Hola, soy Ana Martín, ya me conocéis todos. Voy a dar hoy una clase
sobre el tema 3 del programa de la asignatura Microeconomía, Producción y
Mercados, dedicado a la minimización de los costes. Como ya os he dicho y
no me cansaré de repetiros, que escuchéis esta clase no significa que no
debéis leer el capítulo 20 del libro Varian, ya que la clase que voy a
hacer yo es un resumen de dicho tema, pero no lo sustituye. También, como
también conocéis ya en la guía didáctica, podéis encontrar ayuda sobre
ciertas partes del tema que creo que os pueden costar más dificultad de
entender. El tema 3, la minimización de costes, lo he estructurado en seis
puntos. Empezaremos por ver cómo se modeliza, cómo podemos expresar en
términos matemáticos el comportamiento de un productor que minimiza los
costes. Veremos ejemplos en la pedígrafa número 2 sobre tecnologías
concretas. Cómo se minimizan los costes con tecnologías concretas. Luego
pasaré a explicar qué es la minimización revelada del coste. En el
epígrafe 3-4 lo voy a dedicar a explicar la relación muy interesante que
hay entre el tipo de rendimientos que presenta una función de producción
y la función de costes. Luego veremos la diferencia entre los costes a
corto plazo y a largo plazo. Y por último, en este tema podría haber un
apartado que sería... Llamé costes fijos, cuasi-fijos y costes
irrecuperables. ... que creo que corresponde con los dos últimos
epígrafes del libro, y sobre esto no os voy a hablar porque creo que es
una cosa muy sencilla y que podéis entenderla sin ningún problema con la
lectura del libro. Bueno, vamos a ver. Entonces, como su propio nombre
indica, este tema está dedicado a ver cómo podemos expresar el hecho de
que los empresarios minimicen los costes. En el tema anterior estaba
dedicado al estudio del comportamiento de las empresas que maximizan el
beneficio en mercados competitivos. Y sobre eso habíamos desarrollado toda
la forma de expresarlo. Ahora, al acabar el tema, dije que a veces en
microeconomía interesa un enfoque más indirecto, es decir, interesa
dividir este proceso de maximización de beneficios en dos fases. En una
primera fase podemos decir que la conducta de la empresa, lo que hace es
averiguar o podemos modelizar la conducta de la empresa como el proceso por
el cual se minimizan los costes de producir una determinada cantidad de
producto, por supuesto, dado los precios a los que pueden comprar los
factores de producción. Y en una segunda fase se averigua, debemos
averiguar qué cantidad de producto y maximiza el beneficio, dado, por
supuesto, el precio al que se pueden vender sus productos. Es decir, como
veis aquí lo que estamos suponiendo es lo que habíamos dicho al principio
del temario, que de momento vamos a suponer que los precios son fijos, los
precios de los factores y los precios del producto que venden las empresas.
Esto supone que estamos hablando de mercados competitivos. Vamos a dividir
ahora el proceso de decisión del empresario en dos. En vez de maximizar
los beneficios directamente teniendo como variables de decisión las
cantidades de factores productivos, vamos a dividir esto en dos fases.
Primera, que es la que vamos a tratar en este tema, es cómo podemos
averiguar cómo minimizan las empresas los costes de producir una
determinada cantidad y de producto. Por supuesto, dados unos precios de los
factores fijos. Y luego ya en la segunda fase, un par de temas más
adelante, veremos cómo el empresario, cómo podemos modelizar el
comportamiento del empresario al maximizar beneficios, al elegir la
cantidad y que maximice los beneficios. Dado el precio al que puede vender
su producto. Pues vamos allá. ¿Cómo podemos formalizar el tema de
minimizar los costes? El comportamiento del empresario. Bueno, ¿qué son
los costes? Es obvio que los costes son la suma de todos los costes de los
factores productivos que la empresa emplea en la producción de su
producto. Es decir, sea la suma de todos los productos precio por
cantidades. Es decir, vamos a suponer para... Para poder seguirlo
analíticamente bien en este nivel de dificultad de la microeconomía
intermedia, que tenemos una empresa que solamente produce un output en una
cantidad y. En una cantidad y. Esa cantidad de producto lo puede vender a
un precio fijo que hay en el mercado para ese producto al que llamamos P.
¿Cómo produce este producto? Pues lo produce a través de combinar dos
factores productivos y esto es por simplificación, el factor productivo 1
y el 2 y lo utilizará en una cantidad, el factor productivo 1 lo utiliza
en x1 cantidades y el factor productivo 2 en x2 cantidades. Es decir,
llevamos x2 a la cantidad utilizada del factor productivo 2. Esos factores
productivos 1 y 2 los tiene que comprar o tiene que pagar por ellos un
precio. A los precios les vamos a llamar w1 y w2. w1 es el precio del
factor productivo 1 y w2 el precio del factor productivo 2. Estos dos
precios son datos, son fijos para el empresario que estamos estudiando,
para la empresa que estamos estudiando. Es decir, no tiene influencia sobre
el precio al que puede comprar los factores productivos. Vale, pues dicho
esto es bastante sencillo formular en términos matemáticos el problema de
elección del productor. El productor, hemos dicho que minimizará los
costes sobre las variables de decisión, son la cantidad que utilice de x1
del bien 1 y la cantidad que utiliza del bien 2, ya que los precios de los
factores son dados, entonces minimizará los costes, es decir, minimizará
la suma del coste del factor 1, que es el precio por la cantidad que
utilice, más el coste en el factor 2, que es el precio del factor 2, por
la cantidad que utilice ese factor. ¿Pero puede minimizar los costes esta
empresa sin ninguna restricción? Pues es obvio que no, porque la empresa
no puede combinar los factores productivos como desee, no puede, sino que
tiene que ajustarse a una determinada tecnología de producción,
tecnología que viene representada, como hemos visto en el tema 1, por la
función de producción concreta. Es decir, el empresario, la empresa
minimiza los costes de producción, sujeta a la restricción de que la
cantidad de producto que quiere obtener y es el resultado de la
combinación de factores productivos según nos dice la función de
producción concreta que haya para la producción de ese bien. Aquí
señalo unas cosas. ¿Esto qué quiere decir? Bueno, pues que cuando este
proceso se hace. En la realidad, si queremos afinar mucho en el
comportamiento del productor o si somos el productor y queremos elegir bien
las cantidades de factores que debemos utilizar, tenemos que hacer una
valoración precisa de todos los factores productivos que utilizamos en
nuestro proceso de fabricación y además también ser capaces de valorar
cada uno de los factores al precio exacto, al precio relevante desde el
punto de vista económico. Es decir, tienen que ser precios de mercado,
tienen que reflejar el coste de oportunidad. Bueno, esto todo ya lo he
dicho y por lo tanto no me detengo en esto. Pues vamos allá. Este es el
problema de optimización. ¿Qué tiene que resolver? Lo que resuelve el
productor para elegir la cantidad óptima de factores que utilizo. Vale,
pues vamos a hacer la representación gráfica. Como ya habéis visto, la
microeconomía se apoya mucho en un razonamiento gráfico. Es una manera
muy sencilla de ver cómo funcionan las cosas. Tenemos aquí una función
objetivo, la función y la expresión de los costes. Bueno, pues vamos para
representarla en el eje de coordenadas x1 y x2. Lo único que tengo que
hacer es de esta forma desplazar los costes, despejar x2, que es la
variable que voy a poner en el eje de ordenadas, en función de xv. Y
obtengo simplemente restando y dividiendo, obtengo esta expresión. Esta
expresión que es, pues es la expresión de las rectas a las que llamamos
en microeconomía isocostes, y daros cuenta que esta expresión me está
diciendo todas las combinaciones de factores x1 y x2 que me permiten
obtener el mismo nivel de costes, c, por supuesto para unos precios
determinados, concretos, de los factores productivos. Repito, la recta
isocoste es la expresión algebraica de todas las combinaciones de
cantidades de factores x1 y x2 que para unos precios determinados,
concretos, de los factores productivos. Los precios de los mismos dados
permiten obtener el mismo coste. Esto simplemente, como veis, es la
expresión de una recta. Las rectas isocostes, como su propio nombre
indica, son rectas. ¿Y cómo van a ser? Son rectas, como veis aquí, esto
es matemática sencillísima. La pendiente es negativa, la pendiente es w1
partido por w2, esa es la pendiente de esta curva, de esta recta, y podemos
trazarla simplemente como es una recta calculando la ordenada en el origen
y la abscisa en el origen. ¿Cuál es la ordenada en el origen? Pues muy
sencillo, como la ordenada en el origen es el punto donde el valor de la
variable x sub 2 cuando x sub 1 es igual a 0 no tenemos más que sustituir
en la expresión de la isocoste x1 por 0 para darnos cuenta que el punto de
corte de la recta con el eje de ordenadas es exactamente c partido por w2.
Para un coste concreto como el c sub 0, el que he marcado aquí, pues será
un punto como este. ¿Cuál es la abscisa en el origen? Es decir, ¿en qué
punto corta al eje x sub 1? Muy fácil, sustituimos en la expresión de la
recta x sub 2 por 0 y calculamos que vale x sub 1. Es fácil ver que el
valor de la abscisa en el origen es c sub 0 partido por w1 para el caso del
nivel de costes c sub 0. Por lo tanto, es una recta como esta. ¿Qué
sabemos además? Que vamos a tener infinitas rectas. Vamos a tener
infinitas rectas, una para cada nivel de costes. Si yo quiero saber el
coste, las combinaciones, perdón, todas las combinaciones eficientes que
me permiten obtener la cantidad... ...que me permiten... producir una
determinada cantidad al coste C1, que es mayor que C0, que va a pasar que
la cisa en el origen se me desplaza hacia la derecha y la ordenada en el
origen hacia arriba. Por lo tanto, observaré un desplazamiento paralelo y
hacia la derecha de la recta isocoste. Por lo tanto, es facilísimo ver que
según me muevo hacia la derecha, como marca esta flecha azul, aumentará
el coste. Serán combinaciones de mayor costes para producir esa cantidad
concreta. Bueno, pues esta es la función objetivo, esta es la función que
queremos minimizar. ¿Cuál es la restricción que tiene ahora el
productor? La restricción que tiene ahora el productor no es más que
querer producir una determinada cantidad y, por lo tanto, la restricción
del problema es una determinada cantidad. El productor quiere producir y,
por lo tanto, se tendrá que situar en alguno de estos puntos de la curva
que he representado en color azul. Como quiere producir eso y estamos
suponiendo que el empresario minimiza costes, ¿en qué punto de ella se va
a situar? Pues se va a situar en un punto en el que, pase una isocoste lo
más cerca del origen, porque más cerca del origen significa menor coste.
Por lo tanto, no se va a situar, por ejemplo, en un punto como este. Si
elige las cantidades de factores correspondientes a este punto, resulta que
tiene un coste. Que, si recordáis la transparencia anterior, era C2, ¿no?
Era la... vamos a dibujarlo. Esta isocoste era la correspondiente a C2.
Pero ¿se va a situar aquí? Pues no. No se va a situar aquí porque puede
alcanzar aquí. La restricción se cumple también en este punto. Y en este
punto el nivel de costes es menor, puesto que está más cerca del origen.
Por lo tanto, si os fijáis en términos geométricos, ¿qué significa
minimizar coste? O ¿cuál es la condición de minimizar los costes sujetos
a... si queremos obtener una determinada cantidad de producto Y? Pues
gráficamente lo que significa... o lo que la condición de equilibrio se
da... o podemos encontrar el equilibrio en aquel punto donde hay una
tangencia entre la isocuanta y la recta isocoste. Porque justo en el punto
de tangencia es donde podremos alcanzar el coste será menor. Por lo tanto,
la condición de minimización de costes no es otra que la igualdad de las
pendientes. Es decir, la pendiente de la isocuanta era recordar la
relación técnica de sustitución y la pendiente de la isocoste era, como
acabamos de ver, menos W1 partido por W2. Por lo tanto, esta... es la
condición de equilibrio. La empresa se sitúa... una empresa minimizadora
de costes si quiere producir una determinada cantidad Y pues elegirá
aquellas combinaciones de factores productivos, aquellas cantidades de
factores productivos... X sub 1 estrella, X sub 2 estrellas, tales que en
ese punto la relación técnica de sustitución se iguale a menos el
cociente entre W1 y W2. Es decir, a menos el cociente del precio entre los
factores. Daros cuenta que esto es muy análogo, que os supongo que os
habrá resultado fácil de entender, porque esto es análogo a la teoría
del consumidor. En la teoría del consumidor teníamos un tema parecido, lo
que pasa es que nuestra función objetivo era la función de utilidad. Es
decir, el consumidor maximiza su nivel de utilidad, por lo tanto lo que se
mueve son las curvas, son las distintas curvas de utilidad. Tendremos que
elegir la que esté más alejada del origen y en este caso a isocoste se
parece mucho a la restricción presupuestaria. Pero aquí en el tema... En
el tema del productor, eso, la recta es lo que permanece fijo. Perdón, en
el caso del consumidor lo que permanece, la restricción es la recta
presupuestaria. Es decir, está condicionado a poderse gastar como mucho
una determinada cantidad. Es decir, repito, en el tema del consumidor
tenemos una curva que se mueve y tenemos que maximizar. Y por lo tanto
elegiremos el punto más alejado del origen y en la minimización de
costes, en el tema de elección del productor, lo que tenemos fijo es una
isocuanta, es decir, es la curva porque la empresa pretende producir una
determinada cantidad y lo que se mueve... Son las rectas, las rectas
isocoste, y elegiremos en este caso la que esté más cerca del origen
porque implica una menor cuantía de costes. Vale. Pues dicho esto, vamos a
ver cómo se resuelve analíticamente o algebraicamente este problema. El
libro de Varian, que es un libro a mi gusto excelente, a veces yo creo que
adolece un poco de formulación matemática. Formulación matemática que
vosotros conocéis si habéis llegado hasta tercero y que además es
necesaria para poder avanzar y poder abordar el estudio de la
microeconomía avanzada que tenéis en cuarto. Entonces voy a resumir aquí
cómo se resuelve algebraicamente el problema, también el problema de
minimización de costes. Como veréis en el examen se pide que sepáis
resolver este tipo de problemas y es francamente sencillo. Si yo quiero
minimizar una función, como es este caso, sujeto a una determinada
condición, lo puedo resolver por varios métodos. Pero el que vamos a
utilizar aquí más, el que yo os aconsejo es utilizar el método de la
función auxiliar de Lagrange. La función auxiliar de Lagrange se
construye simplemente o se define simplemente como la suma de la función
objetivo, nuestra función objetivo son los costes, menos un multiplicador.
Un multiplicador al que llamo lambda por la restricción, la restricción
es simplemente menos la función de producción, menos el nivel que yo
quiera obtener. Esa es la restricción del problema. ¿Cómo se resuelve
matemáticamente este problema? Pues recordad que en este problema hay tres
condiciones de primer orden, que es que las derivadas parciales del
lagrangiano respecto a cada uno de los argumentos de la misma sea cero. Es
decir, que la derivada del lagrangiano respecto a x sub 1 sea cero, que la
derivada del lagrangiano respecto a x sub 2 sea cero y que la derivada del
lagrangiano respecto al multiplicador sea cero. Esto es muy sencillo y los
ejemplos que tendréis que resolver, los problemas concretos que tenéis
que resolver, serán con funciones bastante sencillas. Vamos a ver cuál es
el caso de este problema general. Voy a borrar aquí y empiezo. Derivada
del lagrangiano respecto a x sub 1. Pues vamos viendo por partes. Este
término. ¿Cuál es la derivada de x sub 1? w sub 1 es una constante por
la derivada de x sub 1 respecto a x sub 1. La derivada de x sub 1 es 1. Por
lo tanto, tenemos aquí una primera parte de esa derivada que es w1. De
este término, ¿cuál es la derivada respecto a x sub 1? Es cero. Aquí no
hay ningún x sub 1. No hay nada que dependa aquí de x sub 1. Por lo
tanto, su derivada es cero. Y vamos a ver aquí qué hay. La derivada de
esto respecto a x sub 1 es cero. Que es lambda, que es un parámetro
constante. Por la derivada de la función de producción respecto al
factor, a la cantidad x sub 1. ¿Qué es esto? Recordad, veis que esto es
exactamente la productividad, la definición de la productividad marginal
del factor de producción 1. Esta derivada tiene que ser igual a cero. Lo
mismo con la derivada respecto al factor 2. Daros cuenta que es
facilísimo. La derivada, vamos a coger otro color, de esta primera parte
es cero respecto a x sub 2. La derivada de esta segunda parte es
simplemente w2, porque la derivada de x sub 2 es 1. ¿Y qué tenemos? Aquí
tenemos un término muy parecido a lo anterior. La derivada de esto
respecto a x sub 2, que es lambda, menos lambda el parámetro, por la
derivada de la función de producción respecto a x sub 2. Que esto es
exactamente la definición de la productividad marginal o producto medio
del factor de producción 2. La última condición de primer orden es que
la derivada de Lagrangiano respecto al multiplicador sea cero. Y esto es
muy fácil, la derivada de esta función, de la función de Lagrange
respecto al multiplicador es exactamente lo que hay entre paréntesis, o lo
que es lo mismo, la restricción. Vale, pues ¿cómo operamos aquí para
resolver el problema? Pues siempre se suele hacer lo siguiente, cojo la
primera condición de primer orden cojo lambda, muy sencillo, simplemente
paso para el otro lado uno de los miembros y luego despejo. Tengo esta
expresión, despejo de esta ecuación el lambda y me da una expresión muy
parecida, que es la 2, la que nombro aquí 2. Luego, daros cuenta que si
lambda es igual a lo que estoy diciendo aquí y lambda es igual a lo que
estoy diciendo aquí, esto no quiere decir otra cosa que estas dos
expresiones son iguales. Esto es lo que pongo aquí. Y aquí, simplemente
ordenando según me convenga, llego a la condición de equilibrio, a la
condición que he llegado antes, observando el gráfico, la resolución
gráfica del problema. Daros cuenta que, esto no es más, reordenando,
llego a la condición de equilibrio que es la siguiente. La elección
óptima de factores, x1 estrella, de la cantidad óptima de factores, x1
estrella y x2 estrella, será aquella tal que la relación marginal, la
relación de sustitución técnica, perdón, de entre x1 y x2 sea... ...cae
igual a menos el cociente de los precios de los factores. ¿De acuerdo?
Bueno, pues esto como veis, de matemáticas es francamente fácil de
resolver e insisto, necesitáis saberlo para superar la asignatura. ¿Qué
más se dice de este tema? Pues se dice en el libro algo bastante rápido y
que quiero pararme un poco a explicaros. De esta condición de
equilibrio... ...y luego os lo voy a hacer para un caso concreto de una
función de producción, se deriva, de aquí sale algebraicamente dos
funciones, se obtienen dos funciones que son... Las funciones que se llaman
funciones de demanda acondicionadas de los factores. Es decir, a partir de
la condición de equilibrio podéis ver que yo puedo derivar
algebraicamente dos funciones que son la función de demanda acondicionada
del factor 1 y la función de demanda acondicionada del factor 2. Que son
funciones que nos están diciendo la cantidad demandada óptima, por
ejemplo en el caso 1, del factor de producción 1 de un empresario que
minimiza costes para obtener, si quiere obtener la cantidad de producto y y
dadas los precios de factores vigentes que sean W1 y W2. Repito, a partir
de la condición de equilibrio del problema de minimización de costes es
posible derivar o obtener unas funciones de demanda que se llaman demanda
acondicionadas de los factores. O funciones derivadas de los factores que
nos informan sobre la cantidad óptima demandada por parte del empresario
de cada uno de los factores y cantidad óptima en el sentido de que
minimizan los costes para cada combinación existente posible de precios,
perdón, de precios de los factores y cantidad de output que el empresario
quiera producir. ¿De acuerdo? Esto es importante. Luego veréis cómo esto
se utiliza mucho. En el desarrollo de todo lo posterior. Bueno, pues
tenemos más cosas, lo más instrumental analítico, porque daros cuenta
que nuestra función objetivo era la que pongo aquí. Los costes. Pero, y
esto al final lo que va a ser es un número, son cantidades demandadas y
precios. Pero, si yo aquí sustituyo en la expresión de los costes,
sustituyo las cantidades de los factores X1 y X2 por sus demandas
condicionadas, es decir, sobre las funciones de demanda condicionada de los
factores, obtengo, simplemente sustituyo y desarrollo y voy a obtener una
función que se llama microeconomía función de costes. Que me informa
sobre los costes mínimos necesarios para producir una determinada cantidad
y si los precios de los factores son W1 y W2. ¿De acuerdo? Es decir, del
problema de elección de minimización de costes se puede derivar unas
funciones de demanda condicionada o funciones de demanda derivada que
llevan información, que nos informan sobre la demanda. Y sustituyendo
estas funciones de demanda en la expresión de los costes, derivo o es
posible derivar una función de costes, que es una función de costes
microeconómicas, que me informa sobre los costes mínimos necesarios en
los que va a incurrir la empresa para producir una determinada cantidad y
si los precios de los factores que necesita son W1 y W2. ¿De acuerdo? Es
importante, insisto. Me podéis decir, pero bueno, tú nos estás hablando
aquí de unas funciones de demanda y recuerdo que en el tema 2 del problema
de maximización de beneficios también salían unas funciones de demanda.
¿Y qué son lo mismo? ¿Tienen que coincidir? Pues os respondo. Me
pregunto yo sola y os respondo yo sola. Lo que obtenemos ahora son demandas
a las que he llamado condicionadas. Son demandas que nos dicen la cantidad
óptima de factores, o sea, la cantidad de factores que minimizan los
costes de producir una determinada cantidad y a un precio de los factores
dados. Las funciones de demanda sin apellido, que no llamábamos
condicionadas, de los factores que habíamos visto en el capítulo
anterior, nos informan. Las cantidades sobre las cantidades de factores que
maximizan los beneficios para cualquier combinación de precios, tanto de
los factores de producción como de la U. Daros cuenta cuál es la
diferencia entre estas dos cosas. La diferencia, y no es trivial, son los
argumentos de esta función. ¿Veis que los argumentos de las funciones?
Las cantidades de demanda condicionadas son, además de los precios de los
factores, es, perdón, el nivel de producción. Es decir, vemos relaciones
entre cantidades demandadas y nivel de producción, mientras que en las
funciones de demanda que habíamos calculado en el tema anterior son
relaciones entre precios y... y cantidades óptimas demandadas de factor.
¿De acuerdo? Bueno, pues para que veáis esto como se plasma, ya que lo
acabo de decir de una manera muy general, voy a detenerme unos minutos en
ver cómo podemos formular el tema de la elección del consumidor en el
caso de tecnologías concretas. En el tema 1 habíamos tratado tres
tecnologías, la Cobdaglas, la de proporciones fijas y la de sustitutivos.
Vamos a empezar por la Cobdaglas, que es la que tiene más complicación
porque el desarrollo algebraico os puede asustar en un principio, pero es
sencilla. Para que en el apéndice de este tema en concreto creo que se
desarrolla, todo esto que voy a hacer yo ahora para un caso más general.
Yo aquí, para que veáis, para que os vayáis familiarizando con ello, voy
a suponer un caso particular de una Cobdaglas, que es el caso en el que
todos los parámetros valen 1. Y la función de producción que estoy aquí
imponiendo como restricción es esta, x1 por x2 es igual a y, que esto es
una Cobdaglas, simplemente suponiendo que el parámetro a, que recordar a
mayúscula que medía la escala, es igual a 1 y que los coeficientes a los
que estaban elevados los factores a y b son 1, para ser más sencilla las
operaciones, no por otra cosa. Vamos a ver, yo puedo entonces... Puedo
modelizar el comportamiento del productor como esto, minimización de los
costes sujeta a esta función de producción concreta. Me construyo mi
función auxiliar de Lagrange, como os he dicho antes, muy sencillo, y
calculo las tres condiciones de primer orden, que son las derivadas de esta
función auxiliar respecto a cada uno de los argumentos de la misma, deben
ser igual a cero. La primera condición de primer orden, por más sencillo
todavía que antes, porque es muy sencilla la función de producción. Esta
primera parte, la derivada respecto a x sub 1 es w1 menos lambda por x sub
2. La derivada de x sub 1. x sub 1 por x sub 2 respecto a x sub 1 es x sub
2, igual a cero. La segunda condición de primer orden, derivo esta
expresión respecto a x sub 2, muy sencilla también, w2 menos lambda veces
x sub 1, porque la derivada de x sub 1 por x sub 2 respecto a x sub 2 es
simplemente x sub 1. ¿De acuerdo? Y luego tenemos la tercera condición de
primer orden que simplemente es la restricción. Vale. Pues cojo las dos
primeras y las igualo. En la primera lo que he hecho ha sido de aquí a
aquí, como he hecho antes, despejar lambda. Y en la segunda igual de aquí
a aquí, despejar lambda. Si lambda es igual a lo que me dice 1 y lambda es
igual a lo que me dice 2, utilizo... Eso para decir que el cociente entre v
sub 1 y x sub 2 tiene que ser igual al cociente de v sub 2 entre x sub 1.
No queda otra. Por lo tanto, operando aquí según me conviene, aquí nada.
Paso el x sub 1 multiplicando a la izquierda y el x sub 2 multiplicando a
la derecha. Despejo x sub 2 y obtengo x sub 2 en función de x sub 1. En
concreto es exactamente esta expresión de aquí. ¿Qué hago ahora para
continuar con el problema, con este resultado? Pues esto utilizo la tercera
condición de primer orden que hasta ahora no he utilizado. Sustituyo en la
tercera condición de primer orden x sub 2 por el valor que debe cumplir
según las restricciones 1 y 2. Entonces, veis aquí, sencillamente lo que
hago. Pues sustituirlo, el x sub 2 por el resultado que acabo de obtener.
Despejo convenientemente y quiero obtener una función y puedo obtener x
sub 1 como función de algo. ¿Como función de qué? Como función de la
cantidad producida y de los precios de los factores. El otro y el mismo.
¿Qué es esto? Pues esto es una función y esto es una función que no es
más que lo que os acabo de explicar. Esto que acabamos de obtener aquí,
¿qué es esto? Es la función de demanda condicionada del factor
productivo 1. Si la tecnología es del tipo Cobb-Douglas y de este caso
particular donde los parámetros es igual a 1, veis que obtengo una
función. Con esta función obtengo información sobre la cantidad óptima
que debe elegir la empresa de factor productivo 1 para que se minimice los
costes si quiere producir la cantidad y la que sea. Y si los factores
valen, el coste unitario de los mismos es W1 y W2. Esto es una función de
cantidades óptimas. ¿Veis cómo lo he derivado? ¿Cómo derivo la del X2?
Como esta es la demanda óptima no tengo más que irme. Esto es resolver un
sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Me voy a la expresión de
X2, sustituyo por la demanda. La demanda óptima, la demanda condicionada
que acabo de obtener y obtengo otra función. Esta es la función de
demanda condicionada o demanda derivada del factor 2 que me informa sobre
las cantidades óptimas de factor de producción 2 que debe elegir la
empresa para producir y si los precios de los factores son W1, W2. Que
tiene esta forma funcional concreta por ser una Cobb-Douglas. ¿Cómo
utilizarla? Si tengo entonces la función de costes microeconómica, pues
como os he dicho antes en la introducción del tema, ¿qué hago ahora?
Pues en esta expresión de los costes sustituyo X1 y X2 por las funciones
de demanda condicionada. Sustituyo esto por lo que acabo de obtener. Veis
que es muy fácil. Opero y llego a una forma funcional concreta. En este
caso, esta. Y puedo expresar, resulta que aquí obtengo una función, que
es una función de costes, cuyos argumentos son I, W1 y W2. Es la función
de costes totales o costes microeconómicos. Y me informa sobre los costes
mínimos en los que va a incurrir el empresario para producir la cantidad
de producto. Y si los precios de los factores son, toman unos valores
concretos, W1 y W2. Esta función es lo que se llama función de costes
totales, función microeconómica. Y daos cuenta que es muy importante
porque, implícitamente, lo que resume es el comportamiento optimizador o
minimizador del productor. Ha salido del problema de resolución de
minimizar los costes sujeto al largo... ...de la restricción tecnológica,
o sea, que lleva información sobre su proceso de decisión y, además, y
por lo tanto, sobre las restricciones tecnológicas a las que se enfrenta
el empresario. ¿De acuerdo? Luego, si lo repasáis, veréis que
algebraicamente es muy sencillo. Bueno, vamos a ver ahora cómo se
minimizarán costes o cómo nos sale esa función de costes.
microeconómicas en el caso de las otras dos tecnologías concretas que
hemos visto en el tema 1 son casos extremos y por lo tanto la resolución
vamos a hacerla gráfica porque el problema con estas funciones es que no
son diferenciables, entonces no podemos calcular la solución de esta misma
manera, pero recordad que pasaba con la tecnología que llamábamos de
proporciones fijas también llamada de Lentier esa tecnología la
expresamos matemáticamente con esta función es decir, y es el mínimo
entre x sub 1 y x sub 2 daos cuenta que aquí también he puesto un caso
particular porque el caso general de la tecnología de proporciones fijas
es el mínimo de ax sub 1 y coma o b y bx sub 2 aquí estoy haciendo un
caso concreto para representarlo gráficamente con valores concretos
recordad que esa tecnología lo que resultaba como representación gráfica
eran isocuantas angulares en forma de L ¿por qué? porque los factores
solo se podían combinar en una determinada proporción en una proporción
fija y entonces si una vez que si tenemos perdón que me estoy liando es
decir, los factores solamente se pueden combinar En una proporción fija.
Si añadimos más unidades de cualquiera de los factores productivos, vamos
a producir exactamente lo mismo. No conseguimos aumentar el nivel de
producción. Por lo tanto, esa es la explicación por la que tenían esta
forma angular. Supongo que lo recordáis. Vale. Vale. Bueno, pues entonces,
daros cuenta que con esta tecnología, si nosotros queremos producir, por
ejemplo, el empresario quiere producir I es igual a 2, o una cantidad 2 de
producto, ¿qué cantidad va a tener necesariamente que utilizar? Va a
tener que utilizar como mínimo dos unidades de factor 1 y dos unidades de
factor 2. Necesita dos unidades de factor 1. Vale. Para producir dos
unidades de output y dos unidades de factor productivo 2 para producir esa
cantidad. Por lo tanto, si veis gráficamente, en la recta isocoste lo que
hará es situarse, con la representación gráfica del problema de
elección del productor, se va a situar en ese punto angular porque es
donde más abajo se puede ir, más cerca del origen se puede situar. Vale.
Por lo tanto, si nosotros queremos producir dos unidades o, en el caso
general, queremos producir I unidades, no queda más remedio que utilizar I
unidades del factor productivo 1 e I unidades del factor productivo 2. Como
minimiza, como el empresario minimiza costes, va a utilizar exactamente...
Esas dos cantidades y no más, no derrocha recursos. Por lo tanto, la
función de costes microeconómica, en el caso de que la tecnología de la
que disponga la empresa para producir su producto sea de proporciones
fijas, será exactamente o tendrá exactamente esta forma funcional.
¿Vale? Pasamos ahora al segundo caso extremo de tecnología, que era la
tecnología de producir con factores de producción que sean sustitutivos
perfectos. Recordar que que sean sustitutivos perfectos quería decir que
yo puedo utilizar indistintamente el factor productivo 1 o el factor
productivo 2. Para producir una misma cantidad de factor productivo,
perdón, una misma cantidad de output. En concreto, matemáticamente, la
función de producción de sustitutivos perfectos tenía esta forma
funcional, x sub 1 más x sub 2. Y la representación gráfica de esta
función de producción era como la línea azul. Esta es una de las
isocuantas. La isocuanta correspondiente al nivel de producción y.
Entonces, ¿qué veis aquí? Pues vemos aquí que si el empresario tiene
que minimizar los costes, es decir, situarse en la recta isocoste más
cercana al origen. Para minimizar sus costes de producción, sujeto a que
quiere producir una determinada cantidad, ¿dónde se va a situar? Pues
daros cuenta que es fácil ver, jugar a mover las rectas y cambiar la
pendiente de las mismas y veréis que el resultado siempre es el mismo, que
es que siempre se va a situar sobre uno de los extremos. Siempre va a
situarse aquí, se va a situar en este punto que he marcado aquí o se va a
situar en este otro. Entonces, ¿cuál va a elegir dónde se va a situar?
¿En este punto o en este? Pues se va a situar en este punto o en este, de
que dependerá de esa decisión, de cuál sea el factor productivo más
barato. El factor productivo, si el factor productivo más barato es el...
El 1 se va a situar aquí, si el más barato es el 2, como pongo aquí, se
va a situar en este punto y por lo tanto la función de costes
microeconómica, bueno estas C deberían ser minúsculas, que es
exactamente, pues será o podemos expresarlo, tendrá esta forma funcional,
la función de costes microeconómica será el mínimo entre estos dos
productos, los costes, el coste de producir. La cantidad, perdón, la
cantidad Y utilizando sólo X1 o el coste de producir, la cantidad Y
utilizando sólo el factor de producción 2. ¿De acuerdo? Pero vamos, como
norma general lo que vais a encontrar o lo que en muchos problemas os
encontraréis serán formas funcionales concretas sencillas y normalmente
derivables y por lo tanto, pero debéis saber también qué pasa en los
casos extremos. Bueno, pues vamos con el tercer apartado. El tercer
apartado se refiere a lo que se llama la minimización revelada del coste.
Y esto supongo que ahora resultará fácil de entender porque es muy
parecido, es parecido a lo que vimos en el tema anterior con la
maximización revelada del beneficio. El tema es, nosotros estamos buscando
utilidades de la microeconomía, ¿no? Y utilidades de suponer que el
empresario se comporta de una u otra manera, ¿vale? En este tema estamos
suponiendo que el empresario minimiza costes de producir una determinada
cantidad de producción, ¿vale? Entonces, vamos a suponer que yo observo
que una empresa lanza al mercado y decide producir una determinada cantidad
de I. Vale, yo solamente observo eso. Pues, ¿qué puedo derivar yo? ¿Qué
conclusiones puedo derivar de esa observación? Pues, puedo derivar,
obviamente, si el empresario se comporta como estamos suponiendo que se
comporta en microeconomía. Pues, suponemos primero que esa combinación de
factores es técnicamente posible, es viable para producir la cantidad que
produce, porque si no, no podría producir. Y segundo, y cosa importante,
es que sabemos que si produce utilizando esa combinación de factores, esa
cantidad determinada de output, es porque esa es la menos costosa de
cualquier otra de las que fueran viables en ese momento. Entonces vamos a
derivar el axioma débil de la minimización del coste. Supongamos que yo
observo que una empresa produce I y lo observo en dos momentos, produce la
misma cantidad de output I, y lo observo en dos momentos de tiempo
distintos, a los que llamaré año S y año T. Esos años, ¿por qué
cambian o cuál es la diferencia entre S y T? Pues la diferencia entre S y
T son los precios y el nivel de precios. En el año T hay unos determinados
precios del producto hidrofágico. Actores, le pongo un superíndice T para
distinguirlos. Y en el año S hay unos precios de output de factores
concretos a los que denoto, a los que denomino, a los cuales le pongo el
superíndice S para diferenciarlos. Lo que estoy diciendo es que yo observo
su decisión y entonces yo habré observado dos combinaciones. Yo observo
que en el año T elige producir... Una determinada cantidad, I en negrita,
utilizando unas cantidades de factores, X1 super T y X2 super T. ¿Qué
observo en el año S? Pues estoy suponiendo que observo producir la misma
cantidad de factores, la misma cantidad de producto... y la observo
produciendo la misma cantidad de producto utilizando unas cantidades de
factores x sub 1 y aquí se me ha pasado, esto es un x sub 2, super ese.
Pues sabiendo esto, ¿qué puedo establecer? Puedo establecer dos
desigualdades que se tienen que cumplir a la fuerza. La primera es esta,
que quiere decir que esto veis que no es más que si elige en el año t la
combinación a la que denoto con el superíndice t esto es porque es la
menos costosa posible, es decir, los costes de utilizar las cantidades de
factores super t a los precios que rigen ese año de los factores es al
menos menor, es decir, es menor o igual que lo que me hubieran costado las
cantidades de factores de x sub 1. Utilizadas en el otro periodo concreto,
que sé que son viables sé que son viables porque las he elegido después
entonces esa otra combinación de factores viables vemos que es más
costosa, si no la he elegido es porque es más costosa por lo tanto,
obligatoriamente se tiene que cumplir esta primera desigualdad. ¿Cuál es
la segunda conclusión que puedo derivar de la observación? Pues parecido
a lo de antes, si en ese, en el año S elige las combinaciones super S es
porque el coste de esa combinación es menor o igual que el coste, por
ejemplo, de haber utilizado las cantidades x sub 1 super t o x sub 2 super
t cuando los precios que rigen son los del año ese. ¿De acuerdo? Pues
esto es el axioma débil, el cumplimiento de estas dos desigualdades es lo
que se llama en microeconomía el axioma débil de la minimización del
coste. Esto es importante y esto siempre se cumple, y esto nos da
información sobre muchas cosas o sobre bastantes cosas. Por ejemplo, sirve
para hacer estática comparativa. Aquí voy a ir un poco más deprisa
porque esto es lo mismo, es muy parecido a lo que expliqué en el tema
anterior. Sirve para hacer estática comparativa porque operando con estas
dos restricciones, operando de una manera muy sencilla, ¿qué puedo
llegar? Puedo llegar a esta nueva desigualdad. Esta nueva desigualdad lo
que me va a decir es la relación que tienen que guardar las variaciones de
los precios Y de las cantidades utilizadas de los factores, qué relación
hay entre ellas obligatoriamente para que se mantenga constante el nivel de
producción. Es decir, yo puedo ver qué pasa, cómo tiene que variar la
cantidad que utilizo de un factor si hay una perturbación externa. Por
ejemplo, si me bajan el precio o si me suben el precio de uno de los
factores, pues esto, el axioma, o se deriva del axioma débil de
minimización del coste, una relación entre los precios y el nivel de
producción. Una relación, una regla que deben guardar las variaciones de
todos estos componentes, de los cuatro componentes. Lo vemos con el factor
de producción 1. Por ejemplo, vamos a suponer que varía el factor 1 y el
2 se mantiene constante. Pues si varía el precio del factor 1, ¿qué va a
pasar? Pues lo que pasa es que si el del 2 permanece constante, este
término se me hace 0. Y por lo tanto tenemos esta relación que
inequívocamente vamos a observar o va a ocurrir. ¿Qué quiere decir esto?
Pues daos cuenta que esto no quiere decir nada más que las variaciones de
los precios y las variaciones de las cantidades del factor 1 demandadas por
parte del empresario deben guardar o guardan una relación inversa. Es
decir, que si el del 2 permanece constante, este término se mantiene
constante. Y si aumenta el precio del factor de producción 1, el
empresario disminuirá la cantidad que demande del factor 1. Porque esta
desigualdad se tiene que cumplir. El producto de las dos cosas tiene que
ser menor o igual que 0. Por lo tanto, uno de ellos tiene que ser o menor o
igual que 0. Es decir, como mucho puede mantenerse constante. Si aumenta el
precio del factor de producción, pero lo normal es que disminuya. De la
misma manera, en forma contraria, si lo que observamos es la perturbación
es una disminución del precio del factor 1, el empresario se va a ajustar
aumentando o como un poco manteniendo constante. sea el nivel demandado de
la cantidad demandada de factor de producción 1. Por lo tanto, con todo
esto, de todo esto que se deriva, sin hacer más cuentas ni más desarrollo
analítico, que la función de demanda condicionada a un factor, las
cantidades demandadas óptimas de un factor, la función de demanda
condicionada de cada uno de los factores, debe tener obligatoriamente
pendiente negativa. O, como mucho, como poco, nula. Pero nunca, nunca puede
tener una pendiente positiva. No permitimos aquí el caso de que al
aumentar el precio de un factor, la cantidad demandada de un factor
aumente. Es decir, no estamos contemplando, no existe en la teoría de
producción lo que en consumo, en la teoría del consumidor llamábamos
bienes Giffen, ¿no? Que ahí sí tenía sentido. Vale. Pues todavía
queda... Ah, bastante, estoy viendo que estoy tardando más de lo que
creía que iba a tardar. Entonces voy a cortar aquí la grabación y luego
pasaré a explicar más despacio y con cuidado en otra clase los epígrafes
que quedan, que son los rendimientos, la relación entre el tipo de
rendimientos a escala y las funciones de costes, y el corto y el largo
plazo. ¿De acuerdo? Pues paro aquí la grabación para no hacer una cosa
demasiado larga. Gracias por vuestra atención.