Una de las propiedades más importantes de los espacios vectoriales de
dimensión finita es que dado un espacio vectorial de dimensión finita
podemos identificar dicho espacio con el espacio de coordenadas, el espacio
de las coordenadas con respecto de una base de dicho espacio. Afectos
prácticos, estudiar un espacio vectorial de dimensión finita es
equivalente a estudiar el espacio vectorial de las coordenadas asociadas
respecto de una base fijada. En este sentido, si tenemos un espacio
vectorial V y consideramos que el espacio es de dimensión N y consideramos
una base fijada que denotamos por A, tenemos que la identificación natural
identifica cada vector v con una n-tupla o un vector de Rn dado por las
correspondientes, por las correspondientes coordenadas respecto de la base
que hemos fijado. En este sentido esta identificación hace corresponder a
cada elemento de la base el correspondiente elemento de la base canónica
de Rn. Con respecto a esta función, esta es una aplicación lineal que es
el tema que veremos en el capítulo 4 y es una aplicación lineal
biyectiva, es decir, cada elemento se corresponde únicamente con otro.
Cada elemento de V se corresponde únicamente con otro elemento de Rn. Esto
hace que efectos de espacios vectoriales, podemos decir, que los espacios
vectoriales son identificables y esto nos permite, en la práctica,
reducir, como he dicho anteriormente, el estudio de cualquier espacio
vectorial de dimensión n a un espacio Rn con respecto de la base
canónica, lo que nos simplifica muchas de las cuestiones que a veces nos
puede costar ver si consideramos el espacio en su forma original. Vamos a
ver esto en dos situaciones considerando el espacio de las matrices
cuadradas de orden 2 que hemos visto en vídeos anteriores y para ello en
primer lugar para ver la identificación tenemos que fijar una base y vamos
a considerar la que vemos en el libro, que es la denominada, podemos
considerar la base canónica respecto de dicho espacio, que está formada
por cuatro vectores y cada vector está asociado a una entrada de la propia
matriz. Por ejemplo, el vector v1 de la base está asociado a la entrada
1,1 y está formado dicho elemento de la base por una matriz que son todos
ceros en las entradas distintas de la entrada 1,1 y 1,1 en dicha entrada.
De igual manera tenemos el vector v2 que está asociado a la entrada 1,2,
el vector vsu3 que está asociado a la entrada 2,1 de la matriz y el vector
V4 que está asociado a la entrada 2,2 de la matriz. Bueno, esto es una
base y es fácil, dado una matriz, por ejemplo, la matriz A, encontrar las
coordenadas de dicha matriz respecto de dicha base porque por la forma de
las matrices no es más que las coordenadas respecto de la base, no es más
que las entradas correspondientes siguiendo la identificación que hemos
hecho. Es decir, la coordenada respecto del elemento vsu1 no es más que la
entrada 1,1 de la matriz, porque es la identificación que hicimos
previamente. La coordenada respecto de la base vsu2 es la entrada 1,2, por
lo mismo, por la correspondiente identificación que hemos hecho y del
mismo modo para la coordenada 2,1 que es 3 respecto del elemento de la base
V3 y la coordenada 2,2 que es 4 respecto del elemento de la base V4. De
esta manera tenemos la identificación que vimos anteriormente donde al
vector A, o la matriz A, vector porque es un espacio vectorial, le hace
corresponder el correspondiente vector correspondiente vector de
coordenadas respecto de la base que hemos fijado que no es más que el
vector 1, 2, 3, 4 porque esas son, bueno hemos visto, son las coordenadas
respecto de la base. Es conveniente también escribir los vectores en
términos de vectores-columna porque vamos a ver que eso nos permite
resolver algunas situaciones cuando cambiamos en los ejercicios de cambio
de base. Bien, por ejemplo nos podemos preguntar, que es una pregunta casi
simple vista pues nos puede parecer difícil, es si dado otro conjunto de
vectores o de matrices de orden 2, como es el conjunto B, nos podemos
preguntar si ese conjunto es linealmente independiente o si directamente es
una base. Para ello, esa pregunta, como tenemos una identificación de los
espacios, del espacio vectorial V, en este caso el de las matrices
cuadradas y el espacio R4, que es el de coordenadas, es equivalente a
decirnos si las coordenadas correspondientes forman una base. Y en este
caso, es muy sencillo, siguiendo el proceso anterior, tenemos las
identificaciones de las matrices W1, W2, W3 y W4 en términos de sus
correspondientes vectores de coordenadas Y, por la identificación,
preguntarse si Vs1, Vs2, Vs3 y Vs4, es decir, el conjunto B, es una base,
es equivalente a preguntarnos si los vectores de coordenadas asociados
forman una base en R4. Bien, como estamos en R4 y tenemos cuatro vectores,
sabemos que dichos vectores de coordenadas formarán una base si son
linealmente independientes, porque es un conjunto maximal linealmente
independiente y, por tanto, una base del espacio. Para saber si son
linealmente independientes, una de las formas de hacerlo es ver si la
matriz formada, aquella matriz formada que tiene por columnas los vectores
de la base, que sería esta matriz, tiene rango máximo. Y como es una
matriz de orden 4, el rango máximo es decir que tiene rango 4. Y para
saber si tiene rango 4 hemos estudiado que se debe verificar que el
determinante de la matriz asociada es distinto de 0. En este caso es menos
2 distinto de 0 y por tanto los vectores columna de la matriz forman forman
una base respecto de R4. Por la identificación tenemos que las matrices
que se identifican con dichos vectores de coordenadas, es decir, las
matrices WU1, WU2, WU3 y WU4, el conjunto B, pues es un conjunto
linealmente independiente y también como es un conjunto de cuatro
elementos en un espacio vectorial, es un conjunto linealmente
independiente, un sistema linealmente independiente, en un espacio
vectorial de dimensión cuatro, concluimos que efectivamente el sistema es
una base. Podemos también preguntarnos el ejercicio de que si tenemos una
matriz, por ejemplo, en este caso vamos a ver la matriz identidad, y
queremos calcular sus coordenadas con respecto de la nueva base. Bien,
sabemos, por los contenidos del capítulo 3, que si tenemos X e Y denotando
los vectores columna de coordenadas respecto de la base A, que sería la
base canónica de las matrices que vimos al principio y la base nueva que
hemos demostrado que es una base, que es la base B, tenemos que los
vectores columnas se identifican a través de la ecuación matricial X
igual a B por Y donde B es la matriz de cambio de base de la base B a A.
Bueno, de aquí deducimos directamente que I es igual a la inversa de B
multiplicada por el votor columna y que eso no es más que la matriz A de
cambio de base en sentido inverso, es decir, de A a B. Sabemos que si
tenemos la matriz B de cambio de base de la base B a A está formada por la
matriz que tiene por columnas las coordenadas de la base B respecto de A.
Bueno, esta es la matriz fácil de calcular porque sabemos calcular
fácilmente, como vimos anteriormente, las coordenadas de la base B
respecto de A. La fórmula que hemos visto anteriormente que relaciona A
con B, que es decir que A es igual a la inversa de B, nos da la expresión,
que es la matriz que nos va a interesar, la expresión de la matriz A de
cambio de base de la base B, A, que no es más que la inversa. Por tanto,
para calcular la matriz A, en la práctica, como hacemos en los problemas
de Rn que tenemos en los ejercicios de autoevaluación, calculamos, por un
lado, la matriz que es fácil ver, que es fácil calcular las coordenadas
respecto de dicha base, siempre es las coordenadas respecto de la base
canónica y para calcular la base de cambio correspondiente que es la base,
la matriz A, pues calculamos su inversa, es decir, esta matriz no es más
que la inversa de B. De esta manera tenemos que, por un lado, la matriz
identidad tiene, por la identificación que hemos estado haciendo, tiene
como coordenadas respecto de la base A el vector formado por 1, 0, 0, 1 y
para calcular el vector I que hemos visto que son las coordenadas respecto
de la base B, no hay más que calcular la matriz de cambio A por el
correspondiente vector de coordenadas respecto de la base A y nos da el
correspondiente vector de coordenadas respecto de la base B. Siguiendo la
identificación que hemos visto, lo que tenemos es que la matriz identidad,
el vector por ser un espacio vectorial, se corresponde con la combinación
lineal correspondiente respecto de la base B. Y bueno, aquí tenemos la
misma expresión y efectivamente podemos comprobar que las coordenadas que
es dicha expresión, dicha combinación lineal, efectivamente nos da la
matriz identidad.