El concepto de operación es una abstracción de conceptos conocidos como
son la operación suma y producto de números reales. Por tanto, muchas
veces la dificultad que tenemos a la hora de entender el concepto de
operación en abstracto es que tenemos muy interiorizado la idea de estas
operaciones y por tanto asumimos como ciertas las propiedades que estas
verifican. Por tanto, es muy importante... En este sentido, leer
detenidamente la definición de operación. En este sentido, una operación
o ley de composición interna que denotamos por el rombo en un conjunto
cualquiera M es una aplicación que va del conjunto de pares de M a el
mismo conjunto M. Es decir, que para cada par A y B, la operación de A
operado con B necesariamente tiene que pertenecer a M. En ese sentido,
decimos que es una aplicación. Bueno, esto para el caso de los números
reales o, por ejemplo, con la suma es muy claro. La suma de dos números
reales vuelve a ser un número real. Por tanto, es una aplicación y es una
operación, pero en general hay conjuntos y operaciones donde no se
verifica esto. En este sentido, una estructura algebraica no es más que un
conjunto en el que pueden estar definidas una o más operaciones que
verifican ciertas propiedades que darán lugar, según las propiedades que
verifiquen, a... diferentes estructuras algebraicas, como aquellas que
veremos en este curso, como pueden ser espacio vectorial, cuerpo, anillo,
grupo, etc. Por tanto, veremos qué tipo de propiedades verifica una
operación para dar lugar a las diferentes estructuras algebraicas.
Respecto de la definición de operación, como dije anteriormente, es claro
que la suma es una operación sobre los números reales, la suma usual que
conocemos, porque la suma de los números reales Siempre es un número
real. Pero en cambio, la misma suma de números reales sobre un conjunto
restringido como puede ser el intervalo cerrado 0,1 no es una operación.
¿Por qué? Porque podemos encontrar, por ejemplo, dos elementos de dicho
conjunto como por ejemplo 0,5 y 0,75 cuya suma claramente es 1,25 y no
pertenece al conjunto. Por tanto... no es una aplicación y no podemos
decir que la suma sea una operación sobre el conjunto, es decir, que no lo
es. Si pensamos en términos de matrices, que es muy importante porque las
matrices, ya sabemos que el tema del contenido del capítulo 2 y las vamos
a utilizar sobre todo en los temas del bloque temático de Algebra en esta
asignatura, bueno, en ese sentido vamos a utilizar la anotación que vamos
a definir en el capítulo 2. Bueno, pues si pensamos en términos de
matrices, tenemos, por ejemplo, en este ejemplo, que la operación producto
de matrices sobre el conjunto M de las matrices diagonales, que son
aquellas matrices que tienen elementos todo ceros menos en los elementos de
las diagonales donde pueden ser valores arbitrarios, bueno, pues sí es una
operación. ¿Por qué? Bueno, lo vemos aquí. Porque el producto de una
matriz cualquiera A por una matriz diagonal cualquiera A por otra matriz
cualquiera diagonal B, vuelve a ser aplicando la definición de producto
usual de matrices, vuelva a ser una matriz que vuelve a ser diagonal y por
tanto pertenece al conjunto. Es una aplicación y por tanto el producto
usual de matrices es una operación. Pensando en el mismo espacio podemos
encontrar otro subconjunto M y considerando la misma posible operación, la
operación producto de matrices para los que no define una operación. Si
consideramos el conjunto M de aquellas matrices que tienen necesariamente
un 0 en la entrada 2-2, es decir, que en la fila 2 y columna 2 tienen un 0,
pues se puede ver por un contraejemplo de que no es una operación. ¿Por
qué? Porque encontramos una matriz A que multiplicada por otra matriz B,
siendo las dos pertenecientes al conjunto M porque tienen un 0 en la
entrada adecuada, de hecho son la misma matriz, pues nos da otra matriz. de
aplicar el producto de matrices que no pertenece al conjunto porque en la
entrada 2, 2 tiene un 1 en vez de un 0. Entonces concluimos que la
operación producto de matrices no es una operación sobre dicho conjunto
porque en suma no es una aplicación. Antes dijimos que una estructura
algebraica es un conjunto con una o más operaciones verificando ciertas
propiedades. Ahora vamos a ver algunas de las propiedades que definen este
tipo de estructuras algebraicas. La primera es la conmutatividad, que es
una operación que tenemos una ligera noción intuitiva y lo que nos dice
la propiedad conmutativa es que no importa el orden en que consideremos a
los elementos en la operación, es decir, que A operado con B es igual a B
operado con A. Si pensamos en términos de números reales y por ejemplo la
operación producto, pues es muy claro Que A por B es igual a B por A para
cualquiera, cualesquiera A y B números reales. Y por tanto la operación
producto es una operación conmutativa considerando sobre el conjunto de
los números reales. Bueno, como consecuencia de esta propiedad podemos
demostrar que el producto usual de matrices sobre las matrices diagonales
también es conmutativa. ¿Por qué? porque si cogemos una matriz diagonal
A y la multiplicamos por una matriz diagonal B, su resultado es otra matriz
diagonal que vimos anteriormente y si consideramos el proceso inverso de
multiplicar la matriz B por una matriz A, nos vuelve a dar una matriz
diagonal y estas matrices son iguales porque todas las entradas coinciden
como consecuencia de la conmutatividad. de la operación producto sobre el
conjunto de los números reales. Por tanto, la operación producto de
matrices sobre el conjunto de las diagonales es conmutativa. Para ver un
ejemplo de operación donde no cumpla la propiedad, podemos ver un ejemplo
muy importante que veremos también en el capítulo 2, que es la operación
producto de matrices sobre el conjunto de las matrices cuadradas de orden
2. ¿Y cómo se ve que no es conmutativa? Pues a través de, como hicimos
antes, de un ejemplo. Porque podemos encontrar una matriz A, que sería la
matriz 1, 2, 0, 1, que multiplicada por otra matriz B, que sería la matriz
1, 0, 1, 1, nos da una determinada matriz A por B. Y en sentido inverso, la
matriz B por la matriz A nos da una determinada matriz B por A. Y podemos
comprobar... que como las entradas de las dos matrices no coinciden,
efectivamente son diferentes y por tanto no se verifica la propiedad
conmutativa en general del producto de matrices sobre el conjunto de las
matrices de orden 2. La segunda propiedad que vemos es la propiedad
asociativa que considera la operación de tres elementos y que como vemos
lo que nos viene a decir es que no influye el orden en que agrupemos las
operaciones. Que si operamos A con B y después lo operamos con C es lo
mismo que operar primero B con C para operarlo después con A, para
cualesquiera A, B y C del conjunto. Si volvemos a pensar en producto y
números reales la propiedad asociativa claramente se cumple porque operar
o multiplicar A por un número B y después multiplicarlo por un número C
es igual Por las reglas de cálculo que multiplicar primero B por C, vamos
a borrar aquí, que multiplicar primero B por C y después considerar el
producto con A. Y, bueno, si se cumple esto, pensar que podemos denotar de
esta manera el producto porque no influye la manera. en que anidemos la
operación. Esto es, para cualesquiera A, B y C perteneciente a R. Al igual
que anteriormente, como consecuencia de la asociatividad del producto en
números reales, se puede deducir la asociatividad del producto de matrices
sobre el conjunto de las matrices diagonales. Entonces, basta operar el
producto primero de A por B y después... multiplicar por una matriz C y
nos sale una determinada matriz que ya podemos denotar de esa manera porque
estamos teniendo en cuenta la propiedad asociativa de los números reales y
si consideramos el otro agrupamiento que sería A por el producto de B por
C, bueno pues nos sale otra matriz que por la asociatividad de los números
reales, pues son iguales y concluimos que el producto de matrices sobre las
matrices diagonales es asociativo. La tercera propiedad es el elemento
neutro. Bueno, el elemento neutro es aquel, podemos decir intuitivamente,
que no influye en la operación. Estamos pensando en el cero para los
números reales o en el uno en el 0 para la suma de números reales, quiero
decir, o en el 1 para el producto de números reales. Es decir, si sumamos
un elemento, si sumamos el 0 a un elemento nos vuelve a dar el mismo
elemento y si multiplicamos el 1 por un elemento nos vuelve a dar el mismo
elemento. Y esta es la base de la definición de elemento neutro. Que A
operado con B es igual a E operado con A igual a A, siendo E el posible
elemento neutro. Pensando en términos de matrices cuadradas de orden 2 que
es lo que estamos un poco viendo en los ejemplos, tenemos que el elemento
neutro es la llamada matriz unidad que veremos su definición en el
capítulo 2 y que no es más que la matriz diagonal con unos en la
diagonal. Bien, ¿y cómo se prueba esto? Bueno pues comprobando la
definición aplicando la definición de producto de matrices. Así tenemos
que una matriz cualquiera A A multiplicada por la matriz unidad nos vuelve
a dar la matriz A, entonces se verificaría la primera igualdad y
recíprocamente E por A vuelve a ser A. Por tanto concluimos que
efectivamente la matriz identidad es la matriz unidad. La cuarta propiedad
es el elemento inverso, que tenemos también una noción clara porque
incluso lo llamamos así si pensamos en términos de operaciones con los
números reales. Se dice que dado un elemento A, A' es su inverso si el
resultado de operarlos nos da el elemento neutro. Si pensamos en términos
de números reales y denotando como en la definición A un elemento
cualquiera y A' es su elemento inverso, El elemento inverso respecto de la
suma es su opuesto y respecto al producto el elemento inverso es lo que
denominamos inverso, que se cumple para cualquier número real A que sea
distinto de cero. Bueno, eso es importante porque en el caso de las
matrices diagonales tenemos un ejemplo de que no toda matriz diagonal no
nula admite inverso, que es una de las propiedades que es importante
verificar para ver si se cumplen determinadas estructuras algebraicas como
puede ser la de cuerpo. ¿Por qué? Porque el inverso de una matriz en caso
de existir viene dado por la matriz inversa que es uno de los, bueno que ya
tenéis cierta noción de lo que es la matriz inversa que es aquella matriz
que cumple la definición del elemento inverso respecto del producto de
matrices. Bueno pues para el caso de las matrices diagonal tiene una forma
muy sencilla que es aquella matriz cuya diagonal es el inverso de su
elemento de la diagonal. Y, bueno, eso se comprueba fácilmente viendo que
efectivamente A por A' es la matriz identidad que recordemos es el elemento
neutro respecto del producto y que en sentido inverso A' por A nos vuelve a
dar la matriz inversa. Bien, esta posible fórmula siempre es cierta cuando
tenemos... Igual que dijimos antes, tenemos que los elementos de la
diagonal son todos distintos de cero. ¿Por qué? Porque si uno es cero, la
expresión correspondiente no tendría sentido, sería 1 partido por cero.
Y esto nos da ejemplos de matrices no nulas que no tienen inversa. Y pensar
en la matriz 1, 0, 0, 0, hacerlo como ejercicio y ver que esta matriz no
tiene inversa. Es decir, no existe A'. Bien, volveremos sobre esto en el
capítulo 2. Y finalmente tenemos la propiedad distributiva que considera
dos operaciones. Una vez que ya tenemos definida la operación rombo,
definimos otra operación que denotamos por este símbolo que podemos
denominar T y decimos que T es distributiva respecto... a la operación
rombo si se cumple esta expresión, que más o menos lo que nos dice es si
podemos sacar factor común pensando en términos de suma y producto de
números reales. Y efectivamente el producto es distributivo respecto de la
suma porque se cumple esta fórmula, es decir, podemos sacar factor común
A en la fórmula y esto cualesquiera A, B y C perteneciendo a los números
reales. Es decir, el producto de números reales es distributivo. Pero si
cambiamos el sentido, es decir, queremos comprobar si la suma es
distributiva del producto, vemos que claramente no se cumple. Porque
encontramos un A, un B y un C para los que no se cumple la definición. Por
tanto, la suma no es distributiva respecto del producto de números reales.