El ejercicio 3 nos da un ejemplo de propiedad que se verifica para los
números reales pero que en cambio no se verifica para el conjunto de las
matrices cuadradas con sus operaciones análogas. En este sentido nos dan
una matriz A no nula, es decir, distinta de la matriz 0. y nos pide
encontrar otra matriz cuadrada no nula, B, tal que se verifique A por B
igual a cero. Si pensamos en términos de números reales, esto
equivaldría a decir que si A por B es igual a cero y suponemos que A es
distinto de cero, entonces si multiplicásemos ambos lados de la igualdad
por el inverso de A tendríamos que claramente B es igual a 0, es decir,
que B necesariamente es 0. En R lo que nos está diciendo el ejercicio es
que no se cumple. La clave está en que el determinante de la matriz dada
compruebe es igual a cero, porque en caso contrario, si el determinante
fuera distinto de cero, Entonces por el teorema de caracterización de la
inversa que lo tenemos en el capítulo 2 existiría inversa y podríamos
análogamente a lo que hemos hecho antes multiplicar la expresión Por la
matriz inversa. Bueno, por la asociatividad del producto de matrices. y por
la propia definición de matriz inversa, esto tendríamos que es
equivalente a I por B Igual a cero y necesariamente. b igual a cero y por
tanto no se podría encontrar una matriz en las condiciones del del
ejercicio bien siguiendo Denotamos de esta manera la matriz B, la
condición es equivalente A esta expresión, donde esta recordemos es la
matriz nula y por tanto sin más que aplicar El producto de matrices,
llegamos a una igualdad de matrices que, igualando las entradas, Nos da
cuatro ecuaciones. Con cuatro incógnitas que constituyen un sistema de
ecuaciones lineal. Bueno, es fácil comprobar que este sistema de
ecuaciones lineal es compatible indeterminado con dos parámetros. De
hecho... De la primera y la segunda, de la primera y tercera ecuación,
quiero decir, podemos obtener Que A es igual a tres medios de C y de la
segunda y la cuarta. Podemos obtener la expresión de B en términos de DD.
Por tanto, si sustituimos esta expresión En la expresión general de la
matriz B llegamos a a una expresión de la matriz B en términos de dos
parámetros en vez de cuatro. Sustituyendo Por dos valores arbitrarios
encontramos un ejemplo de matriz B y finalmente comprobamos efectivamente
que se cumple la propiedad, que A por la matriz B considerada efectivamente