Bueno, pues como os decía en el foro de la tutoría la tutoría de hoy y
la del próximo día, que ya es la última estarán dedicadas a la
asignatura de mecánica puesto que es donde faltan todavía temas por ver.
La asignatura de mecánica K1, ya se han visto todos los temas al nivel que
se exigía que era bastante más voluminoso que el que le corresponde a
mecánica por lo tanto, hoy, a partir de ahora digamos hasta el final del
curso, vamos a indicarle a la asignatura de mecánica, salvo que haya
preguntas sobre dudas de cualquier asignatura de mecánica o mecánica K1 y
si no hay dudas pues hoy tenía preparado ver aquí dos o tres detalles
relacionados con la geometría de masas recordaros que se ha realizado una
grabación con el tema, los temas relacionados con dinámica del sólido
rígido y que deberíais de ver puesto que para la resolución de problemas
yo creo que son unos conceptos los que aparecen en la grabación
interesantes desde el punto de vista de la resolución de problemas puesto
que en el libro básico de la asignatura está todo muy bien expuesto,
perfectamente expuesto, muy claro, etcétera, pero no entra en detalles
prácticos para que nos digan, nos dirijan cómo resolver los problemas de
ese tipo, al igual que ocurría con otros temas anteriores que hemos
grabado y otros temas en los que hemos incurrido pues en este tema. Estas
tutorías, ¿no? Ya lo hemos repetido en varias ocasiones, es decir, que
los conceptos que vienen en el libro básico son unos conceptos muy bien
presentados, elegantemente expuestos, muy didácticos también, pero es,
digamos, la visión de la asignatura desde el punto de vista teórico. Yo
entiendo que algunas cosas se acaban. Hay que hacer hincapié, unos
detalles, mayor hincapié de lo que se hace en el libro básico para
resolver los problemas de estas materias. con facilidad. Y a eso estamos
dedicando. Por ejemplo, lo que vamos a ver hoy, la geometría de masas,
pues va en ese mismo sentido. Vamos a hacer hincapié en una serie de
detalles, muy pocos, que complementarán lo dicho ya en el libro básico y
nos ayudarán a resolver problemas. Por cierto, que relacionado con este
tema de geometrías de masas, también se ha realizado una grabación, ya
hace varias, un par de semanas me parece, sobre un tema relacionado con el
elisoide de inercia, que algunos alumnos me han solicitado que si les
podía aclarar ahí una serie de temas y se ha hecho a través de
grabación. Y se hacen grabaciones, pues porque las tutorías no van para
más. El tiempo de tutorías es tan corto, tan corto, tan corto, para una
asignatura que tiene un programa tan vasto y tan extenso que no daría
tiempo ni a siquiera dar los mínimos detalles relacionados con la
resolución de problemas ni de la mitad de los temas. Por eso se está
aprovechando estas grabaciones para, de alguna forma, pues... aumentar el
tiempo de dedicación de las tutorías. Bien, en este tema de geometrías
de masas hay dos conceptos diferentes. Uno es la determinación de los
centros de masa, también llamados centros de gravedad, que no son
exactamente la misma cosa, pero que se parecen mucho. De hecho, en el libro
básico de las diferencias que existen entre los dos, de todas formas
nosotros vamos a llamarle indiferentemente centro de masas, centro de
gravedad o centroides. Cuando hablemos de centroides sabemos que se trata
de un centro de masas o de un centro de gravedad. Bueno, son temas
importantes, tanto este tema de centroides como el tema siguiente que vamos
a ver de un momento es dinámica, muy importante, que os vais a utilizar
muy a menudo en otras asignaturas a lo largo de toda la carrera. Por lo
tanto, conviene tenerlos bien claros y saber cómo calcularlos. Vamos a
empezar hablando de cálculo, de los centroides, concretamente en
superficies. Es decir, para darnos una idea, imaginaros una placa, un trozo
de chapa, por ejemplo, tal y como veis ahí pintado en una transparencia,
con esas figuras que aparecen ahí. ... y queremos localizar el centroide
de esta placa, de esta superficie la placa se supone con un espesor tan
pequeño que prácticamente nos vamos a a fijar, sobre todo pequeño y
constante que nos vamos a fijar simplemente en su superficie ya sabemos de
la teoría que viene explicada en el libro básico que para calcular un
centroide pues imaginemos que cogemos un elemento diferencial de esta
chapa, de esta placa por ejemplo este elemento que voy a marcar aquí en la
marina a la derecha, un elemento diferencial de superficie ese elemento
diferencial tendrá una masa, tendrá un peso una masa que vamos a llamar
incremento de doble la masa que digamos está representada por un vector
dirigido hacia el centro de la Tierra y lo que vamos a hacer es determinar
los momentos que produce este vector masa de ese trozo diferencial de chapa
o de superficie de la chapa de la placa con respecto a los ejes X e Y que
ves ahí se ha dibujado un trihedro en una posición cualquiera no tiene
por qué elegirse una posición determinada para situar el triédrogo de
referencia, en este caso lo hemos puesto en el punto O que es ahí, no
podemos ir a cualquier otro lugar, y lo que vamos a hacer es determinar los
momentos de ese vector masa, que representa la masa o peso del cuerpo con
respecto a los ejes x e y. El momento de ese elemento diferencial de masa
con respecto al eje y será igual a el producto de diferencial de w, que al
final es un diferencial, estamos hablando de un elemento diferencial, por
tanto eso también será diferencial, multiplicado por x, es decir, sería
esto. Esto sería x por diferencial de w, sería el momento del vector
diferencial de w con respecto al eje. Y aquí hacer un pequeño paréntesis
para decir que a este producto de una masa, peso, multiplicado por una
distancia, como es este caso, se le suele, bueno, lo vamos a decir por
dios. Vamos a decir después que me estoy adelantando. Bien. Hemos
calculado el momento del vector diferencial de w, que representa el peso de
ese elemento diferencial por una distancia x. Eso no lo vamos a decir ya.
Se llama momentos lineales puesto que el producto de diferencial de W que
es peso multiplicado por la distancia x, en este caso la distancia x está
elevada a la potencia 1 por eso a estos momentos se le llaman momentos
lineales. Ya estamos. Si hacemos esto mismo para todos los elementos
diferenciales que componen la placa, es decir, si sumamos todos los
momentos de todos los elementos diferenciales que componen la placa
multiplicando, o sea, sumando todos los momentos diferenciales de W por la
distancia x que corresponde a cada elemento, eso matemáticamente en
cálculo sabemos que esa suma representa la integral tal y como está. Por
lo tanto, al final la integral de los momentos lineales x por diferencial
de W me dará el momento total lineal de toda la placa. Y eso será igual a
un vector W tal y como veis en la figura de la izquierda que representa el
peso o la masa total de la placa multiplicado por o aplicado en un punto G,
que es ahí, que se llama gravedad. Por lo tanto, la suma de los momentos
lineales x por diferencial de W para toda la placa ha de ser igual al
momento lineal del vector W, peso total de la placa, multiplicado por la
distancia X, que es la distancia del centro de gravedad, al eje de las 6.
Es esto que aparece aquí. Si despejamos aquí la YXG, será igual a la
integral del momento lineal X por el cadencial de V partido por el peso
total. La forma de calcular la coordenada G del centro de gravedad por el
centro de gravedad. Lo mismo haríamos con Y. La coordenada Y está ahí
abajo. En vez de tomar momentos con respecto al eje Y, ahora tomaríamos
momentos con respecto al eje X. Sumando todos los momentos de todos los
elementos diferenciales que conforman la placa completa, esto será igual,
esta suma, será igual a el producto del peso total de W multiplicado por
la distancia Y. Sombrero. Lo que hay es la coordenada Y del centro de
gravedad. De esta forma podemos determinar la coordenada Y del centro de
gravedad. Y diré, y ahora alguien podrá decir, bueno vamos a ver. Tú me
dices que estás calculando el producto, o sea, el momento lineal, el
momento de un vector que representa el peso de un elemento diferencial de
placa. Ese peso del elemento diferencial de placa será igual a la densidad
por el volumen. El volumen no solamente entra a la superficie, sino que es
la superficie de ese elemento diferencial multiplicado por el espesor de la
placa. Entonces, ¿por qué dices que solamente... ¿por qué titulas
geometría de superficies? ¿Por qué haces el cálculo solamente con la
superficie obviando el espesor? Ya, es que fijaros que el diferencial de W,
que sería efectivamente el peso, será igual a la densidad multiplicado
por el área, multiplicado por la gravedad, porque estamos hablando de
peso, y multiplicado por el espesor. Pero tanto la densidad como la
generación de la gravedad, P, como el espesor T, son constantes. Por lo
tanto, pueden salir fuera de la integral. Y dentro de la integral solamente
me quedaría X por diferencial de A, que es la diferencia de W, o Y por
diferencial de A en lugar de diferencial de W. Con lo cual la coordenada XG
podría ser igual a la integral de X por diferencial de A, partido por A, y
la multiplicado evidentemente si... o sea, porque fijaros que diferencial
de W es Rho por G por T por diferencial de A, y W es Rho por G por T por A.
Como aparece en el numerador y en el denominador, Rho G y T se eliminan
entre ambas. Por lo tanto, quedaría dentro de las integrales solamente
diferencial de A. O sea que, para calcular el centro de gravedad de una
superficie, No hay que fijar solamente en el área de la superficie,
obviando tanto la densidad de la placa como el espesor. Muchas veces,
bueno, obviamente para hacer estas integrales de x por diferencial de a
partido por a, e y por diferencial de a partido por a, el diferencial de a
habrá que sustituirlo por su valor, diferencial de x por diferencial de y
o lo que sea. Y luego resolver la integral. Muchas veces para resolver la
integral nos conviene utilizar en lugar de coordenadas cartesianas, como
estamos viendo aquí, coordenadas polares o cilíndricas o esferas,
esfericas. Sobre todo cuando la superficie que estamos calculando es el
centro de gravedad, o sea una simetría circular. Esto ya lo hemos visto en
cinemática y lo hemos visto en otros temas anteriores. Por lo tanto... Por
lo tanto no hará falta insistir más en él. De todas formas, en alguno de
estos problemas que os envío en la colección, aparece un ejemplo. Otra
vez nos presenta el problema de determinar los centros de gravedad de un
alambre, de una línea. En este caso, si en el caso de áreas el peso era
proporcional al área de la placa, en el caso de alambres o de líneas, el
peso es proporcional al alambre. Por lo tanto, en las integrales que son
similares a las anteriores, lo único que hacemos para determinar las
coordenadas del punto de gravedad será sustituir el diferencial de área y
área por longitud y diferencial de longitud. Y las integrales seguirían
siendo las mismas. El concepto, como veis aquí en las figuras de la
izquierda, también es igual. Como es un elemento de hilo, de línea,
diferencial de L, de longitud y diferencial de L, que pesará un
diferencial de W, que está representado por un vector vertical, aplicado
en el centro del elemento diferencial, diferencial de L del hilo, que no se
escogió, aplicaremos, o sea, calcularemos los momentos lineales de... Este
vector, con respecto a los ejes X y con respecto a los ejes Y, lo sumaremos
a lo largo de todo el hilo, a lo largo de la integral. Y eso lo igualaremos
al momento de un vector W, que representa el peso total del hilo, aplicado
en el centro de gravedad G. Y las coordenadas son X sombrero e Y sombrero.
Son las coordenadas que normalmente tengo que determinar. A través de
estas integrales que aparecen. Concepto exactamente igual que el de área,
pero sustituyendo área por longitud. Muchas veces para resolver problemas
de cálculo de las coordenadas x e y del centro de gravedad del nilo,
tenemos que, para resolver las integrales que hemos visto, tenemos que
sustituir la diferencial de L por la raíz cuadrada de la diferencial de x
al cuadrado menos la diferencial de y al cuadrado, tal y como hemos visto
ya en temas anteriores y lo hemos hecho en un grupo de problemas. Esto es
lo mismo que dividir y multiplicar por la diferencial de x y nos quedaría
1 raíz cuadrada de 1 por la raíz cuadrada de x al cuadrado dentro de la
raíz y multiplicado por la diferencial de x fuera de la raíz. O bien si
estamos trabajando en coordenadas polares, a ver que la longitud de una
curva determinada en la diferencial de L se calcula a través de la raíz
cuadrada de la diferencial de x. A ver, Rho al cuadrado más la diferencial
de x al cuadrado. Lo mismo, raíz cuadrada derivada de Rho respecto de x al
cuadrado más Rho al cuadrado por la diferencial de Rho. Que es lo mismo
que decir raíz cuadrada del radio vector Rho al cuadrado, radio vector de
posición Rho al cuadrado, más derivada de Rho respecto de x al cuadrado,
dentro de la raíz, multiplicado por la diferencial de x fuera de la raíz.
Estas son las expresiones que tendremos que sustituir en la integral para
poder resolver. y las integrales que nos dan las coordenadas del centro de
gravedad. Y exactamente igual que lo decíamos anteriormente, habitualmente
será mejor crear coordenadas polares cuando una línea posea simetría
circular. Y esto en los problemas 7 y 8 de la colección se ve clarísimo.
Bien, un asunto muy importante de cara a determinar el centro de gravedad
de superficies y de líneas son las simetrías. Decimos que una superficie
A tiene simetría respecto a un eje B', fijémonos en la figura A, la
figura superior izquierda. Decimos que la superficie A tiene simetría
respecto a un eje B'. Y esa forma de L que está ahí pintada en azul es
simétrica respecto a la línea B' si ocurre lo siguiente. Si a cada punto
P, que aparece ahí en la figura, de la superficie le corresponde otro
punto P' de la misma superficie, de tal modo que la recta PP' es
perpendicular a la PP' y es simétrica. Esta divide a la recta en dos
partes iguales. Si no ocurre esto, dimos Y la línea B' es una línea de
simetría de la superficie. Fijaros como en la figura B, inferior
izquierda, la línea I, el eje I pintado de rojo, es un eje de simetría de
esa superficie, esa especie de trapecio que veis ahí. Fijaros, puesto que
a cada lado, o sea, a cada punto, cualquiera de la superficie, por ejemplo
ese que acabo de subrayar en amarillo, aparece otro punto situado en el
otro lado del eje a la misma distancia, de tal forma que la recta que uno
de estos dos puntos es perpendicular al eje I, que es el eje de simetría,
y divide la recta en dos partes iguales. Elegido. El eje de simetría
divide esta recta. Lo mismo ocurre con la figura IIA. Esto es un triángulo
de sóspedes, o bien equilátero, y entonces la línea D' es una línea
perpendicular al lado S, que es ahí donde está marcado, es una línea, o
la otra vertical, la B'D', tanto la B'D' como la B'D', en un triángulo
equilátero, son líneas de simetría, porque se cumple lo que hemos dicho
antes. Lo mismo ocurre con la figura 2B, que tiene dos líneas de simetría
concretamente, lo mismo que ocurría al triángulo. El triángulo en el que
se podría tener tres líneas de simetría, porque desde el otro vértice,
si es un triángulo equilátero, tendría, uniendo el vértice con el punto
C, tendría otra línea de simetría. Lo mismo ocurre con esta especie de
doble T que vemos en la figura 2B, tiene dos líneas de simetría, la de B'
y la de D'. En una línea, si en lugar de ser una superficie, es una
línea, ocurre lo mismo. Se han de cumplir algunas condiciones que acabamos
de decir, para que la línea L, cualquiera, tenga una línea de simetría,
sea simétrica con respecto a la línea, si se cumple lo que hemos dicho
anteriormente. Esa simetría tiene lugar. También hay otro tipo de
simetrías que se llaman simetrías de una superficie, por ejemplo, con
respecto a un centro, con respecto a un punto. No con respecto a una
línea, como hemos visto en las semanas anteriormente comentadas, sino
ahora vamos a ver simetrías con respecto a un punto. Lo vemos ahí bien,
en la figura 3. Decimos que una superficie, en este caso, está doble. L,
que aparece ahí, o esta S, similar a una S. Decimos que una simetría, que
una superficie A, ¿Tiene simetría respecto a un centro? O, es ese punto
que veis ahí. Si para cada elemento de área diferencial de A de
coordenadas X e Y, es este que voy a marcar en la barra 1, hay un elemento
de área diferencial de A' igual a la anterior pero de coordenadas menos X
y menos Y, que es este que se va a llevar. O sea, los dos elementos
diferenciales tienen las mismas coordenadas pero cambiadas de signo.
Entonces, si esto ocurre, se dice que esa superficie es simétrica con
respecto a un punto, que es el punto O. La distancia desde O al elemento
diferencial de A es la misma lógicamente que la de O al elemento
diferencial de A'. Cuando una superficie o una línea posee un eje de
simetría B', por ejemplo, su momento de primer orden respecto a B', o su
momento lineal, lo hemos dicho antes, lo hemos llamado antes, es cero y su
centroide será un punto de ese eje. Es decir, en las figuras que hemos
visto anteriormente, los momentos de primer orden o los momentos lineales
de la, por ejemplo, la superficie de la figura 1A con respecto a B',
respecto a la línea B', de prima, La suma de los momentos lineales,
integral de x por diferencial de a, que le llamábamos antes, será cero.
Es decir, eso quiere decir que la coordenada xg o yg será cero. La
coordenada del centro de gravedad xg o yg será cero. Eso quiere decir que
el centro de gravedad, al estar situado en esa línea, cuando una
superficie tiene una línea de simetría, un eje de simetría, el centro de
gravedad está siempre situado sobre ese eje de simetría. Claro, la
importancia que tiene esto, la facilidad que nos da para determinar la
posición del centro de gravedad. Lo único que tenemos que hacer es
buscar... una línea que sea eje de simetría de esa área o de esa línea.
Si la encontramos, ya sabemos algo muy importante, que es que el centro de
gravedad estará situado sobre esa línea, no sobre ese eje de simetría.
Seguimos. Cuando una superficie o línea posee dos ejes de simetría en
lugar de uno, su centroide, el centro de gravedad, debe encontrarse en el
punto... de intersección de ambas líneas. Esto sí que es ya el no va
más. Porque, por ejemplo, en la figura anterior, en la figura 2b, por
ejemplo, Sabemos que hay dos líneas de simetría en esa superficie, la de
D' y la de D'. Eso quiere decir que la intersección de esas dos líneas de
simetría, que es el punto C, es el centro de gravedad de la figura. Y ya
no tenemos que hacer ninguna operación más, ninguna integral ni nada.
Ahí estará situado el centro de gravedad de esa superficie. En el
triángulo de la figura 2A, como hay dos ejes de simetría, el de D' y el
de D', el punto de intersección de ambos C, ese es el centro de gravedad.
Esta es la importancia que tiene el localizar los ejes de simetría de
superficies, líneas, y luego veremos volúmenes, etc. Superficies.
Líneas. Continuamos. Muchas veces, en muchos problemas, no nos darán
figuras tan simples como las que acabamos de ver, triángulos,
rectángulos, etc., etc., sino que nos darán una figura un poco más
compleja, como por ejemplo es esta placa que vemos aquí en la figura 1,
que está formada en una especie de trapecio irregular. Entonces, ¿cómo?
¿Cómo podremos determinar el centro de gravedad de esta placa de forma
irregular? Lo más cómodo que existe es dividir la superficie regular en
figuras simples. Tan simples que se conozca su centroide, donde está
situado el centroide de cada figura. Y así determinaremos muy fácilmente
las coordenadas del centroide de la figura completa. Por ejemplo, en esa
figura 1 que vamos a ver con este trapecio irregular, podemos dividirlo en
tres figuras. Que son el triángulo de la izquierda, el triángulo superior
y el rectángulo. Tal y como veis en la figura de la derecha. De cualquiera
de estas figuras sabemos determinar su centro de gravedad. Que sería
Jesús 1 del triángulo 1. Jesús 2, el del triángulo 2. Y Jesús 3, el
del rectángulo. Finalmente, conociendo las posiciones del centro de
gravedad de cada una de esas figuras es muy sencillo determinar el centro
de gravedad de la figura completa. Porque al final, los momentos lineales,
los momentos de primer orden de los tres vectores que representan los pesos
de los dos triángulos más el rectángulo de la derecha multiplicados por
el centro de gravedad. O por sus ordenadas hacia los diferentes ejes. Es
decir, ha de ser igual a los momentos. Al momento resultante, al momento...
del peso total de la placa, multiplicado por la distancia de el centro de
gravedad a cada uno de los ejes. Luego veremos un problema, ya veremos
cómo esto es muy fácil de entender. Ahí arriba, por ejemplo, en la
figura 3, marcada como 3, observamos una placa que tiene un alojo. Nos pide
determinar el centro de gravedad de esa placa. Observamos que la placa la
podemos dividir en tres figuras elementales en las que conocemos
perfectamente dónde está situado ese centro de gravedad. Y si no lo
conocemos, es muy fácil determinarlo. Una figura sería el semicírculo de
la izquierda. Otra figura sería el rectángulo. Y otra figura sería el
círculo hueco. El círculo del agua. Para resolver esto, claro, cada una
está representada, como veis ahí en la figura superior, es el peso. El
peso W1 es el del semicírculo. El W2 es el peso del rectángulo completo,
sin tener en cuenta el agujero rectángulo de la derecha. Fijaros que hemos
puesto los ejes X e Y, de tal forma que el eje X sea... Un eje de simetría
de toda la figura es muy importante porque al saber que el eje X es un eje
de simetría de la figura, sé que el centro de gravedad va a estar situado
en esa línea. Hombre, si hubiera otro eje de simetría ya sería la repera
porque en el punto de intersección de los dos estaría el centro de
gravedad y ya no tendría nada más que calcular, pero en este caso
generalmente no es así. Sí, entonces ponemos el eje Y en cualquier sitio
donde nos vengan ganas concretamente para dividir la figura en por un lado
el semicírculo y por otro lado el rectángulo. Entonces el peso W2 será
el del rectángulo de la derecha y el peso W3 será el del trozo de agujero
que he sacado de ahí. Por eso lo he puesto al revés, en sentido negativo.
Al revés de los anteriores que pesan hacia abajo, el hueco pesará hacia
abajo. Entonces se han de tener en cuenta, como dijimos ahí, muy en cuenta
los signos de los momentos. ¿Qué hay que hacer? Bueno, pues lo que hemos
dicho antes en la figura anterior. Tenemos que buscar un punto que sea el
centro de gravedad, que estará en el eje de las X, pero que no sabemos a
qué distancia X está. Del cero, del eje de coordenadas, es lo que tengo
que buscar. Pero de tal forma que la suma de los momentos lineales de W1,
W2 o W3 con respecto al eje Y ha de ser igual al peso suma de los tres con
su signo correspondiente multiplicado por la distancia del centro de
gravedad al eje Y. Despejamos esa XG y tenemos solucionado el problema.
Esto muchas veces es conveniente hacerlo en una especie de cuadro, que es
este que veis ahí. Viene muy bien para hacer este tipo de problemas
compuestos. Un cuadro que es el que figura aquí en la transparencia, donde
la primera columna es de componente, pues de triángulo tal, cuadrado
rectángulo tal, semicírculo tal. En la segunda columna es el área que
corresponde a cada uno de estos elementos. La tercera columna es la
coordenada X del centro de gravedad de ese elemento. Y la siguiente
columna, la coordenada Y. La siguiente columna es el producto de la columna
X por la columna A. La tercera por la segunda Y. Y la última columna es el
producto de la tercera columna Y por la A. Finalmente sumamos todas las
columnas segundas, todas las columnas cuartas, de pintas y todas las
columnas sextas, y las coordenadas X, G será igual a la suma de X por A,
1, 2, 3, 4 de la quinta columna, partido por la suma de A que módula la
segunda columna. Por lo nada I sub G será igual a la suma de I por A, que
nos va a dar la sexta columna, partido por la suma de A, que nos va a dar
la segunda. Así de sencillo. Vamos a hacer un problema, me parece que
traigo para que se vea esto, a lo mejor es la forma más fácil de resolver
este tipo de problemas, a ver si sé cuál era, y lo vemos. Sí, perfecto.
Este problema dice, localícese el centroide de la superficie plana
representada en la figura. Bueno, es una figura irregular, pero que la
podemos descomponer en varias figuras regulares. Lo tenéis ahí, en la
parte derecha superior, en la figura derecha superior de la transparencia.
Hemos dividido toda la figura en otras figuras. 3. La marcada común es un
triángulo de altura 30, perdón, de altura 126 y de base 30. La figura 2
es un rectángulo de altura 84 y de base 126. Y la figura 3 es otro
triángulo de altura 72, y de base 48. Utilizamos el cuadro que acabamos de
hablar de él, ponemos el número 1, esparcable que es el triángulo, al
igual que el número 2, que por el triángulo componente tiene un área de
base por altura partido por 2 y es negativo puesto que es un hueco, eso no
esísimo lo he puesto para poder descontarlo del cuadro del rectángulo 2 y
que me quede la figura real representada por el izquierdo bien, entonces
con signo negativo le calculo su área a continuación determino en donde
está el centro de gravedad de ese triángulo, sabemos que es a un tercio
de la altura, por lo tanto los ejes X e Y los he situado, no los he marcado
ahí pero el eje X y viene marcado aunque no está puesto la X y el eje Y
también está marcado aunque no está puesta la Y entonces, conozco la
coordenada X del centro de gravedad del triángulo 1, le pongo ahí la
coordenada Y del centro de gravedad del triángulo 1, la pongo ahí,
multiplico coordenada X por A, me da esto coordenada Y por A, con su signo,
me da esto hago lo mismo con el rectángulo 2 calculo su área, base por
altura donde está, determino donde está su centro de gravedad siempre es
en una intersección, como ya sabemos de las diagonales, por lo tanto
conozco su coordenada X dentro de gravedad del rectángulo y su coordenada
I multiplico la coordenada X por A y me da esto, la coordenada I por A con
su signo y me da esto y finalmente hago lo mismo con el triángulo 3 una
vez hechos los cálculos con sus signos correspondientes, hago las sumas de
la columna de las áreas la suma de la columna de los X por A y la suma de
la columna de los Y por A, y ya directamente me voy a determinar las
coordenadas, la coordenada X del centrogrado de la figura completa será
igual a la a lo que me ve en la columna X por A la suma de X por A,
perdón, de I por A, partido por la que me ve en la casilla de la columna
de sumas de A y lo mismo, la coordenada I es la coordenada de la casilla de
la suma de X por A, partido por las casillas la suma de la casilla de As
veis como es muy sencillo utilizando el cuadro y conociendo donde están
los centros de gravedad de las figuras elementales como son el triángulo,
el rectángulo el círculo, prácticamente nada más conociendo esto,
podemos sacar las coordenadas del centro de gravedad de cualquier figura
por muy compleja que sea simplemente dividiéndola en partes elementales
haciendo el cuadro este y haciendo los operaciones Bien, volvemos a verlo
otra vez. Aquí tenéis unos problemas de la colección de problemas en
donde se ven más ejemplos de este tipo. Y ya pasamos a los volúmenes.
Bueno, ya sabemos calcular entre las coordenadas de acentos de gravedad, de
áreas y de líneas. ¿Y los volúmenes? Bueno, pues es exactamente igual.
El concepto es el mismo, de áreas y de líneas. Tenemos ahora un cuerpo,
espacio dividimos este cuerpo en trocitos elementales de masa que tendrán
un vector que representa su peso correspondiente, diferencial de omega
determinamos los momentos lineales o los momentos de primer orden de este
vector con respecto a los tres ejes x y z y lo sumamos para todo el volumen
del cuerpo. Y finalmente lo igualamos al peso total del cuerpo, figura de
la izquierda multiplicado por las distancias a los ejes x y z que ha
aplicado el peso este en el centro de gravedad del cuerpo. De esta igualdad
van a salir las coordenadas del centro de gravedad de ese volumen, de ese
cuerpo. Exactamente igual a como hemos hecho en áreas o líneas. Ahora las
integrales son las coordenadas, o sea, x igual a la integral de x por la
integral de v partido de v. Ahora ya hay que poner el volumen, v. La
densidad la podemos dejar aparte porque es la misma en todos los lados, por
lo tanto va a desaparecer. Pero ahora sí, tenemos que poner volúmenes en
lugar de áreas o en lugar de longitudes. En el caso de áreas y líneas,
ahora ya es volumen. Lo mismo con la viso G, integral de I, integral de V,
y lo mismo Z, porque obviamente ahora hay tres coordenadas. En general, el
centroide de un volumen de revolución no coincidirá con el de su sección
recta, no nos equivoquemos. Mucha gente que dice, oiga, esto le hago una
sección por aquí, determino qué sección es, y dónde está el centro de
gravedad de esa sección, y a través de eso localizo el centro de gravedad
del cuerpo. No, no, no, no va a coincidir en la sección. Los centroides de
los volúmenes asimétricos, o los dotados de uno o dos planos de
simetría, hay que determinarlos por integración. Vamos a ver cómo se
localiza el centroide en volúmenes, por integración. El centroide de un
volumen limitado por una superficie analítica, la superficie analítica es
aquella que podemos expresarla a través de una ecuación algebraica, se
puede determinar por integración, calculada. Calculando las integrales que
figuran a continuación estas que hemos visto antes. hay que resolver esas
integrales pero antes hay que saber diferencial de V, desglosarlo ver a ver
qué es diferencial del volumen el diferencial del volumen lo podemos poner
de varias formas, podemos coger simplemente un cubo pequeñito diferencial,
o a vistas diferencial de la longitud es diferencial de X diferencial de Y,
diferencial de Z entonces el volumen, diferencial de V en las integrales
será diferencial de X por diferencial de Y por diferencial de Z pero esto
tiene un problema si lo hacemos así y es que nos va a salir una integral
triple, lo cual no siempre es fácil de resolver para evitar este
inconveniente podemos elegir el volumen y el diferencial de volumen de otra
forma con tal de que sea diferencial, es decir pequeño tendiendo a cero su
volumen yo puedo elegirlo de cualquier forma por ejemplo puedo poner tal y
como vemos aquí en la figura inferior izquierda elegir un elemento
diferencial de volumen que tenga una base diferencial de X por diferencial
de Y pequeñita y una altura que sea Z la longitud de la fila del cuerpo en
este caso es un cilindro el cuerpo, ¿lo veis? el elemento diferencial lo
he elegido de tal forma que sea diferencial el área diferencial de X y
diferencial de Y Y luego la altura tenga la misma altura del cilindro. Con
tal de hacer diferencial de X y diferencial de Y pequeños o
suficientemente pequeños, el elemento sigue siendo diferencial. Por tanto,
me vale. Ahora el volumen de este elemento diferencial que será
diferencial de V en las integrales ya será área de la base que es
diferencial de X por diferencial de Y por altura que es Z. Es decir, de
tres variables independientes en la integral he pasado a dos. De una
integral triple he pasado a una integral doble. Lo cual ya es más fácil.
Pero a veces también es más complicado. Perdón, también es complicado.
Por tanto voy a ver si lo puedo incluso facilitar más, simplificar más.
Pues hay veces que sí. Hay veces que puedo simplificarlo más. Por
ejemplo, cuando el cuerpo es de revolución, cuando el cuerpo tiene un eje
de simetría, por ejemplo este que veis ahí en la figura derecha, es un
cuerpo de revolución que tiene un eje de simetría que es el mismo eje X.
Al tener un eje de simetría, recordando las propiedades de simetría de
las áreas que son aplicables también al volumen, al tener un eje de
simetría, ese cuerpo ya obligatoriamente el centro de gravedad, o el
centroide ha de estar en ese eje de simetría. Todavía no sé dónde, pero
sé que ha de estar situado en ese eje de simetría. En este caso lo que
tengo que hacer es el elemento diferencial de volumen de las integrales
ponerlo como si fuera una lonchita de ese cuerpo obtenida al seccionar el
cuerpo por un plano perpendicular, pero no es plano, muy cercano uno de
otro, perpendicular es al eje de simetría, en este caso perpendicular al
eje. Nos daría esa lonchita que veis ahí, sería pues una especie de
moneda, que es ahí pintada de color marrón, cuya longitud, espesor sería
diferencial de x y cuya área sería pues pi por r cuadrado, el volumen
diferencial de v de las integrales entonces sería pi por r cuadrado por
diferencial de x. Hombre, fijaros como ahora ya tengo una integral simple,
porque solamente hay una variable independiente, independiente que es
diferencial de v, lo cual me facilita enormemente la labor. Observaciones a
tener en cuenta cuando se calculen momentos entre centros de gravedad. Un
volumen es simétrico respecto a un plano dado si a cada punto P de ese
volumen corresponde otro P' del mismo volumen, de tal forma que la recta
PP' es perpendicular al plano dado y este la divide en dos partes. Veis que
es una cosa muy similar a lo que decíamos antes de las áreas. solo que
sustituyendo ahora el plano por la línea que decíamos antes. Cuando un
volumen posee dos planos de simetría, su centroide estará en la recta de
intersección de ambos planos. Y cuando un volumen posee tres planos de
simetría que se cortan en un punto, su centroide está situado en dicho
punto. Fijaros qué utilidad tiene. Tiene lo mismo que ocurría ya con
líneas y con áreas, el determinar, en este caso, los planos de simetría
de un cuerpo. Porque si tenemos la suerte de que tenga, de encontrar tres
planos de simetría, la intersección de estos tres planos da un punto, y
ese es el centro de gravedad del cuerpo. Que no tenemos suerte y que
solamente encontramos dos planos de simetría, pues la intersección de
esos dos planos, que será una línea, ahí en esa línea... estará el
centro de gravedad. No sabemos en qué punto de la línea, habrá que
calcularlo. Pero ya sabemos que estará en esa línea. ¿Cuál me facilita
enormemente el problema? En los ejemplos que veis aquí al final de la
transparencia, tenéis claros ejemplos de esto que acabamos de decir. Bien,
y creo que yo esto es lo que he considerado que deberíamos incidir en él,
de cara a que se entiendan los problemas... que os he mandado de la
colección. No sé qué ha pasado ahora, se me ha ido esto al carajo. Voy a
volver a salir y entrar. Bueno, pues a ver aquí un...