Es el primer tema de la P3. Un tema muy importante porque hasta la fecha
de la P3 el problema lo ponían de gravitación. No sé este año lo que
harán, pero lo ponían de gravitación. También está el tema de fluidos
y de oscilador armónico y de ondas. Tengo pensado pasaros la semana que
viene grabaciones y material. Para que podáis estar en condiciones. No os
preocupéis por esto. Empezamos con gravitación. También tengo que
insistir en este tema porque ha salido cuatro preguntas. Cuatro veces ya.
La ley de gravitación universal. La ley de Newton de la gravitación. La
han preguntado ya cuatro veces. Es el tema más repetido en todos los
exámenes desde que se cambió la bibliografía. Cuatro veces y sus
respectivas cuestiones. Bueno, eso quiere decir que está saliendo. Bueno,
la importancia de toda partícula. Bueno, vamos a ver. ¿Qué podemos decir
de la ley de gravitación? Que dos masas, no dos masas, se atraen con una
fuerza que es proporcional al producto de las masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. Esto digamos es lo
que nos dice la ley de gravitación universal. Es una fuerza central. La
ley de gravitación universal es una fuerza central. Y tenemos que decir
que esta constante. Esta constante gravitacional es una constante
gravitacional universal que vale lo mismo para cualquier medio en el
universo. ¿Vale? No depende del medio material. Cuando veáis electricidad
en el otro cuatrimestre, veréis que hay ahí constantes que dependen del
medio material. No es el caso. Esa constante g, aunque lo tenéis ahí de
dato, vale 6,67 por 10 elevado a menos 11 newton metro cuadrado kilogramos
cuadrado. Este valor tan pequeño de la g mayúscula que no hay que
confundir con la c. Esto es la gravedad. Por eso se pone la g mayúscula.
Hay gente que sustituye esta g por 9,8. No, no. Esto es la constante de
gravitación universal que tiene este valor tan pequeño. Esto hace que
para que las fuerzas atractivas sean significativas, las masas tienen que
ser muy grandes. Porque claro, aquí dos masas cualesquiera, nosotros dos,
la fuerza de atracción que tengamos es imperceptible. Para que algo
tengamos una fuerza perceptible, tenemos que tener la masa, por ejemplo, de
la Tierra, que es del orden de 10 elevado a 20. 24 kilos. O distancias muy
pequeñas, r muy pequeñas, como ocurre en el núcleo atómico, ¿vale? O
distancias muy pequeñas. La fuerza es una magnitud vectorial y
evidentemente si yo tengo dos masas puntuales, ¿no? M1 y M2, las fuerzas
que se ejercen entre ellas, ¿no? Son fuerzas atractivas, ¿vale? Una de
ellas, esta sería la fuerza que ejerce 2 sobre 1. La fuerza que ejerce 1
sobre 2. De manera que ambas fuerzas son dos vectores aplicadas a masas
distintas, pero que tienen el mismo módulo, misma dirección, pero sentido
contrario. F1,2 es igual a menos F2,1 o viceversa. ¿Vale? Y sus módulos
son idénticos. El peso de un cuerpo es la fuerza gravitacional que ejerce
la Tierra sobre nosotros. Es decir, nuestro peso es la fuerza con que la
Tierra nos atrae. Entonces, la fuerza gravitacional, ¿no? O peso, ¿no?
Referido a que nosotros, pues, la masa del cuerpo, digo nosotros porque
podemos ser una masa de uno de los cuerpos, ¿no? Sería la misma
expresión de antes, pero donde M es la masa de la Tierra, M es la masa de
nuestra masa, y RT, que es la distancia entre los dos puntos, ¿no? Es el
radio de la Tierra. Y aquí tengo que hacer un apunte. Todo el mundo sabe
bien claro que la Tierra es compacta, no está hueca. Por lo tanto, alguien
puede decirme, oiga, ¿y por qué me pone de distancia RT cuadrado? Cuando
realmente yo estoy en la superficie de la Tierra y yo no me encuentro, me
encuentro a cero metros de la Tierra, ¿no? Ya. Pero lo que pasa es que la
Tierra, todas las distribuciones de masa esféricas, en concreto la Tierra
o los planetas, que tienen forma geométrica esférica, ¿por qué? Pues
debido al rozamiento con la atmósfera. El rozamiento con la atmósfera,
con el aire, etcétera, hace que todo esté cubido, ¿no? Y tenga moldeado.
No hay aristas. Esto no existe en las aristas, ¿no? En el espacio, ¿no?
En general. Vamos, todo se va, todo se va pudiendo. Entonces, la fuerza
gravitacional, la fuerza que ejerce una masa M sobre la masa de la Tierra,
la fuerza que ejerce la Tierra sobre una masa cualquiera, nosotros tenemos
que poner siempre, y esto es muy importante, voy a insistir en ello, va a
aparecer un par de veces, siempre las distancias centro-centro. Siempre las
distancias van a ser centro-centro. Cuando yo compare, o esté comparando o
midiendo las fuerzas de atracción entre dos masas, siempre, siempre vamos
a considerar las distancias centro-centro, ¿vale? ¿Vale? Y aquí tendría
RT más H. Pero, si me encuentro en la superficie terrestre, ¿cuál es la
distancia? RT. Por eso, la fuerza gravitacional, el peso, nuestro peso en
la superficie terrestre, ponemos RT cuadrado, que es la distancia que
nosotros estamos al centro de la Tierra. ¿Por qué? Porque una
distribución esférica de masa se comporta análogamente como si
tuviéramos una masa puntual en el centro de la Tierra. Es decir, una masa
puntual en el centro de la Tierra del mismo valor que toda la masa de la
Tierra. Nosotros podemos sustituir esto para la Tierra, para la Luna, para
cualquier planeta, ¿no? Sustituir esa geometría, esa esférica, por una
masa concentrada en el centro que contiene, ¿no? Y que atraería a esa
otra masa puntual. ¿Vale? Entonces, ¿cómo definimos la aceleración de
la gravedad? La aceleración de la gravedad G es la fuerza por unidad de
masa. La fuerza gravitacional partido por M. Es la fuerza que ejerce la
Tierra sobre la unidad de masa. Eso es lo que entendemos como gravedad. Ya
sé que en cinemática ya ha aparecido, en dinámica también, y hasta
ahora no lo habíamos visto. Las unidades son Newton partido por
kilógrafo. Y alguien me puede decir, anda, ¿esto es una gravedad
diferente a la de antes? No, es que la gravedad, yo puedo poner 9,81 metros
segundo cuadrado o igual 9,81 metros segundo cuadrado. ¿Por qué 9,81?
Newton partido por kilo. Porque Newton partido por kilo es lo mismo que
metros partido por segundo al cuadrado. Porque un Newton es un kilo por
metro partido por segundo al cuadrado. Entonces kilos y kilos se me van y
me quedan metros por segundo al cuadrado. ¿Vale? Pues me queda 9,81. 9,81
es la gravedad, ¿no? En la superficie terrestre. Que es la fuerza con que
la Tierra atrae a la unidad de masa. A la unidad de masa. A una masa. 9,8
mil kilos. Bien, ¿qué pasa si nos alejamos de la superficie terrestre?
Pues que el peso nuestro disminuye. A medida que nos alejemos, disminuye el
peso. ¿Por qué? Porque la fuerza de atracción es inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia. Entonces la fuerza gravitatoria,
¿no? Cuando tenemos un cuerpo que se aleja, sería partido este R
cuadrado. Que sería GMTM. Partido RT más H al cuadrado. Siempre, no os
olvidéis que siempre las distancias se refieren al centro de la Tierra. Al
centro de los planetas. Al centro del Sol. ¿Vale? Si algo no tiene
dimensiones, como puede ser un satélite artificial o una nave espacial,
pues vale, perfecto, puntual. Pero cuando tengamos satélites naturales,
¿no? Como la Luna, etc. Fogos, etc. ¿No? O planetas, hay que tener
siempre las distancias centro-centro. Y fijaos cómo disminuye. Y ahora
introducir el concepto de energía potencial gravitatoria. Bien, es que el
peso acordados y por tanto la fuerza gravitatoria es una fuerza
conservativa. Os acordáis del tema de trabajo y energía, fuerzas
conservativas. ¿Qué era una fuerza conservativa? Aquella cuyo trabajo
realizado entre dos puntos, aquella cuyo trabajo realizado entre dos
puntos, no depende del peso. No depende del camino seguido. Sólo depende
del punto inicial y final. En el anterior peta hubo ya alguna cuestión
relacionada con esto, ¿no? Entonces la fuerza gravitacional, la fuerza
gravitacional es una fuerza conservativa. Y de una fuerza conservativa
deriva una energía potencial. Entonces, ¿qué sabíamos nosotros del tema
de trabajo y energía? Que el trabajo de A a B, que sería integral de F
diferencial de R, es igual a menos la variación de energía potencial. Es
decir, la energía potencial inicial menos la final. Si nosotros
hiciéramos esta integral de menos GMT, bueno, GMM. Ah, me lo pone con la
masa de la Tierra. Voy a seguir la misma nomenclatura del libro, vale,
entendido. Vale, aunque se puede generalizar para dos masas cualesquiera,
¿eh? GMTM partido R cuadrado diferencial de R de A a B, ¿eh? Si hacemos
esta integral, no la voy a hacer ahora porque tampoco, pero os quedaría
una integral de R a la menos 2 diferencial de R, de R sub A a R sub P. Se
puede demostrar que esto sale menos GMTMRA menos, menos GMTMRB. Alguien me
puede decir, hombre, ¿por qué pones menos GMTMRA? Porque esta expresión
que lleva el signo menos le llamamos a nosotros energía potencial en el
punto A, U sub A. Y esta expresión es U sub B. Entonces, ¿qué es el
trabajo? A ver, si yo tengo, si yo tengo aquí cuando he tomado, aquí,
¿por qué no puedo poner MGH? Creo que hasta ahora habéis puesto siempre
con la energía potencial gravitatoria MGH. Porque aquí las distancias son
muy grandes. Son de cientos de kilómetros. Y la gravedad no es constante.
Hasta ahora habíais hecho problemas, ¿no?, de energía potencial,
problemas de dinámica, que las variaciones de altura eran del orden de los
metros. Y la gravedad se considera constante. Pero ya cuando tengo
distancias de kilómetros, la gravedad no es constante y nunca puedo
aplicar MGH con los problemas de campo gravitatorio cuando estoy con
satélites, cuando estoy lanzando cuerpos a velocidades de kilómetros por
segundo. Porque adquieren alturas muy grandes y la gravedad no es
constante. La energía potencial que tengo que utilizar es esta expresión
que tenéis aquí. Y esta energía potencial, es importante que sepáis que
tiene como origen de energía potencial, ¿es dónde? El infinito. Es
decir, ¿cuánto, dónde vale cero la energía potencial? En el infinito.
¿Por qué? Porque es menos GMTM partido por infinito. Algo partido por
infinito es cero. El punto más lejano, es decir, el máximo valor de la
energía potencial es cero, en el infinito. En cualquier otro punto más
próximo será negativo. Es decir, os podéis chocar en la cabeza que hasta
ahora siempre tenéis una energía potencial positiva. Solo en algún caso
muy especial, si bajaba por nivel cero de altura, no. Pues ahora, el origen
de energía potencial no se toma el suelo, la mesa, el punto de trabajo.
No, es el infinito. Y como cualquier otro punto está más cercano, tendrá
una energía potencial negativa. Entonces, ¿qué representa esto? ¿Qué
representa la energía potencial en un punto? ¿No? Bueno, pues el trabajo
necesario para trasladar una masa desde ese punto hasta el infinito. Eso
sería la energía potencial. Importante, ¿eh? Bueno, ¿qué pasa cuando
tenemos un movimiento en una órbita circular? Un satélite que da vueltas.
Tenemos un movimiento circular uniforme. MCU. ¿Vale? Importante. Fijaos
este esquema de dibujo tan interesante. En rojo, la fuerza que actúa sobre
el cuerpo, que es la fuerza gravitatoria. En verde, la velocidad, que es
tangente a la trayectoria. Y A es la aceleración, que no es una fuerza.
Aquí podemos asumir como fuerza centípeta la fuerza gravitatoria. Fuerza
gravitatoria o fuerza centípeta, vale. A no es una aceleración. Esta
aceleración, ¿qué se le llama? La aceleración normal. Normal o
centrípeta. ¿Vale? Aceleración normal o centrípeta. ¿Vale? Entonces,
entonces, ¿qué ocurre cuando un cuerpo da vueltas? Esto es muy
importante, ¿eh? Este desarrollo. Pues aplico la segunda ley de Newton con
aceleración normal. Esto sería G masa de la Tierra M partido R al
cuadrado igual a M V al cuadrado partido por R. R y R se van. M y M se van.
Y de aquí vosotros podéis escribir que la velocidad, ¿eh? Podéis
deducirla. Yo no me aprendería la fórmula de memoria, sino que la
deduciría, la sabría deducir. Porque en un examen aprenderse estas
fórmulas ya deducidas es peligroso, ¿eh? Es muy peligroso. Donde R, voy a
insistir, es RT más H, el radio de la órbita. Esto sería la velocidad
lineal. Yo puedo relacionar la velocidad lineal con la velocidad de la
órbita. Con la altura, con el radio de la órbita. ¿Vale? Ahora bien, a
mí me puede interesar relacionar esto también con el periodo. Con el
periodo de revolución. ¿Cómo lo hago? Pues fijaos. Mirad. Os lo voy a
deducir. F es igual a M por A, ¿no? GMTM partido por M R al cuadrado es
igual a M por la aceleración normal. La aceleración normal también puedo
poner que es igual a omega al cuadrado por R. Y, a su vez, omega es 2pi
partido por el periodo. Es un parámetro que es muy interesante y muy
importante en los problemas de gravitación de satélites. Es el periodo de
revolución. ¿Qué es el periodo de revolución? El tiempo que invierte la
partícula, el satélite, en dar una vuelta completa. Entonces voy a seguir
aquí abajo, voy a seguir deduciéndolo, voy a seguir reduciéndolo, y las
masas se me van. El R con R al cuadrado me queda R cubo. GMT partido R cubo
igual a 4pi al cuadrado T al cuadrado. Y estamos deduciendo la tercera ley
de Kepler, que la veremos después. Ya la habremos deducido. ¿Y qué
vemos? Que hay una relación entre el cuadrado del periodo y el cubo de la
distancia. Es una constante. Para cualquier satélite que gire alrededor de
la Tierra. Porque depende, ¿de qué depende? De la masa de la Tierra.
Entonces, que nos sepamos esta fórmula deducida así, yo os aconsejo que
la sepáis deducir, que aprendedme todo esto. La gente no se aprende esto,
eh. La gente lo que hace y dice ah, no, yo tengo la V, ¿cómo puedo
calcular la omega? Ah, pues mire, también yo puedo hacer esto. V igual a
omega por R. V igual a 2pi partido por el periodo y por R. Ah, muy bien.
También puedo hacerlo de esta manera. No tengo por qué deducirlo todo
así, del periodo en función de R. Yo puedo poner V lo sé, R el radio de
la órbita y despejar el periodo. Y ya está. Bien. ¿Cuál es la energía
mecánica de un satélite que está en órbita? Pues la energía mecánica
siempre suma de cinética y potencial un medio de mv cuadrado más menos gm
tm partido por R, que es la energía potencial. Pero, pero, pero, pero,
ojo. Cuando está en órbita y solo en órbita, cuando está en órbita,
¿qué teníamos? Que v cuadrado, ¿no? Era v igual o v cuadrado igual a gm
t partido por R. g m t partido por R. Sustituyo v cuadrado por gm t partido
por R. Aquí. Aquí lo tenéis. Y me queda esta expresión. Ojo, me queda
un medio menos uno. ¿Cuánto es un medio menos uno? Menos un medio. Anda.
La energía mecánica. Esta es la energía mecánica de un satélite en una
órbita circular. Importante. Y además es negativa. Algo que tenéis que
saber que siempre la energía mecánica de cuerpos celestes que, o
artificiales, ¿no? Que, que describen órbitas circulares o incluso
elípticas siempre es negativa. La energía mecánica es negativa. Siempre
es negativa para que esté sujeta, ¿no?, digamos, dando órbitas
circulares. Esencialmente. Menos g m t m partido dos R. Vamos a hablar
ahora brevemente de las leyes de Kepler y el movimiento de los planetas.
Bueno, las tres leyes de Kepler. Una de ellas, pues, que los planetas
describen órbitas elípticas estando el Sol en uno de sus focos. Después,
la segunda interesante. El radio vector, ¿no?, que une el Sol con los
planetas describe o barre áreas iguales en tiempos iguales. ¿Cómo es?
Ahora lo veremos a continuación. Lo entenderéis mejor. Lo que estamos
diciendo es que los planetas no giran en órbita elíptica a velocidad
constante. En una supuesta órbita circular, sí, va a velocidad constante
y tengo un MCU. Pero en una órbita elíptica, no. Porque tiene que
describir o barrer áreas iguales en tiempos iguales el radio vector. Y por
tanto, cuando esté más cerca del Sol tendrá que ir más rápido y cuando
esté más lejos, más despacio. El periodo de órbita de un planeta
elevado al cuadrado es proporcional al cubo de la longitud del semieje
mayor. Esto es semieje mayor si es una órbita elíptica. ¿Eh? T cuadrado
partido a cubo, ¿no?, ha de ser constante en una órbita elíptica. Si es
una órbita circular se pone R. Que es lo que hemos deducido hace un
momentito. ¿Vale? Vamos a trabajar un poquito más estas leyes. Mirad,
aquí a la izquierda tenéis un dibujo un dibujo donde el Sol está en uno
de los focos y tenemos una órbita elíptica. ¿No? Y tenéis el semieje A.
¿No? A y A todo el eje mayor sería 2A. ¿Vale? Entonces mirad la segunda
ley de Kepler yo creo que esto es interesante ¿Cómo lo podemos
justificar? Que el radio vector barre áreas iguales en tiempos iguales.
Porque mirad el movimiento planetario el momento de las fuerzas externas
eso es general es la derivada de L con aspecto de T si no queréis que
ponga el momento de las fuerzas externas puedo poner el torque la T y que
ponga la T de torque o da igual ahí bajamos ¿Vale? Entonces ¿Qué vale
el momento de las fuerzas externas? Cero ¿Por qué vale cero? Cancelar
¿Por qué vale cero el momento de las fuerzas externas? No hay fuerzas
externas Sí ¿Quién? La fuerza gravitatoria Sí ¿Vale? ¿Pero qué es el
momento? El momento o la torca es R vectorial F y dijimos que aquí tenemos
una fuerza que es atractiva de un radio vector que va del Sol al planeta
¿Qué ángulo forma estos dos vectores? 180 grados ¿Qué vale el signo de
180? Cero Por lo tanto esto es cero ¡Uy! Perdón Esto es cero Y por lo
tanto L es constante L es el momento angular o cinético R vectorial mv que
en los dos puntos el punto más lejano es el afelio o apoastro o afelio
apogeo apoastro El más cercano perihelio perigeo periastro Ahí está Son
palabras que se utilizan indistintamente Entonces el momento angular en el
punto más lejano y el punto más próximo entonces sería Ra porque aquí
sí que forma 90 grados en este punto Ra por m Va es igual a Rp Mvp Las
masas se van ¿Vale? De manera que Ra por Va es igual a Rp por Vp Quiero
que os deis cuenta que con esta fórmula no sé ya sé que hago las Vs muy
cerradas ¿no? A lo mejor no se entienden con las R se confunden Estáis de
acuerdo conmigo que para R pequeña la Va tiene que ser grande para que el
producto sea constante y para R grande la Vp tiene que ser pequeña Estamos
justificando por qué cuando estamos más cerca del Sol cuando un planeta
está más cerca del Sol su velocidad lineal es mayor y cuando está más
lejos su velocidad es mayor es menor ¿De acuerdo? Bien Ahora aquí peso
aparente esto es lo último y ahora pasamos a los problemas Peso aparente y
rotación terrestre ¿Qué pasa? Si nosotros estamos en el polo norte por
ejemplo estamos en el polo norte nuestro peso aparente es el peso real mg
siendo g jesucristo la gravedad terrestre ¿Qué es el peso aparente? Pues
el peso aparente es lo que marcaría una balanza si yo me subo a una
balanza en el polo norte en el ecuador o en cualquier otro sitio mi peso
aparente es lo que marca la balanza ¿Por qué? Porque la balanza que marca
la fuerza de reacción que ejerce la superficie de la balanza sobre mi y
eso es igual a la fuerza de la acción que yo ejerzo sobre la balanza
¿Vale? Entonces se le llama normal aquí le ponen una F yo solemos
llamarle normal ¿No? Entonces yo creo que os deis cuenta que la tierra
tiene un movimiento circular uniforme no es un sistema de referencia
inercial es un sistema de referencia que posee aceleración es un sistema
de referencia que posee aceleración entonces tengo que tener presente que
si yo estoy en el ecuador no es tan sencillo para no irme a un punto de
latitud determinada tengo un objeto que está dando vueltas alrededor de un
eje que pasa por el polo norte si yo estoy en el polo no estoy a ninguna
distancia del eje de giro mi distancia del eje de giro es cero mi
aceleración normal será cero no tengo aceleración normal o me he
acordado aceleración normal cero no tengo velocidad no estoy girando a una
velocidad determinada porque estoy sobre el eje que te cito mi velocidad es
cero si lo miro con omega cuadrado por r me da igual ahora si yo estoy en
el ecuador tengo que aplicar la segunda ley de Newton F igual a m por a sub
n ¿qué fuerzas actúan sobre mí si estoy encima de una balanza y lo
entenderé mejor así? o si no pensad que F o la normal es la fuerza de
reacción ¿no? yo tendré eh hacia adentro tendré el peso m por g sub
cero el peso real ¿vale? la normal hacia arriba igual a m por a sub n de
manera que la normal ¿a qué será igual? a mg sub cero menos m a sub n
¿vale? a esto le puedo llamar peso aparente y al peso aparente le puedo
llamar la masa por la g aparente una g aparente una gravedad aparente que
es la que yo soporto y de manera que de aquí yo podría decir que la g
aparente es la g sub cero menos v cuadrado partido por rt porque la
aceleración normal la aceleración normal es v cuadrado partido por r
¿qué estamos diciendo? que nuestro peso en el ecuador o cuanto más me
aproxime al ecuador será menor que en el polo ¿no? porque viene
influenciado mi peso aparente ¿eh? es decir si yo me subo en una balanza
¿eh? como tengo estoy en un sistema acelerado mi sistema de referencia es
un sistema acelerado ¿no? tendré digamos esa mi comportamiento será el
de un cuerpo de menor masa ¿vale? bien vamos allá con los problemas este
es un problema dice dos esferas uniformes están fijas en los puntos a y b
es decir calcular el módulo de dirección de la aceleración inicial de
una esfera uniforme de 0,01 kg inicialmente en reposo se resuelta desde el
punto p suponiendo que solo actúa sobre ella las fuerzas gravitatorias de
las dos esferas es decir si a mí me piden la aceleración que está sujeta
esta masa de 0,01 kg yo lo que tengo que hacer es calcular la fuerza
gravitatoria ¿no? si yo calculo la fuerza gravitatoria resultante será
igual a la masa por la aceleración luego la aceleración será la fuerza
gravitatoria partido por m la fuerza gravitatoria partido por m ¿qué
tengo que hacer? dibujar los vectores y después calcular los módulos y
después ver las componentes de los vectores ¿cuáles son los vectores de
las fuerzas? las dos flechas verdes son las fuerzas de atracción que
ejercen las masas A y B que ya las dibujo puntuales ¿eh? las dibujo
puntuales si os dais cuenta y descompongo estos dos vectores F que uno es
FA y el otro es FB sobre el eje X y sobre el eje Y ¿no? FAX FBX ¿eh? daos
cuenta que las masas A y B son idénticas 0,26 kg eso quiere decir que las
fuerzas atractivas sobre el eje X y sobre el eje Y ¿vale? se van a anular
se van a compensar ¿de acuerdo? y se van a sumar las del componente Y
¿eh? las del componente Y se van a anular ¿qué vale el módulo? el
módulo sería esta expresión la que ejerce A G por MA por M partido de R
cuadrado siendo R la distancia centro-centro aquí son masas puntuales no
me dan dimensiones no son planetas ¿eh? entonces F G M M partido de R
cuadrado y la fuerza sale 1,735 por 10 elevado a menos 11 newtons sería FA
la fuerza que ejerce FA y la fuerza que ejerce FB pero ¿cuál es la fuerza
resultante? yo no puedo sumar estos dos números ¡no! porque estos dos
vectores no son unidireccionales no están uno encima del otro ponemos un
ángulo determinado tengo que sacar la componente Y porque la componente Y
es la que es la que se va a sumar los dos vectores la componente Y entonces
aquí podemos hacer un triángulo ¿veis? la hipotenusa es 10 la base es 8
la altura es 6 ¿vale? y lo que intento es sacar el seno y coseno a mí me
interesa el coseno aquí en este caso ¿qué será el coseno? pues 10 ¿eh?
el coseno ¿qué será? cateto contiguo que es 6 partido de la hipotenusa
que es 10 entonces me queda que el coseno es tres quintos ¿os dais cuenta
que la componente Y no? porque las componentes X se me van la fuerza
resultante sería dos veces la componente Y de FA o de FB me da igual pues
son iguales ¿y qué es la componente Y? el coseno esto es el coseno porque
el coseno de Z será igual a FA Y partido FA la componente Y es 3 y el
coseno partido de la hipotenusa FA ¿eh? esto sería el coseno por lo tanto
pongo 2F coseno de Z sustituimos numéricamente y tendremos el vector
fuerza que evidentemente al ir hacia abajo será componente J y con un
signo menos ¿y qué va a dar la aceleración? la aceleración será F
partido por M F partido por M ¿vale? y se sustituye ahí ya está bueno
seguimos esto es el solucionario por si lo queréis ver vamos con este otro
problema dice un planeta tiene de radio 3,24 por 10 elevado a 6 metros la
velocidad de escape de un objeto lanzado en su superficie vale todo esto
¿cuál es la aceleración debido a la gravedad de la superficie del
planeta? bueno ¿qué es la gravedad en la superficie de un planeta? ¿qué
es la gravedad? esto GMP partido RP cuadrado ¿qué me falta aquí? yo sé
el radio pero no sé la masa del planeta pero me da la velocidad de escape
ese concepto no lo hemos hablado ¿qué es la velocidad de escape?
importante la velocidad de escape es la mínima velocidad que se ha de
comunicar a un objeto desde la superficie del planeta ¿para qué? para que
se aleje al infinito y llegue al infinito con velocidad cero esa es la
velocidad de escape mínima velocidad velocidad de escape mínima velocidad
que se ha de aplicar a un objeto desde un punto determinado en este caso
desde la radio del planeta para que se escape entonces aplicamos trabajo de
rozamiento igual a cero energía mecánica en uno igual a energía
mecánica en dos entonces energía cinética uno más energía potencial
uno es igual a energía cinética dos más energía potencial dos ¿vale?
entonces abajo del todo sólo tendremos energía cinética un medio de m v1
cuadrado ¿vale? y la energía potencial menos gm masa del planeta por m
partido de radio del planeta ¿vale? igual energía cinética vale cero
porque no tiene velocidad y en el infinito la energía potencial es cero
pues de aquí esta v1 es la velocidad de escape y esta velocidad de escape
paso el otro término sumando a la derecha y operando saco la raíz
cuadrada tacho las masas pequeñas me queda gmp partido rp pero bueno mi
objetivo no es despejar pero esto aquí está que a continuación lo tengo
no sé tenía aquí no sé por qué lo estaba escribiendo otra vez todo
pero bueno aquí está más claro ¿no? que la misma velocidad para que
llegue al infinito con velocidad nula entonces esta es la relación que hay
yo paso este miembro aquí a la derecha y despejo la masa por ejemplo
porque no la sé una vez que ya he calculado la masa o la sustituyo en la
fórmula de la gravedad del planeta puedo calcular la gravedad de ese
planeta a partir de la velocidad de escape y del radio del planeta que no
quiero calcular la velocidad de escape bueno lo puedo dejar en función de
la velocidad de escape la masa del planeta como queráis eh tampoco me pide
estrictamente la masa del planeta a este otro vamos allá dice este es un
problema que cayó muy parecido a uno que cayó el año pasado en uno de
los exámenes cayó un problema de campo gravitatorio dice la aceleración
debido a la gravedad en el polo norte de Neptuno es 11,2 me da la masa y el
radio de Neptuno y el periodo de rotación 16 horas calcule la fuerza
gravitatoria capturada según un objeto de 5 kilos en el polo norte y qué
peso tendrá aparente en el ecuador bueno primero pide la fuerza
gravitatoria en el polo norte ¿no? ¿qué es la fuerza gravitatoria?
simplemente sustituir no tiene ningún secreto a ver polo norte lo que nos
mide ¿qué es? es el peso no hay nada más es m por g sub 0 g por la masa
del cuerpo por la masa del cuerpo partido del radio de Júpiter no, no era
Júpiter Neptuno perdón masa de Neptuno y radio de Neptuno y el peso real
que tiene en el polo norte es esto ¿y qué pasa en el ecuador? cuidado lo
que hemos visto antes en el ecuador el peso aparente que es la normal
entonces pondremos que el peso real mg menos la normal es igual a m por a
sub n aquí lo tenemos ¿no? p sub 0 menos n igual a m por a sub n donde a
sub n es la aceleración normal que no voy a ponerla en función de v
porque me da en el periodo lo que hago es que omega es 2 pi partido por el
periodo y lo elevo al cuadrado y los 16 días hay que pasarlos a segundos
16 horas perdón 3600 segundos es una hora y por lo tanto a partir de aquí
¿no? a partir de aquí tendré el periodo en segundos me sale una
aceleración normal de 0,297 entonces ¿qué valdrá el peso aparente en el
ecuador? pues el peso real 53 menos m por a sub n por lo tanto en este caso
valdría 52 ha bajado una unidad aquí tenemos otro problema de una esfera
de 60 kilos que sostiene su centro en el origen y una segunda esfera de 80
que está en x0 y 3 ¿cuál es el módulo de la división de la fuerza
gravitatoria neta que estas fuerzas se ejercen sobre una tercera esfera
situada en x igual a 4? pues mirad se hace un dibujo se dibujan las dos
fuerzas atractivas la fuerza que ejerce 1 sobre 3 la fuerza que ejerce 2
sobre 3 que son de carácter atractivo ¿vale? y me fijo que yo quiero yo
quiero calcular la fuerza resultante sobre 3 la fuerza resultante sobre 3
es la suma de estos dos vectores de 1 sobre 3 más la fuerza de 2 sobre 3
de 1 sobre 3 y de 2 sobre 3 ¿vale? que es la fuerza resultante si de 1
sobre 3 y 2 sobre 3 ¿vale? ¿y qué va a dar el módulo? pues el módulo
de esta fuerza será g m1 m3 partido la distancia al cuadrado r13 al
cuadrado pero claro yo no puedo sumar los números porque forman ángulos
tengo que sacar componentes de f23 f13 ya está sobre el eje x apuntando
hacia la izquierda y f23 tendré que sacar la componente i y la componente
x ¿vale? ¿y cómo? pues con el seno es la componente i y con el coseno es
la componente x ¿y qué vale el seno y el coseno? como se 3 4 la
hipotenusa es 5 ¿no? venga tenemos aquí los módulos en primer lugar de
f1 con 3 y f2 con 3 los módulos f13 va está sobre el eje x izquierda
sólo una componente f23 tiene una componente x sobre el eje x negativo y
una componente i sobre el eje i positivo la x es negativa hacia la
izquierda la x con el coseno la i con el seno se sustituye numéricamente y
operando pues se suman las componentes a componentes me sale f3 ¿vale? si
quiero sacar el módulo raíz cuadrada de cada una de las componentes al
cuadrado y cuidado para saber la dirección ¿no? yo hago la tangente de z
y bueno yo en este caso diré que son 27 grados ¿dónde 27 grados? 27
grados por aquí porque esto es la fuerza resultante 27 grados estamos en
el segundo cuadrante sobre el eje x o si no quiero expresarlo sobre el
segundo cuadrante sobre el primero que es más ortodoxo ¿no? sería 180
menos 163 ¿vale? sería el ángulo con respecto al primer cuadrante
después me pide si tenemos las masas 1 y 2 ¿en qué punto estaría en
equilibrio una tercera masa m3 ¿no? pues simplemente es que la fuerza
resultante sea cero en definitiva que ambos módulos de ambas fuerzas sean
iguales porque son dos vectores que tienen la misma dirección y sentido
contrario pues a una distancia le llamo i y a otra 3 menos i sustituyo
¿no? las g se pueden simplificar las m3 se me van ¿vale? sustituyo
numéricamente y opero y me sale a 1,39 metros ¿vale? seguimos un
astronauta descende en un planeta esférico en una de un planeta esférico
en una galaxia lejana cuando se encuentra sobre la superficie del planeta
se libera desde el reposo una pequeña roca y comprueba que esta tarda 0,49
segundos en caer 1,9 metros si el radio vale tanto ¿qué vale la masa?
fijaos este dato que os da aquí se libera desde el reposo en la superficie
del planeta estamos aquí esto es como si estuvieramos aquí y resulta que
dejó caer un objeto desde 1,9 metros lo dejó caer y tarda 0,48 segundos
en recorrer 1,9 metros ¿vale? entonces esto que me permite a mí calcular
la gravedad en la superficie del planeta porque ahí sí que puedo decir
que la gravedad es constante porque solo se desplaza 1,9 metros entonces
por cinemática puedo calcular la gravedad 16,49 es la gravedad entonces si
sabemos la gravedad y sabemos el radio del planeta podré calcular ya
fácilmente la masa del planeta despejando ¿de acuerdo? este es el
problema que cayó en el examen el año pasado en febrero del 24 dice
Titán es la mayor luna de Saturno tiene una masa tal un radio medio tal
tiene un periodo de giro sobre sí mismo ¿no? esto es un periodo orbital
de rotación ¿no? como le ocurre a la luna ¿no? que gira sobre sí misma
de 15 días 22 horas y 41 minutos después Marte tiene una masa tanto como
veis aquí de 10 elevado a 23 kilos y un radio y su periodo es de 24,6
horas dice calcular la gravedad en el polo norte de Titán bueno la
gravedad en el polo norte de Titán es G0 la gravedad en el ecuador será
G0 pero no se supone con lo que os he explicado donde la normal es la
fuerza de reacción en el polo R es 0 en el ecuador R es el radio del
planeta de Titán o de Marte ¿vale? entonces el en el polo norte Titán
pues la gravedad vale 1,352 ¿no? y en el ecuador de Titán 1,298 hay una
disminución ¿no? de la gravedad ¿eh? y si nos vamos a Marte lo mismo en
Marte se sustituye por el radio de Marte y en el ecuador pues hay que
restarle la aceleración normal ¿vale? ¿qué diferencia hay en cada uno
entre Titán y Marte de las gravedades o aceleraciones? pues en un caso
tenemos una diferencia de 0,054 en Titán y en Marte sólo es 0,017 ¿y por
qué ocurre esto? bueno el periodo de rotación de Marte es mayor por lo
que su velocidad angular es menor y su aceleración normal será menor los
rayos son similares ¿no? la aceleración normal es menor en Marte de ahí
la menor diferencia de la gravedad en Marte ¿eh? de ahí la menor
diferencia la gravedad en Marte es mayor que en Titán por lo tanto encima
el efecto es menor vamos a ver ¿por qué la variación de la gravedad
entre polo norte y ecuador es mayor o menor en un planeta determinado?
porque la aceleración normal la aceleración normal ¿no? depende de qué
del radio y de omega si tú tienes dos sistemas que giran con radio muy
parecido el que tenga la omega más grande tendrá mayor aceleración
normal y omega más grande supone tener el periodo más pequeño aquel que
tenga el periodo más pequeño aquel que gire más rápido será el que
tendrá más aceleración normal y más variación bueno este problema
aparecerá después porque éste salió el año pasado en la PEL es de
campo navigativo después os lo pongo por eso lo podéis descargar aquí
hay otro ejercicio ¿no? que dice un satélite artificial de 400 kilos
describe una órbita circular sobre la tierra el valor de la gravedad de
dicha altura es de la tercera parte que es la superficie explíquese si hay
trabajo para mantener el satélite en órbita y calcular el valor de h esto
es importante ¿qué vale el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria
para mantener en órbita un satélite? cero ¿por qué es cero el trabajo
que realiza la fuerza gravitatoria? ¿por qué es cero el trabajo que
realiza la fuerza gravitatoria? porque la fuerza gravitatoria en todo
momento es perpendicular al desplazamiento ¿no? si la fuerza gravitatoria
esto es la fuerza gravitatoria ¿vale? y el vector velocidad el
desplazamiento es éste tenemos 90 grados el trabajo de la fuerza
gravitatoria es cero por lo tanto la fuerza gravitatoria no realiza ningún
trabajo no hay que aportar ninguna energía una vez que está en órbita
¿eh? esto seguiría en órbita indefinidamente si no hay rozamiento
¿vale? después me pide la altura a la que se encuentra ¿cómo puedo
calcular la altura? ¿vale? ¿qué me da el dato? ah que la gravedad allá
arriba vale la tercera parte que la tierra entonces g ¿a qué es igual? a
gmt partido rt más h al cuadrado la gravedad es g sub 0 partido por 3
igual a 9,81 partido por 3 o si no queréis porque no me dan datos de gmt o
si me dan a ver sí no me dan ah no me dan la g mayúscula ni la masa tengo
que hacerlo un poquito tengo que trabajar un poquito diferente fijaos ahora
lo pongo ¿eh? esto sería esto es igual ah hasta luego gracias g sub 0
partido por 3 ¿vale? entonces tendría gmt partido rt más h al cuadrado
es igual a un tercio de gmt partido rt cuadrado daos cuenta que se
tacharía mt con g ¿eh? y me quedaría simplemente tres veces rt cuadrado
es igual a rt más h al cuadrado y sacamos raíz cuadrada y de aquí se
despeja la h ¿vale? me queda raíz de 3 menos 1 ¿no? rt igual a h ah pero
si la órbita fuera en forma de elipse no se puede hacer así no se puede
calcular así no no no no a ver lo que sí podemos decir es que la fuerza
gravitatoria el trabajo que realiza la fuerza gravitatoria es 0 eso sí que
lo podemos decir porque es una fuerza conservativa y al dar una vuelta el
trabajo va a ser 0 otra cosa es si la fuerza va a ser siempre perpendicular
al desplazamiento esto fue una pregunta en la cuestión del año pasado
¿no? ahora después abriremos el archivo en todo caso entonces lo que sí
tenéis que saber en cuenta es que la fuerza gravitatoria es una fuerza
conservativa y el trabajo realizado por esa fuerza gravitatoria cuando el
satélite da una vuelta ya sea circular o sea elíptica será 0 otra cosa
es que me digas que en un tramo puede haber un trabajo positivo o un
trabajo negativo en una órbita elíptica pero eh en la circular siempre va
a ser 0 el trabajo entre cualquier tramo que recorra pero en una órbita
elíptica el trabajo total en dar una vuelta es 0 porque es una fuerza
conservativa ahora tú puedes tener trabajos ¿no? que realiza la fuerza
gravitacional porque la velocidad cambia la velocidad no es constante y al
no ser la velocidad constante ahí vas a tener un trabajo que te acelera y
que te frena al planeta o al satélite ¿de acuerdo? interesante la
pregunta bueno gracias por avisar ¿qué más nos piden? explíquese ahí
determine el periodo de la órbita y la energía mecánica del satélite
bien el periodo pues tendré que hacer el desarrollo a ver para calcular el
periodo pues esto es el primer apartado ahí están los otros ¿no? sí
esta fórmula la hemos deducido antes no sé si os acordáis cuando os he
deducido la tercera ley de Kepler ¿no? sí que el cuadrado de los periodos
el cuadrado del periodo partido por el radio al cubo es 4pi cuadrado
partido GMT para no deducirlo otra vez porque es reiterativo a partir de
aquí yo puedo sacar el periodo sabiendo el radio ¿y qué es el radio?
cuidado es RT más H no no es H ¿eh? vale y a partir de aquí sacamos el
radio ¿y cómo puedo sacar? si yo no sé GMT ¿no? no me da el enunciado
GMT pero nosotros sabemos que G0 es GMT RT cuadrado entonces yo puedo
sustituir el producto GMT por G0 RT cuadrado G0 me lo da el enunciado y RT
también me lo da el enunciado pues entonces ya no tengo ningún problema
¿eh? puedo sacar el producto ¿vale? ¿y qué vale la energía mecánica?
pues la energía mecánica es la suma de cinética más potencial hemos
demostrado hace un momento que la energía mecánica es menos GMTM partido
2R ¿no? la energía mecánica importante esta fórmula solo para órbitas
para satélites en órbita la energía mecánica no vale si no está en
órbita ahora si Martín Prieto me dice y si la órbita es elíptica pues
donde hay la R pones la A donde la A es el semieje mayor todas estas
fórmulas las que hemos deducido para órbitas circulares sirven para
órbitas elípticas cambiando la R por A siendo A el semieje mayor semieje
mayor la A es el semieje mayor la mitad de la distancia de extremo a
extremo de la elipse del apogeo al perigeo ¿eh? y se calcula muy bien este
ya está acabado vamos a seguir un poquito más ¿sí? y ahora tenemos D8 2
espérate un poquito vamos a ver si tenemos las preguntas de teoría que
quería que preguntas teoría campo gravitatorio voy a hacer hincapié
aquí le he puesto en un archivo aparte porque estas son las preguntas que
han ido saliendo en distintos exámenes ¿no? y como os he dicho se dio ya
4 veces una aquí pregunta de teoría energía potencial gravitatoria y
aquí lo que se está pidiendo es interesante la B ya la hemos hecho porque
era de fuerzas conservativas pero la A es decir oye como si aplicamos MGH y
la U es GMM partido por R ¿no? crece con la altura mientras que la segunda
disminuye con la distancia al centro de la Tierra ¿no? yo tengo estas dos
bueno pues aquí tenéis un poco de razonamiento ¿eh? energía potencial
gravitatoria lo que ocurre aquí es que tomamos origen de energía
potencial en el infinito ¿vale? y a partir de ahí pues bueno la energía
potencial obtenida de ese proceso de integración ¿no? como tomamos origen
en el infinito y en otro caso tenemos origen en la superficie de la Tierra
la energía potencial ¿no? a medida que nos alejamos de la Tierra ¿no?
aumenta a medida que aumenta la distancia al centro de la Tierra hasta el
objeto ¿no? más trabajo se requiere para atraerlo aquí lo que pasa es
que aquí en este problema mientras que la segunda disminuye con la
distancia al centro de la Tierra la verdad es que aquí le falta el signo
menos ¿no? para explicarlo aquí en esta expresión de la energía
potencial ¿no? se ha tomado no ha tomado menos GMTM ¿no? el toma que va
aumentando ¿no? y para llegar igual a cero vale infinito bueno aquí
tenéis cómo se puede transformar una en la otra ¿no? si esto os lo dejo
para que lo miréis ¿eh? porque ya dice otro leyes de Newton de la
gravitación ley de Newton de la gravitación teoría un planeta se mueve a
velocidad constante en una órbita circular ¿cuál es el trabajo que
realiza que ejerce su estrella sobre el planeta? ya lo hemos dicho cero si
en vez de ser una órbita circular es elíptica ¿cuál es el trabajo neto
que ejerce su estrella sobre el planeta? al describir una órbita completa
sigue siendo cero porque es una una fuerza conservativa ¿qué diferencia
habría en relación con el caso de la órbita circular? ya lo hemos dicho
antes que habría trabajos puntuales positivos o negativos ¿no? entre la
trayectoria pero al final el trabajo total en un círculo cerrado en una
órbita elíptica cerrada sería cero lo tenéis ahí escrito ¿no? y aquí
además hay distintas velocidades ¿no? cuando está más cerca más
rápido y viceversa esto lo podéis lo podéis descargar ¿eh? y y aquí en
septiembre otra vez las leyes de Kepler y el movimiento de los planetas
veis como este tema ha caído ya casi todas las preguntas posibles ¿qué
viajes requiere más combustible? ¿de la Tierra a la Luna o de la Luna a
la Tierra? el mismo consumo la Tierra está más cerca del Sol en noviembre
que en mayo ¿en cuál de estos dos meses es mayor su velocidad orbital?
bueno la energía requerida para viajar de la Tierra a la Luna es mayor que
de la Luna a la Tierra ¿por qué? porque la masa de la Luna es menor y el
punto de equilibrio el punto de equilibrio que hay entre la fuerza
atractiva que ejerce la Tierra y la Luna está más lejos de la Tierra
entonces si yo quiero alejar un objeto que llega a la Luna tengo que llegar
al punto de equilibrio donde las dos fuerzas son iguales y como está más
lejos de la Tierra porque una vez que haya superado ese punto de equilibrio
me atrae más la Luna que la Tierra y ya la nave se va hacia la Luna sin
embargo si yo lo lanzo desde la Luna como está más cerca al punto de
equilibrio ¿eh? ya he tenido que usar menos energía y el porqué de las
velocidades ¿por qué cuando estamos más cerca? pues por la ley por la
segunda ley de Kepler ley de las áreas ¿no? ya lo hemos explicado antes
cuando estamos más cerca mayor velocidad para que el momento angular se
mantenga constante y esto salió el año pasado ley de Newton de la
gravitación ¿cuándo atrae cómo es el Sol? ¿al mediodía o a
medianoche? y si todos los planetas tuvieran la misma densidad la gravedad
en su superficie del radio del planeta pues mira ¿cuándo atraemos más
más ¿no? la fuerza gravitacional ¿cuándo atraemos nosotros más al Sol
de día o de noche? ¿qué pensáis? pues de día porque estamos
ligeramente más cerca ¿no? porque de noche estamos en la otra cara ¿o
no? ¿eh? la fuerza gravitacional es inversamente evolucionada por la
distancia de día se está más cerca que de noche ¿qué diferencia de
distancia? el diámetro de la Tierra pero ¿qué pasa? que esa distancia
ese diámetro de la Tierra que son 6400 kilómetros por 2 es mucho más
pequeño que la distancia Tierra-Sol y eso es imperceptible es
imperceptible ¿no? ¿o no? nosotros no lo apreciamos esa diferencia o sí
bueno ¿no? el diámetro es mucho más pequeño y no es perceptible y la
siguiente pregunta él dice si todos los planetas tuvieran la misma
densidad ¿cómo dependería la gravedad del radio? pues la gravedad ¿qué
sabemos que es? g por la masa partido por el radio al cuadrado la masa
¿qué es la masa? la densidad multiplicada por el volumen la masa es la
densidad multiplicada por el volumen la densidad por 4 tercios de pi R cubo
eso es el volumen de una esfera si nosotros queremos ver la relación que
tiene ¿no? con el radio nos damos cuenta que al sustituirme queda que la
gravedad ¿no? depende de que es directamente proporcional al radio porque
un R cubo un R cubo y un R cuadrado me queda una R en el numerador ¿lo
veis? entonces ¿qué puedo decir? que si todos los planetas tuvieran la
misma densidad la gravedad sería directamente proporcional a su radio a
doble radio doble gravedad ¿de acuerdo? bien y por último voy a ver este
archivo que son a ver si lo he puesto a ver este no es problemas de
gravitación aquí bueno este archivo ya veremos como comentaré las
cuestiones en otro momento porque no hemos dado bonito armónico simple ni
ondas ¿eh? aunque lo podréis descargar dice aquí ¿qué velocidad esto
que hay un problema un año? dice ¿qué velocidad orbital debe tener un
satélite para describir una órbita circular de 840 kilómetros sobre la
superficie del planeta? pues ya veis es aplicar la segunda ley de Newton f
igual a m por a sub n la fuerza gravitatoria es g mtm partido de R cuadrado
m y m se van ¿no? es la masa del satélite entonces la velocidad ¿no? la
velocidad que tiene el satélite hay que sustituir la R por RT más H mucho
cuidado no ponerlo en kilómetros que hay gente que no pasa metros ¿eh? y
hay que buscar como esto es una P tenéis que buscar vosotros en el libro
el valor de la constante de la variación universal y la masa y la masa de
la tierra ¿vale? y a partir de aquí sale estos metros por segundo que
normalmente estas velocidades se suelen dar en kilómetros por segundo
porque las velocidades de los de los planetas de las órbitas normalmente
son kilómetros por segundo del orden de los kilómetros kilómetros por
segundo ¿eh? cinco kilómetros diez kilómetros siete kilómetros ocho
kilómetros y el otro problema que tal estos son unas cuestiones ay perdón
decía aquí un objeto en órbita alrededor del planeta tierra describe una
órbita circular que describe quince veces ¿no? que describe quince veces
al día ¿a qué altura se encuentra? ahora es al revés ahora me da el
periodo y me dice que da en un día quince vueltas ¿cuál es el periodo?
si es el tiempo en dar una vuelta ¿no? si yo sé que da quince vueltas en
un día si yo divido un día partido quince vueltas tendré el tiempo en
dar una vuelta cuidado ¿eh? que tiene su truquito este denunciado ¿eh?
pero yo el periodo no lo puedo poner en días lo tengo que poner en
segundos un día veinticuatro horas una hora tres mil seiscientos segundos
mi periodo es cinco coma setenta y seis por diez elevado a tres ¿y qué
fórmula utilizaré? pues esa que hemos deducido al principio de la tercera
ley de Kepler ¿no? que relacionamos el periodo con el radio de la órbita
¿eh? con el radio de la órbita ¿vale? de manera que el periodo lo
pondré en segundos ¿no? la masa de la tierra la buscaré la sustituiré y
el radio aquí está es un poco engorroso lo veis ¿no? pero no me puedo
quedar ahí no me puedo quedar con el radio de la órbita porque me pide la
altura hay gente que ya da este resultado me pide la altura a la cual está
orbitando pero sabemos que R es RT más H luego H es R menos RT restamos el
radio de la tierra y a partir de aquí pues ya tenemos la altura a la cual
está orbitando este satélite ¿no? si lo damos en metros pues del orden
de los 500 kilómetros pues es algo habitual muy bien pues hasta aquí
hemos llegado ¿no? yo suelo deciros que a ver que la PET la tenéis a
partir del día 6 yo voy a facilitaros material de los temas que faltan que
es armónico simple y ondas en el foro de tutoría ¿vale? lo voy a hacer
os dejo un poco de ingerir esto además hay prácticas de física este fin
de semana así que tampoco quiero olvidaros y a partir de la semana que
viene os lo pasaré ¿eh? que tenéis un par de grabaciones que os voy a
dar y tenéis aquí estos ejercicios las cuestiones etcétera y estamos en
contacto venga muy bien pues muchas gracias la próxima mañana es de
cuatro a nueve o de cuatro a ocho