Bueno, voy a dedicar un rato a explicar lo que me quedaba por explicar del
tema 3. Antes he cortado la grabación porque creía que llevaba ya una
hora hablando y debía parar. En el tema 3 hemos visto ya hasta ahora los
tres primeros epígrafes, es decir, os he explicado cómo podemos expresar
de una manera matemática el problema de decisión del productor en cuanto
a minimizar sus costes. Hemos visto que de ahí salen unas funciones de
demanda óptima, a partir de ahí una función de costes microeconómica,
que es lo realmente relevante. En el apartado 2 hemos visto este problema
para tecnologías concretas, hemos visto qué pasa, cómo funciona todo
esto, si la función de producción es una Codaglas, si la función de
producción es de proporciones fijas o si los factores productivos son
sustitutivos. Y también he dedicado el final, la última parte de la
clase, a explicar en qué consiste la minimización revelada del coste. Por
lo tanto, ahora quedan dos temas, dos temas importantes. En primer lugar,
ver... ver cómo varían las funciones de costes dependiendo del tipo de
rendimiento, esa escala que presenta la tecnología. Y luego hacer una
distinción entre los costes a largo y a corto plazo. El último epígrafe
que había puesto aquí, ya os he dicho antes que no lo voy a explicar, es
lo que hay en este tema del libro, en el capítulo del libro. Sobre esto es
una cosa muy sencilla que simplemente con leerla vale. Y además, luego
hablaré sobre esto. Y lo he hablado bastante en el próximo tema, en el
tema 4. Este epígrafe lo había llamado costes fijos, cuasi fijos y costes
irrecuperables. Pero bueno, vamos ahora a centrarnos en lo importante, que
es ahora... ahora toca ver el tipo de relación que hay entre los
rendimientos a escala y la función de costes. Y voy a borrar esto que
está marcado. Vale. Bueno. Como os dije en el tema anterior, el tema de la
escala de producción es un tema fundamental en la decisión de una
empresa. Además, hemos visto que los rendimientos a escala es una de las
características de la tecnología. Es decir, una determinada tecnología,
o por decirlo de otra manera, una determinada función de producción,
puede presentar tres tipos de rendimientos a escala. Constantes, crecientes
y decrecientes. Recordar que los rendimientos a escala... Simplemente es
una medida de cómo varía el output cuando todos los factores productivos
varían en la misma proporción. Si cuando todos los factores productivos
varían en una proporción, observamos que el output aumenta, varía en esa
misma proporción, diremos que los rendimientos son constantes a escala. Si
cuando aumentamos todas las cantidades de factores en una misma
proporción, el output aumenta. Si el output aumenta en una proporción
mayor, estamos en este caso, que es el caso de rendimientos crecientes de
escala. Y si observamos por el contrario que lo que ocurre cuando aumentan
los factores, la cantidad de factores productivos utilizados en una misma
proporción, vemos que el output aumenta en menor proporción, entonces
diremos que la tecnología presenta rendimientos decrecientes a escala.
¿Qué implicaciones tiene esto sobre las funciones de costes? O, dicho de
otra manera... ¿Cómo podemos reflejar esto en una función de costes?
¿Se refleja? Bueno, vamos a intentar dar respuesta a esta pregunta.
Varian, en el libro yo creo que está explicado bastante bien y voy un poco
a reproducir su esquema de razonamiento. Vamos a suponer, vamos a ver qué
pasa si yo quiero producir, una empresa quiere producir una unidad de
producto. Bueno, pues por lo que ya sabemos, deberíamos resolver este
problema. Minimización, minimizar los costes de producir, ¿de producir
qué? Una unidad de producto, como a través de la tecnología que
disponemos. No lo podemos hacer de otra manera, es decir, sujeto a la
condición de que f, la función de producción, utilizando las cantidades
que decidamos, de factores productivos, x1 y x2, tienen que ser igual a 1.
Recordar que hemos dicho y hemos visto con bastante detalle que a partir de
aquí se calcula el equilibrio del... De este productor minimizador de
costes, se pueden calcular unas funciones de demanda óptimas, demanda
condicionada óptimas, y introduciendo estas funciones de demanda óptimas
en la función objetivo de este problema, obtenemos una función de gran
utilidad que es la función de costes, que serían los costes mínimos
necesarios para producir la cantidad y a los precios de los factores dados
en ese momento. Vale, como aquí lo que quiero producir no es la cantidad
y, sino la cantidad 1, pues aquí de todo esto yo podría derivar una
función a la que puedo llamar de coste unitario, que es el coste mínimo
en el que debo incurrir para producir una cantidad de output siendo los
precios de los factores w1 y w2. Vale, pues ahora la pregunta es la
siguiente, si en vez de producir una cantidad, una unidad de producto,
quiero producir y unidades de producto. ¿Qué me pasa con los costes? ¿En
qué costes incurriríamos? Pues daros cuenta, o ya podéis intuir que
depende del tipo de rendimientos que presente la tecnología. Si la
tecnología presenta rendimientos constantes de escala, ¿qué va a pasar?
Que para producir y unidades del bien, tendremos que utilizar y unidades de
los factores productivos. Es decir, y repito porque... Me he explicado un
poco mal. Si cuando hay rendimientos a escala significa que al aumentar en
una misma proporción los factores productivos el output aumenta en la
misma proporción, pues daros cuenta aquí que si queremos pasar de
producir una unidad de producto a y unidades de producto, sabemos que al
aumentar en la proporción y la cantidad de factores productivos, el
producto se me va a aumentar en esa misma proporción. Es decir, 1 por y.
En vez de producir 1, puedo producir y. Es decir, si yo quiero duplicar la
producción, no me queda más remedio que duplicar la cantidad de factores
productivos. Cantidad de factores productivos y cantidad de producto van en
la misma proporción. Por lo tanto, ¿de esto qué puedo derivar? De esto
puedo derivar que la función de costes totales de producir y unidades de
producto, dados los precios... Es exactamente igual a y veces la función
de coste unitario, porque mi coste se me multiplica, proporcionalmente
aumenta, proporcionalmente a como ha aumentado la producción. Es decir,
básicamente lo que quiero decir es que aquí hay una dirección directa y
proporcional. ¿Pasa lo mismo si hay rendimientos crecientes a escala o si
hay rendimientos decrecientes a escala? ¿Pasa lo mismo que con
rendimientos constantes? Pues obviamente la respuesta es no. ¿Por qué?
Pues no pasa lo mismo porque si tenemos rendimientos crecientes de escala,
esto quiere decir que si yo aumento en una misma proporción las cantidades
de factores productivos, es decir, si yo aumento la proporción y, resulta
que el output se me va a multiplicar, me va a crecer en mayor proporción.
Es decir, me aumenta más que y. Si yo duplico los factores productivos, el
output se me... Que duplica. Por lo tanto, para conseguir el nivel de
producción y yo no tendré que utilizar y veces esas cantidades de
factores productivos, sino que con menos lo consigo. Por lo tanto, la
función de costes totales para producir y unidades de producto es menor
que y veces la función de coste unitario. ¿Por qué? Porque los costes
mínimos... Los costes mínimos necesarios de producir una unidad. ¿Vale?
Porque necesito menos que y veces de factores productivos para aumentar y
veces el output. Es decir, con esto lo que quiero decir, lo que tienes que
tener claro es que los costes aumentan menos que proporcionalmente. Vale.
¿Qué pasa cuando los rendimientos son decrecientes? Si los rendimientos
son decrecientes a la escala... Pues pasa justo lo contrario. Es decir, que
si yo aumento en una determinada proporción todos los factores
productivos, el output aumenta en menor proporción. Por lo tanto,
necesitaré más cantidad de factores productivos. No sé... Los costes van
a aumentar, por lo tanto, más que proporcionalmente porque con y unidades
de factores productivos no obtengo y unidades de producto. ¿Vale? Vale.
Con más cantidad de factores productivos. Por lo tanto, los costes
mínimos de producir y unidades de producto son mayores que y veces los
costes de producir una unidad de producto. Si la tecnología presenta
rendimientos decrecientes a escala. Esto que hemos hecho ahora os lo he
justificado sobre la función de costes mínimos, que también creo que ya
he dicho que se llama función de costes totales. Son los costes
mínimos... Los costes mínimos totales necesarios para producir y unidades
de producto. Pero es muy interesante ver también y sobre todo, que lo
volveré a repetir luego en el siguiente tema, qué relación tiene eso con
los costes medios de producción. La función de costes medios, como
veréis, es una función o una herramienta microeconómica muy potente y
simplemente es el coste por unidad producida. O sea, es el resultado de
dividir los costes totales, los costes mínimos necesarios para producir...
Y unidades entre y. Es decir, nos dan una medida del coste por unidad
producida. Vale. Pues vamos a ver las siguientes relaciones. Antes hemos
visto que los costes totales de producir y, si los rendimientos son
crecientes, son exactamente igual. Hay veces los costes mínimos necesarios
para producir una unidad de output. Vale. Pues yo simplemente voy a ver
qué pasa con los costes medios. De producir y cuando los precios de los
factores son los que sean, si la tecnología presenta rendimientos
constantes a escala. Ver que esta es la definición de costes medios. Lo
único que hago es sustituir en el numerador lo que ya sé, porque lo acabo
de explicar. Que el coste total de producir unidades es proporcional al
coste de producir una unidad. Y por lo tanto esto se me cumple con estricta
igualdad. Y entonces lo que esto me confirma, si yo aquí, voy a quitar la
flecha, vemos que tenemos una y en el numerador, pero también en el
denominador, por lo tanto desaparece, se convierte en uno. Y por lo tanto
lo que podemos ver es que los costes medios son siempre de producir y
unidades de producto son iguales a los costes unitarios de producción, es
decir, a los costes mínimos de producir unidad. Una unidad de producto.
Por lo tanto, esto quiere decir que los costes medios son constantes, sea
cual sea el nivel de producción. Siempre es igual, siempre tomarán un
valor igual a los costes de producir una unidad. Los costes medios, eh,
daos cuenta, los costes medios son igual a los costes unitarios, no a los
costes totales. Vale, si los rendimientos son crecientes de escala, resulta
que ya no se cumple lo que poníamos aquí. Esto no existe. Es igual,
recordar que, o sea, os acabo de justificar que los costes de producir y
unidades son menores que los costes totales de producir una unidad
multiplicado por y. Vale, porque necesitamos menos cantidad de factor,
recordar, ¿no? Vale, entonces ahora simplemente si sustituimos, hacemos la
misma sustitución que hemos hecho arriba, teniendo en cuenta esta
igualdad, ahora esto no se cumple. Este paso de aquí se cumple con este.
Es decir, los costes medios de producir y unidades de producto resulta que
son menores que los costes de producir una unidad de producto. Y esto, los
costes mínimos necesarios de producir una unidad de producto, y además
eso es así para todo y. Por lo tanto, ¿qué quiere decir esto? Esto
quiere decir, o esto implica que los costes medios son decrecientes. Es
decir, que a medida que aumenta el nivel de producción, me cuesta menos
producir cada una de las unidades adicionales, cada una de las unidades
siguientes. ¿De acuerdo? Si hay rendimientos decrecientes a escala,
recordar que lo que se cumple es esto, que el coste total de producir y
unidades es más de y veces el coste mínimo necesario para producir una
unidad. Por lo tanto, simplemente... Aquí vuelvo a tener en cuenta esto.
Tengo en cuenta ahora esto para decir, para llegar a esta conclusión. Para
llegar a la conclusión de que los costes medios de producir y unidades son
mayores que los costes de producir una unidad. Y esto es así para todo y.
Por lo tanto, lo que sé es que los costes medios son crecientes con el
volumen de producción. Es lo que me está diciendo. No me está dando la
simple definición de costes medios y teniendo en cuenta lo que habíamos
dicho antes. ¿Vale? Esto lo vamos a ver luego con detalle en el tema 4. Y
además vais a ver que gráficamente también podemos verlo de una manera
bastante sencilla. Bueno, entonces, ¿qué más decir respecto a los
rendimientos a escala? Es decir, que recordar que una misma función de
producción o una misma tecnología... No tiene que tener a lo largo de
todo su recorrido o para todo y, para todo nivel de output, el mismo tipo
de rendimientos. Es más, que lo más usual o lo más general es
encontrarnos con tecnologías que primero tienen rendimientos crecientes a
escala. Luego tienen un tramo de rendimientos constantes y luego
decrecientes. Por lo tanto, si esto es así, ¿qué va a pasar? Que la
función de costes medios, que como digo, ya veremos con detalle en el tema
4. Va a tener también distintos tramos. Distintos tramos según los
rendimientos sean crecientes, constantes o decrecientes. ¿Vale? Entonces
suele tener un primer tramo decreciente, la función de costes medios,
luego constante y luego un tramo donde la función de costes medios es
creciente. Primero decreciente, constante y creciente. Pero bueno, esto ya
lo veremos con detalle en el tema 4. Pero sí quiero que ya os quede en la
mente, ¿no? Que una función de producción y por lo tanto una función de
costes y por lo tanto una función de coste medio no tiene que tener
siempre el mismo tipo de rendimientos a escala a lo largo de todo su rango.
Yo diría para todo y... ¿Vale? Bueno. Pues ahora un pequeño salto. Si
estuviera delante de vosotros haría... Voy a hacer una pausa justo aquí.
Porque a partir de ahora vamos como a cambiar un poco el lenguaje. O vamos
a dar un paso más en la abstracción o en la simplificación de las cosas
que vamos a estudiar. A partir de ahora y durante unos cuantos temas vamos
a centrar la atención solo en la relación que hay entre los costes y el
nivel de producción. ¿Vale? Es decir, hemos llegado... En la explicación
de este tema a demostrar la existencia de una función muy relevante en la
que está dentro incluida o nos da información sobre la decisión óptima
de la empresa y sobre su tecnología ya que es una restricción a la que se
tiene que someter. Ya habíamos visto que es función del output, del nivel
de output que queramos obtener y del precio de los factores productivos.
Pues ahora vamos a simplificar y vamos a decir... ¿Vale? Eh... Pero como
quiero ir más allá, voy a olvidarme que depende de los precios de los
factores y voy a hacer solo, voy a hablar de ella solo como si dependiera
solo del output. Esto es más o menos como suponer que estamos suponiendo
que el precio de los factores es fijo. Y esto desde el punto de vista que
estamos estudiando mercados competitivos no está mal, no nos molesta
demasiado hacer este supuesto. Esto es fundamental. Porque nos sirve para
que el desarrollo analítico que voy a llevar a partir de ahora en los
siguientes temas sea mucho más sencillo. ¿Vale? Pero recordad, esto no es
un acto de fe, esto no es una cosa que se deba cumplir, simplemente es una
simplificación para el análisis matemático y analítico. Esto es una
cosa que solemos hacer bastante, ¿no? Y siempre que uno sea consciente de
lo que estamos suponiendo, para simplificar, es lícito y además valioso
porque sabemos que si estamos en situaciones donde los precios de los
factores es lógico o es razonable suponer que son fijos o bastante fijos,
las cosas se van a cumplir con bastante precisión. No arrastramos toda la
función, insisto, simplemente para no complicar las expresiones
matemáticas y todo el desarrollo algebraico. ¿Vale? Pues, quedaros en la
cabeza con eso, que a partir de ahora, cuando yo esté hablando de una
función, una función de costes, o cuando el libro habla de esta función
de costes que depende de Y, no es una función nueva, sino simplemente es
la función de costes microeconómicas, costes mínimos necesarios para
producir la cantidad Y. Y en ella lleva encerrada el comportamiento
optimizador del productor y las restricciones tecnológicas. ¿Vale? Y ya
sabemos que depende también del precio de los factores productivos, pero
de momento nos vamos a olvidar. ¿Vale? Venga. Bueno, pues entonces,
haciendo esta simplificación, vamos a hablar un poco del corto y largo
plazo, ¿no? Ya hemos hablado en los temas anteriores y vamos a hablar un
poco aquí, ¿no? Hasta ahora, ¿a qué os está sonando todo lo que acabo
de contar? Ahora, aquí, cuando he expresado el problema de minimización,
¿cuáles eran mis variables de decisión? Mis variables de decisión
eran... X1 y X2. Es decir, yo podía variar todos los factores, todas las
cantidades de factores productivos según me conviniera. Bueno, yo no, el
productor. Por lo tanto, ¿qué estamos suponiendo? Que el tipo de
análisis que he hecho hasta ahora, aunque no lo he dicho, es, como es
obvio, un análisis del largo plazo. Es decir, yo estaba suponiendo que
todos los factores de producción eran variables porque me ajustaba,
ajustaba las cantidades de X1 y X2 a mí. ¿Vale? Esto simplemente es el
largo plazo. Todos los factores son... Todos los factores son variables.
Vale, y voy aquí ahora leyendo la transparencia, que aquí hay un pequeño
error, que es el siguiente. Esto es largo. Esto, aquí, debería parecer
largo. Vaya, no creo que sea capaz de esto. O sea, esto... Es el largo
plazo. Es decir, hasta ahora, lo que hemos visto, insisto en lo que os he
contado hasta ahora sin deciroslo, era la función de costes a largo plazo,
porque yo ajustaba todos los factores productivos. No había ninguno fijo.
¿Vale? Vale. Me quedo un poco parada porque estoy intentando leer esto y
me doy cuenta que... Digo aquí, funciones a corto plazo del coste mínimo
necesario para conseguir un determinado nivel de producción ajustando
todos los factores variables. Todos los factores variables más fijos. Esto
está dicho un poco impreciso, porque lo que quiero decir es que en el
largo plazo no hay ningún factor fijo. Todos los que fueran fijos en el
corto plazo aquí, en el largo plazo estamos suponiendo que los podemos
ajustar. ¿De acuerdo? Entonces, hasta ahora lo que he hecho es el largo
plazo. Vale. Pero ¿qué pasa? Sabemos por el tema anterior que hay
determinados factores de producción que no los puedo ajustar, que no puedo
decidir en cada momento qué cantidad de factor productivo. Normalmente era
el... el 2, el factor productivo 2, el que suponía que era fijo, ¿no?
Entonces, ¿pasa algo esto? ¿Cambia algo el análisis? Pues hombre, no
cambia la forma de analizarlo pero no... no llego a las mismas conclusiones
como es obvio. Es decir, yo ahora quiero buscar cuál es el coste mínimo
necesario, una función que me indique el coste mínimo necesario para
conseguir un determinado nivel de producción pero ajustando sólo los
variables. ¿Por qué los factores variables? Porque los factores fijos,
por definición, no los puedo tocar en el corto plazo. ¿Vale? Bueno, pues
entonces, ¿qué tenemos que hacer? Pues es muy sencillo y no tenemos más
que hacer que razonar con el mismo esquema que en el caso anterior. Yo voy
a minimizar la función de costes. Vale. La función de costes es esta.
Pero ahora tenemos un factor que es fijo. Veo que aquí también falta un
subíndice. Es decir, mi variable de decisión es x1. Yo no puedo tocar x2,
la cantidad de x2, sólo la de x1. Sabiendo eso, yo minimizaré los costes
de producción decidiendo sólo sobre la cantidad de factor 1 que puedo
elegir y sujeto a qué quiero producir y unidades de producto y que lo
puedo hacer utilizando las cantidades que yo desee de x1. Y veo aquí
también que falta una barra, la cantidad fija que yo dispongo del factor
productivo x2. ¿Vale? Si yo hiciera esto, no es más que repetir el mismo
razonamiento que ya hemos visto hasta ahora. Podría hacer la función
auxiliar de Lagrange, construiría las condiciones de primer orden y, por
lo tanto, a partir de aquí se me salen exactamente unas funciones del
mismo tipo que el caso anterior, como no podía ser de otra manera. Es
decir, me van a salir unas funciones de demanda de factores. Una, la del
factor variable, que va a ser función de la cantidad de la output que
quiero producir como antes, de los precios de los factores productivos
exactamente como antes, pero aquí hay un nuevo argumento que es depende
también de la cantidad que tenga del factor fijo, del factor de
producción que no pueda mover en el corto plazo. Es decir, lo que ha
aparecido aquí simplemente es un argumento adicional en la función de
demanda condicionada. Os pongo aquí esto porque a lo mejor os habéis
preguntado qué quiere decir ese superíndice S que aparece en el libro.
Pero cuando habla de las funciones de demanda a corto plazo y simplemente
es una traducción del inglés short term, en inglés es corto plazo y por
eso pone el superíndice S. ¿Podemos obtener una función de demanda del
factor 2? Pues no, más que nada no es que no va a ser una función, es una
identidad. Yo no puedo demandar lo que quiera, no puedo demandar una
cantidad u otra. Tengo la cantidad X2 barra, la tengo y la tengo que pagar.
Por lo tanto, no tengo ningún poder de decisión sobre la cantidad del
factor productivo 2. ¿Vale? Pues nosotros aquí si quisiéramos nos
preguntaran sobre una función que calculásemos la función de costes a
corto plazo de un caso concreto no tendríamos más que hacer, utilizar
estas funciones que acabamos de calcular para sustituirlas en la expresión
de los costes. Sustituyo en la expresión de los costes X1 y X2 barra por
sus demandas condicionadas. La de X1 es esta y la de X2 como os acabo de
decir es fija. Y por lo tanto, ¿qué va a pasar? Pues va a pasar que voy a
obtener algo como esto. Voy a obtener una función que me informa sobre el
coste mínimo necesario para producir y unidades de producto. Perdonad,
pero ¿me hago un lío con las flechas y con las rayas para marcar?
Impresionante, vamos a ver con las rayas si marco mejor. Mientras hablo,
claro. Haciendo esta sustitución, como iba diciendo, voy a obtener una
función, una función matemática que me va a informar sobre el coste
mínimo necesario para producir y unidades de producto dados los precios de
los factores W1 y W2 y dada una determinada cantidad fija que tengamos del
factor productivo que es fijo. Es donde tendrá una forma funcional, la que
sea, dependiendo de la función de producción por la que podamos
representar la tecnología. Vale, ¿y esto qué pongo aquí en rojo? Digo,
pero ¿no estabas diciendo, Ana, que íbamos a suponer que los precios, el
coste unitario de los factores productivos está dado y no lo vamos a tener
en cuenta? Pues efectivamente. Pero os he querido poner la expresión
anterior para insistiros en que esto no desaparece por arte de magia. Es
decir, esta función de costes a corto plazo por supuesto que depende de
los precios de los factores productivos. Pero yo voy a suponer que no. O
voy a simplificar esta expresión haciendo desaparecer esto como argumento
de la función y por lo tanto veréis que en el libro está expresada una
función de costes totales a corto plazo como función no sólo de I sino
también de la cantidad de factor productivo que es fijo. No puede ser de
otra manera. El coste mínimo necesario para producir a corto plazo la
cantidad I depende de la cantidad de factor fijo que tengamos. ¿De
acuerdo? Vale, esto os he puesto aquí abajo la función de costes a largo
plazo que es la que habíamos visto hasta ahora que la calculábamos igual
sustituyendo la expresión de costes las cantidades de factores por las
demandas óptimas y obteníamos una función cuyos argumentos eran I y el
precio de los factores y lo que os he dicho es que a partir de ahora vamos
a suponer que no dependen de los precios o vamos a tapar ese efecto y voy a
tener en cuenta sólo o quiero ver la relación entre nivel de producción
y coste mínimo de producirlo. ¿De acuerdo? Esto es simplemente, esto es
lo que quedaba a ver de la parte del tema, de los contenidos lo que queda
no tiene ninguna dificultad para entenderlo a solas y como al final de cada
clase deciros que recordar que con esto sólo no vale, con escuchar esta
clase debéis leeros el capítulo 20 del Variant donde está este tema
atención con el apéndice en el apéndice desarrolla analíticamente el
caso de una función de producción como Douglas más general hacerlo os
entrenará para los problemas que son importantes podéis estudiar, podéis
intentar hacer luego una vez que hayáis leído aparte de ver esta clase
haber leído el capítulo hacer las preguntas test de la guía didáctica a
ver si sois capaces de contestarlas si lo sois es que habéis entendido el
tema y luego una vez entendida la teoría empezaros poneros a practicar con
problemas porque cuando uno ve un problema con una función concreta se
suelen entender mejor las cosas una función con numeritos y no una
función general como la que hemos tratado aquí a lo largo de casi todo el
tema f después de los problemas del libro o quizá a la vez aquí el orden
es irrelevante también los problemas que hay en la guía didáctica el
problema tipo que no me acuerdo yo si en este tema hay uno o dos es
importante que lo hagáis porque así practicáis y luego siempre tenéis
en una segunda vuelta al estudio siempre podéis practicar con los
exámenes de años anteriores yo por lo único que no recomiendo practicar
desde el principio con exámenes de años anteriores es porque no sabéis
exactamente de qué pregunta o sea de qué tema es cada una de las
preguntas y entonces por lo tanto pensáis que podéis contestarlo todo y
no es decir yo creo que deberíais ver intentar hacer exámenes de años
anteriores una vez que hayáis visto al menos una vez todo el temario pero
bueno nada más y nada espero que esto os sirva para ayudaros en el estudio
gracias