Bien, hoy vamos a hablar de la dinámica del sólido rígido. Este tema
tan importante de la mecánica pone en práctica los teoremas fundamentales
de la dinámica que ya están estudiados en temas anteriores para
determinar el movimiento, es decir, velocidades, aceleraciones, etc. de un
cuerpo sólido rígido sometido a un sistema de fuerzas externas e internas
y asimismo para determinar las reacciones de sus ligaduras en el caso de
sólidos ligados. Dado que es un tema tan importante tanto desde el punto
de vista teórico como desde sus aplicaciones prácticas al mundo de la
ingeniería hemos creído que era necesario desglosarlo en tres módulos y
así lo vamos a hacer. Esto nos va a permitir particularizar el enfoque de
resolución de problemas de este tema para dos tipos de movimientos
diferentes, muy comunes además en la práctica que son el movimiento plano
y el movimiento tridimensional cosa que no es nueva puesto que ya hemos
hecho lo mismo en módulos anteriores de cinemática. Este desglose nos
facilitará la resolución de problemas de este tema de los problemas de
dinámica del sólido rígido y pienso que el alumno nos lo va a agradecer.
Así pues, vamos a comenzar hoy con el módulo que hemos titulado DSR1
Dinámica del sólido rígido relativo al movimiento plano. Comencemos
aclarando para mayor abundancia en lo que hemos dicho que el estudio de la
dinámica del sólido rígido podría generalizarse al dominio del espacio
y a partir de ahí particularizarse a través de las condiciones de
contorno para movimientos con un eje fijo o movimientos con un punto fijo,
para movimientos planos, etc. Esto es lo que hace el libro básico de la
asignatura, lo enfoca de esta manera. Sin embargo, con el fin de facilitar,
como decíamos antes, al alumno la resolución de los diferentes problemas
que se le van a presentar en este campo vamos a desglosar dicho estudio en
dos partes, movimiento plano por un lado es decir, movimiento de dos
dimensiones por un lado y movimiento tridimensional por el otro marcando
las diferencias y similitudes entre ambos y su nexo de unión lo cual, como
he dicho antes, pienso que redundará en beneficio de la comprensión por
parte de los alumnos de los problemas sobre todo los problemas de la
colección de la tutoría y los que aparecen en el libro básico. Entonces,
empecemos con el módulo DSR1 enfocado al movimiento plano. Ahí en la
transparencia vemos que el movimiento del cilindro que aparece en la
figura, con su biela y su manivela ambos están localizados en el plano
tridimensional. X y el plano de la pantalla, vamos a llamarle X y X
horizontal, eje horizontal y eje vertical que definen el plano de la
pantalla. Pero ambos cuerpos, cilindro y las bielas y manivela son de tres
dimensiones, no son de dos con lo cual supondremos que el plano de la
pantalla es el plano que corta a los cuerpos por su parte central
longitudinal lo que quiere decir que habrá medio cuerpo del cilindro
situado detrás del plano de la pantalla y el otro medio situado delante
del plano de la pantalla. Y lo mismo ocurre con la biela y con la manivela.
Se ve pues que cada una de las partículas de los cuerpos citados cumple lo
siguiente. Primero, cada partícula se mantiene en su movimiento a una
distancia constante del plano de la pantalla o sea, del plano de referencia
fijo o del plano del dibujo. No me da igual llamarle de una forma que de
otra. Y la segunda característica que cumple es que los cuerpos son
simétricos respecto al plano de referencia o sea, cada partícula del
cuerpo encuentra su simétrica en el lado opuesto. Cuando estas dos
características se cumplen diremos que el movimiento es plano. Los cuerpos
considerados en el movimiento plano pues son básicamente placas o sólidos
simétricos respecto al plano de referencia que como sabemos es el plano
del dibujo o el plano de la pantalla. Y el estudio de este movimiento plano
nos va a ser de mucha utilidad para estudiar movimientos de rotación o de
traslación de ruedas para estudiar movimientos de rotación o de
traslación de ruedas movimientos de bielas, movimientos de poleas o
movimientos de cuerpos en general que son placas. Dado que los sólidos a
analizar a menudo estarán sometidos a movimientos de traslación y de
rotación conjuntos los dos a la vez deberemos echar mano de los teoremas
ya conocidos de cantidad de movimiento y de momento cinético para plantear
las ecuaciones que nos van a servir para determinar el movimiento del
cuerpo es decir velocidades, aceleraciones del cuerpo y también para
determinar las reacciones del sólido. Estas ecuaciones vamos a llamarlas
de forma genérica ecuación del movimiento. En general para la resolución
de los problemas de dinámica es muy útil plantear las ecuaciones del
movimiento a través de los diagramas de sólido libre que nos van a
representar las fuerzas externas de un lado y las fuerzas efectivas o
fuerzas de inercia por otro. Lo veis ahí en la pantalla en esa figura que
se ha dibujado ahí. Se ha dibujado el cuerpo en la parte izquierda
sometido a una serie de fuerzas F1, 2, 3 y 4 que son fuerzas externas
ejercidas sobre el cuerpo incluyendo entre estas fuerzas las reacciones de
las ligaduras del cuerpo y los pesos del cuerpo. A ese diagrama vamos a
llamarle diagrama 1 diagrama en la izquierda. Luego aparece en la derecha
otro diagrama que es el mismo cuerpo pero sobre el que están aplicadas las
fuerzas que vamos a llamarle fuerzas efectivas y es lo mismo que decir
fuerzas de inercia. Es decir, habrá dos tipos de vectores uno el vector m
por a masa por aceleración con la dirección y el sentido que marque el
vector aceleración y otro vector es el que es un par representa un par y
es la derivada del momento cinético con respecto al tiempo. Es decir,
derivada de Hg vamos a llamar Hg siempre al momento cinético del cuerpo
entonces derivada respecto al tiempo de Hg y representa un par de fuerzas
un momento. Tanto la fuerza efectiva masa por aceleración como el par de
fuerzas o el par Hg' derivada de Hg momento cinético con respecto al
tiempo están aplicados en el centro de masas G que también se denomina
centroide centro de gravedad. Entonces a estos dos diagramas diagrama 1 de
la izquierda y diagrama 2 de la derecha como vemos están separados por un
signo igual eso significa que las fuerzas externas que representa el
diagrama de la izquierda es igual equivalente vamos a luego ya veremos a
ver lo que significa equivalente a las fuerzas efectivas que están
representadas en la derecha y a este diagrama que es muy útil siempre para
la resolución de problemas de dinámica y que lo vamos a tener que dibujar
siempre se le conoce con el nombre de diagrama de sólido libre. El vector
masa por aceleración de las fuerzas efectivas diagrama de la derecha
proviene del teorema de la cantidad de movimiento. Y el vector derivada de
Hg respecto al tiempo es con el fin de aplicar el teorema de movimiento
cinético. Esta ecuación que nos sale igualando las fuerzas externas del
diagrama de la izquierda a las fuerzas efectivas del diagrama de la derecha
en el diagrama de sólido libre es válido para el caso más general de
sólido rígido. Pero el problema está siempre en determinar el vector
momento cinético Hg. El determinar este vector de momento cinético Hg se
puede complicar enormemente en muchos problemas y por lo tanto necesita un
método de cálculo que nos facilite la labor. Por eso vamos a ir por
partes empezando por los movimientos planos que son aquellos movimientos en
los que el cálculo del momento cinético respecto al centroide G es el
más sencillo. El movimiento plano de un sólido rígido es un caso
particular de un movimiento tridimensional con un eje fijo que es el eje
OZ. El eje OZ en el caso del movimiento plano es el eje perpendicular al
plano del dibujo o sea, perpendicular a la pantalla lo que facilita
enormemente su resolución como ya vamos a ver a continuación. Por eso lo
ponemos en primer lugar porque hay que ir dando pasitos empezando por los
más fáciles. Dado que para el estudio del movimiento del sólido
necesitamos conocer su momento cinético Hg respecto al centro de masas o
centroide G vamos a comenzar, el primer paso es calcular este este Hg o
momento cinético respecto al centroide G. En la figura que aparece ahí en
la transparencia tenemos un cuerpo en forma de placa que está sombreado,
de color marrón dotado de un movimiento de rotación omega que lo veis
ahí representado por este semicírculo y sobre el cual, sobre este cuerpo
este sólido vamos a calcular su momento cinético con respecto al
centroide G. Para ello situaremos los ejes Gxy tal y como vemos ahí en la
figura los ejes pintados de color rojo en el centroide G ya sabemos que
centroide es lo mismo que decir centro de gravedad del cuerpo entonces,
situemos antes de nada como primer paso los ejes Gxy con origen en el
centroide G y calcularemos el momento de inercia del sólido respecto al
centroide G es decir, Ig tal y como aparece ahí en la transparencia esto
ya lo sabemos calcular puesto que ya conocemos de módulos anteriores cómo
se calcula sólo necesitaremos este momento de inercia el momento de
inercia Ig que es un momento de inercia polar porque es el momento de
inercia respecto al punto G al centro de gravedad G solamente vamos a
necesitar esto para resolver problemas de movimiento plano este momento de
inercia olvidándonos de los otros momentos de inercia que aparecerán en
el cuerpo como son el Ix, el Iy momento de inercia con respecto al eje X
momento de inercia con respecto al eje Y y sobre todo olvidándonos
también de los productos de inercia que a veces son complicados de
calcular y que en este caso concreto de movimiento plano no los vamos a
necesitar la particularidad de este tipo de movimientos es que la
dirección del vector omega el vector velocidad angular de rotación que
como hemos dicho antes es perpendicular a la placa perpendicular al plano
del dibujo pues esta dirección de omega es fija y es perpendicular además
a los ejes Gx y Gi lo que hace que su dirección coincida con la dirección
del vector momento angular Hg ambos vectores el omega y el Hg tienen la
misma dirección perpendicular al plano de la figura lo que facilita
enormemente el cálculo del momento cinético Hg y sobre todo el cálculo
de su derivada temporal de Hg con respecto al tiempo que es lo que vamos a
necesitar para poner en el diagrama de sólido libre que hemos visto
anteriormente ¡OJO! tengamos mucho cuidado porque esto que acabamos de
decir la facilidad del cálculo de Hg solamente calculando un momento de
inercia que es el momento de inercia polar respecto a G multiplicándolo
como vamos a ver continuación por omega esto así de fácil resulta así
de fácil sólo se da cuando los movimientos son planos como el que estamos
estudiando y algunas veces en casos especiales también en movimientos
tridimensionales pero en principio quedémonos con que esto se cumple para
los movimientos planos que es lo que hemos empezado a estudiar así que por
lo tanto el cálculo del momento cinético con respecto al centroide será
muy sencillo porque será multiplicar el momento de inercia del cuerpo con
respecto al centroide multiplicado por la velocidad angular y será un
vector perpendicular al plano del dibujo y con origen en el punto G centro
de gravedad pero nosotros lo que necesitamos no es Hg sino que es derivada
de Hg con respecto al tiempo vale pero como en este caso el vector angular
omega no cambia su dirección siempre es la misma la derivada con respecto
al tiempo de Hg es muy fácil de calcular será igual a Ig que es constante
multiplicado por la derivada respecto al tiempo del vector omega y esto es
una aceleración angular que vamos a llamarle alfa la derivada de Hg del
vector velocidad angular omega con respecto al tiempo es la aceleración
angular que es alfa por lo tanto la derivada respecto al tiempo de Hg será
igual a Ig por alfa en un movimiento plano y volvemos a insistir en que no
puede usarse esta forma de calcular la derivada con respecto al tiempo de
Hg nada más que para movimientos planos es decir no vale para el caso de
cuerpos que no son simétricos respecto al plano del dibujo o en el caso
tampoco de movimientos tridimensionales la característica principal para
poder calcular así de esta forma tan sencilla la derivada con respecto al
tiempo del momento cinético respecto al centroide es que omega ha de
conservarse siempre paralela al Hg así pues este tipo de movimientos
planos en este tipo de movimientos planos el vector derivada con respecto
al tiempo de Hg' que es el vector que aparece en la ecuación del
movimiento del diagrama del sólido libre como hemos visto en la
transparencia anterior lo vamos a sustituir simplemente por Ig por alfa
siendo alfa la aceleración angular a que está sometido el sólido
observemos que forma más sencilla de determinar la derivada respecto al
tiempo del momento cinético otra cosa distinta será en el movimiento
tridimensional como ya veremos esto se va a complicar pero de momento es
muy sencillo una vez calculado los vectores que representan la fuerza
efectiva masa por aceleración y el par efectivo derivada respecto al
tiempo de Hg hemos de sustituirlo en el diagrama del sólido libre y
quedará planteada ya la ecuación del movimiento que nos va a permitir
determinar velocidad, velocidad angular aceleración, aceleración angular
así como las reacciones de las ligaduras del sólido es decir, a esto le
vamos a llamar principio de D'Alembert y aparece ahí en la transparencia
en la figura superior una vez más el diagrama de sólido libre con los dos
diagramas, el de la izquierda fuerzas externas incluido el peso y las
reacciones y en la parte derecha las fuerzas efectivas, vector masa por
aceleración y derivada respecto al tiempo de momento cinético respecto al
punto G que en este caso de movimiento plano es igual a g por alfa
plantearemos esta igualdad determinaremos la suma de fuerzas siempre
proyectadas sobre los ejes X e Y de la izquierda y los igualaremos a la
proyección de las fuerzas efectivas de la derecha y eso nos dará una
ecuación de la cual podremos despejar las incógnitas V, omega, alfa
reacciones, etcétera las fuerzas externas incluidas las reacciones que
actúan sobre un cuerpo rígido que es lo que representa el diagrama de la
izquierda el diagrama de sólido libre es equivalente a las fuerzas
efectivas de la derecha, son las fuerzas de inercia la equivalente
significa que ambos sistemas de fuerza tienen el mismo efecto sobre el
cuerpo esto nos permite el planteamiento de la ecuación del movimiento a
través del diagrama de sólido libre para determinar lo que ya decíamos
velocidades, aceleraciones y reacciones vamos a ver los casos particulares
en primer lugar el caso de que el cuerpo esté sometido a traslación en
este caso la aceleración angular es cero puesto que no hay movimiento de
la rotación por lo tanto su aceleración angular es nula así que entonces
la derivada respecto al tiempo del momento cinético es decir, el vector Ig
por alfa que hay que poner en la parte derecha del diagrama de sólido
libre sería cero si la rotación es pura es decir, no hay movimiento de
traslación en este caso la aceleración lineal tangencial sería nula por
lo tanto desaparecería el vector m por a de la parte derecha del diagrama
de sólido libre solamente quedaría el vector I por alfa luego las fuerzas
externas en este caso actuantes sobre el cuerpo son equivalentes a un par
de momento inercia por aceleración vamos a ver ahora método para la
resolución de problemas de dinámica del sólido rígido con movimiento
plano nos dan el problema nos dará un sólido rígido con movimiento plano
sobre el que se aplican las fuerzas externas no olvidar poner reacciones y
pesos del cuerpo que son así mismo fuerzas externas y se pretende
determinar su movimiento, velocidad, aceleración etcétera y o las
reacciones en los apoyos este sería el planteamiento del problema pasos a
seguir para resolver problemas de este tipo primero conviene empezar
aplicando la cinemática al movimiento del sólido rígido para determinar
la velocidad el vector velocidad no siempre es necesario esto muchas veces
nos vendrá ya como dato del problema para determinar la aceleración el
vector aceleración lineal o tangencial para determinar la velocidad el
vector velocidad angular o bien alguna de ellas o bien alguna relación
entre ellas por ejemplo la relación entre la aceleración tangencial y el
angular ya sabemos que es aceleración tangencial igual aceleración
angular por el ratio bien pues muchas veces nos será suficiente expresar
esta relación para tener una ecuación más suficiente segundo paso
dibujar la ecuación del movimiento a través de los diagramas del sólido
libre que hemos visto antes que aparezca en el primer miembro y en parte de
la izquierda las fuerzas externas aplicadas sobre el sólido más las
reacciones de las ligaduras o apoyos más el peso del cuerpo y en el
segundo miembro parte de la derecha dos vectores el vector masa por
aceleración tangencial y el par momento de inercia por aceleración
angular ambos aplicados en el centro de gravedad la ecuación del diagrama
del sólido libre proyectando lógicamente los vectores sobre los ejes X e
Y y tomando momentos con respecto al punto G e igualando estas proyecciones
de la parte izquierda del diagrama con las de la parte derecha con paso
cuarto en caso de que se trate de un sistema de sólidos libres varios
sólidos unidos entre sí y moviéndose una con relación a la otra lo que
haremos será dibujar primero una ecuación de diagrama de sólido libre
que incluya todos los cuerpos rígidos que hay en el problema aplicando a
cada cuerpo un vector masa por aceleración y un par y su G por alfa deben
omitirse las fuerzas que se ejercen entre ellos las fuerzas internas
fuerzas que se ejercen entre diferentes cuerpos del sistema porque son
fuerzas internas que se anulan mutuamente una con la otra puesto que son
iguales si hay más de tres incógnitas a lo anterior hay que añadir una
ecuación de diagrama de sólido libre para cada uno de los cuerpos del
sistema y ahora sí como vamos a separar los cuerpos entre ellos ahora sí
deben figurar tanto las fuerzas externas como las internas del sistema
prestando atención a representar mediante vectores iguales y opuestos las
fuerzas que dos cuerpos ejercen entre sí bueno es evidente lo que ya
repetimos hasta la saciedad de que el proceso que debe seguir el alumno es
el de revisar la teoría que estamos viendo con los problemas que figuran
en las transparencias pues de lo contrario no se enterará de nada de lo
que se dice en este caso concreto los ejemplos recomendados son los que
figuran ahí abajo y los expresados en color rojo son los que se incluyen
en la colección de problemas de la tutoría en la mayoría de los casos
prácticos los movimientos de los cuerpos rígidos se realizan con ciertas
restricciones por ejemplo malnivelas que giran alrededor ruedas que ruedan
entre sí sin deslizar, etc, etc lo que implica la existencia de ciertas
relaciones entre las componentes de la aceleración en la dirección x a su
x y la componente de la aceleración en la dirección y a su y siempre hay
una relación entre ellos geométrica que provendrá de esas restricciones
que hablábamos o también la aceleración tangencial y la aceleración
angular lo que nos va a facilitar el análisis cinemático previo a
realizar por ejemplo en la varilla AB que se ve ahí en la parte superior
de la figura la varilla que está deslizando en su extremo B por una pared
vertical y en el extremo A por una pared horizontal la aceleración A
tangencial de la varilla puede determinarse en cualquier instante dado, en
cualquier instante dado en ese instante que aparece ahí en la figura por
ejemplo a partir de su velocidad angular omega y de su aceleración angular
alfa en ese mismo instante luego debemos comenzar realizando siempre un
análisis cinemático previo para determinar la componente de la
aceleración tangencial en el centroide según la dirección x según la
dirección y y la aceleración angular también bien explícitamente o bien
relacionándolas entre sí, por ejemplo la aceleración tangencial con la
angular como hemos visto antes y a continuación una vez calculado ya la
aceleración tangencial en G, en el centroide y el par inercia por
aceleración angular también aplicado en el centroide aplicaremos el
principio de D'Alembert es decir, plantearemos la ecuación del diagrama de
sólido libre como vemos en las dos figuras de abajo el diagrama de la
izquierda con las fuerzas externas aplicadas a la varilla B incluidas las
reacciones Nb y Na e incluido el peso W como se ve ahí y en la parte
derecha las masa por aceleración fuerzas efectivas y el par inercia por
aceleración angular e igualaremos las fuerzas y momentos del diagrama de
la izquierda con las fuerzas y momentos homónimos del diagrama de la
derecha y como hemos dicho antes en caso de piezas móviles aplicaremos el
mismo procedimiento para cada una de estas piezas casos particulares que se
nos pueden presentar por ejemplo una rotación no centroidal, como se ve
ahí en el cuerpo que está dibujado en la parte superior izquierda de la
transparencia en este caso se trata de un sólido rígido vinculado a rotar
alrededor de un eje fijo el poceta que no pase por su centro de masas G
comenzaremos calculando el vector masa por aceleración como siempre,
fuerza efectiva dado el tipo de movimiento sabemos que la aceleración
tangencial será igual a la aceleración angular en el punto G y la
aceleración normal en el punto O será igual a omega cuadrado multiplicado
por el radio hasta el punto G una vez calculadas las componentes de la
aceleración calcularíamos las componentes o el vector para el par que
representa al par derivada respecto al tiempo del momento cinético
siguiendo las explicaciones que ya dimos anteriormente hemos calculado ya
las fuerzas efectivas y el par efectivo se dibuja la ecuación de diagrama
de sólidos libre que aparece abajo dibujada, la parte izquierda con las
fuerzas externas aplicadas incluidas reacciones y peso la parte derecha las
fuerzas efectivas con la aceleración descompuesta en sus componentes
tangencial y normal y con el par I sub G por alfa aplicados ambos en G
también podría hacerse podría plantearse el que suma de momentos con
respecto al punto O directamente en lugar del G sería igual a momentos de
inercia con respecto a O por la aceleración angular que sería el par
efectivo pero en vez de situado en el punto G centro de D ahora situado en
el punto O pero hemos de tener cuidado con esto voy a tener en cuenta
cuando hagamos esto que solamente las fuerzas efectivas aplicadas en G son
equivalentes a las fuerzas externas por lo que el momento de las fuerzas
efectivas respecto al punto O debe contener los momentos de la aceleración
del vector aceleración aplicado en G es decir, A sub T y A sub N que hemos
pintado ahí en la transparencia con respecto al dicho punto O esto ya lo
veremos lo veis mejor en los problemas más claramente otro caso particular
es el movimiento de rodadura que se va a presentar en algunos problemas, es
decir el caso típico de un disco de una rueda que ruede sobre una
superficie plana como veis ahí pintado en la figura superior izquierda si
el disco está equilibrado su centro de masas G coincide siempre con su
centro de rotación y en este caso pues como siempre comenzaremos
calculando el vector masa por aceleración fuerza efectiva que por el tipo
de movimiento sabemos que la aceleración tangencial será igual a la
aceleración angular multiplicado por R y ese sería el vector M por A
aplicado en G y luego determinaríamos el par efectivo por aceleración
angular alfa una vez conocido eso plantearíamos la ecuación de D'Alembert
o la ecuación del diagrama de ruido libre tal y como está pintado ahí en
la figura y resolveríamos, plantearíamos la ecuación del movimiento si
el disco no está equilibrado entonces su centro de masas no coincide con
su centro de rotación que es lo que se ve ahí en la figura inferior
fijaros en ese disco se le ha quitado un trozo es el trozo blanco ahí y
entonces el disco queda desequilibrado su momento, perdón su velocidad se
encuentra situado en un punto diferente de su centro de rotación O el
disco está desequilibrado en este caso hay que calcular la aceleración en
el punto O y en el punto G la aceleración en el punto O será igual a la
aceleración angular multiplicada por R siendo R el ratio de la rueda la
aceleración en el punto G si aplicamos el movimiento relativo será la
aceleración en el punto O más la aceleración relativa de G con respecto
a O esto lo desglosamos en su aceleración en la dirección tangencial y su
aceleración en la dirección normal la aceleración relativa siempre de G
con respecto a O y tenemos que la aceleración relativa tangencial es igual
al ratio G multiplicado por alfa y la normal sería el ratio G multiplicado
por omega cuadrado y ya tenemos la aceleración en el punto G
determinaremos a continuación el momento de inercia por la aceleración
angular que es el par efectivo en el punto G y procederíamos igual que
anteriormente trazando el diagrama de sólido libre y planteando la
ecuación del movimiento en los problemas que figuran ahí abajo los
ejemplos que figuran ahí abajo se ve claramente esto que acabamos de decir
pero existen otros métodos para plantear la ecuación del movimiento
distintos del principio de D'Alembert o que llamaremos también principio
de los momentos uno que nos va a servir nos va a ser muy útil en muchos
problemas es el método de la energía que vamos a ver a continuación este
método de la energía se adapta especialmente bien que intervienen
velocidad y desplazamiento solamente tiene un problema que debe
complementarse con el principio de D'Alembert o el método de los momentos
que hemos definido anteriormente cuando se trata de hallar reacciones en
árboles fijos en rodillos o en bloques deslizantes es decir, este método
de la energía nos va a servir para calcular movimientos reacciones,
etcétera pero no para determinar para calcular reacciones de las ligaduras
del cuerpo si queremos calcular reacciones deberemos complementar este
método que vamos a ver ahora de la energía con el principio de D'Alembert
visto anteriormente o con el diagrama de sólido libre dicho de otra forma
comenzaremos viendo entonces cómo se calcula la energía cinética en un
sólido con movimiento plano porque vamos a necesitar este dato el cálculo
de la energía cinética de un sólido en movimiento plano ya sabemos cómo
es está en el libro básico demostrado perfectamente será igual a la
energía cinética como si fuera una masa concentrada en el centro de
gravedad con su movimiento general más la suma de energías cinéticas de
todas las partículas rotando alrededor de G es decir, dicho de otra forma
la energía cinética será igual a un medio de masa por la velocidad del
centro del centroide o centro de gravedad G al cuadrado más un medio del
momento de inercia con respecto a G por omega cuadrado esta es la forma de
calcular la energía cinética en un sólido rígido en movimiento plano
casos particulares ya podemos imaginarlos todos que el cuerpo no tiene
rotación es decir, que tiene una traslación pura entonces omega será
cero por lo tanto el término donde aparece omega será cero que la
rotación es centroidal es decir, que no tiene traslación de gravedad por
lo tanto eliminado el término donde aparece G y en caso de que la
rotación sea no centroidal sería un medio de momento de inercia respecto
al punto que gira el cuerpo multiplicado por omega cuadrado y una vez
calculada la energía cinética pasaremos a aplicar los métodos de la
energía para determinar el movimiento sólido es decir, velocidades
aceleraciones, etcétera aplicación del teorema de las fuerzas vivas este
teorema de las fuerzas vivas aplicado a buscar la ecuación del movimiento
de un sólido rígido con movimiento plano es especialmente útil para
resolver problemas de cuerpos articulados bloques y poleas conectados por
cables inextensibles y también para los problemas de engranajes el teorema
de las fuerzas vivas ya lo conocemos dice que la energía cinética en una
posición 1 más el trabajo desarrollado por las fuerzas internas y
externas alíe el cuerpo de la posición 1 a la posición 2 es igual a la
energía cinética del cuerpo en la posición 2 sienten bien los sólidos
rígidos unidos pues puede aplicarse el teorema de las fuerzas vivas por
separado o para el sistema completo sumando las energías cinéticas de
todas las partículas y considerando el trabajo de todas las fuerzas en
juego externas e internas tener en cuenta que las fuerzas vivas que se
ejercen mutuamente los miembros articulados y los engranajes engranados son
iguales y opuestas y como tienen el mismo punto de aplicación efectúan
desplazamientos iguales luego su trabajo total es nulo por tanto puede
prescindirse de ellas las fuerzas ejercidas por una cuerda inextensible
sobre los cuerpos que une tienen el mismo módulo y sus puntos de
aplicación recorren distancias iguales pero el trabajo de una es positivo
porque va hacia la dirección positiva de los desplazamientos y el de la
otra es negativa porque va en la dirección negativa de los desplazamientos
luego su trabajo total es nulo y también se puede prescindir de ellas y
finalmente las fuerzas ejercidas por un muelle sobre los cuerpos que une
tienen el mismo módulo pero sus puntos de aplicación no recorren en
general distancias iguales porque el muelle se puede estirar por tanto el
recorrido del muelle en el punto donde está unido al cuerpo es diferente
del recorrido del muelle al punto donde estoy tirando yo de él luego su
trabajo total no es nulo en general y por lo tanto estas fuerzas si deben
tenerse en cuenta a la hora de calcular las energías para aplicar el
método de la energía cinética o de las fuerzas mismas otro de trabajar
con el método de la energía es aplicando el teorema de la conservación
de la energía que como ya sabemos nos dice que si las fuerzas que
intervienen son conservativas ojo, es decir si es el peso de un cuerpo se
cumple que si sumamos la energía cinética en la posición 1 más la
energía potencial del cuerpo en la posición 1 ha de ser igual la energía
cinética que tiene el cuerpo en la posición 2 más la energía potencial
que tiene el cuerpo en la posición 2 y a partir de aquí planteando esta
ecuación nos saldrán las variables que necesitamos conocer para
determinar el movimiento del cuerpo como son velocidades, aceleraciones,
etc. una vez más está suficientemente claro esta aplicación del método
de la energía a los problemas de dinámica del sólido rígido en estos
ejemplos que figuran en la parte inferior de la transparencia y que algunos
de ellos pintados en rojo figuran en la colección de problemas de la
tutorial nada más próximamente grabaremos el módulo que sigue a
continuación de este, que es el DSR2 y hasta la próxima