Bien, hoy vamos a hablar del módulo de SR2 correspondiente a dinámica
del sólido rígido movimiento tridimensional Este módulo es continuación
del de SR1 grabado anteriormente y debe estudiarse después de haber visto
este módulo de SR1 En este módulo que vamos a ver hoy se trata del
cálculo del momento cinético angular punto angular, punto cinético
momento angular da igual llamarle de una forma que de otra de un sólido
rígido en un movimiento tridimensional Todo lo que hemos dicho para el
movimiento plano en el módulo que hemos visto anteriormente en el módulo
de SR1 es totalmente válido para el movimiento tridimensional salvo en el
módulo de SR2 el cálculo del momento cinético que vamos a llamar H sub G
y el cálculo de la energía cinética que vamos a llamar T. Ambos, momento
cinético Hg y energía cinética T, difieren de los calculados en el
movimiento plano. Porque ahora ya no se va a cumplir que el momento
cinético centroidal Hg es igual al momento de inercia respecto a un eje
que pase por G y sea perpendicular al plano del dibujo donde está
representado el sólido multiplicado por el vector omega. Y tampoco se va a
cumplir que la energía cinética sea igual a un medio del momento de
inercia sub G multiplicado por omega al cuadrado. Esta es la variación. Ya
va a ver en lo que vamos a ver hoy con respecto a lo dicho ya en el módulo
anterior. Y por lo tanto, en lo que sigue, veremos cómo calcular estos
valores que difieren de lo visto anteriormente. Comenzaremos calculando el
momento cinético, también llamado por algunos autores momento angular, de
un sólido rígido en tres dimensiones respecto a su centro de masas, que
llamaremos también centroide, y que representaremos por la letra G. Y
vamos a comenzar representando un trihedro tal y como aparece ahí en la
figura pintado de color rojo, que vamos a llamar GXIZ, que será el sistema
de referencia centroidal con los ejes paralelos al trihedro también
representado en la figura OXIZ. GXIZ de color negro, ambos de orientación
fija, es decir, estáticos, sin moverse, perdón, sin moverse el OXIZ, el
de color negro, pero moviéndose, el trihedro GXIZ, el trihedro centroidal,
en un movimiento de traslación con respecto al trihedro fijo OXIZ. Con lo
cual los ejes del trihedro GXIZ serán paralelos siempre a los del trihedro
fijo OXIZ. El momento cinético del sólido que está representado de color
sombreado, de color marrón en la figura, con respecto a los ejes
centroidales GXIZ, se podrá calcular de la forma que vemos ahí en la
transparencia, a través de un producto matricial. Lo voy a subrayar ahora
en amarillo. El momento de inercia del cuerpo sombreado con respecto al
trihedro fijo OXIZ. Con respecto al centroide G, es un vector, por lo tanto
se comprenderá de tres componentes que figuran en esa primera matriz. h
sub x, h sub y, h sub z, será igual a una matriz de 3 por 3 que contiene
en su interior, ya la conocemos de geometría de masas, la hemos llamado
allí y la vamos a seguir llamando aquí matriz de inercia o también
tensor de inercia, como queramos, y que contiene los productos de inercia
en su diagonal principal y los productos de inercia en el resto de
componentes de esta matriz. Esta matriz de 3 por 3 ha de multiplicarse por
una matriz de 3 por 1 que corresponde al vector omega representado por sus
componentes omega sub x, omega sub y, omega sub z y que corresponde al
vector rotacional. El resultado de esta multiplicación matricial nos dará
un vector que es el vector hg que también figura de color rojo en la
figura. de la izquierda y con origen en el centroide del cuerpo, punto G.
En la matriz o tensor de inercia, y su X, y su Y e y su Z, que están en la
diagonal principal, corresponden con los momentos de inercia de ese cuerpo
respecto a los ejes GX, GI y GZ, respectivamente. Y PXI, PXZ, PIZ,
corresponde a los productos de inercia respecto a esos mismos ejes. La
última matriz, la correspondiente al vector omega, velocidad angular,
contiene los elementos omega su X, omega su Y y omega su Z, que son las
componentes del vector omega respecto a los mismos ejes que hemos definido.
A lo que nos hemos referido anteriormente. Obsérvese que el resultado de
multiplicar la matriz de inercia por la matriz que representa al vector
omega, velocidad angular, da como resultado el vector momento cinético H
sub G. Entonces podemos decir que la matriz de inercia es la operación que
transforma al vector omega en otro vector que es el vector H sub G momento
cinético, centroidad. O sea, el simple hecho de multiplicar la matriz de
inercia por el vector omega nos dará otro vector que es el vector H sub G.
Obsérvese que el vector H sub G, es decir, el vector momento cinético con
respecto al centroide del cuerpo G correspondiente a una velocidad omega
dada es independiente totalmente del sistema vectorial. De coordenadas
elegido. Es decir, si hubiese tomado otros ejes distintos que hubieran
pasado por G otro triedro distinto que hubiera pasado porque tuviera como
origen G cambiarían evidentemente los valores de los momentos de inercia
del cuerpo con respecto a estos nuevos ejes. Y también cambiarían,
obviamente, las proyecciones o las componentes del vector velocidad angular
sobre estos nuevos ejes, con respecto a los anteriores. Pero sin embargo,
el vector Hg, el vector momento cinético con respecto al centro del Vg,
sería exactamente el mismo. Este vector no cambiaría en absoluto.
Estaría situado en la misma posición que se ve en la figura. Por esto,
que para calcular este vector Hg, puedo elegir un triedro que pase por g,
pero que me simplifique el cálculo. Es decir, puedo elegir cualquier
triedro, cualquier eje, con cualquier dirección que pase por g. Pero entre
todos ellos, voy a elegir el que me simplifique el cálculo de Hg. Por
ejemplo, puedo elegir un triedro, cuyos ejes sean los ejes principales de
inercia. Con lo cual, los productos de inercia PXI, PIZ, PXZ, que aparecen
en la matriz de inercia, serán cero, serán nulos, lo cual me facilita,
entre otras cosas, el realizar el producto matricial este y además me
evita el tener que calcular estos productos de inercia en el cuerpo. Este
es un concepto muy importante que hay que tener en cuenta. Si se elige un
sistema de coordenadas con ejes coincidentes con los ejes principales de
inercia, que vamos a llamar X' y' y Z' a partir de ahora, la matriz
anterior, es decir, el cálculo del, vector Hg, sería lo que vemos aquí
abajo. La matriz de inercia ahora es mucho más sencilla, puesto que
solamente me obliga A calcular los momentos de inercia con respecto a los
nuevos ejes X' y Z', que serán ejes principales de inercia. Los productos
de inercia con respecto a estos ejes ya sabemos que serán cero,
precisamente por ser ejes principales de inercia. Por lo tanto aparecerán
como cero, no tengo por qué calcularlos. El resultado es que la operación
es mucho más sencilla de calcular que la anterior. La marcada con 1. Los
vectores Hg, momento cinético, centroidal y ω, velocidad angular del
cuerpo, en general tendrán direcciones diferentes, tal y como aparece ahí
en la figura. Uno de color, un vector de color verde y otro de color rojo.
Salvo, salvo, que los momentos de inercia con respecto... ...con respecto a
los ejes centroidales, esto que acabamos de decir. Ya vamos a partir de
ahora a suponer que hemos elegido ya los... el trihedro GX'Y'Z' con los
ejes centroidales. Por lo tanto, vectores HG y omega, direcciones
diferentes, casi siempre, digo casi porque si los momentos de inercia y su
X' y su Y' y su Z' son iguales, entonces todas las rectas que pasan por G
son ejes principales de inercia. Por lo tanto, en este caso, HG y omega,
ambos vectores tendrán la misma dirección. Y también ocurre esto mismo
si dos de los tres vectores de las tres componentes del vector omega
proyectada sobre los ejes, es decir, omega y GX, X, omega y omega Z, dos de
estas son nulos. En este caso, también el vector omega coincide en
dirección con el vector HG. Pero este es un caso, si esto ocurre, querrá
decir que omega será paralela a uno de los ejes, o al x' o al y' o al z'.
En todos estos casos, estos dos casos particulares que hemos dicho, la
dirección de omega coincide con la dirección de hg. Y obsérvese que en
el caso del movimiento plano de un cuerpo simétrico respecto al plano de
referencia que veíamos en el módulo anterior, se cumple esto último que
acabamos de decir, que omega sub x es igual a omega sub y y son cero las
dos. Y solamente no es cero el omega z, que coincide con la velocidad
angular omega del cuerpo. Por lo que en este caso, el momento cinético hg
será igual a y'z por omega. No tenemos más que poner cero en la matriz de
inercia. Que hemos visto últimamente, cero a omega sub x' y omega sub y'.
Y en lugar de omega z' poner omega y observamos que el resultado de la
multiplicación de estas dos matrices nos dará igual a y'z por omega. Por
lo tanto, tanto omega como h sub g tienen la misma dirección, la
dirección del eje zeta, que es el eje perpendicular al plano del dibujo o
al plano de la pantalla, tal y como veíamos en el módulo anterior. Pero
claro, esto que acabamos de decir, estos dos casos particulares que
acabamos de decir, en los que h sub g tiene la misma dirección que omega,
no podemos trasladarlo a un cuerpo que sea asimétrico respecto al plano
del dibujo, ni tampoco lo podemos trasladar al movimiento tridimensional
general de un sólido rígido, a los cuales habrá que aplicarles la
relación 1 que hemos visto anteriormente, es decir, la multiplicación
matricial de la matriz de inercia por la matriz del vector omega para el
cálculo del vector h sub g. Y una vez... Una vez calculado ya el vector h
sub g, vamos a reducir... Los momentos lineales, es decir, la cantidad del
movimiento, el vector m por velocidad del centro de masa, es su g, y el
momento angular, que es el momento cinético, de las partículas de un
sólido rígido, a un momento lineal y a un momento angular, pero aplicados
en el punto g, en el centroide, en el centro de gravedad. Como en el caso
del movimiento plano, que veíamos en el anterior módulo, el movimiento
tridimensional de un sólido rígido se puede determinar utilizando los
teoremas de la cantidad de movimiento, también llamado momento lineal, y
el teorema del momento cinético, también llamado teorema del momento
angular, aplicados en el punto g, que es el centroide del cuerpo, o dicho
de otra forma, reducidos al punto g. Esta aplicación... Por lo tanto, el
cálculo de estos momentos lineales y angular, ya lo hemos visto en
anteriores temas, el momento lineal o cantidad de movimiento aplicado en el
punto g sería igual a la masa. Completa total del sólido multiplicado por
la velocidad, esta velocidad del punto G del centroide del sólido y el
aumento angular H sub G será igual a la matriz de inercia, ahí
representada por I sub G, normalmente se representa la matriz de inercia o
tensor de inercia con dos líneas encima de I sub G, pero no lo he visto
fácil o no lo sé hacer muy bien. En el ordenador, por lo tanto, lo he
dejado sin líneas, pero entiéndase que cuando hablamos de movimiento
tridimensional, cuando yo ponga I sub G quiere decir matriz de inercia o
tensión de inercia que hemos visto anteriormente. Por lo tanto, el vector
H sub G será igual a la matriz de inercia o tensor de inercia en el centro
de gravedad, en un trihedral que pase por el cuyo origen tenga el
centroide, el centro de gravedad del cuerpo multiplicado por el vector
omega. Gracias. o bueno, haciendo uso del teorema de Coney, parece que es
el segundo, pues si queremos hallar el momento angular o momento cinético
de ese mismo sólido con respecto a otro punto diferente del G, tendremos
que aplicar la fórmula que es h0 igual a hg más r multiplicado
vectorialmente por el vector mvg, siendo r el vector de posición del punto
geocentroide del cuerpo con respecto al punto o punto de origen de
coordenadas del sistema de referencia fijo. Que pase por. Bueno, aunque
obviamente también podríamos aplicar dichos teoremas, los que acabamos de
ver, el momento lineal y el momento angular, o la cantidad de movimiento y
el momento cinético, también podríamos aplicar... no en el punto G, como
acabamos de decir, sino en cualquier otro punto O del cuerpo, sin más que
trasladar el vector HG, momento cinético en el centro del DG, al punto O.
A través de la ecuación que acabamos de ver, de Conning, o simplemente
tomando momentos del vector M por VG con respecto a O. Bueno, ¿qué es lo
que hemos hecho bastante a menudo en los problemas que aparecen en la
colección? Y en cuanto los veáis os daréis cuenta de lo que estoy
diciendo. Lógicamente, el vector momento lineal M por VG, ahí llamado L
en la transparencia, vector cantidad de movimiento, seguirá siendo el
mismo. Y aplicado siempre en el punto G, en el centroide. Y esto es muy
importante tenerlo en cuenta a la hora de aplicar D'Alembert, o sea, a la
hora de dibujar las fuerzas efectivas en el diagrama de sólido libre. El
vector cantidad de movimiento siempre está aplicado en el punto G. Ahora
bien, el vector momento cinético, si queremos pasarlo a otro punto
diferente al G, por ejemplo al O, hemos de aplicar o bien la fórmula que
hemos visto anteriormente, coning O igual a HG más R vectorialmente por
MVG, o bien simplemente tomar momentos del vector L, que es la cantidad de
movimiento situado en el punto G con respecto al punto. Esto lo veremos, se
verá claramente y se entenderá perfectamente cuando se vean los problemas
de la colección. Cálculo del momento angular o cinético de un sólido
rígido que gira alrededor de un punto. Bueno, este es un caso típico en
el que, bueno, es un caso particular de lo que hemos visto anteriormente.
Pero, a su vez, es un caso típico en el que de la mayoría, la mayoría de
las veces, conviene determinar el aumento cinético en el punto O, que es
el punto con respecto al cual gira el cuerpo. Ahí lo vemos en la figura
izquierda superior, un cuerpo sólido girando alrededor del punto O con una
velocidad omega cuyo vector está ahí representado. Entonces, si queremos
aplicar D'Alembert en este caso, es más adecuado determinar el momento
cinético en el punto O olvidándonos del punto G del cuerpo. En ese caso,
HO, que sería igual a la suma de todos los momentos de cantidad de
movimiento de todas las partículas, quedaría a la hora de cantar. Para
calcularlo prácticamente, lo calcularíamos de esta forma, a través de la
matriz de inercia o tensor de inercia multiplicado por el vector omega tal
y como hemos hecho anteriormente. Pero en este caso... Todos los momentos
de inercia y los productos de inercia están calculados en el sistema de
referencia OX y Z centrado en el punto fijo O. Quiere decir que el momento
de inercia X ahora es con respecto al eje X que aparece en la figura que
pasa por O, no al que pasa por G como hemos dicho antes. Y lo mismo ocurre
con los productos de inercia, aunque en ocasiones, tal y como vais a ver en
los problemas de la transparencia, es mejor comenzar determinando el
momento cinético en el punto G en el centroide, tal y como hemos dicho en
las transparencias anteriores. Es decir, seguir el procedimiento que hemos
comentado en transparencias. Buscar el centroide, el centro de gravedad del
cuerpo, trazar un triedro que pase por ese centro de gravedad del cuerpo G
y calcular los... momentos de inercia con respecto a los ejes que pasen por
G, a continuación la matriz de inercia y luego multiplicarlo por el vector
omega siempre proyectado según los ejes del trihedro que pase por G. Y una
vez hecho eso, una vez calculado HG, trasladarlo a O simplemente tomando
momentos o bien haciendo uso de la ecuación que hemos visto antes de
Conning, el momento cinético con respecto a G que ya estará calculado
más el producto vectorial del vector R multiplicado por el vector masa por
velocidad del centroide G. Finalmente, con ambos, a través de cualquiera
de los dos procedimientos, citados, obtendremos dos vectores en el punto O,
uno que es el vector omega, otro que es el vector HO, está mal ahí
representado, es HO, no es HG, y otro vector que será el M por VG. que es
lo que necesitamos. Hombre, claro, en caso de que los ejes OX y Z sean
elegidos inteligentemente, de tal forma que sean los ejes principales de
inercia del cuerpo, entonces la matriz que hay arriba sería mucho más
sencilla, puesto que los productos de inercia todos serían cero, con lo
cual ya no hace falta ni matriz. En este caso, la componente X del momento
cinético con respecto a O sería igual a Ix por omega su X. La componente
IDH sería Ix por omega su Y y la componente Z sería Iz por omega su Z.
Esto ya lo sabemos, mi amor. Vamos a dar entonces los pasos a seguir en los
problemas de cálculo del momento cinético de sólidos rígidos de tres
dimensiones. Primer paso. Representamos el trihedral de referencia centrado
en G, en el centroide, y de origen fija. He elegido, de tal forma que sea
cómodo el cálculo de los momentos y de los productos de inercia del
sólido. Y digo entre paréntesis, a ser posible que los ejes del trihedral
coincidan con los ejes principales de inercia del sólido. Esto en la mayor
parte de los problemas va a ocurrir. Sobre todo en los problemas de
exámenes, para facilitarnos el cálculo de los momentos de inercia y de
los productos de inercia. ¿Cómo tenemos que buscar dentro de un sólido
las direcciones principales de inercia? Simplemente buscando los ejes de
simetría del sólido, tal y como hemos dicho en los temas correspondientes
a geometría de masas. Ejes principales, ejes de simetría de un sólido
coinciden con los ejes principales. Ejes principales de ese sólido. Por lo
tanto, tendremos que buscar los ejes de simetría del sólido y esos ejes
hacerlos coincidir con los ejes X e Y centrados en el centro de DG. Por lo
tanto, habremos conseguido... Un trihedral centrado en G de orientación
fija y muy cómodo para el cálculo de los momentos de inercia, puesto que
sus productos, perdón, de la matriz de inercia, puesto que los productos
de inercia serán 0. Segundo paso, determinar el vector omega y proyectarlo
sobre los ejes elegidos anteriormente. Tercer paso, cálculo de Hg, el
aumento del vector momento cinético con respecto al centroide G. ¿Cómo?
Bueno, pues si los ejes que hemos representado son principales de inercia,
ya será muy fácil, no hace falta ni hacer el cálculo matricial. Hx'
será igual a Yx' por omegax, por lo tanto solamente tengo que calcular el
momento de inercia respecto al eje X. Entonces, pase por G y que sea el
principal de inercia del cuerpo, y multiplicarlo por la componente de omega
en ese eje, en ese eje, en la dirección de ese eje X. Lo mismo en el eje Y
y lo mismo en el eje Y. Ah, ¿qué es que el cuerpo...? no tiene o no les
conozco o son difíciles de localizar los ejes principales de inercia.
Bueno, pues entonces pongo otros ejes cualquiera. Pero para ello ya tengo
que utilizar la expresión 1 vista en la transparencia anterior y tengo que
calcular la matriz de inercia con todos sus momentos de inercia, sus
productos de inercia, etcétera, con respecto a esos ejes elegidos. Cuarto
paso. Una vez determinado el vector momento cinético con respecto a G, el
momento angular del cuerpo, si queremos calcularlo con respecto a otro
punto diferente de G, tengo que aplicar la ecuación de Conning. Momento
cinético con respecto a un punto O, siendo este punto cualquiera, igual al
momento cinético con respecto al centroide G, más el vector R, la
exposición de G. Con respecto a O, multiplicado por el vector MVG. Todo
esto se va a ver perfectamente en los problemas que aparecen, en los
ejemplos que aparecen ahí abajo. Como siempre, los de color rojo son los
que forman parte de la colisión. Hasta ahora hemos visto el cálculo del
momento cinético con respecto, bueno, de un sólido tridimensional. Ahora
vamos a ver cómo se calcula la energía cinética en este sólido rígido
de tres dimensiones. Y para ello vamos a dibujar, tal como aparece en la
figura, un cuerpo rígido que está sombreado de color marrón, de masa m
minúscula, que se mueve en movimiento tridimensional. El cálculo de la
energía cinética de dicho cuerpo será lo que veis ahí. Un medio de la
masa por la velocidad del centro, velocidad lineal del centro de masas, el
centro de gravedad o del centro, llamémosle como queramos, al cuadrado,
más 1. Un medio del momento de inercia. con respecto, no del momento de
inercia, sino del tensor de inercia o de la matriz de inercia con respecto
al centroide G multiplicado por omega cuadrado. Es decir, puesto en forma
matricial, nos quedaría que el segundo término, el segundo sumando del
segundo término, un medio de IG por omega cuadrado sería igual a un medio
del vector omega traspuesto, matriz traspuesta del vector omega componentes
según el eje X de omega, según el eje Y de omega y según el eje Z de
omega es decir, una matriz de 1 por 3 multiplicado por la matriz de inercia
que ya conocemos respecto a esos ejes que hemos elegido centrados en G,
ejes centroidales y multiplicado por la matriz de inercia que ya conocemos
y multiplicado finalmente por la matriz de columna que nos representa el
vector omega de nuevo omega X, omega Y y omega Z que son las componentes de
omega según los ejes elegidos. Esta es la forma de calcular La energía
cinética de un cuerpo que se mueve en tres dimensiones. Que, como vemos,
tiene dos términos. Uno, no hace falta ni decir más que él, que es un
medio de masa por velocidad lineal del centro de gravedad del cuerpo al
cuadrado. Y el otro es un medio de la matriz de inercia, aplicado por la
matriz de omega al cuadrado. Que es esto que hemos visto últimamente, la
expresión 2. En caso de que los ejes se hayan elegido inteligentemente y
se hayan tomado los ejes coincidentes con los ejes principales de inercia,
entonces los productos de inercia, está ahí mal representado, en vez de
llamarles P les he llamado I, pensar que son los P de las matrices, son
todos cero. Por lo tanto, la expresión 2 que hemos visto anteriormente
quedará un medio de masa por velocidad del centro de do al cuadrado más
un medio de inercia por omega sub x al cuadrado más inercia por omega sub
y al cuadrado más inercia por omega sub z al cuadrado que sale de realizar
el producto de esta matriz 2 cuando los productos de inercia Px y Pxz y Pyz
son 0. El cálculo de la energía cinética, también llamada fuerza viva,
de un cuerpo rígido nos va a permitir aplicar al movimiento tridimensional
el teorema de la fuerza viva o también llamado teorema de la energía
cinética y también, asimismo, nos va a permitir aplicar el principio de
conservación de la energía en el caso de que las fuerzas sean
conservativas tal y como vamos a ver a continuación. Bueno, un caso
especial, un caso particular, es, como hemos visto anteriormente, para el
caso de los momentos cinéticos, vamos a ver dos casos particulares que
suelen salir muy a menudo en los problemas. El primer caso particular es
que el cuerpo gire alrededor de un punto fijo O, tal y como veis ahí en la
figura, cuerpo sombreado en color marrón, gira con una velocidad ómega
alrededor del punto O. En este caso expresaríamos, como siempre, como
hemos hecho en el caso del cálculo del momento cinético, expresaríamos
los momentos de inercia y los productos de inercia respecto a unos ejes
solidarios al punto O, como se ve ahí en la figura, los ejes OX, OY y OZ,
con origen de coordenadas en el punto O. Y como en este caso, la velocidad
lineal, la velocidad lineal del punto O es 0, la ecuación de la energía
simplemente quedaría, perdón, el cálculo de energía cinética
simplemente quedaría como un medio del vector del tensor de inercia o
matriz de inercia en el punto cero multiplicado por omega cuadrado. Es
decir, sería esto que veis aquí, la matriz fila del vector omega
multiplicado por la matriz de inercia que ya conocemos y multiplicado por
la matriz columna del vector omega. Esta es la forma de calcular la
energía cinética de un cuerpo que rote o que gire alrededor de un punto
fijo O. En caso de haberse elegido los ejes principales de inercia, una vez
más ocurrirá que los productos de inercia son cero. Cuando la matriz, o
sea, este producto, este producto que acabamos de ver, que está
señalizado como tres, se facilita enormemente porque quedaría un medio de
iso x por omega sub x cuadrado más iso y por omega sub y al cuadrado más
iso z por omega sub z al cuadrado. Pero para esto... Tiene que ocurrir que
los ejes X, Y y Z sean ejes principales de inercia del cuerpo. Finalmente
vamos a ver los pasos a seguir en el cálculo de la energía cinética de
sólidos rígidos de tres dimensiones. Primero, representamos el triédro
de referencia centrado en G y de orientación fija. Elegido de tal forma
que sea cómodo el cálculo de los momentos y productos de inercia. Es
decir, es posible que los ejes del triédro coincidan con los ejes
principales de inercia del sólido. Esto es lo mismo que hemos dicho antes
para el cálculo del momento cinético. Segundo paso, determinar el vector
omega y proyectarlo sobre los ejes elegidos anteriormente. Y tercer caso,
simplemente calcular la energía cinética T. ¿Qué? Como acabamos de
decir en la transparencia anterior, si los ejes representados son los ejes
principales de inercia, resultará que la energía cinética será igual a
un medio de... Un momento de masa por velocidad de g al cuadrado, más un
medio de y sub x a omega sub x al cuadrado, más y sub i por omega sub i al
cuadrado, más y sub z por omega sub z al cuadrado. Y si los ejes
representados no son principales de inercia, pues habrá que utilizar la
ecuación 3. Y con esto se acaba el módulo de S.R.