revoluciones por segundo 1,4 revoluciones por segundo ¿qué
ha pasado con la base tangular que ha aumentado ¿por qué? porque el
momento de inercia ha disminuido siempre el efecto es el mismo si la base
detenida lo que tiene que hacer es aumentar el momento de inercia venga
veamos ahora dos ejercicios más dice que una polea es un disco de masa M y
radio R en la polea penden dos masas M1 y M2 unidas con una cuerda sin
fricción determina la aceleración lineal de las masas la tensión de la
cuerda y la aceleración angular de la polea ¿vale? la polea se asimila a
un disco en medio del recuadrado esto sería la polea con los dos cuerpos
fijaos las fuerzas dibujadas tenemos el peso en ambos casos vertical hacia
abajo la tensión sobre los cuerpos son fuerzas que salen del cuerpo y van
dirigidas hacia la cuerda y además en este caso ya que tenemos una polea
de masa no despreciable y de un momento de inercia dado tengo que dibujar
las tensiones porque estas tensiones que dibujo además con la misma
nomenclatura T1 y T2 son fuerzas de igual módulo y dirección pero de
sentido contrario ley de acción y de reacción ¿no? T1 es la fuerza con
que se tira del cuerpo T2 es la fuerza con que se tira de la polea y
viceversa también el mismo argumento a la izquierda T2 con T2 y el peso
hacia abajo en este caso decimos que se mueve el sistema hacia la derecha
porque M1G será mayor que M2G ¿no? y aplicamos la ecuación fundamental
de dinámica de rotación a la polea M igual a I por alfa M es el momento
de las fuerzas que actúan tangencialmente sobre la polea sería T1 menos
T2 por R igual a I por alfa donde I es el momento de inercia un medio de MR
cuadrado ahora bien si nosotros aplicamos la ecuación fundamental de
dinámica de traslación a cada cuerpo que pende el cuerpo que baja sería
M1G menos T1 igual a M1A y a partir de aquí sacamos la tensión y en 2 el
cuerpo que sube T2 menos M2G igual a M2A luego T2 tiene esta expresión
entonces con esta tres ecuaciones con tres incógnitas aquí tenemos una y
dos tres ¿no? somos capaces de poder resolver cualquier ecuación de
sólido rígido bueno perdonadme también con esta fórmula alfa igual a A
partido por R ¿eh? alfa igual a A partido por R ¿no? bueno entonces si
nosotros en primer lugar simplificamos ¿no? vemos que las R se me van me
queda T1 menos T2 igual a un medio de M por A entonces M1G menos M1A menos
M2G menos M2A será igual a un medio de M A y a partir de aquí yo puedo
sacar la aceleración ¿cómo? pues sacando factor común la aceleración a
un lado puede ser a la derecha y sería M1G menos M2G partido M1 más M2
con su medio de M y se hace con letras se deja con letras en este caso
aquí tenemos otro más que es un yoyo de masa M y radio R se desenrolla de
una cuerda de masa despreciable determina la aceleración del centro de
masas la velocidad del centro de masas cuando ha descendido una altura H
cuando ha descendido una altura H el momento de inercia de un disco es un
medio de M R cuadrado dibujemos las fuerzas que actúan tenemos el peso en
el centro de gravedad y la tensión la tensión es la que va a producir la
rotación de este yoyo ¿vale? esa tensión el peso no va a ejercer en
ningún momento de la fuerza aplicada si yo explico un momento con respecto
al centro del disco no tendremos nada ¿por qué no? mira pues porque la
distancia al eje de giro es cero ¿vale? bien vamos a hacer esto por
energías o por dinámica bueno vamos a empezar bueno ya que nosotros hemos
dicho por energías vamos a hacerlo por dinámica el momento la única
fuerza que ejerce el momento con respecto al centro ¿no? es la tensión
porque el peso está aplicado sobre el centro no es que no exista el peso
pero el momento es cero t por r igual a i por alfa la i es un medio de mr
cuadrado y alfa ya sabemos ¿no? que es a partido por r la aceleración
lineal partido por r de aquí deducimos que la tensión es un medio de m a
entonces mg menos t igual a m a y de aquí obtenemos la aceleración que es
dos tercios de g dos tercios de g la aceleración ¿con qué desciende? ¿y
cuál será la velocidad? ¿no? la velocidad cuando desce de una altura h
pues con esta fórmula de los cuadrados v cuadrado menos v sub cero
cuadrado igual a dos a h o si queréis incremento de h o incremento de i
¿qué me representa? pues la altura que habré descendido ¿vale? al final
me queda raíz cuadrada de cuatro tercios de g ¿no? sustituyendo por la
aceleración que ya conocemos dos tercios de g ahora bien esta velocidad no
la aceleración la velocidad se podría determinar por conservación de la
energía aplicando el principio de conservación de la energía ¿y esto
cómo sería? pues diciendo que la energía mecánica arriba es igual a
energía mecánica abajo ¿y qué energía mecánica tenía arriba? pues
energía potencial gravitatoria mgh ¿y abajo? pues toda esa energía
potencial si tomo ahí origen de altura es el punto más bajo ¿no?
tendríamos la energía cinética de traslación del centro de masas más
la energía cinética de rotación alrededor del centro de masas la i
respecto al centro de masas de un disco es un medio de mr cuadrado la omega
es v cuadrado partido por r cuadrado y podemos simplificar las r ¿no? las
masas también y me queda pues un medio más un cuarto ¿no? que son tres
cuartos por tanto la velocidad de caída veis que sale lo mismo sale lo
mismo por métodos energéticos que por métodos dinámicos aplicando la
ecuación fundamental de dinámica de traslación y de dinámica de
rotación se puede obtener pero también fácilmente se obtiene esa
velocidad por energías quizás más fácil ¿no? por energías de acuerdo
bien pues esto era un poquito los ejercicios que os quería plantear de
sólido rígido hacemos un pequeño paréntesis y nos incorporamos para
introducirnos en la siguiente sesión muchas gracias