Bien, pues buenas tardes. Vamos a empezar esta primera sesión de las
prácticas de física y vamos a hablar en esta primera parte del cálculo
de errores. Tenemos que saber que la determinación experimental de
cualquier magnitud física, todo ello se realiza a través de aparatos de
medidas y después pues todo tiene un tratamiento de los datos obtenidos.
Normalmente las medidas experimentales después nos sirven para calcular
magnitudes físicas por cálculos indirectos, es decir, nosotros medimos a
lo mejor tiempos, longitudes, temperaturas, pero nuestro objetivo final no
es calcular sólo ese tiempo, esa longitud, esa temperatura, es calcular
otras magnitudes físicas como pueden ser el periodo, la gravedad,
constantes elásticas, ¿no? Entonces el grado de imprecisión o de
fiabilidad de estos datos se caracteriza por una cantidad llamada error
experimental. El error experimental es el sentido que nosotros damos de
concepto, ¿no? El error en física, el error experimental. No vamos con el
término error de equivocación, no, no. El error es, digamos, la
imprecisión, el grado de imprecisión, la fiabilidad, ¿no?, del valor de
la magnitud física que nosotros calculamos. Bien. Los tipos de errores que
nos podemos encontrar son muy variados, ¿no?, pero en general se suelen
clasificar en dos tipos de errores, en dos tipos de errores. Los errores
instrumentales y los errores accidentales. ¿Qué son los errores
instrumentales? Los que están directamente relacionados con nuestro
aparato de medida, ¿vale? Bien. Nuestro aparato de medida puede tener un
error. De hecho, muchas veces, esto sobre todo aparece en los aparatos de
medidas de electricidad, y aquí me referiría, pues, a prácticas de
corriente continua, ¿no?, etc., pues el mismo fabricante nos habla del
error o de la imprecisión de nuestro aparato de medida, pero otras veces
no nos dice nada. Claro, una balanza, bueno, vamos a irlo por... Una
balanza, ¿qué error tiene la medida de la masa de una balanza? Pues va a
depender si es analógica o digital, ¿eh? Ahora vamos a seguir con esto.
Bueno, aquí tenemos, pues, una cinta métrica, como veis, es una cinta
métrica que nos va a medir una longitud de manera analógica. Y aquí, por
ejemplo, un amperímetro que nos va a hacer una medición digital. ¿Qué
errores tienen nuestros aparatos de medida? Pues el error de resolución.
Este error de resolución es debido a la precisión intrínseca del aparato
y es inevitable. Es decir, nosotros nunca vamos a poder trabajar con una
medida con un error inferior al del aparato de nuestra resolución. No
puede ser. Es decir, por 20 veces que nosotros repitamos una medida y
digamos que nos sale igual, como mínimo el error de nuestra medida es el
que nos da nuestro aparato. Normalmente el fabricante nos da el valor del
error de resolución. Pero yo otras veces no. Entonces se sigue el
siguiente criterio. En los aparatos analógicos, como la cinta métrica que
tenemos ahí, se considera que el error de resolución es igual a la mitad
de la diferencia entre dos valores consecutivos de escala. ¿Qué quiere
decir esto? Pues si la cinta métrica aprecia milímetros, nuestro error de
resolución lo asumiremos como 0,5 milímetros. 0,5 milímetros. En los
aparatos digitales, el error de resolución se considera igual a la unidad
del último dígito. Así, en el ejemplo anterior que teníamos un
amperímetro, ¿no?, que teníamos dos cifras decimales, si os acordáis,
el error de resolución sería 0,01 amperi. ¿Vale? Lo tenemos que tener en
cuenta estos detalles. ¿Y qué es el error de cero? Que también puede
ser, pues, el valor que indica el aparato cuando la magnitud de medida
corresponde al valor inicial de escala. Es decir, si nosotros abrimos el
amperímetro, ¿no?, y resulta que ya nos mide un valor sin tener nada
conectado, es que tenemos un error del cero. Entonces, habría, algunos
aparatos lo permiten corregir, normalmente, entonces se permite corregir,
¿vale? Igualmente que analógicamente una distancia nula no nos puede dar
un valor de uno o dos milímetros, ¿no? Error de escala. ¿Qué quiere
decir esto? Pues la diferencia entre la magnitud medida y el valor real en
distintos puntos de la escala de medida. Es decir, por ejemplo, si nosotros
sabemos que... Por ejemplo, si nosotros sabemos que por un circuito circula
una corriente de dos miliamperios y nosotros intercalamos nuestro
amperímetro y no marca dos miliamperios, quiere decir que tiene un error
de escala. Hay que calibrar nuestro aparato. Si nosotros, por ejemplo, una
balanza, ¿no?, sabemos que tenemos una pesa de calibración que pone
cincuenta gramos, ponemos encima la balanza cincuenta gramos. Que marca
cincuenta, perfecto. Que no marca cincuenta, tenemos un error de escala.
Hay que corregir, hay que corregir, hay que calibrar esa balanza. Por otra
parte, tenemos lo que se llama... Ay, perdonad, que esto se ha cambiado. Lo
que se llaman los errores accidentales. Por ejemplo, nosotros repetimos
más de una vez medidas idénticas en mismas medidas en idénticas
condiciones. Y resulta que medimos la longitud de un péndulo tres veces. Y
resulta que ninguna de las tres veces me sale lo mismo. Bueno, ¿qué
quiere decir esto? Pues que hay algún factor, un error accidental, que
estoy cometiendo. Entonces, para minimizar ese error accidental en este
caso, nosotros lo que hacemos es sacar, obtendríamos el valor medio de
esas tres medidas. Es decir, difícilmente nos podemos encontrar que
midiendo las longitudes, tiempos, en las mismas condiciones, e idénticas
condiciones, nos salga exactamente lo mismo. Eso es muy difícil, que salga
exactamente lo mismo. Sobre todo cuando tenemos aparatos de gran
precisión. Estas desviaciones introducen una incertidumbre en el resultado
final que se llamaría error accidental. Bueno, ¿por qué se hace esto?
Pues muchas veces dices, bueno, voy a repetir algo tres veces. Y resulta
que los tres son muy parecidos. Pues adelante, no he cometido un grave
error. Pero si resulta que tengo dos muy parecidas y otra muy diferente,
digo, ojo. Aquí pasa algo. Y eso me tiene que dar lugar a una pequeña
reflexión. Bueno, pues mira, si tengo dos muy parecidas y una
significativamente diferente, aquí ha pasado algo. Pues lo voy a hacer una
cuarta vez. Ah, pues resulta que es muy parecida a las dos que tenía
antes. Perfecto. Entonces, esa que me salía tan diferente la voy a
desechar. No estamos haciendo ninguna trampa, ¿no? Pero estamos
reflexionando sobre los resultados. Ahora, si resulta que la cuarta medida
me sale igual que la que salía tan diferente, ya tengo dos y dos. Ya tengo
un pequeño problema. Tendré que seguir haciendo medidas a ver qué es lo
que ocurre. ¿Dónde me estoy equivocando? ¿Vale? No suele ser habitual,
¿eh? Normalmente, cuando medir longitudes con un metro, lo hacemos con
cuidado, con detalle. Medimos tiempos con un cronocontador que es digital,
¿no? Asumimos, asumimos que nuestras medidas son correctas, que son buenas
y que los errores accidentales que nosotros podamos cometer son inferiores
al error de resolución, al error de resolución de mi aparato. Por lo
tanto, si no decimos lo contrario, diremos que nuestro error, el error de
nuestra medida es el error de resolución. Claro, voy a medir la masa de un
muelle. Lo voy a medir la masa tres veces en algo digital. Bueno, lo tengo,
me fijo que está en el cero, lo dejo en reposo, dejo que esté
estacionado, que no oscile. Evidentemente parece que una medida tiene que
bastar si yo he comprobado previamente que estaba en el cero. Si quiero lo
repito, estoy ahí delante de la balanza. Normalmente me saldrá lo mismo.
¿Puede cambiar una centésima? Bueno, a lo mejor estamos en una pequeña
corriente de aire y puede ser que me varíe alguna centésima. Procuraré
que no estemos en una corriente de aire. Exactitud, precisión y
sensibilidad. La exactitud es el grado de concordancia entre el valor
verdadero y el valor experimental. Diremos que un aparato es exacto si las
medidas realizadas con él están muy cercanas del verdadero. Claro, ¿y
esto cómo lo puedo saber? Yo sé cuál es el valor exacto de algo. Yo
puedo saber el valor exacto, como os decía, una balanza y yo puedo saber
que una pesa me la da el fabricante, está calibrada, tiene de más a
50,00. Si yo... Realizo la masa con esa balanza y me sale 50,00, pues diré
que tiene una gran exactitud este aparato de medida. Depende, si hay
diferencias, pues hay que ver cuál es la diferencia. La precisión es el
grado de concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud.
Realizada en condiciones sensiblemente iguales. Un aparato es preciso
cuando la diferencia entre distintas medidas de la misma magnitud es muy
pequeña. Ya no decimos que sea igual hasta que decimos que sea muy
pequeña. Porque puede haber pequeñas diferencias. Medimos con
milímetros. Yo mido una vez y me da 18 milímetros. Vuelvo a medir, 18, 19
milímetros. Bueno, vale. La apreciación, ¿no? Es muy difícil. La
sensibilidad es el valor mínimo de la magnitud capaz de medir. La
sensibilidad de una balanza, si la sensibilidad de una balanza es 0,01,
significa que para masas inferiores no voy a presentarte bien en alguna. Es
decir, yo tengo mi balanza en el laboratorio que aprecia hasta la
centésima de gramo. En ningún caso podré medir yo una masa con mayor
precisión que la centésima. Ni aunque yo repita tres veces la experiencia
y saque un valor medio, bajo ningún concepto, podría yo dar una masa con
una precisión mayor que mi sensibilidad, que la sensibilidad de mi aparato
de medida. ¿Vale? Con dos cifras decimales. ¿No? Se admite que la
sensibilidad de un aparato viene dada por la división más pequeña de la
escala de medida. ¿Vale? Bueno. La exactitud normalmente implica
precisión, pero la afirmación inversa no es cierta. ¿Por qué? Yo puedo
tener aparatos muy precisos y que tengan poca exactitud debido a posibles
errores sistemáticos, no esté bien calibrada mi balanza. Yo puedo tener
una balanza, esto es lo más fácil de entender, y peso tres veces la misma
masa, y me sale las tres veces igual. Yo, perfecto, esto es su masa
perfecta. Ojo, pero si esa balanza no estaba en el cero o tiene un error de
calibración, por mucho que yo diga que las tres valores sean iguales,
evidentemente, no, es muy precisa, no quiere decir que sea exacto porque si
está mal calibrado, pues resulta que puede haber una desviación
significativa al valor real. Es decir, la precisión siempre es más fácil
de conocer que no la exactitud, ¿no? Bueno, pero vamos a hablar ahora de
lo que es el error absoluto y el error relativo. Son parámetros que vamos
a utilizar bastante en las medidas experimentales de las experiencias.
Bueno, cuando medimos una determinada magnitud física, el resultado que
nosotros obtenemos no es un resultado exacto. Sí. Sino que tenemos un
intervalo en torno a un resultado aproximado. De manera que nosotros
ponemos... que nuestro resultado de esa magnitud física es algo, un valor
numérico, más menos, ¿no?, más menos incremento de x. ¿Y qué es
incremento de x? Bueno, lo primero que tenemos que saber es que x e
incremento de x tienen que estar en las mismas unidades y que incremento de
x ha de ser un número real positivo, ¿de acuerdo? Y tiene que tener las
mismas unidades de x y se le llama error absoluto, el error absoluto,
¿vale? ¿Y qué es esto del error absoluto? ¿No? Es el valor absoluto, el
valor absoluto de la diferencia entre el valor obtenido experimentalmente y
el verdadero valor de esta magnitud. Claro, tú me dices, y eso como... Yo
sé, ah, por ejemplo, si yo hago una experiencia y mi objetivo es
determinar la gravedad, ¿no?, y yo obtengo una gravedad de 9,71 y resulta
que yo sé que la gravedad es 9,81, el valor verdadero de la gravedad es
9,81, ¿qué es el error absoluto? La diferencia entre el valor
experimental, 9,71, menos... menos... el valor verdadero, 9,81, en este
caso. Es decir, incremento de x es el valor absoluto de 9,71... Menos 9,81.
Esto es igual a 0,10. Entonces, la gravedad que nosotros obtenemos sería
igual a 9,71 más menos 0,10 metros segundo al cuadrado. Alguien diría,
oiga, este cero a la derecha no pinta nada. Sí que pinta. Tenemos dos
cifras significativas, ¿vale? Y por eso puedo dar el resultado con dos
cifras significativas. Después hablaremos de las cifras significativas y
de cuántas cifras significativas se puede dar un resultado. ¿De acuerdo?
Bien. Entonces, ahora bien, entenderemos todos que ahora, por ejemplo,
bueno, entendemos esto, ¿no? La gravedad. Si yo quiero comparar o quiero
decir que una medida tiene mayor calidad o menor error que otra medida...
Claro, si yo mido longitudes, estáis de acuerdo conmigo que no es lo mismo
un error de un centímetro cuando mido una distancia de 100 centímetros,
porque eso me saldría en porcentaje un 1%, que un centímetro cuando mido
una distancia de 10.000 centímetros, ¿no? Porque el error sería 100
veces menor, 1 partido por 10.000, ¿no? Sería 0,01, ¿no? Bueno, ¿qué
quiero decir con ello? En tanto por ciento, perdón. Entonces, ¿qué
quiere decir esto? Que... Es muy interesante introducir otra magnitud
dentro del cálculo de errores que se llama el error relativo. El error
relativo es el cociente entre el error absoluto, está puesto entre barras
para que no se nos ocurra ponerlo negativo, ¿vale? Dividido el valor
obtenido experimentalmente. Experimentalmente, el valor obtenido
experimentalmente, ¿eh? Porque es el error relativo de mi medida
experimental, no del valor teórico. Aquí, ¿qué sería el error
relativo? El error relativo, en este caso, sería 0,10 entre 9,71, si lo
queremos dar en tanto por 1. Esto es un número adimensional, carece de
unidades. Así como el error absoluto tiene las mismas unidades que la
medida, el error relativo no tiene unidades. ¿Vale? Y, ¿qué ocurre? Que
normalmente se suele dar en tanto por 100. Entonces, el error relativo
sería el error absoluto partido total y multiplicado por 100. ¿Vale?
Aquí sería 10 entre 9,71, que bueno, ya en tanto por 100 me sale 1,02.
Voy a poner 1,0%. Claro, a muchos os extrañará que ponga 1,02. Después
hablamos, ¿no?, de esta cuestión. ¿Vale? Bien. El error absoluto y el
error relativo nos hablan de la sensibilidad y de la precisión. El error
absoluto viene a ser como la sensibilidad de mi aparato de medida. Si yo
solo realizo una medida, ¿el error absoluto cuál es? El error de mi
aparato de medida, claro. Eso hay que tenerlo en cuenta. De acuerdo. Y la
precisión, claro. ¿Cuánto más precisa será una medida? Cuanto menor
sea el error relativo. Bien. Pensemos ahora en la expresión de un
resultado experimental. Normalmente el error se expresa con una o dos
cifras, sin contar los ceros generales. Que indican orden decimal. Es
decir, con una o dos cifras significativas. Solo se toman dos cifras
significativas si el error comienza por uno. Si el error comienza por uno.
De ahí el hecho de que antes os he puesto 1,0%. Porque estamos dando como
el error empieza por uno. Como el error empieza por uno, se deben tomar dos
cifras significativas. ¿Vale? Dos cifras significativas. ¿Qué hacemos
para suprimir cifras de una cantidad? Pues hacemos un redondeo. ¿Y qué es
un redondeo? Pues consiste en truncar, en aproximar por exceso. en truncar
o aproximar por exceso, de forma que el redondeo sea el valor más cercano
al valor previo. Es decir, ahora lo vamos a ver aquí, lo que se hace de
acuerdo con el siguiente criterio. Si la cifra de orden más alto suprimida
es inferior a 5, se trunca. Lo truncamos y no hacemos nada más. Si es 5
superior, lo que hacemos es aproximar por exceso. Lo vais a entender ahora
aquí fácilmente con este dato. 1,34. 1,34, ¿vale? Si yo quiero darlo
atendiendo con las cifras significativas, pensad una cosa. Una. Un error de
1,34. ¿Yo puedo poner un error de 1,34? No. La norma, la regla dice, si
empieza por 1, puedo tener dos cifras significativas. Pues 1,3. 1,3 sería
la expresión de mi error con dos cifras significativas. Si a mí me sale
un error de 57,7, yo no puedo dejar esto así porque tengo aquí tres
cifras significativas. Y tampoco puedo tener dos. Es decir, yo no puedo
redondear a 57. Si yo pongo 58, tendría dos cifras significativas. Tengo
que redondear a 60. a 60 para tener una única cifra significativa, porque
los ceros a la derecha de números enteros, ¿no?, no son cifras
significativas, a no ser que tengan una coma a continuación. Si hubiera
una coma, sí. ¿De acuerdo? Entonces, 60. ¿De acuerdo? Por ejemplo, un
error de 0,49, no, son dos cifras significativas. Los 0, algo antes, ¿no?,
de los ceros antes de la cifra decimal, como veis, si empieza por 0,
tampoco son cifras significativas, ¿eh? Entonces tendríamos 0,5,
redondeamos a 0,5. Y 3,86 por el ciego a 4, pues... A 4, una cifra
significativa. 0,0298, como empieza por 2, una única cifra significativa.
0,03. Una vez que nosotros expresamos el error con una o dos cifras
significativas, el valor de la medida se expresa, y esto es muy importante,
porque es un error muy típico, de forma que la última cifra significativa
no... sea del mismo orden que la del orden más bajo del error. ¿Qué
quiere decir esto? A ver. Porque esto a veces... Ahora os voy a decir una
cosa, mira. Aparte de ver los valores de esta tabla, imaginaos que a mí me
sale una gravedad, una gravedad, He hecho una representación gráfica y
sale 7,103864 metros segundos al cuadrado. Y digo, anda, qué medida, con
qué precisión, con 2, 4, 6, 7 cifras decimales. Esto de entrada no se
puede dar un resultado así. Tú no puedes dar un resultado que te sale de
un ajuste de mínimos cuadrados con todas las cifras decimales que te
aparecen. Eso no se puede hacer. El error me sale, por ejemplo, 0,10346791.
Por ejemplo, estoy inventando. Yo no puedo dar el error con tantas cifras
significativas. Solo lo puedo dar con 2. Tengo que truncar por aquí. ¿Y
dejo el 10 o paso a 0,11? Pues dejo el 10 porque la siguiente cifra es un
3. Es menor de 5. Y a ser menor de 5, mantengo el 0. Pero me quedo con
0,10. Porque tengo derecho a tener la segunda cifra decimal. Y aquí tengo
que hacer lo mismo. Si mi error tiene 2 cifras decimales, el valor de mi
medida solo se puede quedar con 2 cifras decimales. Y miro la siguiente, la
tercera. Ah, es un 0. Perfecto. ¿Es menor de 5? Sí. Pues el 1, dejo el 1.
Entonces, ¿cuál es? ¿Cuál es mi resultado? Pues 9,71 más menos 0,10
metros segundo al cuadrado. Como me salgo fuera... Lo escribo aquí abajo,
metros segundo al cuadrado. Espero que se haya entendido. Ahora veamos
estos ejemplos que tenemos aquí abajo. Mirad, la segunda columna me da el
error. Ya sabemos que el error, ya hemos dicho que era lo bueno, ¿no? Si
esto es 1.34, tiene que ser 1.3. 5.17.7, 60. 0.48, 0.5, lo mismo de antes,
¿no? Esto lo ha pasado a otra página, después lo vemos. Mirad, entonces,
lo que tengo que hacer aquí es que yo tengo que dar el resultado de mi
magnitud física aquí con una cifra decimal, 5.2. Como después hay un 0,
me quedo con el 2. El siguiente cifra la tengo que dar de manera que la
precisión, bueno, el error es 60, está en las decenas. Es decir, yo no
puedo aproximar más de las decenas. Por eso tengo que poner... 6.330, las
decenas. Porque mi error es más o menos 60. Yo no puedo ponerle la última
cifra, no puede ser un número distinto del 0. Será 6.330 más o menos 60.
Aquí, 31.87. Bueno, como mi error es 0.5, yo puedo tener una cifra
decimal. Y ahora aquí sí que tengo que redondear subiendo la unidad. No
puedo poner 31.8 porque la siguiente es un 7. Por eso pongo 31.8. 31.9 Y
aquí, en este de aquí, el último, pues el error correctamente sería 0.
0,3 por 10 elevado a menos 6. Por lo tanto, por eso me quedo con 1,09.
1,09. Estará aquí abajo, ¿no? Sí, aquí lo tenéis. Y aquí tenemos uno
más, ¿no? Donde el error es 0,0298 será 0,03. Entonces, mi magnitud
física lo puedo dar con dos cifras decimales. Aquí lo tengo. Tengo que ir
con cuidado, porque después del 5 hay un 8. Por lo tanto, he de poner un
6. Un 6. No puedo poner un 5. He de poner un 6. Bien. Vamos a hablar ahora
de propagación de errores. Bueno, como os decía antes, nosotros podemos
estar interesados en magnitudes que no podemos medir directamente. Sino que
nos vemos obligados a evaluarlas. A partir de otras magnitudes que sí son
medidas directamente. Es decir, yo no puedo calcular la gravedad
directamente. Yo calculo la gravedad porque antes he medido el periodo de
oxidación de un péndulo, por ejemplo. El tiempo de caída de un objeto. Y
a partir de ahí, sabiendo distancias, etcétera, puedo calcular esa
magnitud física de manera indirecta. De manera indirecta. ¿Vale?
Entonces, nosotros debemos saber cuál es el error de mi medida indirecta.
¿Vale? El error de mi medida indirecta a partir del error de mi medida
directa o de mis medidas directas que pueden ser la longitud y el tiempo.
Es decir, debemos saber cómo se propaga el error de la medida directa, de
ese tiempo, de esa longitud, en la indirecta. Bueno, entonces nosotros lo
que hacemos es trabajar en la propagación cuadrática de errores. Es una
técnica, no os asustéis por esto, aunque aquí hay simbología de
derivadas parciales, no os preocupéis porque no vais a tener que... ...que
hacer un esfuerzo matemático significativo, porque todo os lo voy a dar
explicado y preparado. La propagación cuadrática de errores se utiliza
para calcular errores en función de varias variables, ¿no? Errores
asociados. ¿Cómo... en qué se basa esta técnica? Pues que los errores
son pequeños y que pueden considerarse independientes entre sí. Y que las
derivadas parciales, ¿no?, nos pueden servir para determinar la
incertidumbre del resultado, ¿no? ¿Qué es una derivada parcial? Pues
mira, si tú tienes una función que depende más de una variable... ¿No?
La derivada parcial es una derivada normal y corriente, pero respecto a una
de las variables, que puede ser la x, ¿no? La y, aquí veo que hay un
error, ¿no? Y esto es derivada con respecto de y. Es como una derivada
normal y corriente, ¿eh? Manteniendo constante todo lo resto. Como os
decía, asumimos que los errores son independientes y no están
correlacionados. Entonces, ¿cómo es? ¿Qué vale el error? Por ejemplo,
imaginaos que yo para determinar una magnitud física necesito hacer, medir
la masa, la suma de dos masas independientes, que es la masa de un muelle y
de un portapesas, y tengo que saberlas independientemente y después quiero
saber qué vale la masa total. Bueno, pues el error absoluto de una
función que suma o diferencia de otras dos es la raíz cuadrada de la suma
de los cuadrados individuales, independientemente si las variables se suman
o se restan. Siempre, siempre suma de valores al cuadrado, ¿no? Porque es
como decir que estamos sumando los errores. Los errores son los errores.
Los errores nunca se restan, siempre los vamos acumulando, ¿vale? Al
realizar más medidas, más errores. ¿Y cómo es? En el caso de un
producto, pues en el caso de un producto, por ejemplo, z igual a x por y,
pues el error relativo de z al cuadrado, es al cuadrado, ¿eh? Es igual al
error relativo de x más el error relativo de y, más el error relativo de
y. ¿De acuerdo? En este caso, pues el error relativo de una función que
se obtiene por producto de otras dos, ¿no? Es la raíz cuadrada de los
cuadrados, de la suma de los cuadrados de los errores relativos
individuales, ¿eh? La suma de los cuadrados de los errores relativos
individuales. Y para un cociente, pues es lo mismo. Todas estas fórmulas
que aparecen aquí, yo no os pongo la demostración. Se puede demostrar
tomando derivadas parciales y luego... ...de logaritmos, pero no es el
objeto tampoco. Yo simplemente quiero que los tengáis, que los tengáis
presentes y que sepáis que el error relativo de una medida indirecta que
se obtiene a partir de otras dos, que son un producto o es un cociente, es
la misma fórmula y el error relativo es la raíz cuadrada de la suma de
los cuadrados de los errores relativos individuales de cada una de ellas.
¿Y cuándo tenemos el producto de una constante? Pues simplemente el error
será la... ...la constante en valor absoluto por el error de esa medida.
¿Y la potencia? La potencia... Z igual a X elevado a N. ¿Cuál es el
error? Pues fijaos, viene multiplicado por el exponente. El error relativo
de esa función sería N veces el error relativo de la medida directa.
Elevar al cuadrado supone que el error relativo de mi medida indirecta es
el doble que de la medida directa. Si fuese al cubo, pues el triple. ¿Qué
pasa con las constantes? Las constantes, cuando nosotros utilizamos
constantes como puede ser el número pi, que aparece con frecuencia, estas
constantes se consideran exactas y sin ningún error asociado. De manera
que nosotros introducimos un número suficiente de cifras significativas
para asegurarnos que la contribución del error de la constante sea
despreciable. Y no contribuya de manera significativa al error total. Y no
contribuya de forma significativa al error total. ¿De acuerdo? Bien. Vamos
a hablar ahora de este apartado que es muy interesante, que es el método
de ajuste de mínimos cuadrados. El método de mínimos cuadrados es una
técnica estadística la más sutilizada. Para encontrar la recta que mejor
se ajusta a un conjunto de datos de medidas experimentales. ¿Qué es lo
que hace esta técnica? Minimiza la suma de los cuadrados de las
diferencias entre los valores observados, es decir, los valores medidos
experimentalmente y los valores predichos por el ajuste, por el modelo.
Está muy utilizado en el campo de la física y de la ingeniería para
analizar y moldear relaciones lineales entre variables. Y, de hecho, muchas
veces lo que se hace con funciones exponenciales es tomar logaritmos para
que se conviertan en funciones lineales y hacer esos ajustes de mínimos
cuadrados. ¿Cuál es el objetivo? Es encontrar la mejor aproximación
lineal a un conjunto de datos experimentales. Una vez que se ha hecho esto,
es una recta que minimice la suma de los cuadrados residuos, que se llama,
ya hemos dicho lo que eran, estas diferencias, las diferencias entre los
valores observados y los valores que predice el modelo. ¿Vale? Nosotros,
¿qué utilidad tiene esto? Pues cuando queremos relacionar dos variables,
¿no? Una variable que es función de otra. Y queremos realizar
predicciones, ¿no? Basadas en esa... Relación. Y se trata de identificar
tendencias, comportamientos experimentales, de manera que si somos capaces
de obtener una ecuación... que tenga un buen ajuste de mínimos cuadrados,
pues a partir de ahí podré calcular magnitudes físicas determinadas. En
este caso, después os lo enseñaré, utilizaremos un Excel. Un Excel que,
patrón, donde ahí vais a introducir los datos experimentales y
automáticamente usar el ajuste con los valores de la pendiente, con los
valores de la ordenada en el origen y con su error. No habrá que hacer
nada manual. No, simplemente, bueno, manual es meter los datos
experimentales. Pero no habrá que hacer ningún cálculo manual de
mínimos cuadrados, que es muy tedioso, se pierde mucho tiempo. Sino que
hoy en día, pues, tenemos pequeñas aplicaciones que introducimos los
datos, nos hace el ajuste y nos hace la gráfica ya directamente. No
tenemos que complicarnos más la vida, ya lo tenemos todo. Después
hablamos de esto. Bien, entonces, ¿qué pretendemos aquí? Pues obtener
los mejores valores de la recta. ¿Y qué son los mejores valores de la
recta? Pues la pendiente y la ordenada en el origen. Es decir, si yo tengo
una recta que yo quiero obtener IMX más B. Yo quiero obtener los valores
de M y de B que hagan que esas diferencias entre los valores experimentales
y los valores que predice el modelo sean lo mínimo posible. La suma de los
cuadrados de esas diferencias, ¿no?, sean mínimas, sean mínimos. Aquí
lo tenemos. Lo que vemos es que el sumatorio... de todas estas diferencias
entre el valor que predice el modelo y el valor, digamos, experimental,
¿no?, sea mínimo. Bueno, aquí hay unas fórmulas que no os tenéis que
preocupar, estos sumatorios, ¿no? Aquí parece que hay unos cuadraditos
vacíos, pero faltaría poner donde la i va de 1 hasta n, ¿eh? Pero bueno,
al final he quitado para que sea más legible las fórmulas. No os tenéis
que preocupar porque esto ya está metido dentro de los programitas, donde
ya nos hacen los ajustes de mínimos cuadrados, ¿eh? Es igual que los
errores estándar de la pendiente y de la donada en el origen. Simplemente
que tengáis, que sepáis cuál es la fórmula, esto es una cuestión de
estadística, ¿no?, pero que no tenéis por qué memorizar nada de todo
esto, ni mucho menos. Simplemente, además, la aplicación que ya está
puesta en el Excel te lo saca directamente. Después, ¿no? Hay un
parámetro muy interesante, que es el coeficiente de correlación. Es muy
interesante el coeficiente de correlación. Que R, se llama R, hay libros
que ponen Rho, o sea, letra griega Rho, ¿no? Mide la fuerza y la
dirección de la relación lineal entre dos variables. ¿Qué quiere decir
esto? Bueno, pues que cuanto más próximo sea a la unidad, ¿no? Más,
mayor será, digamos, esa correlación, esa linealidad, ¿no? Entre las dos
variables que estamos... ... intentando relacionar, ¿no? Y directa puede
ser directa inversa, bueno, puede ser que vaya con pendiente positiva,
pendiente negativa, ¿cómo es esa relación? Normalmente es una relación
directa. Bueno, ¿qué vale cada uno de estos parámetros? M es la
pendiente, ¿no? Indica la tasa de cambio de la variable independiente y
respecto a la variable independiente x. Un valor positivo, ¿qué quiere
decir? Indica una relación directa a mayor x, mayor y. A mayor peso, mayor
alargamiento, por ejemplo, ¿vale? Y una relación inversa, pues indica,
esto viene dado por una pendiente negativa, ¿no? Una pendiente negativa.
La ordena en el origen, pues representa el valor de la y, cuando x vale
cero. En algunos casos la ordena en el origen ha de ser cero, o
aproximadamente cero, y en otros casos tendrá un valor finito. ¿Y los
errores de la pendiente y de la ordenada? Pues proporcionan una medida de
la precisión de las estimaciones de m y b. Un error más pequeño indica
mayor precisión. Es decir, nosotros buscaremos, en el ajuste de mínimos
cuadrados, tener errores pequeños, los más pequeños posibles. ¿Y el
coeficiente de correlación? El coeficiente de correlación puede oscilar
entre menos uno y más uno. Cuanto más cercano a uno o a menos uno...
tenga o sea el coeficiente de correlación mejor será el ajuste de
mínimos cuadrados. Un valor cercano a cero, diremos que esa correlación
es débil o nula. Entonces establecemos normalmente un criterio y decimos
que un coeficiente de correlación por debajo de 0,8 diremos que el ajuste
es malo. Es decir, que los puntos experimentales no se ajustan bien a una
recta. Bueno, entonces ¿qué podemos decir? Que el método de mínimos
cuadrados es una herramienta útil, muy significativa para el análisis de
datos, permitiendo modelar, linealizar relaciones, realizar predicciones.
Los parámetros obtenidos y sus errores proporcionan información muy
significativa sobre la naturaleza y la fiabilidad de la relación. Yo busco
calcular la gravedad a partir del periodo de oscilación de un péndulo y
de su longitud. Una muy buena correlación eso quiere decir que los datos
son fiables cuando están en buen ajuste. ¿De acuerdo? Bien, ahora os
quería abrir, pues, bueno, os puedo abrir el archivo. Bueno, un momentito.
Voy a abriros... un archivo, esto lo pondré en el curso. Bien, ahora voy a
compartir la pantalla. Si en algún momento tenéis problemas de sonido o
de imagen, por favor decídmelo, ¿eh? Bien, voy a compartir toda la
pantalla. Bien. Bueno, ahora debéis estar viendo pues una página de este
archivo. El archivo pone física 1, ajuste de mínimos cuadrados, esto lo
pondré en el foro, ¿eh? No quiero poner más archivos para no agobiaros,
porque sé que tenéis muchas cosas. Y bueno, aquí tenéis por ejemplo
seis datos experimentales, ¿no? Y directamente y, cuidado, es x e y, ¿no?
Y aquí tenemos el ajuste. Aquí la a es la pendiente, b es la ordenada en
el origen y r es el coeficiente de correlación. Fijaos que tenemos un
coeficiente de correlación con tres nueves, ¿eh? Es un coeficiente muy
bueno. Muy bueno, ¿eh? Muy bueno. A nosotros, ¿qué nos va a interesar de
estas correlaciones? Pues normalmente es la mayoría de los casos la
pendiente. La pendiente, ¿eh? Simplemente la pendiente, normalmente. A
veces, solo en un caso, nos podrá interesar seguramente la orden del
origen, una representación singular del resorte, pero bueno. Entonces,
claro, ahora yo os podía preguntar, y así no sirve de práctica. Bueno,
si a mí me dicen que la pendiente, la pendiente A, a ver, un momento, me
dicen que A es 22,9. El error, el error de A. Fijaos, el error de A, el
error de A me dice que es 0,248. Pero yo solo puedo dar una cifra
significativa. Entonces, tengo que truncar por el 0,2. Pero ojo, después
del 4, ¿qué hay? Ojo, un 8. Luego será 0,25. Anda, ya he llegado al 5.
Luego tengo que irme por arriba. Fijaos, 0,3. 0,3. Y el valor de mi
magnitud física, que sería la pendiente, yo lo puedo dar solamente. No
con una cifra decimal. Está admitido que se puedan dar los decimales con
comas o con puntos. En el Excel este tengo que ponerlo con comas, si no, no
me lo lee bien el programa. No lo leerá bien, entonces. Que conste que
está admitido de las dos maneras, ¿eh? Entonces, tengo que poner una
cifra decimal 22,9. Y este sería la forma de dar el resultado correcto de
mi pendiente. 22,9 más menos 0,3. ¿Y la ordenada en el origen? Fijaos.
Estamos, vamos a ver. Es B, ¿no? ¿Y cuál es el error de B? El error de B
es 0,1669. A ver, veamos. Como empieza por 1 el error, 1, yo puedo tomar
dos cifras decimales. Dos cifras significativas. Después del 6 que viene
un 6. Luego tengo que redondear por arriba. Poner 0,17. 0,17. Yo no puedo.
Puedo poner 0,16. Ni tampoco puedo poner 0,1669, ni 0,1, ni 0,2. Como
empieza por 1 el error, tengo que ponerlo de esta manera, ¿vale? Y B. B
que puede tener dos cifras decimales. Solo puede tener dos cifras
decimales. Las mismas cifras decimales, las mismas cifras decimales que mi
error. Las mismas cifras decimales que mi error. Entonces, B es... Menos
0,05. ¡Cinco! 0,05. Pensad que B era la ordenada en el origen. ¿Vale? La
ordenada en el origen. Ya veis que la ordenada en el origen en general
tiene un error significativo porque normalmente muchas veces la ordenada en
el origen tendría que ser cero. Aquí sale menos 0,05. Pero con un error
de más menos 0,17 que está incluido el cero. Bueno, estamos ahí dentro
del error experimental. Y el valor de la pendiente es 22,9 más menos 0,3.
Y el error de la ordenada en el origen es menos 0,05 más menos 0,17. No
sé si ha quedado claro esto o queréis hacer alguna pregunta al respecto
antes de que cierre esta primera grabación. ¿No? Bueno, pues vamos a dar
por fin la intervención. A ver, un momentito. Puede ser común que el
error sea mayor que el resultado. Ya. Esto suele darse, sobre todo, en mi
molina, en las ordenadas en el origen. Las pendientes no. Porque claro, tú
ya entenderás que esto suele darse sobre todo en las ordenadas en el
origen porque las ordenadas en el origen de una recta tienen mucho error.
Suelen tener mucho error. Las pendientes no. Porque pequeñas variaciones
de pendiente me dan cambios muy significativos de la ordenada en el origen.
Eso es un problema, ¿vale? Es un problema. Pero no con respecto a la
pendiente. Es decir, que tengamos errores de ordenadas en el origen
superiores al valor de la ordenada en el origen es habitual y más pensando
que muchas veces esa ordenada en el origen ha de ser cero. Entonces, si
vale la ordenada menos 0,04 y el error es más grande, pues yo ya también
me quedo con la tranquilidad de que mi error me incluye el valor cero que
tendría que ser teórico, el valor teórico de esa ordenada en el origen.
Para mí sería más difícil de entender que yo tuviese una ordenada en el
origen de 0,15 más menos 0,05, que no me incluyera. Si yo tengo una
ordenada en el origen de 0,15 y un error de 0,15 también, pues perfecto.
Incluyes el cero y el menos 15. Incluye ya el cero justito, pero bueno.
Bien, no sé. Vale, muy bien. Pues muchas gracias. No sé si hay alguna
cuestión más que queráis plantear. No. Vamos por finalizado esta primera
sesión, pues.