y vamos a compartir ahora voy a consultar sobre todo este este fichero que
lo tienes en el vamos a ver digo que lo tenéis lo digo así muy fresco
pero a lo mejor vamos a ver vamos a ver vamos a ver los equipos archivos
este es el de él el equipo de mecánica y el archivo que vamos a consultar
hoy cuando está en saber esta es las las pizarras que os mostré balas a
la pasada ese el formulario compacto pero en una carpeta anterior vamos a
ver si es esta este este archivo newton mecánica rotación energía y
problemas de aquí en la colección de problemas que no están en este
está aquí que no está en las presentaciones y que ir actualizando en pdf
con problemas que yo he ido resolviendo de los equipos docentes es el que
vamos a ver algo esto es lo que os quería enseñar entonces estamos aquí
son estamos en las páginas anteriores son problemas que hemos ido también
viendo en alguna ocasión de otros tópicos y de otros temas estos son
exclusivamente de gravitación son problemas resueltos por mí quiere decir
que no son problemas resueltos por el equipo docente con sus plantillas con
la forma que tengo yo resolver lo que no es exactamente igual al equipo
docente que no están más resueltos y que incluyen todos los elementos que
tienes que procurar incluir en un problema de un examen que haya alguna
expresión clara de los datos y de las magnitudes que intervienen un buen
diagrama aunque os parezca trivial siempre muy aconsejable poner un
sencillo diagrama donde volque jce todos los datos todos la simbología que
queréis emplear en términos en letras me refiero y expresiones
visiblemente es al principio y en la cabecera disculpan datos en este caso
es un poco estos consideramos que la tierra es una esfera y un vehículo
espacial de 100 kilos de masa se encuentra en una órbita círcula podría
ser este circuito que he pintado aquí a una altura h y la altura es dos
veces el radio es decir que la distancia que hay desde este satélite hasta
el centro de la tierra es tres veces al radio bueno vale bueno calcular el
periodo de la órbita del vehículo espacial expresar el momento angular
del vehículo en función de su energía cinética y calcular su número y
si supone que el vehículo se lanzó hacia arriba verticalmente calcular la
velocidad de lanzamiento para que el vehículo llegase a esa altura
comentamos esta expresión las han dado a pasada es conservación de
energía cinética en dos puntos del punto de salida y el punto de llegada
pero bueno si no os acordáis de la visión se puede deducir y en un
problema de gravitación muy importante sólo se pueden utilizar los datos
que explícitamente os pongan en el problema que decir aquí por ejemplo
están hablando de la tierra pero no hablan de la masa de la tierra bueno
por la masa de la tierra no se puede utilizar no es un dato del problema
aunque a veces de ver unos cuantos problemas uno memoriza sin caer la masa
de la tierra durante una temporada no es el caso aquí los único rato que
puede utilizar son estos dos numéricos aparte de la masa del satélite el
radio y el y la altura en función de la radio bueno el período en la
tercera ley de kepler entonces claro el período es el como muy iniciante
tiempo que tarda en dar una vuelta al satélite, es la velocidad lineal.
Esa velocidad es tangencial a la órbita porque no tiene velocidad radial
un satélite. Si tuviera velocidad radial caería hacia la Tierra o
saldría. En realidad el periodo es la longitud de una vuelta, que es 2pi
por el radio, en este caso r pequeña porque estamos contemplando esa
altura, partido por su velocidad, donde la velocidad es la velocidad
orbital. Aquí la vuelta a deducir. El problema no os pide que la
deduzcáis, pero bueno, no viene de más ponerla para si en un determinado
problema no recordáis si es raíz, si es un 2 dentro, recordad que la
expresión que tiene un 2 en el interior es la velocidad de escape. La que
no tiene un 2 es la velocidad orbital. ¿De acuerdo? Pues, colocando esta
expresión de la velocidad en el denominador del periodo y operando, pues
tenemos la famosa ley de Kepler, la tercera. Como en el problema no os
piden que calculéis el periodo, no os piden que deduzcáis la tercera ley
de Kepler, pues digamos que esto no era del todo necesario. Lo que sí que
es necesario es que cuando vayáis a utilizar una expresión teórica,
antes de sustituir y hacer los calificaciones, que es la expresión de los
cambios oportunos, describáis lo que es cada término. ¿De acuerdo?
Bueno, el apartado terminaría aquí. Si tuviésemos todos los datos, pero
recordad que la masa no la tenemos. Esa masa no la tenemos. Esta r sí,
porque recordad que la r es la distancia desde el satélite hasta el centro
de la Tierra. En este caso es la altura 2rt más el radio. O sea, la r
pequeña es 3rt, pero la masa no. No me dan la masa, pero me dan g. Me dan
g y el radio. Con esto se puede hacer el problema de gravitación
perfectamente sin saber la masa. Y siempre hay que hacer la misma
operación que os presento a continuación. Es, mirad, yo sé que
teóricamente g tiene esta expresión. G en módulo es la constante de
gravitación universal por la masa de la Tierra en este caso dividido por
la distancia... ...al cuadrado, dividido por la distancia, la longitud que
hay desde el origen, el centro terrestre con el satélite. Mirad, si yo
despejo el numerador g por m me queda siempre en función de g y de r al
cuadrado. Si estoy en la superficie terrestre esta expresión se convierte
en esta. Pues esta expresión es muy importante porque es esta equivalencia
entre productos, es decir, g por m... Recordad que es una expresión que
aparece en todas las fórmulas de gravitación. Todas, absolutamente todas.
Aparece el producto de g mayúscula, la constante de gravitación universal
por la masa gravitacional que es la que crea el campo. Como no me dan la
masa en el problema que va a ocurrir en muchas ocasiones, tenéis que hacer
uso de esta equivalencia. Y daros cuenta que estos datos sí que me los
dan. g cero y r al cuadrado y r me lo dan. Mirad, al final del enunciado me
dan g cero. G cero es como se entiende vulgarmente la intensidad del campo
terrestre, gravitacional terrestre, en la superficie terrestre. Y tengo r
al cuadrado. Es decir, yo puedo calcular este producto. Podéis pensar, ah
sí, pero yo puedo despejar el m. Sí, pero no es necesario. Os podéis
ahorrar cálculos en un problema, lo cual no es necesario. ¿Verdad?
¿Verdad? ¿Verdad? ¿Verdad? ¿Verdad? ¿Verdad? ¿Verdad? ¿Verdad?
¿Verdad? No es poca cosa, porque si yo la expresión de la tercera ley de
Kepler, el denominador que es g m, lo sustituyo por su valor g cero r al
cuadrado, pues bueno, tengo una expresión equivalente de la de Kepler que
no tiene por qué ser memorizada, porque la que aparece en los libros, la
que se trabaja, es la primera con la masa. Pero esta sí que es verdad que
se utiliza con muchísima frecuencia cuando no tengo la masa. Ahora sí que
son todos datos conocidos. ¿No? No he llegado a sustituirlo, pero g cero
es 9,8. R, cuidado con estas cosas, siempre en metros. Siempre en metros.
Cuidado, que aquí es muy fácil no ponerlo. Es decir, como son siempre
cantidades tan grandes y tan formidables, pues a veces es muy fácil
despistarse. Y si me hubieran dado el radio en kilómetros, 6,37 por 10 a
la vez, pues haber utilizado el 6,37 por 10 a la vez sin haber pasado a
metros. Esto es un error garrafal, es un error grave. Presta bastante
puntuación. Después, el momento angular. Bueno, recordamos un poco, los
planetas siempre giran alrededor del Sol sostenidos en el mismo plano de
vibración. Todos parece que están sobre la superficie de una mesa. Eso es
porque se conserva el momento angular. El momento angular tiene esta
expresión. Ahí está, pero ha sido nuestra compañera del viaje. Bueno,
me pide el problema que calcule el módulo del momento angular de ese
satélite. Tengo todos los datos. R por m por v. V lo puedo poner en
términos de la velocidad orbital, que es este de aquí, y en principio
bastaría con poner gm su expresión en función de g0r2, y con eso
tendríamos las funciones. Sin embargo, me dice el problema que haga alguna
manipulación más, porque me dice expresar el momento angular del
vehículo en función de su energía cinética y calcular su valor. Este
tipo de razonamientos algebraicos, pues aquí en gravitación se dan con
frecuencia. ¿Eh? Entonces, bueno, vamos a ver aquí lo mejor. Aquí estos
todos se reabsorben por comparación. ¿Eh? Y en física cuando hablamos
comparación estamos hablando por división. Cuando quiero comparar dos
cantidades en física lo que hago es dividirlas. Una, normalmente la mayor
encima de la menor y ver qué razón o qué proporción o qué tasa existe
entre las dos. Pues es lo que vamos a hacer aquí a continuación. Bueno,
la energía cinética es un elemento que tiene que ser dividido entre dos
cantidades. Esta expresión también la vimos en el formulario de la semana
pasada. Es un medio de la masa velocidad al cuadrado, velocidad orbital,
pongo su valor y me queda esta expresión conocida del formulario. ¿Eh?
Hay que tener en cuenta, no sé si consigo ver las dos partes de… no me
deja ver… vaya, eso es por tenerlo en PDF. Vale. Me hubiera gustado ver
el final de la página y al principio de la otra. Pero bueno, bien. En este
caso voy a coger un PowerPoint. Vamos a ver si puedo aquí. Lo digo por si
no veis el razonamiento. Aquí, aquí, vamos a ver. Muy bien. Pues vamos a
ver aquí. Quiero decir, por un lado yo tengo que L es igual a RMGMR. Esto
por un lado. Esto lo voy a quitar, esto no me interesa. Y por otro lado
tengo que la energía cinética, que es un medio de la masa por la
velocidad al cuadrado, pues... Eso es muy frecuente. En estas cuestiones de
gravitación. Un mes es de la masa por la velocidad al cuadrado y la
velocidad al cuadrado es GM partido por R. Tengo, ¿de acuerdo? Es este
término de aquí. Es un medio de MG y L es este de aquí. Entonces me
piden que la L la ponga en función de la energía cinética. Pues ahora es
cuestión de intentar conectarlas. La opción que se me ha ocurrido, aunque
no es la única, es... Esta L yo la elevo al cuadrado. ¿Por qué la elevo
al cuadrado? Porque la elevo al cuadrado, me separece la raíz y me explica
claramente el término de MGMR. Es decir, ahora lo vamos a ver sin
problemas. Es decir, si yo pongo esto al cuadrado, pues me sale R al
cuadrado, M al cuadrado y después me sale el término de... Eh... SMR.
Aquí una G, una M y una R. Una R. Sí, y además, para que se me parezca
más al de abajo, multiplico arriba y abajo por 2. ¿De acuerdo? Multiplico
arriba y abajo por 2. Vamos a ver, lo puedo poner... Voy a poner
esclínicamente... Eh... Aquí. Por comparación. No. No he hecho... Y
además, para que se parezca más, esta M al cuadrado, en vez de ponerla
como M al cuadrado, voy a ponerlo M y M. ¿De acuerdo? Entonces, ahí sí
que se ve claramente que esto de aquí es la energía científica. Se ve
claro, ¿no? Es decir, que L al cuadrado es igual... Bueno, pues salvo...
Es esto de aquí, este término, por la energía científica. Este es...
Como veis, no es que sea un razonamiento muy complicado. Es un poco lo que
he seguido aquí. No es que sea un razonamiento muy complicado. Pero bueno,
este tipo de exámenes las pueden pedir con dos magnitudes gravitacionales.
Pon la... Pon venta angular en función de la energía cinética, o en
función de la energía potencial, o en función de la energía mecánica.
También. Hay que tener en cuenta que la energía cinética y la energía
mecánica, en número, es el mismo. El cambio de signo. En función de la
energía mecánica, aquí tenía que haber puesto un signo menos dentro que
la energía mecánica total. Pero esta es la relación. Después, la
tercera parte que me pide el ejercicio es... Se supone que el vehículo es
de velocidad de salida, como comentamos la semana pasada. Si se lanza,
bueno, la nave desde la superficie terrestre, pues calcular con qué
velocidad. La velocidad ha de ser lanzada para que llegue exactamente a esa
altura. Esto se hace por conservación de la energía cinética. Es un poco
el comentario previo. Y siempre hay que hacer igualdad entre punto inicial
y punto final. La energía mecánica en el momento del despegue, igual a la
energía mecánica cuando alcance la órbita. Si llega a la órbita, la
velocidad radial ha de ser cero. ¿De acuerdo? Ha de pararse. Y hay que
tener en cuenta que la velocidad de salida es una velocidad radial. Va
desde la superficie hacia el exterior, siempre perpendicular a las
superficies, a las órbitas. ¿De acuerdo? Luego alcanza, luego adquiere
una velocidad tangencial que es la velocidad característica de la órbita
que viene dada por la expresión de la raíz gm sobre r. Pero esta igualdad
de las dos energías, pues claro, es en la superficie un medio de la masa
en velocidad cuadrada Vamos a ver, esto lo dedujo la semana pasada como
ejemplo de velocidad de salida. Si en este problema, que en el apartado A,
igual que en Kepler nos piden deducirlo, aquí tampoco os piden que
deduzcáis la velocidad de salida. Entonces, o la sabéis de memoria o bien
sabéis cómo obtenerla. Claro, la segunda opción puede ralentizar un poco
el ejercicio, pero bueno, es mucho más prudente. Y bueno, pues yo optaría
siempre por la segunda opción. Entonces, en este caso, la energía
potencial en la superficie es esta cantidad, sale con esta energía. Como
en la órbita, la energía científica es cero y su energía potencial
viene dada por esta expresión r más la altura. ¿De acuerdo? Como veis,
la masa del satélite es irrelevante. Multiplica todos los términos de esa
igualdad. Y se elimina la m pequeña. Y me queda una expresión en, bueno,
pues en v cuadrado, que es esta de aquí. Y ya lo demás es un poco de
álgebra, sacar el factor común que se pueda y una resta de inversas de
distancias y la velocidad de salida viene dada por esta expresión. Ya no
he seguido más, pero en este caso, la altura que era... Yo quería
recordar que era 2h. La altura que era 2h, pues en este caso, pues la
velocidad sería... Recordad que todavía no sabemos la masa. Entonces, en
vez de poner g m grande, recordad que había que poner g cero, que es esa
igualdad de productos, g cero r cuadrado. Y después... 1 partido por r.
Menos... 1 partido r más h. La altura es 2h más h más r, pues 3r. ¿De
acuerdo? Esto es la expresión que hay que hacer. Bueno, con lo cual ya el
desarrollo... Esto se pone un 3 y aquí un 3. Entonces, en este caso, pues
tengo 3 menos 1, 2. Esto es un 2. Dos tercios. Esto se iría. Dos tercios.
Con lo cual... Vamos a ver. Esto quedaría así. Y salida de la raíz, este
2 por 2, 4, saldría un 2. Aquí esta r se eliminaría. Y aquí me
quedaría solamente una r. Y esto sería un 1. Y esto, y esto, pues se
quedaría así. Y esto sería 2 por todo esto. Esta sería la velocidad...
Bueno, g cero es 9,8 y r pues 6,37 por 10 a la 6 metros por segundo.
Habría que sustituirlo. Ahí es donde he llegado. También tened muy en
cuenta que en este tipo de problemas... Se puntúa... Que el alumno haya
llegado al desarrollo algebraico al final. Es decir, llegas a la expresión
final y después sustituyes los datos numéricos. Es decir, yo esta
expresión la podría haber empezado a sustituir ya los datos numéricos
desde el principio. Pero no, conviene llegar hasta el final. Este fue un...
Recordad que estos ejercicios, la gravitación, siempre suele ser el tercer
problema de la prueba presencial. O bien salen este tipo de problemas o
salen de ondas. Bien, esto es un problema de Kepler y de conservación de
energía. Hay otro problema donde conecta también un poco de... Conecta la
gravitación con conservación del momento lineal y demás como veremos
aquí. Vamos a ver si lo podemos ver. Me dice... Bueno, esto es que hace
unos años, no sé si recordáis, que hubo un récord de salto de caída
libre de un señor que se tiró desde unos 40 kilómetros de altura. Iba
protegido. Y bueno, pues bate un récord. El salto nauta. Consideremos el
salto nauta que hace unos meses, hace ya años, unos cuantos, tres o cuatro
años, o cinco. El batido récord de salto desde el globo, desde una altura
de 40 kilómetros. Supongamos que el globo estaba en equilibrio, estaba
digamos en reposo respecto a la superficie. De manera que si el salto nauta
no se hubiera lanzado al vacío, el globo hubiera estado quieto y ni
subiría ni bajara. No es que estuviese en órbita. No estamos hablando de
un satélite pero bueno, está digamos en equilibrio, en ese globo, en
equilibrio. En esa situación. Es importante, es decir, porque veremos a
ver lo que ocurrirá después. Cuando salte se va a producir un retroceso.
Es como cuando se dispara una escopeta de feria. La bala sale hacia delante
pero hay un avance hacia atrás debido por conservación del movimiento
lineal. Aquí va a ocurrir lo mismo. Me dice, bueno, calculad la gravedad a
esa altura. Llamando R a la Tierra. Y compárela con la gravedad en la
superficie. Como veis, gusta mucho en gravedad comparar unas cosas con
otras. Supongamos que en esa zona de la estratosfera la atmósfera está
tan clarificada que no hay aire. Lo que no quiere decir es que no hay
rozamiento. Me dice, ¿en qué velocidad tendrá el salto nauta cuando haya
caído mil metros? Como veis, es un problema de caída libre. MRUA. Como
los que hemos estado viendo en la primera parte de esta asignatura. Y
bueno, me dice con qué velocidad lleva al kilómetro. ¿Cuál será la
aceleración del globo hacia arriba cuando salte? Es decir, el globo, al
dejarse caer el astronauta el globo se impulsará hacia arriba por el
retroceso con una aceleración. Por conservación del movimiento la
calcularemos. ¿Y cuál es la posición del centro de masa del sistema
astronauta en el instante en el que ha recorrido un kilómetro? Bueno,
justificar tranquilamente cualquier aproximación y recuerde que el radio
de la Tierra es de 6.400 km. Como veis, tampoco tenemos como dato la masa.
Pero bueno, aquí la primera parte que es la gravedad a esa altura pues por
supuesto tenemos como dato la G en la superficie que es 9,8 m por segundo
cuadrado. Esta es la G que tenemos en el formulario en función de la R
pequeña o en función de la altura donde la R grande es el radio
terrestre. No olvidemos que la G en la superficie siempre tiene esta
expresión. Si yo sé la masa de la Tierra, el radio de la Tierra en
kilogramos y en metros con la constante de gravitación universal ese valor
siempre es 9,8. Me piden que la compare. Comparar es esto, mirad. Es decir,
que divida una sobre la otra o la otra sobre la una, da igual. Lo normal es
poner siempre en el numerador aquella que es objeto de estudio y poner en
el denominador aquello a lo que se compara. ¿De acuerdo? Bueno, pues si
dividimos la dependencia G en función de la altura en términos de G cero
pues me queda un cociente de distancias. ¿De acuerdo? Bueno, esto ya se
podría hacer pero bueno, es dejarlo un poco más compacto. Este R cuadrado
yo lo puedo pasar al incluir dentro del paréntesis del denominador como
veis aquí la R del denominador pasa a ser denominador del denominador y la
R la incluyo dentro del paréntesis y me queda esta dependencia. ¿De
acuerdo? Es decir, a 40 kilómetros de altura pues tenéis este cálculo
más o menos. Yo puedo ponerlo todo en kilómetros porque es una tasa.
Estoy dividiendo H entre que es un metros bueno, que es distancia entre R
que es distancia entonces mientras las dos magnitudes mantengan las mismas
unidades puedo hacer la división sin ningún problema. Entonces pues 9,8
partido por esta expresión y me da algo que en principio podría ser algo
sorprendente y es que aunque me he subido 40 kilómetros de altura la G ha
variado pero no ha variado tanto como uno pudiera esperar. No estamos ni
muchísimo menos cerca de la ingravidez. ¿De acuerdo? Esa es la primera
parte. También aplicación de un término numérico. Después me dice
¿Qué velocidad habrá alcanzado el saltonauta cuando haya recorrido 1000
metros? Recordarán la famosa expresión del MRUA que me conecta
velocidades finales entre dos instantes bueno, velocidades entre dos
instantes distancia recorrida y aceleración del sistema. Como estamos en
caída libre la aceleración siempre es G la distancia recorrida es 1000
metros la velocidad inicial es 0 parte de reposo y me piden la V porque la
V es nada menos de 432 metros por segundo no está mal. Esto es un módulo
pero si tuviera que ponerle vector recordar esta velocidad es negativa
porque define su sentido va en el sentido negativo del eje I Después me
pide la aceleración ¿Cuál será la aceleración del globo hacia arriba?
El globo debido a la caída del antes del salto el conjunto tiene una masa
que era la masa total del sistema que era la masa del globo más la masa
del saltonauta en el momento en que parte de esa masa se ha soltado se
produce se aplica la ley de conservación del momento lineal porque el
saltonauta ha adquirido una velocidad un momento lineal y para conservarlo
el globo también ha adquirido parte de ese momento de tal manera que su
valor compensará el momento adquirido por el saltonauta para que el
conjunto sea cero ¿Por qué cero? Porque todo el conjunto estaba en reposo
antes del inicio Esta es la expresión Esto es un poco un dibujo más que
un dibujo es un diagrama El saltador adquiere un momento lineal ¿De
acuerdo? y adquiere una fuerza que es el peso y por la ley de acción y
reacción ese globo sería impulsado por el propio peso del saltonauta pero
con su masa ¿De acuerdo? Con lo cual tenemos que simplemente sustituir P
que es el peso del el peso del astronauta me sale astronauta me sale
saltonauta perdonad y donde es la aceleración adquirida El signo menos
aquí es ciertamente irrelevante yo podría haber quitado el menos Aquí lo
único que hace referencia es que esa aceleración es de sentido contrario
a la que ha adquirido el saltador ¿De acuerdo? Pero hay que tener en
cuenta que la G es la G a esa altura de 40 km Esta es la aceleración En
cuanto a la posición del centro de masas un poco remontando los primeros
temas es una masa conjunto que se ha separado pero que podemos ir
definiendo cuál es la posición del centro de masas del sistema Por
supuesto conforme se van alejando las masas entre sí el centro de masas
puede estar variando además no tiene las mismas masas entonces cabe
suponer que la caída es solo y exclusivamente vertical con lo cual el
centro de masas solamente tiene posición donde el eje I no se ha lanzado
parabólicamente si no el problema se nos hubiera complicado un poquito
Entonces en este caso la posición del centro de masas es digamos la media
ponderada de las posiciones con respecto al eje I tanto del saltador como
del globo cada una pesada con sus masas Claro tenemos que averiguar cuál
es la posición del saltador metros y también la posición del globo
Bueno, el saltador pues la guía es de 39 km si ha descendido un kilómetro
está a 39 km del suelo con lo cual aplicando sencillamente el MRUA esto es
4,9 es un medio no sale 4,9 exacto porque yo la G que he utilizado es la G
que tenía a la altura de 40 km 9,7 Acordaros que en los problemas de
caída libre utilizamos 4,9 porque era la mitad del 9,8 pero ahora no sale
4,9 sino 4,8 porque la G ahí arriba era del 9,7 Entonces ha tardado 14
segundos en recorrer esos esos 1,000 metros y hay que ver en esos 14
segundos y poco más el globo cuánto ha subido Claro el globo también
tiene un MRUA donde su posición inicial era 40 km más un medio de la
aceleración por el tiempo arrojado y esto es lo que ha subido es decir
digamos que desde la cuota 40 km el saltador después de esos 14 segundos
está en la cuota 39 km pero el globo está en la cuota pues casi 41 40 km
y 986 m Con lo cual la posición del centro de masas en ese instante bueno
estas son las posiciones en ese instante basta con hacer este cálculo De
acuerdo No me da si acaso lo repasamos el ejercicio no me da en ningún
momento las masas la masa del ni del salto nauta ni del ni del globo esto
se tiene que dejar en términos de masas que es tal y como lo dejamos aquí
hay que tener en cuenta que si aquí la posición cuanto más grande sea el
globo con respecto a la persona más cerca estará el centro de masas en el
globo es decir aquí lo tenemos claramente es decir si la M grande es muy
muy grande pues prácticamente la posición del centro de masas va con la
posición del globo y al contrario si conforme aumenta la masa del
astronauta pues en el caso extremo es que empezase bueno en el caso extremo
no pero un caso asintótico que la masa del astronauta fuese la masa del
globo pues estaría equidistante el centro de masas respecto a las dos como
tenemos ahí muy bien otro problema similar donde practicábamos las
velocidades y periodos y energía total esta es la novedad es este
siguiente también de un examen con un pequeño diagrama que tampoco es
gran cosa pero bueno siempre ayuda como os he comentado satélite de 100
kilos órbita circular a una altura de 1000 kilómetros pues velocidad del
satélite y cuántas horas de tiempo tarden para pasar por el mismo punto
Kepler y la energía total mirad aquí la diferencia este problema digamos
que es más sencillo que el primero porque me da todos los datos posibles
aquí no tenemos que emplear esa esa equivalencia entre gm grande con g
cero r cuadrado no es necesario utilizar entonces aquí bueno un poco de
teoría es decir la velocidad orbital como lo tenéis en el formulario la
velocidad orbital de una masa se obtiene igualando los módulos de las dos
fuerzas que intervienen la fuerza la fuerza gravitacional que intenta
atraerlo al centro terrestre y la fuerza científica que intenta sacarlo de
la órbita como se puede ver una igualdad yo guardo los módulos y a
consecuencia de eso obtengo la velocidad orbital como siempre hay que
sustituir los datos esto es un trabajo de calculadora mucho cuidado con las
potencias de 10 es decir la constante de gravitación universal la masa en
kilogramos y todas las distancias en metros aquí como veis el radio lo han
puesto en kilómetros hay que añadirle tres ceros y cifras significativas
todas las que tenga el número quiero decir aquí hay un 637 pues no vale
poner 6 con 3 o 6 redondeando porque o 6 con 4 no procurar siempre utilizar
todas las cifras significativas de los datos 598 pues es 598 no es 6 porque
os han dado tres cifras significativas en la expresión de la masa el 5 el
9 y el 8 tres cifras significativas y dos decimales en kilogramos pues
bueno esta es la expresión en metros por segundo simplemente para que lo
tengáis en cuenta para hacer la prueba del 9 en estos ejercicios las
velocidades orbitales por lo general tienen estas expresiones estos
resultados 7000 8000 9000 6000 5000 metros por segundo o sea son miles
metros por segundo en kilómetros son 7 8 9 6 kilómetros por segundo si
observamos una velocidad de no sé 150.000 20.000 18.000 o 100 pues he
observado el cálculo claramente esa es la prueba del 9 mucho cuidado con
eso en cuanto al a el tiempo que tarda en pasar por el mismo punto es la
tercera ley de kepler pero en este caso no es necesario coger toda la
expresión que la tenemos aquí voy a es esta de aquí para hacer el
ejercicio porque en realidad si conocéis la velocidad y el radio o la
distancia sale el periodo no hace falta hacer todo este cálculo de nuevo
que hay un cubo hay un cuadrado y bueno es decir aumenta el riesgo de error
de calculadora pues entonces en este caso a ver perdón aquí en este caso
pues el el periodo yo la velocidad la he calculado en la primera parte son
los 7.300 y el 2 pi por la longitud del recorrido de la órbita la longitud
del recorrido de la órbita es 2 pi 2 pi por r pequeña 2 pi por la altura
y el periodo siempre me da en segundos bueno pues el tiempo siempre en
segundos y la energía mecánica la energía total es la suma de la
energía cinética más la energía potencial recordando que siempre la
energía potencial es negativa estamos en sistemas gravitacionales donde
todas las masas de satélites están capturadas por la masa gravitacional y
describiendo de órbitas cerradas con lo cual como veis basta con sustituir
sin error de calculadora este es un problema típico de calculadora un
medio de la masa la velocidad al cuadrado en metros partido por segundo
menos la constante de gravidad universal la masa de la tierra por la masa
del satélite partido por radio más la altura todos son cúlics eso tiene
que estar negativo si no es negativo es un error eh vamos a ver si tengo no
lo tengo no tengo resultado hecho aquí pero bueno no tengo calculadora
aquí cerca pero si hacéis este cálculo y da positivo positivo es una
incongruencia porque los únicos objetos estelares que tienen energías
mecánicas positivas son los que tienen órbitas abiertas es decir cometas
prácticamente cometas son órbitas parabólicas es donde la energía total
es cero o eh o órbitas hiperbólicas donde la energía es mucho es mayor
que cero eh de acuerdo entonces hay un punto de máxima aproximación sobre
los el centro gravitacional pero vuelve a escapar a escaparse y no tiene
órbitas órbitas terrenas eh lo he hecho el cálculo pero bueno no es no
es difícil de hacer eh y otro problema relacionado con esto eh también un
problema de examen eh jejeje vamos a ver eh de densidades ya comentamos la
semana pasada la importancia del concepto de densidad en gravitación bueno
aquí me dice un planeta sólido de densidad constante homogénea y radio y
orbita un satélite de masa m pequeña a una altura r que no me habla que
sea de la tierra ni nada por el estilo es un problema algebraico la
velocidad a la que orbita el satélite eh aquí no me pide que deduce a la
velocidad orbital ya le hemos deducido dos problemas aquí utilizamos la
expresión lo único a lo que podemos llegar es que como está una altura r
pues r más r esta es la velocidad orbital para este problema no tiene más
eh en donde sí que podemos trabajar el qué decir eh sí que podemos
trabajar el término de la masa si os dais cuenta en el enunciado la masa
no aparece por ningún dato y además me piden en la nota que todas las
respuestas han de darse en función del radio y la densidad y g grande ni
nada más eh no podemos conformarnos con dejarlo así porque la masa no es
un dato pero tenemos en la densidad y sabemos que hay una relación entre
densidad y masa pues ahí la tenemos es decir densidad es masa partido por
volumen volumen de una esfera perfecta es cuatro tercios de pi r cubo
manipulamos la expresión y tenemos una relación que conecta masa con
densidad esta relación no es una relación gravitatoria es una relación
volumétrica entre masa y densidad pues basta con sustituir la expresión
de m en función de la densidad lo único que hemos hecho aquí toda la
gravitación se puede expresar en términos de densidad obviando el
término de masa bueno pues aquí salvo error pues mirad como veis donde
poner la masa aquí la quito y pongo su expresión que es cuatro tercios de
pi r cubo por ro eh se va una r eh y se va un cuatro sustituido por el dos
y bueno pues esta es la expresión de la velocidad en función de la
densidad no hay ninguna dificultad bueno ahora me dice este es el apartado
el planeta carece de atmósfera porque no existe rozamiento hay un
mecanismo de frenado instantáneo que tiene el movimiento en la órbita por
lo que caerá es un poco de literatura de alguna manera ha parado y si para
en esa órbita la única fuerza es la gravitatoria porque ya no hay
centrifuga porque la v es cero y cae ya no sé con qué velocidad
impactará esto es como la velocidad de salida que hemos visto en el
problema anterior pero al revés es decir el problema anterior era que con
qué velocidad tiene que salir del suelo para llegar a esa altura y aquí
es yo estoy a esta altura que está a velocidad cero con qué velocidad
llega al suelo bueno es la misma expresión es decir la misma velocidad
necesito para llegar a la altura eh esa velocidad es la misma que la que de
esa misma altura porque la vibración de energía es la misma bueno vamos a
hacerlo ahora eh con qué velocidad impactará y cuál es el cociente de
esa velocidad con la otra bueno apartado c no sé si me da tiempo bueno
pues vamos a ver eh cuál es el cociente el satélite pues es un mecanismo
de frenado porque caerá verticalmente para acabar estrellándose con la
superficie con qué velocidad tengo la velocidad eh en función de la
densidad eh como está a una cierta altura r eh a una altura que coincide
con r pues yo voy a calcular la g a esa altura voy a poner h pongo su valor
y me da pues que la g vale esto a esa altura en función de la densidad
pues la m la pongo en función del ro y tengo que la g tiene esta
dependencia en función de la densidad eh tengo que ir eliminando la masa
la masa me molesta siempre entonces con qué velocidad impacta pues la
velocidad eh inicial es cero la final es v y aplicamos la expresión que
hemos utilizado con el salto nauta que conecta las las velocidades inicial
y final de un recorrido eh ir la distancia recorrida y la g como ya le he
puesto en función de ro en función de densidad despejó la v y esta es la
la velocidad con la que impacta al suelo con lo cual ya tengo las dos
velocidades la velocidad con la que eh vamos a ver esta es la velocidad con
la que impacta al suelo y tengo la velocidad me pide que las compare eh no
me dice cuál es de estar arriba cuál es de estar abajo pero sin embargo
nos puede llevar una sorpresa y es que eh como veis son exactamente la
misma ¿de acuerdo? es decir eh y tiene todo el sentido del mundo porque eh
real realmente cuando eh es al fin y al cabo aunque sea una velocidad
tangencial es una velocidad y adquiere una energía cinética que luego se
convierte en energía potencial mm y por conservación de energía se ve
rápidamente que es la es exactamente la misma coincide mm el último
apartado es al revés es decir yo tengo un objeto de la superficie se
dispara un proyectil con qué velocidad esto lo hemos visto en el programa
anterior lo han repetido en el examen las energías en la superficie a esa
altura de coincidir en la salida tengo solo energía cinética más
energía potencial está en el suelo por eso altura es cero y cuando llega
a esa altura no tiene energía cinética sólo tiene energía potencial las
m pequeñas se van y me queda todo en función de Google lo único que la m
grande yo la quito y pongo su valor aquí me me complica un poco el
álgebra porque la m grande me molesta lo he dejado así más o menos
encaradito os animo a que terminéis la expresión daros cuenta que me he
precipitado aquí a suscribir yo aquí antes hubiera hecho ahora que lo veo
hubiera hecho un poco más de largo hubiera quitado las m pequeñas y
hubiera despejado la v ¿de acuerdo? y me sale la velocidad de salida sin
embargo aquí he sustituido antes de despejar pero bueno da igual bueno me
piden la altura ¿verdad? perdón es que desde la superficie ¡ah! ¿a qué
altura llegará? entonces perfecto sustituyo la velocidad aquí y ahora
daros cuenta que he de utilizar tenía que despejar la h eh yo aquí os he
dado el resultado aquí el objetivo de despejar la h pues aquí hay que
hacer eliminar las m pequeñas simplificar donde podáis las r grandes y
despejáis el denominador de h al final os tiene que dar que la altura debe
ser r tercios ¿de acuerdo? lo tengo manuscrito hecho pero bueno como era
tan cantidad de idas y vueltas y giros para despejar sustituir es un poco
pesadito os lo dejo encarado y lo practicáis ¿eh? ¿de acuerdo? bueno en
este fichero eh hay algún problema más eh este si lo podéis consultar lo
comentaremos la semana que viene también pero es de es sale con cierta
frecuencia que es puntos de equilibrio puntos de ingravidez entre dos
planetas siempre hay un punto donde eh cualquier cuerpo que coloquemos no
irá ni a un planeta ni a otro porque las g coincidan son de sentidos
contrarios entonces sale con cierta frecuencia ¿eh? y eh aquí tengo que
comentar porque los demás son de ondas ¿eh? ese es el siguiente que
quería comentaros de gravedad hemos manejado las energías las velocidades
orbitales las velocidades de salida en las alturas y las leyes de kepler
¿eh? pero nada un poco siempre tengo la sensación de que os estoy
bombardeando a a cosas listas ¿eh? pero bueno ahora con el fichero y
reposando un poco si llegan a vuestras manos eh pues ejercicios de
convocatorias que yo no os he presentado aquí pues me las pasáis y las
las resuelvo y os los paso ¿eh? o bien lo dejo en el foro o lo envío por
o lo envío por correo ¿eh? ya como como queráis bueno pues