Bien, buenas tardes. Vamos a empezar esta nueva sesión, esta nueva
tutoría de Física II. Hoy vamos a trabajar la Ley de Gauss, capítulo 22.
Mirad, antes que nada, os he puesto aquí en pantalla el archivo del año
pasado, mirad, el archivo de la semana pasada, donde había un par de ratas
en dos ejercicios. Pues si los queréis ver, no sé si habéis hecho
algunos, o algunos sé que han hecho los ejercicios y se os han dado
cuenta, pues os lo vuelvo a colgar con las ratas ya corregidas, de dos
ejercicios, creo. Después también os quería comentar, os quería
comentar, esto no lo hice la semana pasada, aunque lo he puesto ya en el
foro, y tenéis unas grabaciones de un curso cero de electromagnetismo.
Como me lo han pedido algunas personas, pues os lo pongo. Es básico,
aunque tiene un número significativo de ejercicios, y os lo recomiendo
también. Si queréis ver las grabaciones, pues ahí está. Y si no, pues
ya con lo vayáis haciendo, y por internet hay muchas cosas, ¿no es
verdad? Pues ahí lo tendréis a vuestra disposición, porque hay material.
Os puede ayudar. Y ya nos ponemos pues ya con el capítulo 22, ¿no? Y
vamos a hablar de la ley de Gauss. Ya os adelanto que esta pregunta de
teoría ha salido tres veces en los últimos años, del 22, 23 y 24. Como
pregunta de teoría para la ley de Gauss, con sus cuestiones. Ahí está.
Bien, vamos a empezar, pues. Vamos a hablar primero de carga y flujo
eléctrico. Bueno. Intuitivamente, ¿qué es esto del flujo eléctrico?
Mirad. Vimos el campo eléctrico. El campo eléctrico se representa con
unas líneas de fuerza, líneas de campo. Una carga puntual genera un campo
eléctrico, ¿no? Que es radial, ¿no? Evidentemente. Si la carga es
positiva, los vectores que veis en las figuras A y B van hacia afuera. Y si
la carga es negativa, el vector campo eléctrico pues va hacia adentro. Las
líneas de campo son vectores tales que el vector campo es tangente a las
mismas. En este caso, si solo tenemos una única carga, una única, una
única carga, estas líneas de campo son líneas, ¿no? Que van dirigidas
hacia afuera, ¿vale? ¿Vale? Estas serían las líneas de campo. Entonces,
el flujo eléctrico, después veremos la definición operativa, ¿eh? El
flujo eléctrico nos representa el número de líneas de campo que
atraviesan una superficie. Eso de manera intuitiva, ¿vale? Entonces,
entenderéis que si tenemos, si tenemos dos cargas en un recipiente
cerrado, ¿no? Como veis aquí, en el segundo, en el caso B, el número de
líneas de campo será mayor, ¿no? Que atraviesan esa superficie cerrada.
El vector campo nos lo dibuja más grande porque el campo eléctrico será
más grande, ¿no? El resultante, al haber doble carga. Y la única
diferencia que hay con C y D es que, al ser una carga negativa, el campo
eléctrico, las líneas de campo van hacia adentro. ¿Por qué? Porque una
carga negativa lo que hace es atraer a la unidad de carga positiva. Por eso
va hacia adentro. Mientras que una carga positiva lo que hace es repeler a
la unidad de carga positiva. ¿De acuerdo? Vale. Más casos. Dice, vamos a
ver, estudiar, vamos a analizar estos tres casos. Es interesante que los
entendamos bien, sobre todo para la teoría. Aquí tenemos tres casos donde
en el interior de este paralelepípedo, de esta caja, la carga neta es
cero. ¿Estáis de acuerdo conmigo, no? Pero el resultado del campo
eléctrico es distinto y el flujo va a ser distinto. Vamos a ver. Bueno, el
flujo no va a ser distinto. El flujo no va a ser distinto. Vamos a ver.
Mira, en el caso A no hay carga adentro. Si no hay carga, no hay ninguna
carga. ¿Estáis de acuerdo conmigo? Que el campo eléctrico va a ser nulo.
Perdón. Que el flujo eléctrico va a ser nulo. ¿Por qué? Porque no va a
haber líneas de campo. ¿Por qué? Porque al no haber carga, tampoco
habrá campo eléctrico. Es decir, flujo eléctrico nulo, campo eléctrico
nulo. No hay nada. En el B tengo una carga positiva y una carga negativa
del mismo valor, que es signo contrario. ¿Estáis de acuerdo conmigo? Que
la carga positiva generará unas líneas de campo hacia afuera y la carga
negativa unas líneas de campo hacia adentro. Como tienen el mismo valor,
esas líneas de campo serán idénticas. La carga neta total será cero y
el flujo neto será cero. Los líneas de campo saldrán de la carga
positiva y entrarán por la carga negativa. Pero el campo eléctrico en la
superficie de este parámetro no será cero, porque dependerá de la
posición relativa de estas dos cargas y tendremos un campo eléctrico en
la superficie distinta de cero. Y en los puntos interiores, claro, ¿de
acuerdo? A pesar de que el flujo neto sea nulo. ¿Y el caso C? Veremos
después la demostración donde tenemos una lámina. Una densidad de carga.
Veremos, demostraremos dentro de un ratito que una lámina con densidad de
carga máxima genera un campo eléctrico uniforme, constante, perpendicular
a la misma. Si yo tengo una caja o este parámetro de Pípedo en sus
proximidades, tendremos unas líneas de campo que entran y que salen por
esa caja. El flujo neto ¿qué vale? Cero. ¿Por qué? Porque el mismo
número de líneas de campo entran y salen. Pero el campo eléctrico dentro
de la caja va a ser constante, es uniforme, a pesar de que dentro no tenga
ninguna carga. Esto es importante entenderlo por las cuestiones que han
salido en los exámenes. ¿Vale? Es decir, ¿qué carga hay aquí dentro,
dentro del paralelepípedo? Cero. La carga aquí que hay interior es cero.
Aquí la carga neta interior es cero. Es cero. El flujo es cero. El flujo
es cero. Pero en estos dos casos, dice, el campo eléctrico no es cero.
Alguien podría pensar, esto salió en el examen, pues lo veremos, que si
el campo eléctrico es uniforme, o mejor dicho, si no hay carga, si no hay
carga en una región del espacio, el campo eléctrico ha de ser uniforme.
Ya veremos que no. Porque para que el campo eléctrico sea uniforme tengo
que tener una distribución plana de cargas. No. Un plano infinito,
etcétera. Eso no es así, ¿eh? Bueno, venga. Seguimos. Resumiendo, ¿no?
La existencia de un flujo eléctrico neto hacia el exterior o hacia el
interior de una superficie cerrada depende del signo de la carga encerrada.
Las cargas fuera de la superficie no generan flujo eléctrico neto. El
flujo neto es proporcional a la cantidad neta de carga que hay dentro,
¿no? Pero no depende del tamaño de la superficie. Eso vamos a verlo ahora
con el siguiente ejemplo. Fijaos. Existe un flujo saliente. Aquí, ¿lo
veis? En esta carga, una carga más q. Si pongo una carga 2q, ¿vale?, se
duplica la magnitud del campo eléctrico de modo que el flujo eléctrico
también se duplicará. ¿Vale? La superficie es la misma y se duplica.
Ahora aquí, mantengo la carga y duplico la superficie. Si yo parto de la
definición de flujo, que es el vector campo por el área, esto lo podemos
demostrar fácilmente. Porque dices, bueno, ¿y por qué es que el flujo se
mantiene constante yo al duplicar el área y mantener la carga? Bueno,
porque el campo eléctrico de una carga puntual es q partido por r, ¿no?
Si la distancia es el doble, 2r, pues el campo eléctrico es una cuarta
parte, ¿no?, que teníamos antes. Es decir, duplicar la distancia no
supone reducir el campo eléctrico a la mitad, supone reducirlo a la cuarta
parte. ¿Y el área? El área, claro, para no tomar un par de pipi, pero yo
puedo tomar una... Si estoy en una superficie plana, ¿no?, sería pi r
cuadrado, ¿no? No es verdad. Si yo tomase una esfera, me gustaría más
tomar una esfera, sería la superficie de una esfera escura, 4 pi r
cuadrado. Estáis de acuerdo conmigo, ¿no? ¿Sí? Me gusta más poner una
esfera, 4 pi r cuadrado. Si yo meto esta carga en una esfera, estáis de
acuerdo conmigo que el flujo es el mismo a través del paralelepípedo que
con la esfera. Porque no depende de la forma geométrica de la superficie.
El mismo número de líneas de campo atravesará esta esfera que la caja de
zapatos. Lo digo porque esto va a ser un denominador común. Utilizar lo
que se llaman superficies gaussianas. Son superficies que nos dan una
simetría determinada. Y lo único que os quiero decir es que si yo duplico
la distancia, el área la hago 4 veces mayor. Entonces el flujo, que es el
producto escalar de E por A del campo por A por el área, será el mismo.
¿Estáis de acuerdo, no? Será el mismo. ¿Sí? Porque era el campo. Es
una cuerda aparte, el área es 4 veces mayor. Bueno, vamos con la
definición del flujo. Pero el radio de la esfera es el mismo pero en el
paralelepípedo no para una carga en el centro. No para una carga en el
centro, no. Tú tienes una carga en el centro. En el centro del
paralelepípedo. Y yo, me da igual si no está en el centro. Pero tú lo
que haces es hombre, tiene que estar en el centro porque si no, la
simetría la pierdes. Tú lo que tienes que hacer es dibujar una una esfera
de radio justo a la distancia del centro de la esfera al lado del
paralelepípedo, por ejemplo. ¿No? O duplicas la distancia. ¿Vale? ¿De
acuerdo? No para una carga en el centro. No sé la expresión esta, si te
he entendido tu pregunta. Bueno. Lo que sí es cierto es que si tú
duplicas es que tú siempre puedes haberlo hecho siempre con una esfera
concéntrica. ¿Vale? Más que con el paralelepípedo porque con el
paralelepípedo tendrías que calcular el flujo en cada una de las caras.
Eso no se hace. No es operativo. Parece que tendrías que saber las
distancias que tienes a cada una de las seis caras, ¿no? Del
paralelepípedo, de la caja de zapatos. Bueno. Vale. Bueno, aquí tenemos
la definición de flujo. ¿Vale? Esto es un ejemplo y después vendrá la
definición operativa. El flujo sería de un campo uniforme, ¿eh? El
producto escalar de E por A. Sería E por A por el coseno del ángulo que
forma. Por el coseno del ángulo que forma el vector campo y el vector
área. Quiero que os deis cuenta que cuando la superficie es perpendicular
al campo eléctrico el ángulo que forma el vector área con el vector
campo, que es el caso A, es cero. El coseno de cero es uno y tendremos
máximo flujo eléctrico. E por A. El segundo caso formará un ángulo
determinado el vector campo con el vector superficie. Un ángulo fi. Por lo
tanto el flujo será menor y será E por A por el coseno de fi. Y el caso
más desfavorable, como veis aquí cuando la superficie se pone paralela a
las líneas de campo, el vector campo es perpendicular al vector superficie
¿vale? Forma 90 grados. Forma 90 grados. El coseno de 90 es cero y el
flujo es cero. Claro, ¿cuáles líneas de campo atraviesan la superficie
en el caso C? Cero. Porque las líneas de campo no pueden atravesar nunca
la superficie con esta dirección y con el vector y con la superficie así
como está definida. Si el campo eléctrico no es uniforme tendríamos que
hacer la integral del vector campo por diferencial de A. Sería la
definición del flujo para un campo eléctrico no uniforme. Hasta la
próxima. A la fecha siempre os vais a encontrar campos eléctricos
uniformes. O mejor dicho, campos eléctricos constantes a una distancia
determinada. Que no es así que... Pues habrá que hacer la integral y me
tienen que dar cómo varía. No es habitual. No vais a ver ningún ejemplo
que haya puesto el equipo docente. También podemos trabajar con la
componente perpendicular a la superficie ¿no? Que no es más que E por
seno de fi. Cualquiera de esas fórmulas nos va a permitir calcular el
flujo eléctrico cuando no es uniforme. Aquí tenéis un ejemplo de una
carga puntual que está rodeada de una esfera imaginaria que se llama
esferas gaussianas de radio 0,2 metros. Me pide determinar el flujo a
través de la esfera. Vamos a hacerlo ¿no? Aquí sería la carga en el
centro y quiero calcular el flujo. El flujo. ¿Qué será el flujo? El
flujo. Bueno, sería integral integral de diferencial de A. ¿No? Porque no
estamos en el seno de un campo eléctrico uniforme. Pero, ¿qué ocurre?
Que a una distancia determinada el campo eléctrico es constante. Tiene
simetría radial y puede salir fuera de la integral. Y la integral de
diferencial de A, ¿qué es? A. Pues es E por A. Este producto escalar. Y
nos damos cuenta además nos damos cuenta además que el vector campo y el
vector superficie son paralelos. Van dirigidos hacia afuera. ¿Vale? E por
A. ¿Vale? ¿De acuerdo? Bueno. Entonces sería E por A. Pero fijaos aquí
como a la hora de sustituir el vector campo como Q partido 4 pi S1 sub 0 R
cuadrado y la superficie de una esfera la superficie de una esfera que es 4
pi R cuadrado la superficie de una esfera es 4 pi R cuadrado lo hemos
comentado antes. Se simplifica ¿y qué me queda? Que el flujo eléctrico a
través de una superficie esférica no depende de la forma geométrica. No
depende de la distancia. Depende exclusivamente de la carga que hay
encerrada en esa esfera. Es Q partido por S1 sub 0. Este resultado es muy
interesante. Porque es extensible a cualquier superficie. Porque yo puedo
encerrar una carga cualquiera que esté en una superficie determinada, en
un volumen determinado en una esfera. ¿No? Por simetría. O veremos en
otros casos si tenemos distribuciones planas de carga o hilos que serán
cilindros. Y de esta manera de esta manera intuitiva nosotros podemos
enunciar la ley de Gauss. La ley de Gauss que nos dice que el flujo la
definición de flujo es el vector campo integral del vector campo por
diferencial de área a través de una superficie cerrada. Eso no es el
teorema de Gauss, la ley de Gauss. La ley de Gauss nos dice que el flujo a
través de una superficie cerrada es igual a la carga total encerrada por
la superficie partido de la constante dieléctrica la constante
dieléctrica en el vacío o aire S1 sub 0 que es 8,85 por S1 menos 12 El
flujo eléctrico a través de una superficie cerrada es igual a la carga
eléctrica total neta encerrada partido de la constante dieléctrica Ojo,
la carga neta que puede ser positiva, negativa o nula porque se pueden
compensar cargas podemos expresar la ley de Gauss en vez de esa integral E
diferencial de A de ese punto escalar con la componente perpendicular ¿no?
a la superficie y por lo tanto E y A serían paralelos ¿no? como hemos
visto antes ¿de acuerdo? fijémonos un poco a qué se valdrá ese flujo
eléctrico con estos ejemplos que tenemos aquí fijaos aquí que tenemos
cuatro superficies la A, la B, la C y la D ¿qué valdrá el flujo
eléctrico ¿no? en cada una de estas superficies fijaos en el A la
superficie esférica A ¿el flujo eléctrico a qué será igual? en el A
pues la carga positiva ¿no? partido E sin los sub cero ¿y en B? ¿qué
será el flujo en B? la carga negativa partido E sin los sub cero ¿y en C?
¿en C? ¿qué tendremos el flujo en C? será la carga positiva más la
carga negativa partido E sin los sub cero igual a cero porque tiene el
mismo valor ¿no? K más es igual al valor absoluto de K menos ¿vale?
tiene el mismo valor pero son de signo contrario ¿y en D? ¿qué valdrá
el flujo en D? ¿hay alguna carga dentro? no, pues cero ¿vale? vamos a la
figura de la derecha tenemos una carga externa a esta superficie cerrada
¿eh? que no encierra ninguna carga, superficie cerrada ¿vale? el flujo
será nulo porque el mismo número de líneas de campo entran que salen
pero ojo el campo eléctrico en la superficie de esta superficie cerrada no
es cero tendrá un valor determinado en cada punto ¿de qué depende? de la
distancia ¿vale? no entendamos que siempre una cosa es que el flujo
eléctrico a través de esta superficie cerrada sea cero y otra cosa es que
el campo eléctrico en su superficie sea cero también no es el caso vamos
a ver alguna aplicación tenemos una esfera conductora una esfera
conductora de radio R mayúscula ¿vale? que tiene una carga más Q en su
superficie una carga más Q en su superficie ¿qué vale el campo
eléctrico en un punto exterior a distinta distancia y qué vale el campo
eléctrico en el interior? pues vamos a hacerlo por Gauss para un punto
exterior ¿no? para un punto exterior R mayor que R mayúscula bueno yo
encierro esta esfera en una superficie gaussiana en una esfera concéntrica
de radio justo la distancia a la cual yo quiero calcular ¿vale? el campo
eléctrico así dibujado queda muy feo ¿a que sí? ¿no? ajá, perdonadme
¿lo podemos hacer un poquito mejor? sí, ¿cómo? pues dibujando
correctamente una esfera concéntrica y además de otro color para que se
vea bien ahí vamos bueno, más o menos ahí estamos ¿vale? mejor ahora
¿no? se entiende mejor el campo eléctrico a través de esta superficie
imaginaria va a ir hacia afuera ¿no? porque la carga es positiva ¿vale? y
el flujo eléctrico será el mismo que a través ¿no? de esa esfera de
radio R mayúscula bueno pues el flujo es E por superficie el vector campo
y el vector superficie son paralelos eso siempre va a suceder esta
simetría esférica y la superficie de una esfera ya sabéis que es 4 pi R
cuadrado ¿vale? el flujo es igual a la carga que hay encerrada a partir de
la constante dieléctrica de en medio la carga que hay encerrada es Q, que
es la carga que hay en la superficie luego el campo eléctrico en un punto
exterior el campo eléctrico en un punto exterior viene dado por esta
expresión ¿y a qué nos recuerda esta expresión? al campo eléctrico
creado por una carga puntual, en conclusión ¿qué estamos diciendo? que
el campo eléctrico está en un punto exterior el campo eléctrico que crea
una esfera conductora de radio R mayúscula con una carga en su superficie
de valor Q es análogo, es similar, es idéntico al que crearía una carga
puntual en el centro de la esfera del mismo valor y a esa distancia siendo
R la distancia al centro de la esfera no a la superficie, siendo R la
distancia al centro de la esfera ¿y qué pasa si nos vamos dentro de la
esfera conductora? si nos vamos dentro de la esfera conductora como la
carga está distribuida sólo en la superficie el flujo va a ser 0 el flujo
será 0 para una R menor de R mayúscula el flujo va a ser 0 esto es E por
el área como el área es distinta de 0 esto implica que el campo
eléctrico en el interior de la esfera conductora sea nulo vamos a tener
una carga eléctrica a lo largo distribuida en un alambre un alambre muy
largo ¿cómo calculo el campo eléctrico en una distancia determinada?
pues ahora encerramos el alambre en un cilindro sólo va a haber esferas o
cilindros si yo encierro este alambre en un cilindro derrallo justo la
distancia donde queremos calcular el campo eléctrico donde queremos
calcular el campo eléctrico nos damos cuenta que el vector campo es
perpendicular a la cara lateral pero que al ser perpendicular a la cara
lateral el flujo va a ser nulo en las dos bases sólo va a haber flujo en
la cara lateral entonces el flujo eléctrico sería el vector campo el
campo eléctrico el valor del campo eléctrico por 2 pi rL ¿por qué 2 pi
rL? porque eso es la superficie del cilindro de la cara lateral de un
cilindro ¿cómo es la superficie de la cara lateral de un cilindro? la
longitud de la base, 2 pi r por la altura, L ¿vale? ¿y eso a qué sería
igual? a la carga que hay encerrada en esta superficie gaussiana ¿y qué
vale esta carga? la carga será la densidad lineal de carga por la longitud
del hilo lambda por L partido del cilindro sub cero a partir de aquí
despejo el campo eléctrico y ¿qué veo? que el campo eléctrico es
inversamente proporcional a la distancia y proporcional a la densidad
lineal de carga de este hilo conductor ¿vale? esto es un hilo conductor de
longitud infinita y yo lo encierro dentro de un cilindro en teoría de
longitud infinita pero acoto a un trozo de ese hilo siempre encontraré dos
puntos simétricos de ese hilo conductor que hagan que el campo eléctrico
sea perpendicular a la carga lateral ¿qué pasa cuando tenemos un plano?
un plano infinito una densidad de carga máxima pues encierro un trozo de
ese plano en un cilindro ahora aquí lo contrario de antes el flujo a
través de las cargas laterales va a ser nulo y el campo va a ser
perpendicular porque siempre encontraremos dos puntos simétricos de este
plano de manera que tenga un campo eléctrico resultante dirigido hacia
fuera en un lado del plano y dirigido también hacia fuera al otro lado del
plano dos campos eléctricos hacia la derecha y hacia la izquierda entonces
el flujo total el flujo total sería dos veces el flujo de una base y el
flujo de una base sería E, el campo eléctrico por A ya que es igual la
carga que hay encerrada la carga que hay encerrada aquí dentro la carga
que hay encerrada es sigma la densidad superficial por el área entonces a
partir de aquí nosotros podemos calcular el campo eléctrico simplificando
simplificando si me va el área que he escogido y me queda que el campo
eléctrico en las proximidades de un plano conductor es constante, es
uniforme os acordáis al principio de la sesión os hablaba de esto ahora
lo acabamos de demostrar E2 viene de que hay campo eléctrico por las dos
caras cuidado con esa expresión que pasa si tenemos esto lo veremos
después en el tema de condensadores tenemos dos planos conductores
infinitos uno con una densidad de carga máxima y otro con una densidad de
carga menos sigma que vale el campo eléctrico resultante en los distintos
puntos en las tres zonas que tenemos aquí la placa positiva va a generar
un campo eléctrico E1 hacia la derecha como veis aquí o hacia la
izquierda, a la izquierda o hacia la derecha, a la derecha del mismo E1 y
la placa negativa generará un campo eléctrico dirigido hacia la placa
negativa a la izquierda va hacia él hacia la placa negativa y a la derecha
sigue yendo hacia la placa negativa porque es atractivo con ello os tengo
que decir que el campo eléctrico resultante en los puntos exteriores de
estos planos sería nulo aquí sería nulo porque los dos campos
eléctricos serían iguales porque E más es igual a E menos en valor
absoluto ¿no? sigma partido 2 es y lo sub cero en el sigma más es igual
al valor absoluto de sigma menos ¿eh? entonces tendríamos campo
eléctrico nulo a la derecha y a la izquierda y campo eléctrico total
sería la suma de ambos valores dos veces sigma partido 2 es y lo sub cero
sería sigma partido 2 es y lo sub cero el campo eléctrico resultante
entre las dos láminas que tienen la misma densidad de carga y signo
contrario si tenemos una carga una esfera cargada uniformemente ¿vale?
¿qué quiere decir una esfera cargada uniformemente? que tenga una
densidad volumétrica de carga distribuida en el volumen de la esfera ρ de
manera que la carga q total es ρ por el volumen de una esfera ρ por 4
tercios de pi r cubo volumen de una esfera 4 tercios de pi r cubo ¿vale?
¿cómo calculo el campo eléctrico en un punto exterior de esta
superficie? bueno, pues aplicamos Gauss como antes ¿qué haría?
dibujaría otra superficie gaussiana que sería una esfera concéntrica
¿vale? no me gusta mucho ¿cómo ha quedado? un poquito mejor vale una
superficie gaussiana y los vector campo pues claro, el vector campo al ser
positivo va a ir hacia fuera es radial eso quiere decir que el vector
superficie y el vector campo van a ser paralelos porque el vector
superficie en definición es un vector perpendicular a la misma va a ir
hacia fuera ¿vale? entonces no lo he pintado antes pero si quieres ahora
lo pinto esto sería diferencial de área en rojo sería el vector campo
son vectores paralelos entonces aplicamos Gauss el flujo es la definición
de flujo sería e por 4 pi r cuadrado por coseno de 0 igual a la carga que
hay encerrada ¿vale? despejando tendríamos esta expresión otra vez esto
sería análogo el campo eléctrico sería idéntico al que crearía una
carga puntual situado en el centro de esta esfera ¿vale? de valor q, carga
total y a esa distancia r minúscula siendo r la distancia al centro el
comportamiento como veis es análogo a de una carga puntual situada en el
centro para un punto exterior en la superficie tendríamos este valor ¿y
qué pasa cuando me meto dentro? cuidado cuando nos metemos dentro así
como hacia fuera disminuye inversamente por opcional al cuadrado de la
distancia r cuadrado veis aquí está gráfica con la fórmula cuando nos
metemos dentro y aplicamos Gauss la carga aquí tendría la superficie
gaussiana dibujada en morado aquí está y aplicamos Gauss aquí dentro y
la carga que hay aquí dentro no es la carga total ni tampoco es cero como
ocurría en la esfera conductora ¿qué vale esa carga? ρ por el volumen
de esa esfera gaussiana ρ por 4πr³ r minúscula cubo que es justo la
distancia a la cual calculamos el campo eléctrico 4πr cuadrado q, ρ,
4πr³ partido de sin0 simplifico el cuadrado con el cubo me queda una r y
me queda que el campo eléctrico es proporcional a r aumenta, es decir el
campo eléctrico que crea veis esta línea como va aumentando linealmente
con r hasta que adquiere un valor máximo en la superficie y después
disminuye inversamente el cuadrado de la distancia aquí tenemos una esfera
hueca de pared delgada tiene una cantidad desconocida de carga distribuida
de manera uniforme en su superficie a una distancia 0,3 del centro de la
esfera al campo eléctrico apunta radialmente hacia adentro con un valor de
1,8 ¿cuánta carga hay en la esfera? bueno pues si nosotros ya sabemos,
hemos deducido hace un momento que el campo eléctrico que crea una esfera
conductora en un punto exterior e es igual a 1 partido 4 pi e sin 1 sub 0 q
partido por r al cuadrado y a mi me dicen lo que vale el campo eléctrico y
sabemos la distancia que es 0,3 ¿no? y esto vale 1,8 a 2 podemos calcular
q que es la incógnita q, que es la incógnita pero tendré que decir que
esa carga es negativa porque me dice que apunta radialmente hacia adentro
de la esfera eso quiere decir que se trata de una carga negativa ¿que
queréis aplicar Gauss directamente? o ya aprovechamos el resultado de
antes ¿no? vamos a ver esto que es interesante cargas en conductores,
cálculo de campo eléctrico dentro de un conductor cargado vamos a ver en
un conductor cargado la carga se distribuye queda distribuida ¿donde? en
su superficie el campo eléctrico en el interior es 0 nosotros dibujamos
una superficie gaussiana aquí dentro aplicamos Gauss la carga que hay
encerrada es nula, la carga se distribuye en la superficie el campo
eléctrico aquí dentro tiene que ser 0 ¿que pasa si tenemos una cavidad?
una cavidad ¿que va a pasar? Pues en una cavidad lo que va a pasar es que
si yo tengo aquí una carga positiva, en la carga, en la cara interna,
bueno, toda la carga está distribuida en la superficie, ¿vale? Si yo
aplico Gauss, como no tengo ninguna carga aquí dentro, el flujo es nulo,
el campo eléctrico es nulo. Pero ¿qué pasa si introduzco aquí una carga
positiva? Cuidado, es una cuestión del año pasado. Introduzco una carga
positiva, ¿qué va a pasar con el campo eléctrico en las distintas zonas?
Yo tendré un campo eléctrico distinto de cero en la cavidad, claro,
¿debido a qué? A la carga positiva. Pero fijaos, esta carga positiva al
conductor le va a inducir una carga negativa. Una carga negativa. Una carga
negativa en la cara interna del hueco. Y a su vez, una carga positiva en la
superficie externa. En la superficie externa. Es decir, el conductor, la
cara interna del conductor va a tener una carga menos Q y le va a añadir
una carga más Q. Entonces, el campo eléctrico en la cavidad viene
determinado por la carga más Q. Dependerá la distancia, la carga, el
valor del campo eléctrico. El campo eléctrico en el interior del
conductor, el flujo será cero, el campo eléctrico seguirá siendo cero.
Es cero. Porque la carga neta que hay encerrada en esta superficie
gaussiana, que veis aquí morada, es la carga inducida menos Q más la
carga más Q que hay dentro. Cero. El campo eléctrico sigue siendo cero. Y
el campo eléctrico en la superficie externa se debe a la carga interior de
la carga que tenía externa. Es decir, el flujo a través de la superficie
de ese conductor no va a ser el mismo de antes. Y el campo no va a ser el
mismo de antes porque tengo una carga adicional dentro de esa superficie
gaussiana que puede ser la superficie del conductor. Y por lo tanto aumenta
o cambia el flujo eléctrico y cambia el campo eléctrico. Interesante,
¿no? Bueno, aquí tenéis este ejercicio numérico de aplicación de lo
que hablábamos desde ahora. Un conductor sólido tiene una cavidad con una
carga de más. El conductor tiene una carga más 7. Dentro de la cavidad se
sitúa una carga de menos 5. ¿Cuánta carga hay en cada superficie interna
y externa del conductor? Bueno, pues ahí estamos. Si yo tengo una carga
menos 5 en la cavidad, yo le inducimos una carga más 5. Más 5. Más 5 en
la cara interna. Más 5 nanocoulombios en la cara interna de la cavidad. Y
en la cara externa tendré los que tenía antes más la carga inducida. Si
yo induzco la cara interna más 5, induciré menos 5. Por lo tanto, en la
cara externa tendré más 7 menos 5 igual a 2 nanocoulombios en la
superficie externa. Espero que lo entendáis, que es importante entenderlo.
Bueno, aquí tenéis una serie de errores frecuentes. Os sugiero que lo
miréis. En la cara externa siempre se replica lo del interior al
inducirse. Se replica lo del interior, no sé si te refieres a la cara
interior del conductor o a la cavidad. Digamos que se replica la carga de
la cavidad. La cavidad, exactamente, sí. Se replica la carga de la cavidad
o se replica la carga de la cara interior, pero cambiándole el signo. Las
dos cosas son correctas. ¿Vale? ¿Cuál sería el campo en la superficie?
Gracias a ti. El campo en la superficie de un conductor. Bueno, si yo tengo
un conductor, que dentro sabemos que no hay carga, y aplico Gauss e
introduzco un trozo de conductor en un cilindro, vemos que por si metía el
campo eléctrico, va a ser perpendicular, dirigido hacia fuera, el valor de
la superficie va a ser paralelo al vector campo, ¿no? Si aplicamos Gauss
aquí nos damos cuenta que no hay campo eléctrico en la cara interna,
porque no hay carga por la cara interna de ese conductor. Por lo tanto,
sería e por el área igual a q partido por el silón sub cero. ¿Vale?
Donde q es igual a sigma por el área, el silón sub cero. Por lo tanto, o
la E, sería igual a sigma partido por el silón sub cero. Y esto sería el
campo eléctrico y las posibilidades de un conductor que tiene una densidad
de carga sigma. Y aquí ya hay una serie de preguntas que han ido saliendo.
Aquí, por ejemplo, un robo de caucho tiene en su interior una carga
puntual. ¿El flujo eléctrico depende si está inflado o no? No, es lo
mismo, porque si está inflado o no está inflado, el flujo eléctrico es
el mismo, porque el número de líneas de campo que atravesará será el
mismo. Aquí tenéis una región del espacio cotada por una superficie
encerrada imaginaria y no contiene carga. ¿El campo eléctrico será igual
a cero en todos los puntos de la superficie? A ver, si no es así, ¿en
qué circunstancia sería cero en la superficie? A ver, si no hay ninguna
carga en las proximidades, ¿sería cero el campo eléctrico? Claro que
sí, pero ¿qué puede pasar? Pensemos al principio de la sesión. Si yo
tengo un campo eléctrico uniforme, si esa superficie está en el seno de
un campo eléctrico uniforme, en su superficie tiene un campo eléctrico.
Si yo tengo una distribución de cargas distintas de cero, ya sea dentro o
fuera, puedo tener un campo eléctrico. ¿Cuánto será cero? Pues en
ausencia de otras cargas y en ausencia de un campo eléctrico uniforme.
Aquí lo tengo redactado, tengo que pasar de prisa porque tenemos que ver
problemillas. Bueno, esto es muy parecido, aquí dice, esto lo hemos visto
antes cuando os he contado la teoría, ¿no? En una región del espacio hay
un campo eléctrico uniforme, demuéstrense que la región de densidad
volumétrica de carga es nula. Bueno, lo hemos visto con el primer ejemplo,
aquí está explicado, ¿no? El campo eléctrico uniforme, si el campo
eléctrico es uniforme, pues en las proximidades de un plano infinito,
¿no? Hemos visto como el campo eléctrico es uniforme, no tiene que haber
ninguna carga para que el campo eléctrico sea uniforme, porque si tengo
otra carga distinta me generará un campo eléctrico puntual que ya no
será constante. Bueno, campo eléctrico uniforme y constante, ¿no? Por
ejemplo, entre dos láminas plano cargadas, densidad de carga entre ellas
nula. Os lo dejo esto que lo miréis, yo creo que es interesante, lo
tenéis aquí redactado, si tenéis alguna duda, pues me lo preguntáis,
cómo no. Seguimos, vamos allá. Bueno, estos son los ejercicios que
recomienda el equipo docente dentro de lo que es el módulo, ¿no? Del tema
22. Os los voy a explicar rápidamente, creo que están bien, no hay
erratas, pero bueno. Nunca se sabe. Venga, tenemos una superficie
hemisférica con radio R en una región del campo eléctrico E, tiene su
eje alineado de forma paralela en la dirección del campo. Calcule el flujo
a través de la superficie. Bueno, es que calcular el flujo a través de
esta superficie semiesférica, si lo miro por el cascarón, puede ser
complicado, ¿no? Porque claro, aquí tendría que hacerlo por
integración, porque el ángulo que formaría el vector campo con la
superficie de la semiesfera sería complicado, pero estamos todos de
acuerdo que el flujo a través del cascarón de la superficie plana de la
semiesfera va a ser el mismo, ¿a que sí? Y por lo tanto, simplemente en
ese campo eléctrico uniforme sería E por el valor de la superficie plana,
que aquí sí que sería pi R cuadrado, pi R cuadrado, ¿de acuerdo? Y ese
flujo sería el vector campo Newton partido por Coulombio multiplicado por
metro cuadrado, ¿vale? El flujo a través de la superficie curva será el
mismo que tengamos con la superficie plana, ¿de acuerdo? Bueno, aquí hay
otro ejercicio. Una capa muy delgada uniforme de pintura con carga sobre la
superficie de una esfera de plástico de 12 centímetros metros de
diámetro va a tener una carga de menos 49 microcoulombios. Encuentra el
campo eléctrico apenas dentro de la capa de pintura, inmediatamente afuera
de la capa de pintura y a 5 centímetros afuera de la superficie de la capa
de pintura. Bueno, está claro que tenemos que tener en cuenta que en el
interior el campo eléctrico será nulo, ¿por qué? Porque la carga está
distribuida en la superficie, la capa de pintura, ¿vale? Campo eléctrico
nulo porque la carga en el interior es cero y por lo tanto no tenemos campo
eléctrico. Justo en la superficie, en las inmediaciones de la superficie
ya tengo la carga Q menos 49 nanocoulombios y el campo eléctrico sería
análogo al que crearía una carga puntual en su superficie, demostrándolo
por Gauss como hemos visto antes. E igual a 1 partido 4 pi de 1 sub 0 Q
partido por R al cuadrado. Pero, pero, ojo, como es una carga negativa,
bien su módulo es 8,74 por 10 a la 7 newton partido por coulombio
vectorialmente iría hacia adentro, radial. U sub R sería un vector
unitario dirigido hacia el centro, ¿vale? Y pongo el signo menos para
indicar que va hacia el centro, ¿vale? Y para R igual a 11, ¿no? ¿Por
qué R es igual a 11? Porque estaríamos, hay que sumarle la distancia. No
vale contar la distancia a la superficie de la esfera. Es la distancia al
centro. 5 más 6, 11. 0, 11. ¿Vale? Se calcula el módulo y otra vez un
campo eléctrico radial dirigido hacia el centro. Por eso ese signo menos
que veis en el vector. Porque va dirigido hacia el centro. El campo
eléctrico en la superficie y en el exterior es igual a que crearía una
carga puntual en un nuevo valor del centro de la esfera. Vale. Esto ya lo
hemos resaltado en la teoría, ¿no? Dos líneas únicamente cargadas de
longitud muy grande son paralelas y están separadas a una distancia de 0,3
metros. Cada línea tiene una carga puntual. Longitud igual a 5,2
microcoulombios metro. ¿Cuál es el módulo de la fuerza que ejerce una
línea de carga en una longitud de 0,05 metros de otra línea de carga?
Bueno, la fuerza por línea de carga. Vamos allá. A una distancia
determinada estaréis de acuerdo que el campo eléctrico que crea una
línea de carga es constante. Y lo hemos demostrado antes. Es lambda
partido 2 pi e silón sub cero r. 2 pi e silón sub cero r. ¿Vale? Eso a
una distancia... A una distancia determinada. Siendo lambda la densidad
lineal de carga. Eso en un punto cualquiera de la segunda línea de carga.
La fuerza que actuaría sobre esa línea de carga sería el vector campo
por q. ¿Y q qué valdría? Lambda por l. Siendo l la longitud de ese hilo.
Lambda por l. Entonces la fuerza sería el campo, el módulo, lambda 2 pi e
silón sub cero r por q. Lambda l. ¿Vale? Y aquí no tenemos más que
sustituir numéricamente. Porque me dan la distancia r03. ¿No? Tenemos el
trozo de cable que es 0,05 metros, 5 centímetros. Y la densidad lineal de
carga. Lambda. Que hay que pasarla a colombios metro. A colombios metro.
Bueno, aquí he puesto u sub r. No, bueno, porque he tomado una coordenada
polar, u sub r. Pero podríamos haber puesto, si hubiera puesto unos ejes
de coordenadas x y u sub x siendo eje x, ¿no? Lo he puesto con coordenadas
polares no era necesario, no, no era imprescindible. Podríamos haber
puesto f igual al módulo por u sub x o por i, ¿no? Aquí sería, es decir
que las dos formas son correctas, ¿eh? Mientras lo entendamos. Voy a haber
puesto por i, ¿no? Si tomo i, el eje x, ¿no? Horizontal. Tampoco me lo
piden, ¿eh? Vectorialmente, ¿eh? Pero bueno, ya veis aquí en la
solución. Bueno, aquí hay otro. Una esfera conductora de radio exterior
0,25 y radio interior 0,2. Tiene una densidad de carga superficial de 6,37.
Se introduce una carga de menos 5 en el centro de la cavidad interna de la
esfera. Es decir. Esto es como una esfera conductora que tiene un espesor
determinado y dentro de ahí es una cavidad. Y mete una carga negativa,
negativa en el centro. ¿Cuál es la nueva densidad de carga exterior en la
superficie? Vale, calcula la intensidad del campo eléctrico justo fuera de
la esfera. Calcular el flujo eléctrico a través de la superficie
esférica apenas adentro de la superficie interior de la esfera. Bueno,
vamos allá, vamos allá. ¿Cuál es la nueva densidad de carga en la
superficie? Bueno, primero, ¿qué es la nueva densidad de carga en la
superficie? Bueno, ¿qué vamos a hacer? Vamos a calcular la carga. Vamos a
calcular la carga en la superficie que tenemos. Que es sigma por el área.
El área de una esfera, 4 pi r al cuadrado. La carga que tengo es 5 por 10
elevado a menos 6 coulombio. La densidad de carga por la superficie. Ahora
bien, ¿cuál será la nueva densidad de carga? Pues pensemos que en azul,
menos q, la carga que tengo en la cavidad. Me induce en la cara interna del
conductor una carga más q. Y en la cara externa, la carga menos q. Es
decir, la misma carga que había en la cavidad. Entonces la carga total que
tendría en la superficie del conductor sería q1 menos q. Pongo menos q
porque es negativa. 4,5. Entonces la nueva densidad de carga sería la
carga total, 4,5 partido el área. Y ya está. ¿Vale? ¿Qué valdría el
campo eléctrico en el interior del conductor? Cero. ¿Qué valdría el
campo eléctrico en las proximidades, en un punto exterior? Pues sería...
1 partido por 4,5 es igual a cero. La carga resultante partido por r al
cuadrado. Ahora lo vemos, giro la hoja. A introducir... Aquí está
explicado lo que está escrito aquí. Esto ya lo he contado. ¿Pero el
campo eléctrico en un punto exterior? Gauss. E por s partido carga interna
partido cero en sub cero. La carga interna es 4,5. Y a partir de aquí
calculo el campo eléctrico. Me acuerdo que esto equivale a una carga
puntual situada en el centro. La carga total puntual. El flujo a través de
la carga interior del conductor... Ojo. No en la superficie del conductor,
que sería cero. Porque la carga inducida es menos. Aquí, justo dentro,
tendría un flujo negativo. Porque la carga interior es negativa y así lo
sub cero su valor. Bien. Seguimos. Y este otro. Dice... Un cilindro sólido
y muy largo, de radio R, tiene una carga positiva distribuida de manera
uniforme. De volumen rho. Una carga por unidad de volumen rho. Una densidad
de carga rho. Determina la expresión para el campo eléctrico dentro del
volumen o distancia R del cilindro en términos de densidad de carga.
¿Cuál es el campo eléctrico en un punto fuera del volumen en términos
de densidad? Por unidad de longitud. Bueno, esto ya... Bueno, vale. Por
unidad de longitud L. Compare los resultados de los apartados A y B,
elabore una gráfica del campo eléctrico... Bueno, esto ya empieza a ser
un poquito más tedioso este ejercicio, ¿no? Vamos allá. Aquí tenemos un
cilindro y utilizamos como superficie gaussiana... Si tengo un cilindro o
un hilo, mi superficie gaussiana es un cilindro. Eso siempre. Si tengo una
esfera, mi superficie gaussiana es una esfera. Y en general se utiliza una
esfera. Si tengo una caja de zapatos, pues lo meto en una esfera y ya
está. ¿Vale? Un cilindro dentro de un cilindro. Entonces utilizamos como
superficie gaussiana un cilindro de radio R y longitud L. El área lateral
sería 2 pi RL. Y... ¿Qué sería la carga que hay encerrada? ¿Cuál
sería la carga que hay encerrada en el cilindro rojo que es mi cilindro?
¿No? Pues sería Rho por el volumen. ¿Cuál es el volumen de un cilindro?
La superficie de la base, pi R al cuadrado, por la altura L. ¿Vale? Eso
sería la carga encerrada. Pero... la superficie de ese cilindro, ¿qué
sería? La superficie térmica, la lateral, que sería 2πr, la longitud de
la base, por la altura. No confundáis la superficie con el volumen, ¿eh?
2πr por la altura. Igualamos en más expresiones y me queda que el campo
eléctrico es ρr partido 2sil0. 2r partido 2sil0, ¿vale? ¿Y esto qué
es? Pues hemos determinado la expresión del campo eléctrico dentro del
volumen a una distancia r del cilindro. En función de la densidad de
carga, ¿vale? Rojo, estamos dentro, mi cilindro es de radio r mayúscula,
y en el mismo momento hay una distancia r minúscula, ¿eh? r minúscula
menor de r. Eso tiene un carácter radial. Si yo quiero poner el vector, no
lo he escrito, pero si queréis lo pongo, como la densidad de carga es
positiva, sería ρr 2sil0 upr, radial. Si yo quiero ponerlo
vectorialmente, ¿eh? Si quiero escribirlo vectorialmente. Si no, lo dejo
así. Ahora ve, ¿cuál sería el campo eléctrico en un punto afuera en
términos de carga por unidad de longitud? Ahora me tengo que ir afuera,
¿vale? Me voy afuera y en función de lambda, de carga por unidad de
longitud, me voy fuera, ¿eh? Ahora estoy en una r, cuidado, ¿eh? Nos
damos cuenta, fuera. Mayor que r mayúscula. Aplico gauss, la carga que hay
dentro de esa superficie gaussiana, de ese cilindro de r minúscula, es la
carga total. ¿Y cuál es mi carga total? ¿Qué tengo ahí? ¿Eh? Lambda
por l, siendo l la longitud del hilo, no toda la carga, ¿eh? O la densidad
lineal, ¿eh? Bueno, lambda, cuidado. ¿Vale? Es que esto, fijaos en un
detalle, vuelvo atrás, ¿eh? En términos de la carga por unidad de
longitud, eso es una carga lineal, ¿eh? Lineal, ¿eh? Cuidado, ¿eh? Vale.
Entonces, sería q por l, ¿no? Lambda por l, lo que es la carga. La carga
que hay en el interior, perdónate un momento, es lambda por l. Esto sería
la superficie gaussiana, y me quedaría que el campo sería lambda partido
de 2 pi r e seno sub cero. ¿Pero qué pasa si yo lo hago a través de la
densidad volumétrica? Pues la carga ya no sería lambda l, sería rho por
el volumen de mi cilindro, pi r cuadrado por l. Y me quedaría esta otra
expresión. Pero ambas expresiones, ambas expresiones, vamos a ver, tiene
que haber una relación. ¿Me representa el mismo campo eléctrico? Sí,
debería representar el mismo campo eléctrico. De hecho, esta carga
interna debería ser la misma. Si yo igualo estas dos expresiones,
encontraré una relación entre lambda, rho y r. Y lambda es rho por pi r
cuadrado. Esta relación me permite a mí identificar que estas dos
expresiones del campo eléctrico son idénticas. Yo puedo pasar de una a
otra, con esta relación que ya he deduzco de la carga interna en función
de lambda o de rho. Lambda es rho por pi r mayúscula cuadrado. Ambas
expresiones son idénticas. Bueno, ya veis que este es un poquito más
tedioso. Aquí veis una gráfica como varía el campo eléctrico en el
cilindro. Dentro del cilindro aumenta linealmente con r hasta que alcanza
un valor máximo. Y después disminuye, disminuye inversamente proporcional
a r. ¿Vale? ¿Lo veis aquí? ¿De acuerdo? De manera que para 3r tiene
este valor. Ahora permitidme que tengo otro documento que es de unos
problemas adicionales que os he buscado de este tema, que nos quedan unos
minutitos más. Os voy a contar algunos ejercicios más que os he buscado
parecidos a los del equipo docente pues para que practiquéis un poquito,
¿no? Vamos a ver si lo podemos ver, lo máximo que podamos ver. Una esfera
sólida conductora de radio r que tiene una carga positiva q concéntrica
con un cascarón aislante muy delgado de radio 2r también con una carga q.
Ojo, un cascarón con carga más q, verde. Una esfera sólida conductora de
radio r con carga q también, en azul. ¿Vale? La carga q estará, es
conductora, estará en la superficie. Y el otro simplemente es un cascarón
aislante que tiene una carga distribuida en su superficie. ¿Vale?
Encuentra el campo eléctrico en cada región del espacio, dentro de la
esfera conductora, entre las dos y fuera del todo. Bueno, en la esfera
conductora tenemos que tener, la carga interior es cero. Ya sabéis que la
carga se distribuye en la superficie. El campo eléctrico será nulo.
Aplicamos Gauss. Para r menor que r, lo hemos explicado ya, pero bueno,
rápidamente, dentro de la esfera conductora ser cero porque la carga es
cero, entre r y 2r sólo va a influenciar la carga de la esfera conductora,
la del cascarón no va a influenciar y por lo tanto tendremos esta
expresión. Este 2 que hay aquí abajo, que se ha quedado abajo, es arriba
el exponente, ¿eh? Pues, está al cuadrado, ¿no? Y para pasar... Y cuando
nos vamos fuera, fuera, a una distancia mayor a 2r, dibujamos la superficie
gasolana otra vez, pero la carga total encerrada en la suma de ambas, q
más q, 2q, y esta sería la expresión. De manera que si queremos ver una
variación del campo eléctrico en función de la distancia, dentro de la
esfera conductora es cero, en la superficie tiene un valor máximo, va
disminuyendo 2r, después aumenta porque ya estoy con el cascarón, ¿no?
¿Vale? Tengo que contribuir a 2r, 2q, perdón, y después vuelve a
disminuir inversamente el proporcional al cuadrado de la distancia. ¿Vale?
Bueno... Aquí tenemos otro, dice un cascarón esférico conductor de radio
interior A y radio exterior B tiene una carga puntual más q. Vale, ¿eh?
Más q. Y la carga total en el cascarón es menos 3q. Está aislada de su
ambiente. Vale. O tenga expresiones para la magnitud del campo eléctrico
en términos de la distancia r. r dentro de A, entre A y B, y fuera.
¿Cuál es la densidad superficial de carga en la superficie interior del
cascarón conductor? Pues me parece lo que hemos hecho antes, ¿no? Vale.
Elabore un diagrama de líneas de campo y localización de todas las
cargas. Grafique la magnitud del campo eléctrico en función de r.
Bueno... Vamos allá. Expresiones del campo eléctrico en las distintas
zonas. Cuando estoy dentro, el campo eléctrico ha quedado con una carga
puntual. No tengo nada más. Esa carga puntual es positiva, ¿no? Por lo
tanto, un campo eléctrico rojo, líneas de campo, hacia afuera. ¿De
acuerdo? Aquí lo tenéis en azul, radial, hacia afuera. 1 partido 4 pi r
sub 0 q partido por r al cuadrado. Siendo r menor que la distancia, que A,
¿eh? Estamos dentro. Ahora bien, de A a B, el campo eléctrico es nulo. La
carga eléctrica del interior del cascarón esférico es nulo. ¿Por qué?
Porque se induce una carga menos q en la superficie interna del cascarón y
una carga más q en la superficie externa del cascarón. Y cuando yo quiero
calcular el campo eléctrico en el interior, ¿no? En el interior, en esta
zona interior, será cero. Porque la carga total resultante es nula. Más q
y menos q. ¿Vale? Y cuando nos vamos fuera, ¿no? Aplicamos Gauss. La
carga total será cero y el campo eléctrico será cero. Pero cuando nos
vamos fuera, para r mayor que B, tendréis que tener en cuenta una carga
2q. 2q. ¿Por qué 2q? Porque es más q menos 3q. En realidad, es una carga
neta menos 2q. ¿Vale? El módulo sería 1 partido 4 pi r sub 0, 2q partido
por r al cuadrado. Y el vector, ojo con el signo menos. ¿Por qué menos?
Porque se trataría de una carga negativa radial hacia adentro. Radial
hacia adentro, fijaos. Radial hacia adentro. ¿Veis el vector campo en azul
turquesa hacia adentro? ¿Mmm? Bueno, aquí tendríamos las expresiones del
campo eléctrico, ¿no? En la cavidad, en la primera zona, de A a B sería
cero. En B adquiriría un valor que iría después disminuyendo
inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. A ver, una pregunta.
Si fuera de todo es aislante, es como si fuera con una cavidad dentro. En
el tema de inducir cargas. No te entiendo la pregunta. Una pregunta. Si
fuera de todo es aislante, es como si fuera... No te entiendo. Me la
planteas un poquito mejor la pregunta porque no te entiendo. Es que no te
entiendo. Es decir, el enunciado pone que está aislada de su ambiente.
Bueno, esto es para que veas que no hay transmisión de carga con el
ambiente. Que no hay pérdida de carga. ¿Me entiendes, no? Vale, no sé si
te contesto. Venga. Aquí tenéis la representación. Aquí tenemos otra,
dice. Una esfera conductora sólida de radio R tiene una carga total Q. La
esfera está rodeada de dos cascarones aislantes de radio R interior y
radio exterior 2R. Esto es muy parecido, ¿no? Pero ahora con una densidad
de carga uniforme Rho. Encuentra el valor de Rho de manera que la carga
neta de todo el sistema sea igual a 0. Si tiene el valor de Rho, tiene un
valor obtenido en el inciso A, calcula el campo eléctrico. Este sí que...
Porque cayó un año un problema parecido a esto. No suele salir
últimamente tan así. Presente sus resultados en una gráfica. Como regla
general, campo eléctrico es discontinuo. Sólo en lugares en que hay una
lámina delgada. Vale. Bueno. Aquí dice qué densidad tendría que tener,
¿no? Para que el campo eléctrico en el exterior fuese nulo. Y para ello
la carga neta tendría que ser nula. Estáis de acuerdo, ¿no? Bueno. Entre
R y 2R tenemos un cascarón aislante con una densidad de carga Rho. Una
densidad de carga Rho. ¿Vale? Y de R a 2R. ¿No? Y de 0 a R tenemos una
esfera conductora sólida de carga Q distribuida en su superficie. La carga
en el interior es nula y por lo tanto el campo eléctrico en el interior de
la esfera conductora sería cero. ¿Cuál es la carga en el cascarón? Rho
por el volumen del cascarón. Pero el volumen del cascarón es... Tiene de
radio R, 2R. Tiene un espesor. ¿No? Entonces sería 4 tercios de pi por 2R
cubo menos 4 tercios de pi R cubo. Por lo tanto la carga... Sería Rho por
ese volumen. Y yo quiero que el campo eléctrico exterior sea nulo. Por lo
tanto la carga ha de ser nula. Y por lo tanto la densidad de carga Rho del
cascarón ha de tener este valor. Teniendo este valor la densidad de carga,
ojo negativa, el campo eléctrico sería nulo en el exterior con este valor
de Rho. ¿Eh? Bueno. En el campo eléctrico en el interior del conductor es
0. De R a 2R tendríamos la carga. La debido a... Sería Q debido al
conductor más... Q partido por el seno sub cero más Q partido por el seno
sub cero. Fijaos que nos ha añadido este seno sub cero que se me había
perdido, pero después estaba abajo. Que sería Rho por el volumen. ¿No?
Que es pi R cubo menos R cubo. ¿No? Sería el trozo que tenemos en esa
zona interior entre R y 2R. ¿Vale? Sustituyendo Rho por la expresión y
despejando E, operando... Ojo. Me queda esta expresión del campo
eléctrico. Que ya veis que es una expresión tediosa. ¿Eh? ¿Y qué pasa
para R mayor igual a 2R? Pues el campo será 0. Porque para eso he
calculado el valor de la densidad de carga. Para que la carga neta sea 0. Y
por lo tanto el flujo sea nulo. ¿Vale? Entonces... Tenemos aquí los
valores del campo. 0 dentro del conductor. Va a ir bajando en esa zona de R
a 2R. Y fuera es 0 porque la carga neta resultante es 0. Bueno, esto es una
pregunta de teoría que ya lo hemos comentado. En el otro está repetido. Y
este es un ejercicio que cayó... Que cayó, sí. En el 22 de febrero. Un
globo compuesto por material aislante. ¿No? Se coloca una carga puntual en
el centro. En términos de alfa y beta. ¿Qué valor debe tener Q para que
el campo eléctrico sea constante en esa región entre A y ese espesor?
¿Cuál es entonces el valor del campo... Ese valor del campo eléctrico?
Eso es diferente. Entonces, ese que cayó en ese examen... Y con eso... Me
he pasado un montón de tiempo. Perdóname. 2249. Este es muy parecido al
que cayó en el examen. En el libro. Por eso os recomiendo siempre que
trabajéis los del libro. Aquí lo tenéis. Bueno. Es alfa partido por R.
Aquí tenéis beta partido por R. Veis, cambia siempre alguna cosa. ¿No?
¿Cuál es la magnitud del campo eléctrico a una distancia R del centro
del cascarón? ¿No? Se coloca una carga Q. Bueno, pues... En rojo la
superficie gaussiana. Este es un problema tediosillo, ¿eh? La carga
encerrada en la superficie gaussiana es rho por el volumen. El volumen de
una esfera es 4 pi r al cuadrado. El diferencial de volumen es 4 pi r al
cuadrado diferencial de R. Aquí habría que hacer una integral poco
habitual. No he visto otro examen que hubiera una integral. Los otros
problemas nunca han sido así tan tediosos. Rho por el diferencial de
volumen. Habría que integrar de A a R. En esa zona. Y tendríamos la carga
que habría encerrada hasta una distancia R, desde A hasta R. La carga
total de ese material aislante sería como el cascarón es de A a B. Sería
esa expresión donde R en el punto B sería B al cuadrado menos A al
cuadrado. Esa sería la carga total que habría encerrada. Si yo quiero
calcular el campo eléctrico en esa región tendré que poner 4 pi r al
cuadrado justo la distancia R entre A y B. Y esa sería la expresión del
campo eléctrico. ¿Vale? ¿Qué pasaría con el campo eléctrico dentro?
Sería el campo eléctrico dentro, pues si tengo una carga Q sería creado
por una carga puntual. Si se desea que el campo eléctrico en la región de
A entre A y B sea constante. Si queremos que el campo eléctrico sea
constante. Tendré que sumar la expresión del campo eléctrico creado por
el cascarón. Que lo tengo aquí arriba. ¿No? Lo tengo aquí arriba. Uy
perdonadme que he tachado. Más el campo eléctrico que crea la carga
puntual. Y eso es lo que tenemos aquí. Y si queremos que esto sea
constante, ¿qué tiene que suceder? Que se tienen que compensar los dos
términos que tienen R al cuadrado. Por lo tanto esta diferencia ha de ser
cero. Y por lo tanto, despejando, se tiene que cumplir esta relación. Que
la carga Q valga este valor. Y el valor del campo eléctrico, y el valor
del campo eléctrico, me quedará esto. Alfa partido 2 elevado a 0. Y será
constante en ese cascarón. Entre A y B. Bueno, ya veis. Este ejercicio
quizás tengáis que revisarlo tranquilamente. ¿Vale? Oye, pues muchas
gracias. Disculpadme que me he pasado bastante hoy. Espero que os haya sido
algo útil. Y a vuestra disposición. Animaros y seguid trabajando. Hasta
la próxima. Gracias a vosotros por estar ahí.