que son al final el otro día habíamos quedado hablando de la suma de
subespacios no habíamos llegado al final entonces vuelvo a contaros los
casos posibles cuando sumamos subespacios empezamos por R2 queremos sumar
dos subespacios en R2 ¿cuáles son los casos posibles? bueno aquí tengo
un ejemplo, no sé si lo veis desde ahí el subespacio R por 1, 2 lo sumo
con el subespacio R por 3, 0 Antonio, perdona, pero no nos sale a nosotros
en la pizarra ay dios, ¿y ahora qué hacemos? si me acaban de decir sale
espacios vectoriales 24 del 10 del 2013 es lo que nos sale si ya pasé la
página pues aquí tengo esperad que me llamo ¿sí? sí, dime me dicen que
ellos la ven pero que se ha quedado como que no actualiza la pizarra que
llamen a Isidoro vale me dicen que llaméis a Isidoro que os lo arregle que
os lo tienen que arreglar ahí vale, gracias voy contando mientras tanto
sí el primer caso queremos sumar el subespacio R por 1, 2 y el subespacio
R por 3, 0 yo ya os he puesto ahí la solución que es R2 ¿por qué sale
R2? cuando estamos en R2 y sumamos dos subespacios de R2 tenéis que hacer
la comprobación de si los dos vectores que aparecen son dependientes o son
independientes si los dos vectores que aparecen aquí el 1, 2 y el 3, 0 son
independientes entonces la suma siempre va a valer R2 y si fuesen
dependientes ahora vemos qué pasa en este caso el vector 1, 2 y el vector
3, 0 si calculáis el determinante formado por ellos sale 1 por 0 que es 0
menos 2 por 3 en total menos 6 no sale 0 recordad que si no salía 0 ese
determinante esos dos vectores son independientes bueno, pues cuando
suméis dos subespacios en los que los dos vectores que aparecen en esos
subespacios sean independientes como aquí la suma siempre vale R2 es
fácil recordad que a vosotros en el examen no os van a pedir que hagáis
ningún cálculo solo os van a pedir el resultado y esto es facilísimo de
recordar y de hacer ¿y si fueran dependientes? si fueran dependientes creo
que tengo aquí otro ejemplo ¿qué pasa si los dos vectores que estoy
sumando que corresponden a los dos subespacios que sumo son dependientes?
por ejemplo el 1, 2 y el 2, 4 bueno, vosotros tendréis que hacer la
comprobación si no sois capaces de verlo a simple vista que en este caso
es muy fácil calculáis el determinante multiplico 1 por 4 que es 4 y le
resto 2 por 2 que también es 4 en total sale 0 el que salga 0 quiere decir
que el vector 1, 2 y el vector 2, 3 son dependientes y el vector 2, 4 son
dependientes en ese caso la suma es igual a uno cualquiera de los dos
subespacios que había al principio uno cualquiera de los dos yo aquí he
puesto el primero pero podía haber puesto el segundo porque son iguales el
que el vector 1, 2 y el vector 2, 4 sean dependientes quiere decir que este
primer subespacio y el otro son iguales y al sumar dos subespacios que son
iguales el resultado es cualquiera de ellos dos yo he puesto el R por 1, 2
pero podría haber puesto también el R por 2, 4 y valdría igual y no hay
más casos posibles en R2 o el de antes o este o los dos vectores son
independientes y entonces la suma vale R2 o son dependientes y entonces la
suma vale uno cualquiera de los dos esto en R2 vamos a R3 aquí tenéis un
caso en R3 voy a sumar 3 subespacios porque en R3 puedo sumar 3 a ver, no
lo he contado claro por supuesto que lo sabéis y a lo mejor esto no lo
sabéis vuelvo un poco para atrás en R2 puedo sumar también 3 subespacios
o 4 o 17 pero ya no tiene sentido quiero decir si yo sumo 3 subespacios en
R2 solo os pongo un ejemplo de esto solo hay dos opciones o el resultado es
R2 o el resultado es uno de esos 3 subespacios que sumo igual que aquí el
resultado era uno cualquiera de estos dos ¿cómo distingo esos casos si
estoy sumando 3? ¿qué sale aquí al sumar 3? bueno pues si sumáis 3 o
más de 3 esto valdría igual para más de 3 tenéis que mirar si entre los
3 vectores que hay aquí hay 2 que sean independientes de esos 3 vectores
hay 2 que sean independientes el primero y el segundo son independientes
habría que calcularlo hay que calcular su determinante si lo hacéis
rápido sale 5 menos 6 no sale 0 este vector y este vector son
independientes en cuanto encontréis 2 que sean independientes el resultado
va a ser R2 todo R2, todo el espacio en cambio si los 3 vectores que
corresponden a los 3 subespacios fuesen dependientes por ejemplo el R11
más el R22 más el R33 el 11 y el 22 si calculáis el determinante sale 0
son dependientes el 11 y el 33 si calculáis el determinante sale 0 son
dependientes el 22 y el 33 también formo parejas con esos 3 vectores forme
la pareja que forme siempre va a ser el determinante 0 esos 3 vectores son
dependientes entonces ¿cuál es el resultado de la suma? uno cualquiera de
ellos 3 el R11 se suele poner en el 3 que tiene los números más pequeños
pero en el examen podrían poner cualquiera de los 3 R11 bueno y esto que
os he dicho para 3 subespacios que se suman valdría igual para 25
subespacios y ahora si pasamos a R3 sumáis 3 subespacios en R3 miráis los
3 vectores que hay si los 3 vectores son independientes entonces el
resultado es R3 si sumáis 3 y los 3 vectores que aparecen son
independientes el resultado es R3 para comprobar que son independientes
habría que calcular el determinante y ver que no sale 0 ya no lo hago ese
determinante no sale 0 comprobarlo vosotros como ese determinante no sale 0
estos 3 vectores que aparecen en los 3 subespacios son independientes y el
resultado de la suma de los 3 subespacios es R3 este otro caso estoy
sumando los 3 primeros R por 1, 2, 0 más R por 1, 0, 1 más R por 2, 4, 0
formo el determinante con ellos el 1, 2, 0 1, 0, 1 2, 4, 0 calculáis ese
determinante sale 0 ya os digo yo que sale 0 hacedlo vosotros para
comprobar sale 0 como ese determinante sale 0 entonces el resultado de la
suma no es R3 porque esos 3 vectores son dependientes vale entonces que
sale en la suma no sale R3 pero que sale de los 3 vectores que hay hay 2
opciones que 1 que pueda quitar 1 ahora vemos como o que pueda quitar 2 si
puedo quitar 1 en este caso puedo quitar el 2, 4, 0 ahora os digo por qué
entonces el resultado de la suma son los otros 2 y si pudiese quitar 2 que
no es este el caso el resultado de la suma sería el que queda vale y aquí
por qué puedo quitar 1 pues porque el 2, 4, 0 esto lo podéis ver
directamente porque es fácil es el doble del 1, 2, 0 o sea el 2, 4, 0
depende de la suma del 1, 2, 0 pero eso es viéndolo la forma práctica de
comprobarlo es volver a coger el determinante pero ahora escrito como
matriz no hemos dado todavía el tema de matrices pero esto es muy fácil
de entender si ponéis barras eso es un determinante si ponéis paréntesis
eso es una matriz formáis la matriz con los 3 vectores y dentro de esa
matriz tenéis que buscar cuál es el determinante con el número de filas
y columnas más alto posible que no valga 0 o sea cogéis filas y columnas
de esta matriz formando determinantes los determinantes tienen que tener el
mismo número de filas que de columnas cuál es el determinante con el
mayor número de filas y columnas posible que no vale 0 cuántas filas y
columnas tendrá ese determinante si cojo todas las filas y todas las
columnas me voy a poner me queda este de arriba que ya lo he calculado y
vale 0 así que tengo que coger más pequeños si este tenía 3 filas y 3
columnas más pequeños quiere decir que tengo que coger determinantes de 2
filas y 2 columnas esto más adelante lo vamos a ver para calcular el rango
de una matriz es lo mismo cuando más adelante hablemos del rango de una
matriz estamos haciendo esto cojo el determinante formado por esos 4
números el 1,2 1,0 estoy cogiendo la primera fila y la segunda fila
primera fila segunda fila ¿ese determinante vale 0? no vale menos 2 pues
ya he encontrado un determinante con dos filas y dos columnas que no vale 0
eso quiere decir que de estos 3 vectores que tenía al principio hay dos
que son independientes y uno el otro que depende de ellos o sea que solo me
sobra uno a ver ¿entendéis eso? como he encontrado un determinante de
orden 2 dos filas dos columnas que no vale 0 eso quiere decir que de los 3
vectores que tenía dos son independientes el otro depende de ellos o sea
sobra 1 por eso en el resultado de la suma he quitado 1 ¿cuál es el que
sobra? bueno yo he cogido aquí para hacer este determinante la primera
fila y la segunda fila o sea el primer vector y el segundo vector y no me
ha salido 0 así que el primero y el segundo son los que nos sobran alguien
podría decir vale pero ¿y si cojo la primera fila y la tercera fila? o
sea el determinante formado por los números 1, 2 2, 4 ¿cuál es el que
sobra? primera fila es el primer vector tercera fila es el tercer vector
¿cuánto vale ese determinante? 0 por lo tanto ¿qué me está diciendo
esto? ¿qué vector no puedo quitar de los 3? ¿cuál no puedo quitar? el
del medio porque si quito el del medio el determinante me vale 0 no hace
falta ya hacer esta segunda parte con la primera con el primer determinante
que no salió 0 ya he acabado con la primera fila y la segunda fila no me
ha salido 0 ¿qué vector quito entonces? el tercero ¿cuál es la
solución entonces? el subespacio que corresponde al primero más el que
corresponde al segundo tienes que dejar el que no esté pendiente tienes
que quitar el que es dependiente y dejar los que son independientes entre
sí pero siempre cojo los dos las dos filas y las dos las primeras no a ver
yo tú tienes que empezar por donde está el segundo puedes empezar por
donde quieras yo he empezado cogiendo la primera fila y la segunda fila
pero podías haber empezado cogiendo las la primera y la tercera si quieres
lo que pasa es que si coges la primera y la tercera te sale 0 y entonces
tendrías que coger otros dos hasta que encuentres uno que no salga 0 o el
caso extremo ¿cuál sería? ¿cuál sería el caso más grave aquí? más
largo que te salgan los dos que todos salgan 0 que todos los determinantes
de orden 2 que cojáis salgan 0 y hay unos cuantos con todos estos números
podéis formar unos cuantos pero puede pasar que todos los determinantes
que forméis de orden 2 salgan 0 entonces ¿qué pasaría? si todos los
determinantes de orden 2 salen 0 ¿cuál sería el resultado de la suma? lo
mismo 1 entre 3 uno de ellos uno cualquiera de ellos el que queráis de los
tres si todos los determinantes de orden 2 valen 0 el resultado de la suma
sería uno cualquiera de los tres subespacios porque los tres vectores
dependerían de los otros tres serían los tres dependientes entre sí y
tendríais que coger uno solo el que queráis de los tres creo que ahora
tengo un ejemplo como ese bueno en este caso como he encontrado un
determinante de orden 2 que no sale 0 este eso quiere decir que aquí tengo
que poner dos de los tres ¿qué dos? los que corresponden a las dos filas
que he cogido en este determinante he cogido la primera fila y la segunda
fila pues esos dos este otro este es un ejemplo del caso extremo más largo
estoy sumando tres subespacios si calculáis el determinante 1, 2, 0 3, 6,
0 2, 4, 0 sale 0 podéis calcularlo veréis que sale 0 vale si ese sale 0
entonces tenemos tengo que hacer como antes coger dentro de este
determinantes de orden 2 a ver si encuentro alguno que no sale 0 pero
cojáis el que cojáis podéis probar con todas las opciones posibles
siempre va a salir 0 si cojo primera fila segunda fila y las dos primeras
columnas me sale 0 si cogéis la primera fila y la tercera fila también
sale 0 si cogéis la segunda fila y la tercera fila también sale 0 y si
repetís esto cogiendo la tercera columna con las otras filas os va a salir
0 siempre por lo tanto no encuentro ningún determinante de orden 2 que no
valga 0 ¿qué tengo que hacer entonces? quitar 2 de los subespacios los
que queráis y quedaros con el otro el que queráis porque los 3 vectores
son dependientes a ver obviamente a estas alturas tendríais que ser
capaces de ver sin hacerlo porque recordaréis que en el examen nadie os va
a pedir que hagáis esto si no lo veis hacerlo pero a simple vista vosotros
miráis el vector 1, 2, 0 el 3, 6, 0 y el 2, 4, 0 y tenéis que ser capaces
de ver que dependen porque si yo multiplico este por 2 me sale este y si
multiplico este por 3 me sale este y si multiplico este por esto es más
difícil pero también tendríais que ser capaces de verlo ¿por qué
número hay que multiplicar este para que salga este? ¿por qué número
hay que multiplicar el 2 para que salga un 3? por 1,5 por 3 medios todos
dependen de todos son dependientes por lo tanto quitáis 2 y os quedáis
con 1 podéis quitar los dos que queráis y quedaros con el tercero el que
queráis bueno total que hemos visto en R3 los casos en que puedo quitar 1
y quedan 2 puedo quitar 2 me quedan 2 me queda 1 o son independientes los 3
y el resultado es R3 faltaría por hablar que creo que no tengo aquí eso
esto no es estos son otros ejemplos faltaría por hablar del caso como os
dije antes en R2 de que se sumen más de 3 subespacios nunca he visto en un
examen que pongan nada parecido así que no vamos a gastar el tiempo en eso
pero el razonamiento general sería el mismo que os hice antes porque para
R2 si alguien siente curiosidad bueno no vamos a pararnos en eso porque no
hay tiempo vamos a ver algún ejemplo más de los que sí que os pueden
poner este primero quiero sumar R por 1, 2, 0 más R por 3, 6, 0 a simple
vista 3, 6, 0 es un múltiplo del 1, 2, 0 porque si multiplicáis este por
3 sale el otro así que son dependientes porque estos son múltiplo de este
si son dependientes entonces quitáis uno y os quedáis con el otro podéis
quitar el que queráis y quedaros con el otro yo ahí he puesto que el
resultado es R por 1, 2, 0 pero podría haber puesto que es R por 3, 6, 0
es lo mismo en cambio en este otro caso el vector R por 1, 2, 0 lo sumo el
vector no, perdón el subespacio R por 1, 2, 0 lo sumo con el subespacio R
por 3, 0 2, 3 a lo mejor aquí ya no lo veis a simple vista uno es
múltiplo de otro sí o no os recuerdo que la forma de saber eso era la
siguiente cogeis la primera coordenada del que sea de este ¿por qué
número tengo que multiplicar la primera coordenada de este para que me
salga la primera del otro? por 0 eso tendría que valer para la segunda y
para la tercera coordenada y si no se cumple es que son independientes o
sea el 2 si yo lo multiplico con el mismo número que antes que era un 0
tendría que salir este pero no sale por lo tanto son independientes si los
dos vectores que hay aquí son independientes entonces la suma es ella
misma no se puede quitar nada ni añadir nada se queda así la suma sale lo
mismo que había fijaros que estoy sumando dos subespacios y creo que no
hay más casos posibles si se me ha olvidado alguno pues decírmelo pero
creo que no ¿alguna duda de todo eso? bueno supongo que tendréis muchas
es decir ahora lo que tenéis que hacer es practicar un poco porque yo os
lo cuento muy por encima luego haremos algún ejercicio de examen donde
sale esto ya y lo aplicaremos ahí a lo que es el ejercicio ya hemos
hablado de bases en muchos ejercicios y por eso os lo pongo aquí y os lo
repito os preguntan por una base de un subespacio como ese escrito con
números os dicen nunca será tan fácil pero al final tendréis que acabar
haciendo algo como esto dime una base de ese subespacio pues decidme
¿cuál sería una base de ese subespacio? una base es un conjunto de
vectores ¿qué vectores formarían la base? b igual se pone entre llaves
¿y qué vectores forma la base? pues en principio este y ese en principio
el 1, 2, 3 coma y el 4, 2, 3 casi siempre es eso así de fácil si os dan
una suma de dos subespacios y os preguntan ¿cuál es la base de la suma?
cogéis los dos vectores esa es la base pero ¿qué puede pasar que cambie
esto? pues lo que puede pasar es que estos dos vectores sean dependientes
si son dependientes hay que quitar uno y la base estaría formada sólo por
el otro por ejemplo si os dan la suma del subespacio 1, 1, 0 más el
subespacio r por 1, 1, 0 más el subespacio r por 2, 2, 0 y os piden que
escribáis una base o que digáis una base de esa suma el vector 1, 1, 0 si
lo multiplicáis por 2 da como resultado el vector 2, 2, 0 es decir estos
dos vectores son dependientes por lo tanto decir dependientes es lo mismo
que decir que alguno sobra para estas cosas en este caso podéis quitar
cualquiera de los dos ¿quién sería una base de esa suma? pues el 1, 1, 0
la base sería el conjunto formado por el vector 1, 1, 0 ¿y cuál sería
la dimensión? 1 en el caso anterior la dimensión era 2 recordad que la
dimensión es el número de vectores de la base ¿la base sería cualquier
subespacio o...? cualquier vector cualquiera de los dos si pones el otro
también vale pero uno solo vale creo que el otro día habíamos llegado ya
a hablar un poco de la intersección con los subespacios vectoriales hay
dos operaciones que se pueden hacer y que se utilizan mucho una es la suma
que ya hemos visto y la otra es la intersección ya os dije el otro día
que hacer la intersección de dos conjuntos es buscar los elementos que
están repetidos en los dos conjuntos buscar lo repetido a vosotros os
pondrán ejercicios en los que aparezca algo como esto R por 1, 2 la
intersección con R por 0, 1 o sea que tenéis que calcular cuánto vale la
intersección de esos dos subespacios la intersección de dos subespacios
siempre es otro subespacio eso es lo primero que tenéis que tener claro la
intersección de dos subespacios siempre es otro subespacio por lo tanto el
resultado tiene que salir R por algo tiene que salir otro subespacio vale
¿cómo se sabe qué sale? pues si estamos en R2 esto es muy fácil siempre
volvemos a lo mismo miráis los dos vectores que aparecen en los
subespacios el 1, 2 y el 0, 1 si esos dos vectores son independientes y eso
se comprueba os lo vuelvo a poner calculando el determinante en este caso
sale 1 distinto de 0 por lo tanto estos dos vectores sí son independientes
si estos dos vectores son independientes ¿cuánto vale la intersección?
esto es muy importante aprenderlo si estáis en R2 hacéis la intersección
de dos subespacios cuyos dos vectores o sea cuyas bases porque el 1, 2 es
la base de este primero y el 0, 1 es la base de este segundo son
independientes entonces la intersección es el vector nulo la intersección
es el vector nulo alguien puede decir ¿por qué? bueno la forma de
comprobarlo sería si tenéis paciencia escribir vectores de este primer
subespacio tienen que ser múltiplos del 1, 2 o sea valdrían el 1, 2 el 2,
4 el 3, 6 4, 8 etc. escribir vectores de este otro son múltiplos del 0, 1
valdrían el 0, 1 0, 2 0, 3 y buscar a ver si hay alguno repetido y veréis
que el único que está repetido es el 0, 0 no hay ninguno más repetido
vale vamos al otro caso posible hago la intersección y resulta que los dos
vectores que me aparecen en los subespacios son dependientes el 1, 2 y el
2, 4 está claro que son dependientes ¿no? porque el 2, 4 es el doble del
1, 2 ¿cuánto vale entonces la intersección? pues la intersección es uno
cualquiera de los dos subespacios porque realmente son el mismo uno
cualquiera el R1, 2 por ejemplo y el 2, 4 si vuelvo un poco para atrás os
dije antes de ningún ejemplo que la intersección de dos subespacios
siempre es otro subespacio alguien puede estar pensando ¿y esto que me ha
salido aquí es un subespacio? pues sí y esto lo preguntan muchísimas
veces ahora lo vamos a ver espero que no es de tiempo el subespacio formado
solo por el vector nulo es un subespacio o sea el conjunto formado solo por
el vector nulo es un subespacio es el subespacio más pequeño posible
¿cuál es su dimensión? si es un subespacio tiene dimensión si decís
uno estaréis aplicando la lógica diréis si solo tiene este vector pues
uno no el subespacio formado solo por el vector nulo es el más pequeño
posible su dimensión es cero cero bueno recordad que es un subespacio si
solo hay un vector y es el vector nulo es un subespacio y su dimensión es
cero vamos a R3 y aquí el razonamiento es el mismo esto no cambia si
tenéis que hacer la intersección de dos subespacios en R3 miráis los
vectores que están en cada subespacio las bases de cada subespacio porque
el 1 0 0 en este caso es la base del primero y el 2 1 1 es la base del
segundo comprobáis si son dependientes o independientes y os recuerdo que
la forma más fácil de saberlo es mirando si uno es múltiplo de otro o no
el 2 1 1 ¿es múltiplo del 1 0 0? no ¿tenéis claro que no? vale son
independientes como son independientes ¿cuánto vale la intersección? el
vector nulo de R3 cero cero cero aquí hay que poner un cero más el vector
nulo si alguien por cierto que a veces os confundís con esto aunque luego
en el examen no va a aparecer como este hipotés no vais a tener la opción
de confundiros en esto hay veces que confundís lo que es el vector nulo
con el conjunto vacío y no es lo mismo o sea no valdría responder que la
intersección es el conjunto vacío el conjunto vacío significa que no hay
nada en la intersección pero sí que hay algo el vector nulo así que
aquella respuesta no vale bueno en este otro caso el vector 1 0 cero y el
vector 2 0 cero son dependientes porque el 2 0 0 es el doble del 1 0 0 por
lo tanto ¿cuánto vale la intersección? pues uno cualquiera de esos dos
subespacios por ejemplo el R1 0 0 alguien puede estar pensando vale os he
contado cómo se hace la intersección de dos subespacios pero ¿y la de 3
o la de 20 subespacios? si os pido calcular la intersección de tres
subespacios ¿qué haríais? lo mismo empezando por los dos primeros
calcular la intersección de los dos primeros y el resultado la
intersección con el tercero por orden no va a apareceros en los exámenes
yo no lo he visto creo que nunca pero se haría así si os ponen este la
intersección con este y a continuación la intersección con otro más
tendríais que hacer primero la intersección de estos dos igual que he
hecho esto por orden saldría de los dos primeros saldría esto y después
y ahora haríais la intersección de esto con el tercero que os pongan lo
que salga más complicado ahora ya mezclamos suma e intersección igual no
veis bien los paréntesis desde ahí pero aquí se trata de hacer la
intersección de dos subespacios la intersección de dos subespacios uno es
este del final R por 1, 0, 1 ese es un subespacio y el otro es todo lo
anterior todo lo anterior esto de aquí es un subespacio tengo que hacer la
intersección de este con aquel en los ejemplos de antes era muy fácil
porque eran dos subespacios con un solo vector pero ahora este tiene dos
vectores y el otro uno y estos casos sí que aparecen en el examen vamos a
ver cómo se hace esto cómo os cuento yo esto es fácil me he bloqueado yo
a veces me pongo ¿qué pasa? me he bloqueado os iba a contar cómo y ahora
no se me ocurre cómo me lo salto no quedará ahí para siempre ¿tienes
que hacer primero la suma? si pudiera sí pero no pero la suma de estos dos
¿cuánto vale? eso eso mismo así que no llegamos a nada si tú sumas este
con este el resultado es eso mismo así que nos quedamos como estamos ¿y
si haces la intersección del primero de la suma con el...? vale pero no es
así como hay que hacerlo pero saldrá el mismo resultado es posible pero
no es así como hay que hacerlo entonces esperaros que os lo contaré si no
os lo cuento hoy porque no me viene la inspiración os lo cuento el
próximo día te lo apunto yo os lo cuento os lo prometo pero ahora no me
voy a quedar yo me confundo muchas veces entonces antes de contaros una
cosa que es mentira esperamos queda eso pendiente vamos a esto otro ya
estamos acabando con el tema hay una operación que es la suma ya hemos
visto ejemplos de cómo se suman y todos los casos posibles hay otra
operación que es casi lo mismo pero se llama no igual parecido es la suma
directa la suma directa de dos subespacios la operación de suma directa se
escribe con este símbolo el signo de sumar rodeado por un círculo si veis
ese símbolo un círculo y dentro del signo de sumar eso se lee suma
directa y a la izquierda y a la derecha tienen que ir dos subespacios vale
cuando dos subespacios de dos subespacios se puede hacer su suma directa
pues lo tenéis ahí puesto cuando la intersección de los dos subespacios
que vais a sumar es el vector nulo os pongo un ejemplo fácil queremos
sumar estos dos subespacios el r por 1 2 más el r por 2 3 yo compruebo
cuál es la intersección de estos dos subespacios antes de nada o sea hago
r por 2 3 r por 1 2 intersección r por 2 3 y ahora acordamos acordaros de
lo que acabamos de decir hace 5 minutos cómo se hace la intersección de
dos subespacios comprobando si los dos vectores que aparecen son
dependientes o independientes en este caso el 1 2 y el 2 3 que son
independientes si alguien no lo cree que calcule el determinante vale
independientes por lo tanto cuánto vale la intersección de estos dos
subespacios el vector nulo bueno ya he comprobado que la intersección de
estos dos subespacios es el vector nulo entonces la suma de estos dos
vectores ya no se escribiría así con el signo de sumar se escribiría con
el signo de suma directa porque la suma sería una suma directa se llama
así ¿cuál es el resultado? el mismo que antes el resultado es el mismo
que nos salía antes que ya tenéis que saber cuál es cuál es el
resultado de esa suma la llamemos suma o la llamemos suma directa ¿cuál
es el resultado? ¿cuál? son independientes ¿cuánto sale la suma? R2 o
sea que como sí en lo que usted te ha dicho de suma directa habría que en
el enunciado ¿habría qué? perdona en lo que usted tú en el enunciado
aquí sí hay que poner el signo del circulito a ver no os confundáis con
esto la suma directa es una operación distinta de la suma normal al final
no hay que hacer lo mismo solamente la suma normal en algún caso especial
en este caso especial en vez de llamarse suma se llama suma directa pero la
operación se hace lo mismo que de la otra forma pero se llama suma directa
¿qué os pueden preguntar a vosotros de esto? pues os colocan dos
subespacios el R12 y el R10 y os dicen ¿su suma es directa o no? no os lo
van a preguntar así pero algo parecido a eso ¿su suma es directa o no? y
tendríais que contestar que sí porque a la intersección de esos dos
subespacios es el vector nulo ¿de acuerdo? al final la suma directa y la
suma normal se hacen igual no cambia nada pero una se llama de una forma y
otra de otra ¿cuándo se llama suma directa? cuando los espacios que
estáis sumando los subespacios que estáis sumando su intersección es el
vector nulo bueno una fórmula que tenéis que saberos la fórmula de las
dimensiones que la tenéis ahí puesta arriba sirve para calcular la
dimensión de una suma de dos subespacios sin necesidad de tener que
sumarlos aunque a veces hace falta igual la fórmula dice que la dimensión
de una suma a más b es igual a la dimensión del primer subespacio que es
a más la dimensión del segundo que es b menos la dimensión de la
intersección de los dos espacios la dimensión de una suma es igual a la
dimensión del primero más la dimensión del segundo menos la dimensión
de la intersección tenéis que saberos esta fórmula por ejemplo no sé si
distinguir los paréntesis pero en este primer ejemplo que tengo aquí
estamos sumando este subespacio que es uno solo con este otro haciendo un
cálculo rápido y sin complicarnos la vida porque luego esto no sale en
los ejercicios ya lo veréis porque ahora vamos a ver alguno ¿cuál es la
dimensión de este primero? dos ¿cuál es la dimensión del segundo? uno
la dimensión de la suma o sea si sumo estos tres sería dos más uno menos
y ahora tendría que restar la dimensión de la intersección y habría que
hacer la intersección de este con estos y volvemos al atasco de hace un
momento ¿vale? que ya aclararemos os lo prometo en este caso la dimensión
de la intersección va a salir voy a hacer el determinante no sé a qué os
lo diga uno uno cero creo que sale uno ¿no? creo que el determinante sale
uno porque es el único producto que no es cero bueno entonces en este caso
la intersección es el vector nulo y la dimensión de la suma es dos más
uno que son tres menos cero que sería la dimensión de la intersección en
total tres la dimensión de la suma en este caso sería tres por lo tanto
¿cuánto valdría esta suma? R3 queda un punto oscuro aquí que es cómo
calcular eso que no os he explicado esta fórmula es muy importante no
porque para este tema es importante para el tema dos en el tema dos cuando
tengamos que calcular la dimensión de la imagen y la dimensión del
núcleo vamos a utilizar mucho esta fórmula así que por favor apuntarla y
aprenderla que es muy fácil en este tema no se usa porque no os van a
poner nunca un ejercicio como estos en el examen del tema uno pero sí que
la vamos a usar en el tema dos y es muy útil y muy importante apuntarla y
avanzo a ver si acabamos que nos queda una cosa sube subespacios
suplementarios ¿cuándo dos subespacios son suplementarios? esto sí que
es muy importante y lo ponen en los exámenes pues para que sean
suplementarios tienen que cumplir dos condiciones la primera que su
intersección sea el vector nulo y la segunda que al sumarlos salga todo el
espacio si cumplen esas dos condiciones dos subespacios entonces se dice
que son suplementarios vale entonces si cumplen tienen que ser dos
subespacios no vale que os den tres y os pregunten si son suplementarios
tienen que ser dos para que sean suplementarios al hacer su intersección
tiene que salir el vector nulo y al sumarlos tiene que salir todo el
espacio o R2 o R3 depende de donde estemos entonces por ejemplo estos dos
que tengo aquí el subespacio R por 1, 2 y el subespacio R por 0, 1
queremos saber si son suplementarios o no lo primero que habría que hacer
es unir la intersección y ya os he explicado cómo se mira los dos
vectores son dependientes o independientes como son el 1, 2 y el 0, 1
independientes por lo tanto la intersección de estos dos subespacios
¿cuál es? el vector nulo así que se cumple la primera condición ahora
la segunda lo sumo como son independientes si lo sumáis ¿cuánto sale? R2
todo el espacio se cumplen las dos condiciones así que son suplementarios
no sólo son suplementarios sino que además volviendo para atrás su suma
sería directa porque su intersección es el vector nulo o sea eso se
escribiría resumiendolo así R1, 2 su suma directa con R0, 1 es igual a R2
vale en el caso de abajo tengo dos subespacios este y este otro me salto la
primera condición paso a la segunda primero si hacéis la suma ¿sale todo
el espacio o no sale? ¿qué habría que hacer para comprobarlo? ¿cómo
compruebo de golpe si sale todo el espacio o no? tendríais que hacer la
suma esta más aquella o sea sumar los tres ¿cómo se sabía lo que salía
al sumar tres en R3? ¿qué había que hacer? ver si los tres vectores son
independientes o no calculando su determinante hay que calcular el
determinante no sé si es el mismo que hice antes es el mismo de antes
¿no? que salía uno creo que sí comprobarlo que sale uno son
independientes como son independientes el 1, 0, 0 el 2, 1, 1 y el 0, 0, 1
entonces estoy sumando en realidad tres subespacios de R3 cuyos vectores
son independientes ¿cuál es el resultado? R3 y entonces fijaros diréis
para saber si son suplementarios me falta comprobar la primera condición
si su intersección es el vector nulo o no pero ya podemos saberlo sin
necesidad de calcular la intersección con la fórmula de antes ¿tenéis
ahí la fórmula de antes? por no volver yo para atrás vale ¿cuánto me
ha salido la suma? la suma me ha salido R3 ¿cuál es la dimensión de la
suma? ¿cuál es la dimensión de la dimensión de la intersección? ¿la
dimensión de este? 2 ¿la dimensión de este? 1 ¿cuánto tiene que valer
la dimensión de la intersección? 0 obligatoriamente para que se cumpla
esa fórmula la dimensión de la intersección tiene que valer 0 así que
¿quién tiene que ser la intersección? el vector nulo es una forma de
calcular la intersección sin calcularla utilizando la fórmula que vale
perfectamente porque nos van a pedir otra cosa por lo tanto estos dos
subespacios son suplementarios porque su suma es todo el espacio y su
intersección es el vector nulo y su suma entonces sería directa que ya no
lo escribo ¿todos los subespacios suplementarios son sumas directas? si
son suplementarios su intersección es el vector nulo por lo tanto su suma
es directa al revés no ¿y no todos los de suma directa son
suplementarios? son suplementarios al revés no pero al derecho sí ¿cuál
es la dimensión bueno y creo que os he contado más o menos todo lo que he
apuntado del tema que es importante nos queda poco tiempo pero vamos a ver
alguna pregunta de las que ponen en el examen que responde a todo esto que
hemos estado viendo a ver una aclaración yo no os he contado todo el tema
no me da tiempo hay cosas que me he saltado que considero que son menos
importantes pero me las he saltado porque si no no tenemos tiempo por
ejemplo no os he hablado de generadores haremos algún ejercicio donde sale
eso que son pocos y os explico muy por encima de qué va porque alguna vez
pocas pero alguna vez sí que han preguntado por ellos y me habré saltado
más cosas seguro bueno no sé si veis he cogido los exámenes y los he
escaneado y he puesto aquí la primera pregunta de algunos exámenes del
tema 1 que es lo que hemos visto en los exámenes aparece la primera
pregunta y a veces también la segunda entonces esta o una como esta
aparece 100 veces si miráis 100 exámenes 100 exámenes anteriores aparece
50 no 100 en la mitad de los exámenes ponen una pregunta igual que esta
solo cambian las 4 opciones la pregunta es ¿cuál de los siguientes
subconjuntos de R3 no es un subespacio vectorial? lo pregunta al revés
¿cuál no es? pensad que el examen tiene 10 preguntas y esto es un punto
del examen porque todas valen igual y es fácil ¿no? bueno es fácil
porque está marcada pero si no vieseis ahí que está marcada sabríais
contestar a esa pregunta ¿esto es o no es? sí porque os he dicho que
siempre que sea R por un vector eso es un subespacio vectorial no tenéis
que comprobar nada así que este sí es R3 evidentemente también y os
acabo de decir hace un rato que el conjunto formado por el vector nulo
también entonces ya no tenéis que pensar más esto no puede ser porque si
las otras 3 no son o sea no son la respuesta correcta es que tiene que ser
la cuarta la que falta recordad que solo hay una respuesta correcta de las
4 nunca puede haber más de una y siempre hay una así que si descartáis 3
no penséis en la otra la otra tiene que ser obligatoriamente bueno esto me
lleva a una cosa que no os he contado pero que ya lo veis aquí el conjunto
formado por un vector solo excepto si es el vector nulo nunca es un
subespacio vectorial el único conjunto que está formado por un solo
vector y es un subespacio vectorial es este el formado por el vector nulo
siempre que veáis un conjunto formado por un solo vector que no sea el
nulo eso no es un subespacio vectorial no puede serlo nunca pues esto es un
punto del examen otra de otro examen estas preguntas las he sacado de
exámenes de hace 2 años no del año pasado de hace 2 pero los del año
pasado fueron iguales os lo prometo y los de el año pasado lo mismo
¿cuál de los siguientes subconjuntos de R3 no es un subespacio vectorial?
vale el razonamiento es el mismo que antes por descarga este sí porque es
R por un vector este evidentemente también porque es R3 y este también
porque es el conjunto formado por el vector nulo cual no es el otro por
cierto no hemos hablado todavía de subespacios afines ahora os comento
algo de eso esto es un subespacio afín un subespacio afín es la suma de
un vector y un subespacio vectorial si sumáis un vector el que sea y un
subespacio vectorial eso es un subespacio afín hace 2 años yo preparé
unos apuntes resumen muy breve de subespacios afines para que tengáis una
idea breve pero muy clarita mucho más claro de lo que viene en el libro
creo de que es un subespacio afín os voy a poner esos apuntes este fin de
semana espero no olvidarme ¿vale? si me olvido igual no es el fin de
semana pero si me olvido y es el lunes o el martes pero este fin de semana
os pongo ese resumen en el apartado de documentos del del foro de tutoría
hay un apartado allí que pone documentos lo pongo allí de todas formas
están en internet por 17.000 sitios así que a lo mejor ya los tenéis
bueno son 3 páginas que resumen lo que tenéis que saber de subespacios
afines que es poco vale me voy a saltar esta de momento vamos a esta otra
lo mismo ¿cuál de los siguientes subconjuntos de R3 no es un subespacio
vectorial de R3? vale por descarga el apartado C R3 si es o sea esta no es
la solución esto también es un subespacio así que esa no es la solución
esto esto es un subespacio vectorial ¿sí o no? sí os dije cuando
empezamos a hablar de intersección que la intersección de dos subespacios
siempre es un subespacio así que esto si es ¿vale? por lo tanto esta sí
esta también la que queda es esta otra ¿qué os he dicho que es esto?
subespacio afín bueno pues ya veis que con cierta frecuencia esta primera
pregunta se repite en la mitad de los exámenes que ponen y no exagero en
la mitad de los exámenes que ponen la primera pregunta es esta otras veces
por desgracia para vosotros la primera pregunta es esta otra aquí ya la
cosa es más complicada vale si en la mitad de los exámenes ponen la que
hemos hecho en la otra mitad ponen esta y solamente en un porcentaje muy
bajo de exámenes aparece otra distinta bueno vamos a ver esta es más
complicada pero al final se hace muy fácil aquí nos dan dos subespacios
vectoriales el F1 y el F2 uno lo suelen dar escrito de esta manera y el
otro escrito de otra manera cada uno lo dan escrito de una forma y y os
pregunta cuál de las cuatro opciones que hay a continuación se cumple y
esto ya es más complicado la primera dice que F1 está incluido en F2
estar incluido es que todos los vectores de F1 están en F2 también y la
suma de F1 más F2 es igual a F2 la segunda dice que son subespacios
independientes acabamos de ver que era eso la tercera que son
suplementarios acabamos de ver lo que era eso y la cuarta es la contraria
que la primera al revés que la primera bueno ¿cómo se haría eso?
siempre tenéis que hacer esta pregunta la ponen en el 50% de los exámenes
no exagero nada siempre tenéis que hacer lo siguiente el subespacio que os
lo dan escrito así escribirlo de la otra forma ese es el primer paso y es
muy fácil miráis la condición F1 la condición que pone es que Z es
igual a 0 si Z es igual a 0 entonces estamos en R3 un vector cualquiera de
R3 sería este X y Z pero yo sé que Z es igual a 0 así que quito la letra
Z y pongo un 0 me quedaría eso lo que estoy haciendo no es muy elegante en
términos matemáticos habría que poner iguales lo que sea pero a vosotros
esto no os lo van a ver esto lo vais a tener una hoja aparte que no vais a
entregar ahora lo que os ha quedado miráis a ver cuántas letras tiene si
sólo tuviera una letra acordaros que ya hicimos esto hace dos semanas
sacáis esa letra para afuera como factor común si sólo hubiera una pero
por desgracia hay dos si hay dos letras si os quedan dos letras entonces
ese vector tenéis que convertirlo en suma de dos vectores el primero con
una letra y el segundo con la otra y al sumarlos me tiene que salir el de
arriba así que ¿qué tengo que poner en el primero y qué tengo que poner
en el segundo? ¿qué hay que poner en el primero? el primero se lleva la
letra X el segundo se lleva la letra Y ¿qué pondréis en el primero? X
cero y cero no porque en la segunda coordenada no hay ninguna letra X por
eso he puesto un cero ah, ya acabamos no, es que no la tenía la llevo y ya
ah, vale, vale gracias a ver tenéis que mirar dónde hay X en la primera
coordenada una X pues la pones en la segunda no hay letra X un cero en la
tercera no hay letra X un cero ahora, en el otro vector las Y ¿qué
pondría? cero Y y cero y ahora en cada uno de esos dos sacáis la letra
fuera como factor común ¿qué quedaría en el primero? uno, cero, cero y
delante la R y ¿qué queda en el otro? cero, uno, cero y delante la R
repasaros eso en casa a ver si lo entendéis porque es importante os va a
parecer el subespacio que me dan es este R, uno, cero, cero más R, cero,
uno, cero ese es el primer subespacio escrito en la forma que nos interesa
y el otro es R, uno, uno, cero vale ahora empezar por la opción que
queráis pero lo normal siempre pregunta las cuatro mismas las cuatro
mismas habría que empezar mirando si son independientes o no este y este
¿son independientes o no? y para eso vamos a utilizar lo mismo que en el
ejemplo de antes la fórmula y la suma si sumáis este con aquel ¿qué
sale? ¿qué habría que hacer? ¿cómo se comprueba lo que sale? quiero
sumar este con este ¿cómo compruebo lo que sale? ¿qué hay que hacer?
que lo hemos hecho cien veces hoy ya ¿qué hay que hacer con los vectores?
el determinante ver si son dependientes o independientes cojo este vector
este vector y este vector y compruebo si son dependientes o independientes
calculando su determinante si no me equivoco el determinante sale cero
hacerlo en casa ¿vale? sale cero si sale cero ¿cómo son esos tres
vectores? dependientes si son dependientes entonces ¿qué? lo fácil
sería si fueran independientes entonces ya habríamos acabado pero si son
dependientes entonces ¿qué? ¿cuánto vale la suma? acordaros del caso de
que teníamos tres y eran dependientes ¿qué había que quitar? dos de
ellos o dos de ellos o uno en estos casos siempre va a haber que quitar
solo uno porque si no esto no saldría así ¿vale? pero es que se nos
alarga vale hay que quitar uno ¿cuál quito? pues tendríais que hacer lo
mismo que hicimos antes buscar la matriz coger de dos en dos y mirar a ver
cuál quitáis y seguimos aquí el próximo día ¿vale? si no seguimos en
este ejercicio el próximo día