¡Hola! Ya sabéis todos que soy Ana Martín. Voy a dedicar una hora más
o menos a explicar el tema 4, o lo importante del tema 4, las curvas de
costes de la asignatura Microeconomía, Producción y Mercados. Recordar
que esto no quiere decir que no debáis leer en profundidad el capítulo
del libro de texto, que es el Varian, es el capítulo 21, y ya sabéis que
tenéis la guía didáctica para ayudaros en el estudio aclarándoos y
haciéndoos comentarios a algunas de las afirmaciones que hay en el libro.
No sé si os he dicho alguna vez que por supuesto que podéis descargaros
las transparencias de las diapositivas que yo paso. En este caso, tenéis
una barra de herramientas y hay una carpeta y supongo que sabéis que ahí
os podéis descargar la presentación. Bueno, pues vamos a empezar con este
tema. La minimización de costes es un tema un poco largo, es muy visual y
lo voy a contar de una manera un pelín distinta al libro. Voy a, en
algunos sitios, detenerme más. Voy a hablar primero de los costes totales,
variables y fijos. Luego veremos las funciones de costes médicos. Luego
las de medios, luego las de marginales. Veremos qué relación se tiene que
cumplir inequívocamente entre los costes medios y los costes marginales y
entre los costes marginales y los costes variables. Luego ya pasaré a
hablar del largo plazo. Veremos cómo funcionan las funciones de costes en
el largo plazo. Bueno, como introducción, ¿qué es lo que vamos a hacer
en este tema? ¿O qué es lo que hace Varian en este tema? Bueno, pues
seguimos trabajando con el aspecto. Vamos a empezar con el asunto de cómo
se comporta una empresa que minimiza costes. Pero ahora vamos a utilizar un
potente instrumento geométrico, que son las curvas de costes. ¿Para qué?
Pues para, entre otras cosas, poder representar gráficamente el problema y
ver cómo, utilizando este instrumental, el de las funciones de costes,
podemos determinar niveles de producción óptimo. Esto ya lo veremos más
adelante. Pero veremos que las funciones de costes son una herramienta
microeconómica muy potente. Sobre todo a nivel geométrico, entre otras
cosas. Bueno, ¿qué tenéis que tener claro hasta ahora para entender este
tema? Pues tenéis que tener claro de qué es lo que estamos hablando con
funciones de costes. Es decir, recordar que nosotros en el capítulo
anterior, en el tema anterior, hemos visto cómo podemos expresar el
problema de elección del consumidor como un problema de minimización de
los costes de producción sujeto a su restricción tecnológica, que es la
función de producción. Recordar que de ahí, de resolver este problema de
optimización, sale una condición de equilibrio, o una o varias, o sea,
sale una condición de equilibrio, perdonad, y una en el corto plazo,
perdón, y dos tantos como inputs. No habrá tantas condiciones necesarias
como variables sobre las que podamos decidir. En el caso que os desarrollé
en el tema anterior, veíamos que solamente... Había dos factores
productivos, el x1 y el x2. A partir de, como decía, de esas condiciones
de equilibrio, se derivaban, y lo habíamos hecho para algún caso,
funciones de demandas condicionadas, que son las que tenía en esta forma.
La demanda óptima del factor de producción 1 va a depender, es una
función que depende de los precios relativos y del nivel... De los
precios, perdón, de los factores productivos y del nivel de output que el
empresario quiera producir. ¿Vale? Recordad que estas funciones, por lo
tanto, están reflejando cantidades demandadas óptimas. Óptimas en el
sentido de que minimizan costes de producir determinadas cantidades de
output. Utilizando estas funciones de demanda y sustituyéndolo en lo que
es la expresión de los costes, acordaros que llegamos a una función como
esta, que es sobre la que vamos a tratar ahora en este tema. Esta función
es la función de costes microeconómica, función de costes totales, y nos
informa de los costes mínimos de producir la cantidad y si los precios de
los factores son W1 y W2. ¿Vale? Y recordad también que al final del tema
os dije que a partir de ahora vamos a suponer que los precios de los
factores son fijos, que no tenemos control sobre ellos y por lo tanto vamos
a suponer que son fijos. Y vamos a expresar entonces esa función. La
función de costes como dependiente sólo del output. Es decir, esta
función C de I nos dice los costes totales mínimos necesarios para
producir la cantidad I dada la tecnología, por supuesto, de la que dispone
el empresario. E insisto, esto es solamente un supuesto simplificador, no
es otra cosa, no es magia ni nada parecido. Bueno, pues vamos ahora a
entrar en el tema de lleno y vamos a ver estos costes que hay dentro de esa
función de costes. Bueno, pues si recordáis cuando hablé de la
tecnología en el tema 1 hablábamos de dos tipos de factores. Los factores
que son fijos en el corto plazo, es decir, que yo tengo una cantidad de un
factor productivo y no la puedo ajustar. Tengo que usar esa cantidad y por
lo tanto pagar por ella. Los costes, el pago por esos costes fijos son
independientes de la cantidad que yo produzca. Me da igual si produzco 0, 1
o 1000. Voy a tener, si tengo un factor fijo, en una determinación. En una
determinada cantidad tendré que incurrir unos costes de cuantía, lo que
valga el factor fijo, el coste unitario del factor fijo por esa cantidad
que tengo fija. Bueno, pues a eso que se llaman los costes fijos, lo
denota, varían como F. Llamo F a esa parte de los costes que son fijos y
que no puedo variar. Recordad luego que en contraposición con los factores
fijos tenemos los factores variables que están disponibles. En la cantidad
que quiera el empresario en el corto plazo, es decir, los puede ajustar,
puede ajustar la cantidad de factor variable instantáneamente, en el
momento en el que desee. El coste de este factor, del factor variable va a
depender de la cantidad, porque como yo puedo variar la cantidad, su coste
dependerá de la cantidad. Esa parte del coste que es variable, que son
correspondiente a los factores variables y que yo puedo variar en el corto
plazo, se llama F. Por lo tanto, con esto hemos llegado a una primera
expresión o desarrollo de la función de costes que sabemos que es, o por
conveniencia lo expreso como la suma de una función de costes variables
que dependen de la cantidad que yo quiera producir y una cantidad fija a la
que llamo F. Vale, pues es muy interesante saber cómo puedo dibujar o
cómo va a ser estas funciones de costes. La forma de la función de costes
totales, hemos visto que es la suma de una función de costes variables y
de un valor fijo. Es muy fácil representar esta parte, este segundo
componente del coste total, es simplemente una línea. Hemos dicho que los
costes fijos son independientes del nivel de producción, tienen el nivel
que sea, el nivel F, y por lo tanto es una línea como la que he pintado en
naranja en este gráfico, de valor F. O sea, esto aquí, esto vale F. Vale,
entonces, ¿cómo será la función de costes variables y por lo tanto la
función de costes totales? Pues mira, es muy fácil darse cuenta que va a
depender del tipo de rendimientos que presente la tecnología. Vamos a
empezar con los rendimientos crecientes. Yo creo que ya lo he dicho unas
cuantas veces, que rendimientos crecientes a escala significa que si yo
aumento proporcionalmente, por ejemplo, la proporción T, la cantidad que
utilizo de los dos, o de todos los factores productivos a la vez, el output
me va a aumentar más que proporcionalmente. Es decir, lo que voy a obtener
de output es más de T veces I. Por lo tanto, ¿qué pasa cuando hay
rendimientos crecientes? Pues que es fácil ver, lo expliqué en el tema
anterior, el output en una determinada proporción, los costes totales
aumentan, pero en menor proporción de lo que ha aumentado el output. Por
lo tanto, nosotros vamos a tener una representación de los costes
variables como la que he hecho yo en este gráfico azul clarita. Es decir,
la pendiente, veis que la pendiente es decreciente. Cada vez crece el coste
variable, pero en menor proporción, cada vez menos. ¿Cómo es la...
¿Cómo puedo dibujar la función de costes totales? Pues como es la suma,
lo único que tengo que sumar son estas dos funciones. Y si sumo la
función azul clarita, la de costes variables, y la función de costes
fijos, la naranja, voy a obtener una representación de la curva de costes
totales como la que hay aquí en azul marino. Es creciente y es cóncava
respecto al origen. Aquí os he puesto un ejemplo numérico que muchas
veces, con los ejemplos que os he puesto, con los ejemplos numéricos se
entienden mejor las cosas. ¿Veis por ejemplo un ejemplo de esta
tecnología que pudiera dar una tecnología con rendimientos crecientes a
escala que pudiera dar un gráfico parecido a este tipo? Sería la que
pongo aquí, la función de costes totales si fuera i elevado a 1 medio
más 5. Daros cuenta que cuál es el coste variable, la parte que depende
de la cantidad que produzca, es decir, i elevado a 1 medio. ¿Cuál es el
coste fijo? El coste fijo es 5. Porque independientemente de la cantidad
que yo quiera producir, tengo que gastar 5 unidades. ¿De acuerdo? Vamos a
ver qué pasa con los rendimientos decrecientes. Cuando había rendimientos
decrecientes a escala, significaba que al aumentar la cantidad de factores
productivos en una determinada proporción, observábamos aumentos del
output, pero de menor proporción. Es decir, el output aumenta menos que
proporcionalmente de lo que he tenido que aumentar la cantidad de factores
productivos. Por lo tanto, esto no quiere decir otra cosa, o esto implica
que si aumenta el output en una determinada proporción, los costes totales
van a aumentar, por supuesto, pero además en mayor proporción de lo que
ha aumentado el output. ¿Vale? Entonces, ¿qué tenemos? Pues tenemos una
representación, como veis en el gráfico, en el caso de rendimientos
decrecientes a escala, los costes fijos son exactamente los mismos, es una
cantidad fija, una línea horizontal de valor F. Los costes variables es la
línea azul clarito y aumentan cada vez en mayor proporción según
aumentó el output. Según aumentó el output en una proporción
determinada, los costes aumentan en mayor proporción, por lo tanto tendrá
esta forma, es creciente pero convexa respecto al origen, respecto al eje
de abscisas, perdón, y con la diferencia entre el valor de la cantidad de
factores productivos ¿Cómo es la función de costes totales? Pues
simplemente la suma entre estas dos funciones, por lo tanto será paralela
a la función azul clarita, pero desplazada hacia la derecha en la cuantía
de los costes fijos. Ejemplo numérico, por ejemplo una función que
presenta rendimientos decrecientes a escala sería esta, i cuadrado más 5.
¿Cuáles son los costes variables? Los costes variables son aquellos
costes de los factores fijos que por lo tanto dependen de la cantidad que
quiera producir, por lo tanto los costes variables son i cuadrado, la
función de costes variables son i cuadrado, ¿y cuáles son los costes
fijos? Pues igual que antes, los costes fijos son 5. Vale, ¿qué pasaría
si tenemos la tecnología a presentar rendimientos constantes a escala?
Pues yo creo que ya os lo podéis imaginar cómo sería la representación
gráfica. Si cuando hay rendimientos constantes a escala, cuando incremento
los factores productivos en una determinada proporción, el output aumenta
en la misma proporción y o lo que esto implica que cuando aumenta el
output en una determinada proporción, los costes aumentan exactamente en
esa misma proporción, ¿qué va a pasar? Pues va a pasar que yo me voy a
encontrar con una función de costes variables que es exactamente esta. Va
a tener este aspecto, por ejemplo, va a ser así, una línea recta. ¿Por
qué? Porque cuando aumenta el output en una determinada proporción,
aumentan los costes totales en esa misma proporción. Por lo tanto, tendrá
una representación gráfica como esta. Los costes totales, pues hacemos la
misma operación que antes, sumar a esta función de costes variables esta
otra función, que es un valor fijo. Por lo tanto, voy a tener una
representación parecida a esta que hay aquí, en azul oscuro. ¿De
acuerdo? Un ejemplo numérico de una función de costes que represente una
tecnología que tenga rendimientos constantes a escala sería esta, i más
5, los costes variables es i y los costes fijos son 5, igual que antes.
Vale. ¿Qué ocurre entonces en la realidad? ¿O qué ocurre de una manera
más general? Pues lo que ocurre de una manera más general o para
generalizar es que, como ya os he dicho varias veces, la tecnología
presenta para ciertos volúmenes de producción rendimientos crecientes,
para otros constantes y para otros decrecientes. Es decir, por regla
general yo me voy a encontrar con funciones de costes como las que pongo en
este gráfico. La función de costes fijos siempre es fija, por definición
siempre va a ser una línea horizontal y la función de costes variables va
a tener esta forma. Va a tener un tramo, este primero, donde hay
rendimientos crecientes a escala, luego nos encontraremos una parte donde
hay rendimientos constantes y luego un tramo ascendente donde se presentan
o que es el reflejo de que aquí hay rendimientos decrecientes a escala.
¿Cómo es la función de costes totales? Pues simplemente la suma de las
dos y por lo tanto la función de costes general que me voy a encontrar es
como la que está aquí en azul oscuro. Vale, bueno, pues ahora nos
interesa saber o derivar otra función muy importante a nivel
microeconómico y además muy importante para la representación gráfica
del problema de decisión del productor. ¿Qué es la función de coste
medio, de coste unitario? Simplemente, esa función lo que mide es el coste
por unidad de producto. Es decir, no es otra cosa más que la división de
la función de costes entre el nivel del output. ¿Qué hago aquí para
desarrollarlo? Sustituyo la función de costes totales por lo que hemos
visto antes, la suma de costes variables más costes fijos y lo divido
entre i. Esto es la expresión del coste medio y si yo desarrollo este
cociente resulta que aquí tengo un primer término que son los costes
variables entre la cantidad de producción. A esto le llamamos los costes
variables medios y aquí hay una segunda parte que son los costes fijos f
entre i y esa parte se llama, esos son los costes fijos medios y aquí veo
que hay una rata obviamente como son fijos no dependen del nivel de
producción. F entre i, lo que pasa es que al cociente de f entre i le
llamo, o le llama el libro, costes fijos medios. Perdón, perdón que me he
equivocado. Claro que depende del nivel de producción. Lo que no depende
son los costes fijos, F pero los costes fijos medios sí porque simplemente
es esta función, F entre i esta función por supuesto que depende de i. Si
los costes fijos medios dependen de i. Vale, voy a representar estas
funciones. Igual daros cuenta ahora mismo que como esto la función de
costes es de una manera u otra dependiendo del tipo de rendimientos esta
función, la función de costes variables medios también lo va a ser.
Vamos a ver cómo es la función de costes variables medios. Represento
aquí en el gráfico de la izquierda una función de costes variables para
el caso de rendimientos crecientes. Tiene este aspecto, es cóncava
respecto al eje de abscisas. ¿Qué es el coste medio? El coste medio
simplemente es el coste por ejemplo de A el coste variable de producir la
cantidad i sub a es C super a partido por i sub a es simplemente el coste
de producir esa unidad dividida entre esa cantidad producida. Sería C sub
a entre i sub a Ver gráficamente es muy fácil ver lo que es eso eso
simplemente sería la pendiente del rayo vector que pasa por el origen que
se inicia en el origen y que llega hasta el punto A es decir, es muy fácil
visualmente ver cuál es el coste variable medio porque es la pendiente de
este ángulo que he marcado rojo repito, es la pendiente del rayo vector
que parte del origen y va hasta ese punto entonces veis que en el punto A o
para niveles de producción i sub a el coste variable medio es esto es la
pendiente de este rayo vector que es C entre A ¿De acuerdo? ¿Cuál es el
coste medio? El coste variable medio en un punto como el B es decir, si yo
quiero producir la cantidad i sub a B pues igual trazo el rayo vector miro
el ángulo y entonces ya sé cuál es el coste variable medio ¿Cómo es?
Visualmente, con esto del rayo vector os he querido enseñar una manera de
verlo gráficamente cómo es la pendiente del rayo vector que pasa por A
respecto a la que pasa por B pues claramente es mayor en A es decir, aquí
viendo gráficamente esto y haciendo este truquillo se puede ver cómo de A
a B el coste variable disminuye el coste variable medio disminuye por lo
tanto, si traslado aquí pongo en este gráfico de la derecha pretendo
pintar los costes variables sé que el punto A tendrá un determinado coste
el que sea, marco este punto pero sé que el coste variable medio de
producir la cantidad i sub B es menor porque es la pendiente de un rayo
vector que tiene este ángulo por lo tanto va a estar por abajo ¿Cómo de
abajo? No lo sé pero sé que siempre va a estar por debajo si seguís
traciando rayo vectores veis viendo que cada vez desciende la pendiente de
ese rayo vector por lo tanto nos vamos a encontrar que cuando hay
rendimientos crecientes la función de costes variables medios tiene esta
forma es decir, es una función decreciente con el volumen de producción
vale, esto por lo que respecta a los costes variables medios ¿Cómo son
los costes fijos medios? pues es muy fácil darse cuenta que esta función
los costes fijos medios que no es más que un número fijo entre i tiene
más o menos esta forma que he puesto aquí para la curva naranjita es
decir, son decrecientes continuamente decrecientes por lo tanto ¿cómo es
la forma de la función de costes medios? pues la función de costes medios
será la suma de la función azul marino y la función rosa y por lo tanto
ineludiblemente tendrá una forma parecida a la que os he dibujado ahí en
rojo es decir, la función de costes medios cuando los rendimientos son
crecientes es siempre decreciente respecto al nivel del output ¿De
acuerdo? Podéis seguir aquí o podéis ver aquí cómo podríamos calcular
algebraicamente o matemáticamente cómo son las funciones de costes
medios, costes variables medios y costes fijos medios para el caso del
ejemplo que os he puesto cuando hemos empezado a hablar de los costes
recordar esta es nuestra función de costes ¿Cómo calculo la función de
costes medios? dividiendo esta función por i si yo divido esta función
por i es muy fácil ver que el resultado es este ¿Cuáles son los costes
variables? recordad que era la parte que es variable que depende del nivel
del output por lo tanto ¿cuáles son los costes variables medios? no tengo
más que dividir esta función por i para calcular la función de costes
variables medios aquí la tenemos y ¿cuál es la función de costes fijos
medios? en este caso no es más que 5 partido por i siempre es un número
la cuantía de los costes fijos entre i Caso de rendimientos decrecientes a
escala voy un poco más rápido mi pregunta es ¿cómo van a ser los costes
variables medios? los costes variables medios es muy fácil verlo por lo
que os he dicho del rayo vector si la función de costes variables sé que
tiene esta forma es cóncava respecto al eje de abscisas yo trazo el rayo
vector en dos puntos y veo donde la pendiente del ángulo es mayor aquí
veis que pasa lo contrario la pendiente del rayo vector marcado en rojo es
menor que la pendiente del rayo vector marcado en verde por lo tanto yo voy
a observar si aquí trazo como la relación entre los costes medios o
costes variables medios y la cantidad del output veo que según aumenta el
output me va a aumentar el coste por unidad producida de acuerdo, es decir
voy a encontrar una relación creciente vale pero estos son los costes
variables medios daros cuenta que no he dibujado aquí nada más vamos a
hacerlo ahora como son los costes variables los costes fijos medios los
costes fijos medios aquí son igual que antes los costes fijos es un
número fijo entre i por lo tanto la función de costes fijos medios va a
tener una forma como esta estos son los costes fijos medios igual que antes
corto pedo hay que escribir con esto pero bueno vale costes fijos medios y
por lo tanto como va a ser la función de costes medios en el caso de
rendimientos decrecientes pues ahora tengo que sumar estas dos curvas y que
sale de sumar estas dos curvas pues de sumar estas dos curvas más o menos
sale siempre esto es decir es básicamente creciente la curva de costes
medios cuando hay rendimientos decrecientes pero puede tener un primer
tramo como este que sea decreciente porque para las primeras unidades de
producto las primeras los costes fijos son altos y son decrecientes de
acuerdo pero básicamente nos encontraremos con funciones de costes medios
crecientes con un ligerito tramo de rendimientos de decreciente perdón al
inicio para pequeñas cantidades de output vale podéis aquí ver o
intentar hacer esto es muy sencillo en el ejemplo anterior simplemente he
visto cuál sería la expresión algebraica de la función concreta de
costes medios de costes variables medios y costes fijos medios para el caso
del ejemplo que os he puesto unas transparencias más atrás vale que nos
queda ver el caso de rendimientos constantes a escala en el caso de
rendimientos constantes a escala recordar que la función de costes
variables era una línea recta podéis ver ahí entonces que para calcular
así ver visualmente cuál es el coste variable la función de costes
variables medios es muy fácil hacemos lo mismo del rayo vector pero daros
cuenta que aquí ahora ni siquiera casi se ven las líneas discontinuas
rojas y verdes porque son iguales el rayo vector de aquí a aquí tiene la
misma pendiente que el de el rayo vector del origen hasta b es decir esto
qué significa esto significa que el coste variable medio de producir en a
es exactamente igual al coste variable medio de producir en b no solamente
en a y en b sino en cualquier o para cualquier volumen de producción por
lo tanto la función de costes variables medios no es otra cosa más que
una línea horizontal de acuerdo vale qué pasa ahora que tenemos una
línea horizontal tenemos unos costes fijos medios que dibujo ahora que
serán más o menos como así los costes fijos medios como el caso de antes
y cómo va a salir la función de costes medios sumolardos y entonces por
lo tanto va a tener un aspecto así es decir puede tener una primera parte
estos son costes medios para pequeños volúmenes de producción puede ser
decreciente pero luego vamos a obtener una línea horizontal para el resto
del recorrido de la función vale y aquí tenéis abajo el ejemplo con la
función con la que estábamos jugando bueno pues ahora vamos a ponerlo
todo en conjunto vamos a ver qué pasa o cómo sería qué forma tendría
estas funciones en los casos generales en los casos generales de
tecnologías donde tengan un primer trozo o para unos niveles de output
pequeños o los más pequeños tenemos rendimientos crecientes luego
tenemos un tramo de rendimientos constantes y a partir de él hay
rendimientos crecientes a escala por daros cuenta que no tenemos más que
ver unir las tres gráficas anteriores podríamos ir haciendo aquí lo del
rayo vector y vemos que la curva de costes variables medios tendría una
forma como la función que os he pintado aquí en verde si tienes una
primera parte es decreciente hay rendimientos constantes crecientes a
escala por aquí hay rendimientos constantes a escala y a partir del
mínimo ya la función de costes variables medios es creciente lo que
quiere decir que hay rendimientos decrecientes y como sería la curva de
costes medios la función de costes medios tendría va siempre por encima
porque esta la diferencia de aquí a aquí es simplemente sumar los costes
fijos ¿de acuerdo? bueno pues vamos a ver otra función importante que es
la función de costes marginales ¿qué es la función de costes
marginales? pues la función de costes marginales lo que mide es la
variación que experimenta los costes cuando se altera el nivel de
producción en términos infinitesimales no es más que la derivada de la
función de costes respecto al nivel de producción es decir sería o por
simplificarlo es quiere decir lo que nos cuesta producir una unidad más de
producto vamos a jugar un poco con esta expresión y vemos que la
expresión si es la derivada de los costes totales pero yo sé que los
costes totales es la suma que los costes variables más los costes fijos la
función de costes variables más la función de costes fijos vale
pues連go esta expresión por partes la derivada de los costes variables
respecto ahí más la derivada de los costes fijos respecto ahí dos costes
fijos no varían cuando varía ahí valían los coste fios medios pero no
los costes fijos por tanto tanto, esta parte es cero. Esto os lo hago para
que os deis cuenta que los costes marginales, que es la derivada de los
costes totales respecto a i, es también exactamente igual a la derivada de
la función de costes variables respecto a i. ¿De acuerdo? ¿Y qué es la
derivada de una función? La derivada de una función lo mide la pendiente
de la recta tangente a ese punto. Es decir, los costes marginales asociados
a producir la cantidad i sub a es la pendiente de la recta tangente a la
función de costes totales o a la función de costes variables que tiene
que ser igual su pendiente en ese punto. ¿Veis aquí? En el punto A, que
está aquí, se me ha desplazado hacia la derecha. Los costes marginales es
la pendiente de la recta tangente a la función de costes en ese punto, a
esta recta roja. ¿Veis? En el otro punto que implica un mayor output, en
el i sub e, mirad lo que pasa. ¿Qué pasa aquí con la pendiente a la
función de costes totales? Pues que es menor. Por lo tanto, vemos que la
función de costes marginales a escala es decreciente. Tiene una forma como
esta. ¿De acuerdo? En el ejemplo aquí seguido poniéndose el ejemplo y
daros cuenta que la función de costes marginales, para el caso que os
estaba ejemplificando, no es más que la derivada de esa función de la
función de costes totales o la función de costes variables, que es lo
mismo. ¿Veis? Derivamos esto, una derivada de la función de costes
marginales. Una derivada muy sencilla. Una derivada muy sencilla que aquí
he puesto mal. La derivada de esto respecto a i es un medio de i elevado a
menos un medio, ¿no? Perdonad. La función es la derivada respecto a i es
el exponente por i elevado a esto menos uno, es decir, un medio por i
elevado a menos un medio. ¿Vale? Que tiene una forma más o menos como
esta. ¿Vale? En el caso general ya no lo hago para el caso de rendimientos
crecientes o rendimientos constantes porque es muy fácil, ¿no? Yo creo
que ya es muy fácil verlo. Entonces para el caso general ¿qué pasa? Que
tenemos este tramo decreciente, que es el tramo donde hay rendimientos
crecientes a escala, que podéis observar o podéis intentar ver lo que
aquí va disminuyendo la pendiente. La pendiente aquí es mayor que la
pendiente aquí. Y luego a partir de aquí va disminuyendo la pendiente. Y
luego a partir de aquí va disminuyendo la pendiente. Y luego a partir del
punto donde el rendimiento es constante ¿qué pasa? Pues justo lo
contrario. Pasa que aquí cada vez la pendiente va aumentando. Por lo
tanto, la función de costes marginales tiene una forma de u también y
más o menos de esta manera. Primero decreciente y luego creciente. Vale.
Ahora entonces pasemos a lo siguiente. Vale. Ya sabemos que la función de
costes variables medios y costes medios es como esta del gráfico que os
acabo de marcar. Sé que son así, son en forma de u. Sé que el coste
medio va por arriba del coste variable medio porque le tengo que sumar el
fijo medio. Vale. Sé que la curva de costes marginales tiene una forma muy
parecida. Sé que la forma general de una función de costes marginales
tiene forma de u también. Pero ahora la pregunta relevante es ¿pero por
dónde va? Yo quiero representar en un gráfico en un mismo gráfico los
costes medios, los costes variables medios y los costes marginales.
Entonces ¿cómo lo puedo? ¿Cómo hay alguna relación inequívoca? Va
siempre por algún lado. Es decir, la curva azul clarita que es la de
costes marginales va así. Es como la que he trazado aquí por encima de
estas dos curvas. Corta a una, corta a dos, a las dos. ¿Cómo es? O puedo
obtener, o puede ser que pueda ser que pueda ser que pueda ser así
también. Puede estar por debajo de las tres. Es decir, mi pregunta ahora
es ¿existe alguna relación que sea clara entre las curvas de costes
medios, costes variables medios y costes marginales o me puede ir por
cualquier lado? Pues la respuesta es que no. No me puede ir por cualquier
lado. Me va por un sitio y yo sé qué sitio es. Y esto está en la guía
didáctica hecho y os lo voy a contar aquí. Simplemente ¿cómo demuestro
por dónde va? ¿Cómo se puede demostrar por dónde va? Bueno, pues yo
cojo los costes variables medios. Lo podría hacer igual sobre los costes
medios totales porque daos cuenta que los costes marginales he dicho que es
la pendiente de las dos cosas. La pendiente de los costes variables es la
misma que la pendiente de los costes totales. Bueno, pues entonces vamos a
hacer la derivada de los costes variables medios respecto ahí. ¿Qué sé
yo? Sé que los costes variables medios son los costes entre i. Vale.
Entonces, ¿qué tengo aquí? Aquí lo que tengo es la derivada de un
cociente. Recordad que la derivada de un cociente es la derivada del
numerador por el denominador sin derivar menos la derivada del denominador
por el numerador sin derivar partido por el denominador al cuadrado. Esto
es simple matemáticas, ¿no? Por lo tanto, vamos a aplicarlo aquí.
Derivada de los costes variables. Sé que son los costes marginales por el
denominador sin derivar i menos la derivada del denominador, la derivada de
i respecto a i es uno, por eso aquí no aparece nada, por el numerador sin
derivar, la función de costes variables. Y dividido todo por el
denominador al cuadrado, es decir, i cuadrado. Vale. ¿Qué tenemos aquí?
Pues aquí de simplificar este paso. Para simplificar lo único que hay que
hacer es que vamos a dividir por i, ¿no? Aquí hay un i, divido por i
numerador y denominador y aquí me quedan los costes marginales, aquí me
quedarían los costes variables entre i que son los costes variables medios
y todo ello dividido entre i. Entonces, ¿aquí qué pasa? Que tengo una
igualdad que se me tiene que cumplir que vamos a ver qué significa. Daros
cuenta que aquí estamos hablando de la derivada de la función de costes
variables medios, es decir, yo sé que la función de costes variables
medios es la derivada de la derivada de la función de costes variables
medios, tiene un primer tramo decreciente, es decir, sé que hay un tramo
donde la derivada es negativa, sé que hay un punto donde es cero y sé que
luego a partir de ese punto es positiva, es creciente la función, ¿no?
Entonces, ¿de qué depende este signo? Vemos que este signo será igual al
signo de esto, i siempre es positivo, por lo tanto, para que la derivada de
los costes variables adquiera los valores esto dependerá del signo de esta
resta, es decir, de si los costes medios son mayores, menores o iguales a
los costes variables medios. Vamos a suponer que yo observo o quiero ver
qué pasa en el tramo decreciente de la curva de costes variables medios,
es decir, en la primera fase donde son decrecientes. Si esto es
decreciente, no puede ser por otra cosa más que porque esta recta, esta
resta sea menor que cero, lo cual implica que la derivada es cero. Esto
implica que en los casos en que los costes variables medios son
decrecientes, los costes marginales tienen que ir por debajo de los costes
variables medios. Siempre van a ser menores que los costes variables
medios. Cuando en el punto en el que observo que el punto de cambio en el
mínimo de los costes variables medios donde hay rendimientos constantes a
escalas la derivada es cero. Si la derivada es cero, estamos en este
segundo caso, es porque esta resta es cero y para que esta resta sea cero,
se tiene que cumplir sólo es en el caso, esta resta es cero sí y sólo
sí, los costes marginales son iguales a los costes variables medios. Es
decir, en el punto donde estamos aquí, estaríamos aquí, en el punto
donde hay costes variables medios, perdón, en el punto donde los costes
variables medios son iguales a los costes marginales, porque hay
rendimientos constantes a escala, que es en el mínimo de la función de
costes variables medios coincide el coste marginal, la línea azul clarita,
con la línea verde, con el coste variable medio. En este tramo a partir de
aquí, de la función de costes variables medios, en el tramo donde la
derivada de este signo es positiva, ¿qué pasa? Si esto es positivo, la
resta de aquí arriba es positiva. Y esto solamente se cumple para el caso
de que los costes marginales sean mayores que los costes variables medios.
Por lo tanto, a partir de este punto, los costes marginales tienen que ir
siempre por encima de los costes variables medios. Y lo mismo exactamente
se tiene que cumplir con los costes, si yo hago esto, que está
desarrollado en la guía didáctica, para los costes medios obtengo la
misma relación. Por lo tanto, también sé que tiene que cortar a la
función de costes medios en su mínimo, que es en el punto donde hay
rendimientos constantes a escala. ¿De acuerdo? Entonces, lo que sé es que
inequívocamente yo voy a tener que encontrar una representación de las
funciones de costes como esta. Es decir, la curva de costes marginales va
por debajo de la curva de costes variables medios hasta su mínimo, va por
debajo. De la curva de costes medios hasta su mínimo, y a partir de esos
mínimos, la curva de costes medios va por encima de la curva de costes
variables y por la curva de costes medios a partir de su mínimo. ¿De
acuerdo? Esto es así, necesariamente, por todo el desarrollo que hemos
visto hasta ahora. Bueno, otra relación interesante, que luego se utiliza
en algunos de los temas posteriores, es esta relación que hay geométrica.
Hay veces que tendremos solamente la curva de costes marginales, pero la
curva de costes marginales ¿qué es lo que mide? La curva de costes
marginales mide, como hemos dicho, el coste de producir una unidad más.
¿No? Así resumiendo. Entonces, ¿qué pasa qué? Si sumamos todos esos
costes adicionales, de ir produciendo una unidad más, una unidad más, una
unidad más, tendremos los costes totales de producción. Es decir, hasta
el punto y, si yo voy sumando el coste adicional de producir esta unidad y
esta otra, y esta otra, así, suponer que esto es recto, y así, por lo que
obtengo la suma de los costes totales a excepción de los costes fijos,
porque los costes fijos son fijos y no tengo que aumentarlos cuando aumenta
el nivel de producción. Entonces, si yo sumo el coste adicional de cada
una de las unidades, al final ¿qué obtendré? Que si yo me sitúo en un
punto como éste y quiero saber, y quiero producir este nivel de
producción, el área por debajo de la curva de costes marginales, lo que
me mide son los costes variables de producir esa cantidad concreta. ¿Vale?
Esto luego hace falta. O se utiliza en algún razonamiento. Bueno, y ya me
va quedando menos, yo creo que ahora queda... Vale. Hablar del largo plazo.
Hasta ahora, sin haceros referencia a ello, he estado hablando todo el rato
del corto plazo, ¿no? Es obvio. He estado hablando del corto plazo, de
situaciones de corto plazo, porque yo tenía unos costes fijos. Yo tenía
unos factores fijos que me implicaban unos costes fijos y, por lo tanto,
estaba en el corto plazo. ¿Vale? Toda la geometría que he puesto antes y
toda la expresión gráfica y analítica era para el corto plazo. Pero,
vamos a ver ahora qué ocurre con el largo plazo. En el largo plazo ya sé
una cosa, que es que no hay costes fijos. La parte F, la cuantía F me
desaparece, ¿no? No hay costes fijos porque siempre puedo ajustar el nivel
de todos los factores productivos. Es más, incluso puedo elegir cerrar, no
producir, y no tendría ningún coste porque no hay costes fijos. ¿Vale?
Entonces, vamos a ver cómo puedo dibujar la función. Vamos a suponer que
el factor fijo al que normalmente llamábamos, o en los capítulos
anteriores llamábamos X2 superbarra, le voy a llamar K. La cuantía K. Y
vamos a suponer que es el tamaño de la planta. Imaginaros que el factor
fijo es el tamaño de la fábrica, ¿no? El tamaño de la fábrica, le voy
a llamar K, de la planta. Y yo sé que para ese nivel de factor fijo hemos
visto hasta ahora, lo que hemos visto hasta ahora, es la función de costes
a corto plazo asociados a producir la cantidad C y dado el tamaño de
planta K. Vale. Pues en el largo plazo, ¿qué pasa? Pues pasa lo
siguiente. O sea que cualquiera que sea el nivel de output que yo quiera
producir, el nivel I por ejemplo, siempre habrá un tamaño óptimo de
planta para producir esa cantidad. ¿Y de dónde puedo sacar yo esta
información? Pues esta información la voy a sacar de la función de
demanda acondicionada. Recordad que nosotros teníamos una función a largo
plazo del problema de optimización. Nos derivábamos una función de
demanda del factor fijo, del factor que era fijo en el corto plazo,
insisto, pero en el largo no es fijo. Y esa función que para simplificar
la hacíamos depender de I, ahora nuestro X2 es nuestro K, esa función
depende de I. Es decir, si el empresario puede ajustar ese factor que antes
era fijo en el corto plazo en la cantidad que quiera, ¿qué cantidad va a
utilizar? Pues va a utilizar la cantidad que le diga, la cantidad óptima,
es decir, la cantidad que viene recogida en la función de demanda
acondicionada. Por lo tanto, ¿qué es la función de costes a largo plazo?
Pues no va a ser otra cosa más que la función de costes a corto plazo
evaluada en la elección óptima del factor. ¿De acuerdo? Es decir, a
corto plazo, a largo plazo, el productor va a elegir la cantidad de factor
fijo, el factor que era fijo en el corto plazo que minimice sus costes. O
sea, la elección va a utilizar la cantidad óptima del factor productivo
K. Por lo tanto, la función de costes, si yo quiero representar la
función de costes totales en el largo plazo, lo que quiero saber o lo que
ya sé es que va a ser un va a ser igual a la función de corto plazo
evaluada en aquel punto donde es la elección óptima del factor que era
fijo en el corto plazo. ¿Vale? ¿Y qué pasa? Que sé que, si os dais
cuenta, que como en el largo plazo elige la cantidad de factor que era fijo
que quiera la óptima, por lo tanto hay una relación inequívoca, una
relación que ya me sé, por lo que acabo de decir, es que si queremos
producir un nivel de producción y superestrella, pues ¿qué pasa? Que los
costes a corto plazo, la función de costes a corto plazo necesariamente
tiene que ir por encima de la función de costes a largo plazo. ¿Cuándo?
Pues en todo el recorrido de la función salvo en aquel punto en el que
justamente ese tamaño... Perdón, voy a repetir aquí porque me he hecho
un lío. ¿Qué sé? Que la función a largo plazo, en el largo plazo puedo
elegir la cantidad óptima del factor que era fijo en el corto plazo. Por
lo tanto, los costes a largo plazo van a ser iguales a los de corto plazo
solamente en un punto en aquel punto donde ese K, ese nivel de factor fijo
K estrella sea la demanda óptima de ese factor. Es decir, si el K estrella
es justo la demanda óptima de factor para producir la cantidad y
superestrella, en ese punto los costes a corto y a largo plazo
coincidirán. Pero para cualquier otro nivel de producción menor o mayor,
los costes medios a corto plazo son mayores que los de largo plazo. ¿De
acuerdo? Por lógica. Y lo mismo ocurre con los costes totales y con los
costes medios. Lo que pasa para los costes totales pasa para los costes
medios. Es decir, sólo los costes medios que es lo que hay dibujado en
este gráfico, los costes medios a corto plazo coincidirán en un punto
sólo con los de largo plazo y es aquel punto para el cual la dimensión K
superestrella es la elección óptima para producir ese nivel de
producción. A este nivel de producción en el cual coinciden los costes
medios a largo plazo y a corto plazo se llama volumen de producción
típico correspondiente a un determinado tamaño de planta, en este caso K
estrella. Por lo tanto, ¿resultado geométrico de estas afirmaciones?
Bueno, pues veis que como resultado geométrico resaltar esto que pongo
aquí en rosa es que la curva o la función de costes medios a corto plazo
es tangente a la curva de costes medios a largo plazo. ¿De acuerdo? Bueno,
aquí he dibujado esta parte. Es decir, yo realmente lo que he dibujado
aquí es este punto con este razonamiento pero como es esta función de
costes medios sé que también será en forma de U pero ¿qué relación
hay con el corto plazo? Es decir, toda esta parte ¿de dónde sale todo
este recorrido? Pues vamos a verlo ahora. Vamos a ver qué pasaría vamos a
suponer primero yo creo que es más fácil suponer que hay cuatro tamaños
de planta es decir, que tenemos una empresa que puede elegir tener una
dimensión caso uno, elegir una estructura productiva con una determinada
cantidad de factor fijo, caso uno, caso dos caso tres o caso cuatro se lo
puede elegir entre estas tres daros cuenta que esto es una elección muy
importante porque esto lleva cargado unos costes fijos entonces debe
intentar optimizar debe pensárselo mucho qué nivel de planta elegir se
puede quedar corto o quedar largo las dos cosas son ineficientes vamos a
ver cómo salen las curvas de costes ahí he dibujado las funciones de
costes medios para cuatro casos el verde, el amarillo, el rojo y el azul
sería el correspondiente a distintos niveles de factor fijo caso uno a
caso cuatro imaginaros que el productor se está planteando producir la
cantidad I1 estamos en el largo plazo y por lo tanto puede decidir qué
cantidad de K utilizar puede decidir K1 K2, K3 o K4 cuál va a elegir pues
va a elegir la óptima cuál será la óptima aquella que tenga un nivel
menor coste medio es más rentable producir con un coste medio menor bueno
pues mirar coger este I1 y ver cuál es el coste medio si estuviéramos en
la planta nuestra fábrica fuera con un tamaño de planta K1 el coste medio
es este vale vemos aquí que también podríamos elegir para producir esta
cantidad la planta II la planta amarilla pero fijaros que si elegimos la
planta amarilla resulta que tenemos un coste medio muy superior daros
cuenta también que la curva roja continuaría esto realmente continuaría
así si elegimos la planta I1 en una planta de tamaño K3 pues sí, pero
fijaros con qué coste por lo tanto en el largo plazo cuál es la decisión
óptima pues está clarísimo la decisión óptima es elegir este tamaño
de planta elegir el tamaño de planta verde vale, es decir elegir K1 por lo
tanto para niveles de producción desde 0 hasta I1 es la función de costes
totales es esta que me he dibujado aquí que sería esta parte vale esto no
me vale vamos a es esta parte azul oscuro vale, vamos a borrar y a ver voy
a dibujar aquí, esta parte esto es la curva de costes medios a largo plazo
hasta este nivel de producción hasta ¿y hasta cuál va a ser? pues va a
ser hasta este punto, ¿por qué? porque daros cuenta vamos a coger
cualquier otro volumen de producción vamos a ver el I2 esta empresa quiere
producir I2 es lo que quiere lanzar al mercado y analiza a priori qué
cantidad qué tamaño de planta va a utilizar ¿no? ¿qué es lo óptimo?
¿es lo óptimo situarse aquí? elegir la amarilla, pues parece que sí
¿no? porque daros cuenta que si produce esta cantidad con el estando
teniendo una planta del tamaño verde fijaros lo que le costaría por
unidad producida le costaría todo esto, si elige la producción,
producirlo en la planta roja en la planta con un capital con un volumen de
factor fijo perdón K3, fijaros cuál sería el coste unitario, por lo
tanto está claro que a partir de aquí se situaría en su curva de costes
medios es la de la planta amarilla ¿y hasta dónde? en este razonamiento
una y otra vez veréis que es muy fácil de ver que llega hasta esta
intersección es decir, que a partir de aquí la curva de costes medios es
a largo esto se supone que es coincidente es aquí y a partir de aquí así
¿vale? entonces ¿qué pasa qué? daros cuenta qué aspecto tiene esto es
decir, el aspecto que tiene esto es lo que se llama envolvente daros cuenta
que los costes medios a largo plazo es la función envolvente de los costes
medios a corto plazo ¿de acuerdo? esto razonado para infinitos o para un
continuo de niveles perdón del factor fijo daría un resultado como el que
vamos a manejar a partir de ahora un resultado como este es decir, aquí en
vez de dibujar cuatro he dibujado los que sean diez pero imaginaos hay una
en cada punto pasa si pudiéramos variar infinitesimalmente la cantidad de
factor fijo si pudiéramos obtener bueno eso, cantidades, un continuo pues
¿qué vamos a obtener? pues nosotros resulta que esto sería justo por
cada punto de la curva de costes medios a largo plazo pasaría una curva
uno y uno sería un continuo de curvas un continuo y por lo tanto la
función de costes medios o con esto se puede demostrar visualmente que la
curva de costes medios a largo plazo es la envolvente de la curva de costes
medios a corto plazo ¿de acuerdo? bueno y ya queda un ver qué pasa con la
relación entre los costes marginales a corto y largo plazo y voy a ver si
soy capaz de explicaros este gráfico con precisión mi pregunta es o la
pregunta es, bueno vale, es la envolvente de los costes medios a largo
plazo son los costes medios la envolvente de los costes medios a corto
plazo vale, pasa algo parecido con los costes marginales los costes
marginales también son una especie de envolvente de los costes marginales
a corto plazo, pues la respuesta es no ¿por qué es no? bueno pues os lo
voy a hacer aunque esto estoy suponiendo para dibujar esta función de
costes medios a largo plazo que K es un continuo voy a poneros solo para no
liar el tema un dibujo con tres ¿no? con tres tamaños de factor fijo,
esta de aquí de la izquierda tiene un volumen menor de factor fijo, luego
tenemos aquí esta de en medio y esta aquí de la derecha tiene un volumen
de factor fijo en corto plazo mayor, daos cuenta que si he dibujado una de
las curvas de costes medios y marginales en el corto plazo en el tramo que
hay rendimientos crecientes a escala otra en el punto donde hay
rendimientos constantes y otra en el punto donde hay rendimientos
decrecientes a escala y esto es porque pasan cosas un poco distintas daros
cuenta que vamos a razonar en términos parecidos a lo que he razonado
antes daros cuenta, si quiere producir este volumen de producción que se
va a situar pues está claro que se va a situar en este punto de la curva
de costes medios ¿de acuerdo? pero si en ese punto los costes medios son
iguales a los costes medios a corto son iguales a los costes medios a largo
esto no puede ser por otra cosa más que porque los costes totales a corto
plazo en ese punto y los costes totales a largo plazo en ese punto sean los
mismos porque sino los medios no serían los mismos es decir, en el punto
donde los costes medios a corto y a largo son iguales los costes totales a
corto y a largo son iguales ¿y qué es el coste marginal? el coste
marginal es la pendiente del coste total por lo tanto si los costes totales
a corto y a largo son iguales en el punto donde los costes medios son
iguales, los costes marginales a largo plazo tienen que ser necesariamente
igual a los costes marginales a corto plazo. Por lo tanto, en términos de
este gráfico, puedo decir que en el punto donde los costes medios son
iguales a corto que a largo plazo tienen que coincidir también los costes
marginales a corto y a largo plazo. Vamos a ver para este punto, para este
nivel de producción, cuáles son los costes marginales. Los costes
marginales a corto plazo, bajo por aquí y me dicen la línea verde que los
costes marginales son estos. Los costes marginales de producir en el corto
plazo la cantidad I1 con la planta que tiene una capacidad instalada K1,
que es esta primera de la izquierda. Por lo tanto, estos son los costes
marginales y estos son los costes marginales a largo plazo también. Es
decir, este punto, voy a borrar un poco, en este punto de aquí, yo sé que
me coinciden los costes marginales a corto y a largo plazo. ¿De acuerdo?
¿Qué va a pasar en un punto, en el punto este, donde hay rendimientos
constantes a escala? Pues aquí pasa lo mismo. Si yo sé que en el punto,
en este punto, donde me coinciden los costes medios y marginales, me
coinciden aquí, perdón, los costes medios a corto y a largo, aquí.
¿Cuáles son los costes medios, los costes marginales asociados a este
punto? Pues da la casualidad de que son aquí, en este mismo punto. Y, por
lo tanto, los costes marginales a largo plazo también tienen que pasar por
este punto. ¿Vale? Y daros cuenta aquí lo que pasa para volúmenes de
producción mayor que este I superestrella, que ahora os diré cómo se
llama. ¿Qué pasa? Pues para esos niveles de producción, vamos a ver. En
este punto, para este nivel de producción I sub 2, el coste medio es igual
en el corto y largo plazo aquí, en este punto. ¿Vale? Pues para este
punto, ¿cuáles son los costes marginales en el corto plazo? Los costes
marginales en el corto plazo son aquí, me lo dice la línea verde. Es que
por aquí abajo no está. La línea verde va hacia, hacia, hacia, hacia
aquí. Entonces el punto, los costes marginales de producir la cantidad I
sub 2 con el tamaño punto, me tiene que pasar la curva de costes
marginales a largo plazo. En el punto donde coinciden los costes medios a
corto y largo plazo, coinciden los costes marginales a corto y largo plazo.
¿De acuerdo? Por lo tanto, esto lo vamos a borrar como resultado de hacer
esto con las infinitas. Y aquí, en este punto, tenemos un continuo de, de
plantas, de tamaños de plantas. Pues resulta que la función de costes
marginales en el largo plazo es exactamente, o tiene el aspecto de la
función roja que tenéis aquí. Es decir, tiene este aspecto. Y lo Las
cuatro funciones, ¿vale? A partir, o a la derecha y hacia la izquierda,
coinciden los costes medios por un lado y los costes marginales por el otro
en el corto y en el largo plazo. Pero no las cuatro cosas a la vez, ¿de
acuerdo? Bueno, pues ya he acabado lo que quería contaros. Deciros lo de
siempre, que leáis el libro, la guía didáctica y practiquéis con las
preguntas y los problemas del libro y de la guía didáctica. Muchas
gracias, doy por concluida la explicación del tema 4.