¡Buenos días! Vamos a trabajar ahora una serie de actividades, de
cuestiones delante del ámbito de la cinemática y alguna también de
ecuación de dimensiones. Veamos esta primera cuestión, dice, si T
representa el tiempo, ¿cuál de las siguientes expresiones es correcta?
Sabemos que para que una ecuación física sea homogénea, sea correcta,
¿qué tiene que suceder? Que la ecuación de dimensiones no sea
homogénea, es decir, este parámetro alfa que por ejemplo aparece en esta
ecuación debe tener la misma ecuación de dimensiones, debe tener las
mismas unidades en todos los términos de dicha ecuación. Fijémonos que
alfa está primero en el exponente. Tenemos que recordar que los exponentes
y los argumentos de razones trigonométricas, todos ellos son
adimensionales. Por lo tanto, si yo tengo e elevado a menos alfa T
cuadrado, ¿no? O alfa por T cuadrado, ¿no? Ahí tenemos que darnos cuenta
que la ecuación de dimensiones, como ha de ser adimensional, la ecuación
de dimensiones de alfa en el primer caso sería tiempo a la menos dos.
Bueno, en el caso B, por ejemplo. ¿Me pasas unas gafas, por favor? Bueno,
un momento. Gracias. Este sería en el caso B, por ejemplo. En el caso C
también, pero cuando tenemos, en el caso A, por ejemplo, tenemos que alfa
cuadrado es por t cuadrado, ¿no? Entonces, la ecuación de dimensiones de
alfa sería t a la menos uno. Porque si despejamos alfa, ¿no? Alfa sería
alfa cuadrado, este cuadrado, ¿no? Sería alfa... La ecuación de
dimensiones de alfa tendría que ser igual a la del tiempo, pero invertida,
para que sea adimensional. ¿De acuerdo? Bueno, vamos a ver si esto lo
entendemos. Y... Y el argumento. Vamos a ver. El argumento, fijaos. En el
primero pone que raíz de alfa por t. Eso quiere decir... Eso quiere decir
que la ecuación de dimensiones de alfa, ¿no? Si yo le base al cuadrado
sería alfa por t cuadrado, ¿no? Sería el argumento. Luego, la ecuación
de dimensiones de alfa sería t a la menos dos. En el primer caso. ¿Eh? En
el primer caso. Entonces, ya no iría bien. En el segundo caso, igual. En
el caso b, también sería alfa t a la menos dos. ¿Por qué saco? Porque
raíz de alfa por t... Sería alfa por t cuadrado, para despejar alfa. La
ecuación de dimensiones de alfa sería la del tiempo a la menos 2.
Entonces sí que vemos que B sería homogénea. C y D me llevan consigo que
alfa tenga de unidades en el argumento t a la menos 1. Mientras que la
parte del exponente, fijaos, tiene t cuadrado. Las unidades de alfa son t a
la menos 2. Por lo tanto, confirmamos que la ecuación homogénea es la B.
Dice aquí, un tenista golpea una pelota que se mueve por el aire
describiendo una parábola. Si la luz del sol cae vertical. Sobre la pista
y se despecia el rociamiento del aire, ¿qué tipo de movimiento describe
la sombra de la pelota? La sombra de la pelota se moverá en línea recta a
velocidad constante. Porque la sombra de la pelota, en realidad, sería la
componente x de la velocidad, que sabéis que es constante. De acuerdo. Es
v sub x, v sub 0x, v sub 0 coseno de alfa. Si nos acordamos del movimiento.
A ver. Si lo hago así, no me queda bien. Un momentito. Vamos con el
siguiente. Dice, un coche que ha de recorrer 100 kilómetros cubre los
primeros 50 kilómetros a 40 kilómetros por hora. Sea de 50. De todo el
trayecto. Bien. Los primeros 50 kilómetros los va a recorrer, si es un
movimiento a velocidad constante, v igual a x partido por t, será,
despejando el tiempo y poniendo la velocidad en kilómetros por hora, será
1,25 horas. ¿De acuerdo? Ahora, el tiempo total en recorrer los 100
kilómetros ha de ser de 2 horas. ¿Por qué? Porque nos dice que la
velocidad media ha de ser de 50 kilómetros por hora. Y todo el trayecto
son 100 kilómetros. Bien, eso quiere decir que los segundos 50 kilómetros
los ha de recorrer en un tiempo de 2 menos 1,25 horas. Es decir, 0,75
horas. 0,75 horas ha de recorrer los segundos 50 kilómetros. Entonces, el
tiempo serán 0,75 horas. ¿Cuál será la velocidad? Pues 50 entre 0,75.
En concreto, 66,7 kilómetros por hora, que es lo que tenemos aquí
indicado. ¿De acuerdo? Bien, dice, un cuerpo se mueve en una dimensión de
modo que su posición en cualquier instante es x de t igual a c por raíz
de t. Siendo c. Una constante. Entonces, su velocidad en el instante t,
¿cuál será? Bueno, ¿cómo puedo calcular la velocidad? Pues con la
derivada. La derivada del espacio con respecto del tiempo me va a dar la
velocidad. c es una constante y tengo que hacer la derivada de raíz de t.
Raíz de t... ¿Vale? Es t elevado a 1 medio. Raíz de t. ¿De acuerdo?
Entonces, si yo tengo la función t elevado a 1 medio, ¿cuál será la
derivada? Y prima, en matemáticas, sería un medio de t elevado a un medio
menos uno. Es decir, un medio por t elevado a menos un medio. O lo que es
lo mismo, uno partido dos veces raíz de t. ¿Vale? Que es lo que tenemos
aquí arriba. ¿De acuerdo? Nos acordamos de cómo se hace la derivada de
una función exponencial, o si no la sabemos de memoria, de una raíz.
¿Vale? Entonces, nos queda esta expresión. ¿Vale? Nosotros podemos
sustituir para dejarlo en función de x, porque aquí las soluciones que me
dan me indican que lo dejemos en función de x, ¿no? De la posición.
Entonces, si nosotros despejamos... ... En la expresión x de t igual a c
por raíz de t, yo puedo sustituir raíz de t, por ejemplo, por x partido
por c. Sustituyo por x partido por c. ¿Vale? Y operando, ¿qué me queda?
Que la velocidad es inversamente proporcional a la posición. Es
inversamente proporcional a x. Está en el denominador. Hemos dejado la
velocidad... ...en función de x. Porque no me pide cómo es la velocidad
con respecto al tiempo, sino con respecto a x. Es decir, eso quiere decir
que a mayor x, menor velocidad. La velocidad es inversamente proporcional a
x. Seguimos. Dice, se lanza desde el suelo hacia arriba una pelota...
...una pelota... Con velocidad inicial 0, perdón, v sub 0. Cuando la
pelota ha llegado a 3 cuartas partes de su altura máxima, ¿cuál será su
velocidad? Cuando ha llegado a las 3 cuartas partes de su altura máxima.
Vamos a ver cuál será su velocidad. Bien, ¿cómo determinamos primero la
altura máxima? Bueno, sabemos que en el punto más alto, ¿no?, la v es 0
y la i sería la i máxima. Tomamos como origen el suelo y ponemos i sub 0
igual a 0. Aplicamos la fórmula de los cuadrados, ¿de acuerdo? Aquí la
tenemos, ¿no? Y sustituyendo me queda que la i máxima es v cuadrado
partido 2g. Ahora bien, cuando i es igual a 3 cuartos, de la i máxima,
¿no?, ¿qué me representa 3 cuartos de la i máxima? Pues 3 octavos de v
sub 0 cuadrado partido por g. Esto es lo que me representa la i. Pues
entonces voy a ir otra vez a la ecuación de los cuadrados, donde sabemos
que i sub 0 es 0 y que la altura, la altura cuando es 3 cuartas partes de
la máxima, es 3 octavos de v sub 0 cuadrado partido por g. Sustituyo el
incremento de i, por 3 octavos de v sub 0 cuadrado partido por g. Fijaos
como la g y la g se nos va, y me queda 3 cuartos de v sub 0 cuadrado. Tengo
que hacer 1 menos 3 cuartos de v sub 0 cuadrado. 1 menos tres cuartos es un
cuarto. Por lo tanto, v será raíz cuadrada de un cuarto de v sub cero
cuadrado. Por lo tanto, v será igual a más menos un medio de v sub cero.
El resultado positivo es si la partícula está subiendo y el resultado
negativo es si la partícula está descendiendo. Aquí suponemos que está
subiendo, ¿no? Vamos con este otro. Dice, a y b son dos puntos de un disco
que rota alrededor de un eje perpendicular del disco que pasa por su
centro. Si la distancia al centro del disco entre los dos puntos es ra y
rb, donde rb tres veces es ra, y la aceleración radial en el punto b, es
alfa, ¿cuál es la aceleración del punto a? Bueno, es a. La aceleración
en el punto b es a sub b y la aceleración en el punto a es lo que me pide.
Bueno, para hacer este ejercicio recordemos que la aceleración radial o
centrípeta o aceleración normal es v cuadrado partido de v. V cuadrado
partido por r, siendo v la velocidad lineal y r el radio de la trayectoria,
¿vale? Ahora bien, si hablamos de magnitudes angulares, nosotros sabemos
que la velocidad angular es igual al ángulo descrito partido el tiempo
invertido. El ángulo descrito partido el tiempo invertido, ¿de acuerdo?
Ahora bien, Ahora, el ángulo descrito está relacionado con el espacio
recorrido en un arco de circunferencia. El espacio es igual al ángulo
multiplicado por el radio. Entonces, si nosotros sabemos que la velocidad
es espacio partido por tiempo, y el espacio yo lo puedo expresar por el
ángulo por r partido por el tiempo, yo puedo obtener esta expresión que
me relaciona la velocidad lineal con la velocidad angular. Lo veremos con
el movimiento de sodio rígido también, que la velocidad lineal es igual a
la velocidad angular multiplicada por el radio. Siempre la magnitud lineal
es igual a la magnitud angular multiplicada por el radio. De manera que el
ángulo siempre se expresa en radianes, y la velocidad angular se expresa
en radianes partido por segundo. Por lo tanto, la aceleración normal, que
es v cuadrado partido por r, nosotros lo podemos expresar como omega
cuadrado por r cuadrado partido por r. ¿Por qué? O lo que es lo mismo,
omega cuadrado por r. Es decir, la aceleración normal de una partícula
que describe un movimiento circular uniforme, tenemos dos formas de
representarla. Es importante saber ambas. Una, a sub n es v cuadrado
partido por r, y otra, a sub n es omega cuadrado multiplicado por r. ¿Y
cuál es la relación entre v y omega? Pues v es igual a omega por r. De
hecho, también veremos que omega, que es la velocidad angular, que es el
ángulo partido por el tiempo, si se trata de una vuelta, ¿el ángulo
cuál es de una vuelta en radianes? 2pi. Y el tiempo que tarda en dar una
vuelta se define como el periodo. Es el periodo. Por lo tanto, nosotros
podemos expresar también esa velocidad angular como 2pi partido por el
periodo, si nos interesa calcular el periodo o nos lo dan de dato. ¿Vale?
Bueno, todo esto venía a que teníamos una partícula. Queríamos saber
qué vale la aceleración normal de una partícula, que es de un disco que
está descubriendo un movimiento circular. Y en función del radio nos
encontramos en distintos puntos. Punto A y punto B. ¿Vale? Y una cuestión
es que esa aceleración normal, tenemos que recordar que siempre va
dirigida hacia el centro. Hacia el centro. La aceleración normal es un
vector que va dirigido siempre hacia el centro. ¿Vale? Lo voy a pintar
aquí, hacia el centro. Uy, perdón. Esto sería la aceleración normal o
centrípeta. ¿Vale? Entonces, como a mí me dan de dato omega y omega es
constante... Lo que no es constante es la velocidad lineal, porque la
velocidad lineal depende de la distancia del eje de giro. Fijaos, v es
igual a omega por r. En función de la distancia que nos encontremos del
eje de giro, tendremos distintas velocidades lineales. Es como un tío vivo
que da vueltas. Cuanto más lejos nos encontremos del eje de giro, mayor
será nuestra velocidad lineal. Pero omega es constante. Entonces, si
sabemos que la aceleración en b es omega cuadrado multiplicado por rb, y
quiero saber lo que vale la aceleración en a, que es omega cuadrado por ra
o qué relación existe, ¿cuál es la aceleración en el punto a? Pues
sustituyo rb por tres veces ra. ¿Y qué me queda? Pues que la aceleración
en b es tres veces la aceleración en a. También podríamos haber
sustituido en ra y poner que ra es rb partido por 3. Sería lo mismo.
Podríamos haber sustituido aquí por rb partido por 3. Y entonces me
hubiera salido el mismo resultado, que la aceleración en a es igual a la
aceleración en b partido por 3, que es el resultado a que tenemos aquí.
Vamos aquí con este otro. Dice, se lanza un proyectil con un ángulo de 30
grados. En el punto más alto de su trayectoria, su velocidad horizontal es
de 175 metros por segundo. ¿Cuál es el módulo de su velocidad inicial en
el lanzamiento? Bien, aquí tenemos que recordar... ...que en un
lanzamiento oblicuo, en el punto más alto, la v sub i es cero. Y sólo
tenemos una v sub x. que coincide con la velocidad inicial, e igual a v sub
cero coseno de alfa. Pensemos que esto es v sub cero, y si descomponemos
esta v sub cero en dos componentes perpendiculares entre sí, tenemos una v
sub cero x y una v sub cero y. Entonces, v sub cero y, v sub cero x. Esto
sería alfa. Entonces, en el punto más alto v sub i es cero, la única
velocidad es la v sub x, como tenéis aquí indicado. Por lo tanto, a
partir de aquí, nosotros podemos despejar la velocidad inicial, sabiendo
la velocidad en el punto más alto, que sale 202. Seguimos. Desde lo alto
de una torre, soltamos... Soltamos una bola, su masa m. Un segundo
después, soltamos una bola de la misma forma y masa, ¿no? No, y de masa
2m. Mientras las bolas están en el aire, ¿no? Su separación, ¿qué pasa
con su separación? Es la misma, es constante, disminuye, aumenta, no se
puede saber, vamos a verlo. La primera, la ecuación de la partícula de la
primera bola, ¿no? Sería i sub 1 igual a i sub cero menos un medio de gt
al cuadrado. Daos cuenta que no hay velocidad inicial. Se deja caer. La
segunda, la ecuación de la segunda bola sería y sub cero porque parte del
mismo punto menos un medio de g pero ojo t menos uno al cuadrado. ¿Por
qué t menos uno al cuadrado? Porque se deja caer un segundo más tarde.
¿Cuál sería la separación de las dos bolas? La separación sería y2
menos y1 que sería la posición de la segunda partícula menos la
posición de la primera partícula. Entonces nos daría siempre una altura
positiva. Ahora, ¿podríamos hacerlo al revés? Sí. Saldría lo mismo.
Entonces y2 menos y1 sería, restando las dos ecuaciones y sacando factor
común un medio de g, esta expresión que tenemos aquí, después hacemos
el binomio, cuidado que esto es un signo menos que quede claro, porque hay
un menos delante de este paréntesis, es un binomio al cuadrado. Y
simplificando se nos va a los t cuadrados, me queda aquí que el incremento
de y es igual, para un medio de g, 2t menos 1. ¿Qué quiere decir esto?
Que la separación aumenta con el tiempo porque es directamente lineal al
tiempo transcurrido. Dice ahora, en el instante t igual a cero se deja caer
un objeto de masa m desde el tejado de un edificio. En el mismo instante se
deja caer un segundo objeto de masa 2m desde una ventana situada 10 metros
por debajo. Mientras los dos objetos... Están en el aire, ¿no?, cayendo,
la distancia entre ellos, ¿qué les pasa? Pues vamos a verlo. Mirad, la
ecuación del movimiento de la primera, ¿no?, sería y1 igual a y0 menos
un medio de gt al cuadrado, siendo y0 la altura inicial. La segunda se deja
caer desde una altura 10 metros por debajo. en el mismo instante, y sub
cero menos diez. Como es en el mismo instante, sería también menos un
medio de gt cuadrado. Si nosotros queremos saber cuál es la separación,
tenemos que hacer i1 menos i2. Si restamos las dos ecuaciones, nos queda
que la i1 menos i2 es igual a diez. Se mantiene constante. No depende del
tiempo. Y esto ocurre porque lo hemos dejado caer desde el mismo instante y
por lo tanto tienen la misma velocidad inicial. Inicial, ¿no? Y eso es lo
que hace que vaya, la separación sea constante. Dice, una flecha con
velocidad de veinte metros por segundo recorre... Recorre... Perdón. A una
velocidad de veinte metros por segundo se incrusta cinco centímetros en
una diana antes de detenerse por completo. Mientras que penetraba en la
diana, su aceleración supuesta constante era... Vamos a verlo. Aquí, la
velocidad inicial es de veinte metros por segundo y la velocidad final,
cuando queda incrustada, es cero. Entonces, v cuadrado es igual a v sub
cero cuadrado más dos a incremento de x. ¿Vale? ¿Qué vale incremento de
x? Lo que se penetra en la diana, cinco centímetros, cinco por diez
elevado a menos dos metros. La velocidad final es cero y tenemos que
despejar la aceleración. La aceleración, despejando, sale menos cuatro
mil metros por segundo al cuadrado. Disculpad, porque aquí he puesto
metros por segundo. Y son metros por segundo al cuadrado. ¿Vale? Lo
corregimos. Venga. Seguimos. Dice ahora, una persona lanza una pelota hacia
arriba, elevando el brazo para lanzarla. Si la pelota se desprende de la
mano a dos metros del suelo y alcanza una altura máxima de ocho metros
sobre el suelo, ¿cuánto tarda en caer al suelo la pelota? Venga, vamos
allá. ¿Cuál es la ecuación de movimiento de la pelota? Aquí dice que
tomemos gravedad 9,8. La ecuación de movimiento de la pelota será igual a
la altura inicial, que es dos metros, más velocidad inicial por el tiempo,
que no la conocemos, menos 4,9 t cuadrado, que eso es un medio de g. La
velocidad en el punto más alto será cero, porque sabéis que en el punto
más alto siempre de cualquier lanzamiento v sub i es cero. Pues v sub i es
cero, luego el tiempo se puede expresar como v sub 0i partido por g. v sub
0i partido por g. Entonces voy a la primera ecuación y sabemos que la
altura máxima es ocho. Sustituyo la i máxima por ocho y el tiempo en
alcanzar la altura máxima por v sub 0i partido por g. Si hacemos esto,
teniendo en cuenta que aquí en el tercer sumando tenemos el tiempo al
cuadrado, todo esto nos lleva... nos lleva... a poder despejar v sub 0i
cuadrado fácilmente, ¿vale? Y saber la velocidad inicial con que se ha
lanzado en primer lugar, que sería 10,84 metros por segundo. Una vez que
se... La velocidad inicial, que es 10,84 metros por segundo. Yo puedo ir a
la ecuación del movimiento, ¿vale? Igualar y igual a cero, porque yo
quiero saber el tiempo que tarda la pelota en llegar al suelo. Lanzándolo
con una velocidad positiva hacia arriba de 10,84. Tengo que resolver la
ecuación de segundo grado. Y igual a 2 más 10,84t menos 4,9t cuadrado.
Resolviendo la ecuación de segundo grado, me queda tiempo igual a 2,4
segundos. ¿De acuerdo? Sería la B. Dice ahora, un disco que parte del
reposo empieza a girar con una aceleración angular constante. El disco
alcanza una velocidad angular al cabo de 10 revoluciones. Una velocidad
angular omega sub cero. Dice, ¿cuántas revoluciones adicionales? Debo
aplicar, o debe aplicar, para que su velocidad angular sea 3 veces omega
sub cero. Mirad, las ecuaciones de un movimiento circular son las mismas
que un movimiento reptilíneo, solo que donde antes había el espacio,
ahora hay ángulo. Donde antes había v, ahora hay omega. Y donde antes
había a, ahora hay alfa. Por lo tanto, si nos acordamos de la ecuación v
cuadrado, menos v sub cero cuadrado igual a 2a por incremento de x, yo
puedo poner omega cuadrado menos omega sub cero cuadrado igual a 2 alfa por
incremento de z, sin incremento de z, el ángulo recorrido. Igualmente, si
nosotros sabemos que la aceleración es v menos v sub cero partido por t,
sabemos que alfa, la aceleración angular, es omega menos omega sub cero
partido por t. Recordando, esto es la aceleración tangencial, recordando
que la aceleración tangencial es alfa por r, al igual que v es igual a
omega por r. ¿Vale? Entonces, fijaos, el ángulo en el sistema
internacional se da en radianes, no en revoluciones. Una revolución son
dos pi radianes, por lo tanto, un ángulo de diez revoluciones, una
revolución dos pi radianes serían veinte pi radianes. ¿Vale? Entonces,
si parte del reposo, omega sub cero es cero, ¿vale? Y nos dice que al dar
diez revoluciones, al dar diez revoluciones, es decir, recorrer un ángulo,
un ángulo de veinte pi, ¿no? Su velocidad angular la denomino omega sub
cero, ¿no? Omega. ¿Vale? Omega uno, si queremos, ¿vale? Lo voy a poner
aquí. Omega uno cuadrado será igual a dos alfa por veinte pi. Y ahora me
dice, ¿cuántas revoluciones adicionales debo girar para alcanzar tres
omega sub cero? O el triple. Vamos a ver. Yo puedo poner que ahora quiero
que la velocidad sea el triple, tres omega uno cuadrado, por no poner el
cerito, omega sub cero, dos alfa por el ángulo, por el ángulo. Si
dividimos miembro a miembro ambas ecuaciones... como vemos aquí lo que se
ha realizado, queda que el ángulo recorrido son 180 pi radianes. Pero
claro, yo ya había recorrido 20 pi radianes, no me pide el ángulo final o
el número de vueltas final, sino cuántas vueltas adicionales. Pues tengo
que restar 180 pi menos 20 pi, ¿no? Serían 160 pi. 160 pi, si lo pasamos
a revoluciones, una revolución son 2 pi radianes, serían 80 revoluciones
adicionales. O, también lo que podemos hacer es pasarlo todo a
revoluciones y restar revoluciones. Es lo mismo. ¿De acuerdo? Seguimos.
¿Se dispara un proyectil con un ángulo de 60 grados respecto al
horizontal? Y alcanza una distancia máxima de 1000 metros. ¿Cuánto
tiempo habrá estado en movimiento? Bueno, esto es un lanzamiento
simétrico. Si recordamos las ecuaciones de tiro oblicuo, serían x igual a
v sub 0 t coseno de alfa e y igual a y sub 0 más v sub 0 t menos 1 medio
de gt cuadrado. Aquí no hay altura inicial, ¿no? Lo cual hace que sea
todo más fácil. Y sabemos que cuando llega al suelo, la coordenada ahí
es 0. Y puedo sacar el factor común tiempo, será menos 1 medio de gt t.
Entonces, ¿cuándo llegará al suelo? ¿En qué instante estará en el
suelo? para un tiempo igual a cero y para un tiempo, despejando de aquí,
igual a cero, que sería, oh perdóname, esto sería v sub cero y, y esto
sería v sub cero seno de alfa. Por lo tanto, corrigiéndolo, porque la v
sub cero y y la v sub cero x. A ver, si queréis, lo pongo igual en las dos
ecuaciones y ya no hay problema. Pongo, ya lo pongo en función del seno.
Sería v sub cero t seno de alfa. v sub cero, sacando factor común, me
quedaría aquí, borro aquí, escribo, sería v sub cero seno de alfa menos
gt. Luego el tiempo sería... v sub cero seno de alfa partido por g.
Partido por g, ¿vale? Entonces voy a sustituir en esta ecuación y sería
v sub cero y cambio el tiempo por v sub cero seno de alfa partido por g y
por coseno de alfa. ¿Vale? Por coseno de alfa. Me he dejado aquí el 2,
¿no? ¿Vale? Aquí estaba el 2. Aquí abajo. Un momento. Y por lo tanto,
aquí tengo un 2. ¿Sí? El tiempo lleva un 2, luego aquí me falta un 2.
¿Vale? Y en definitiva, ¿qué me queda? Esta expresión, que el alcance
máximo es v sub 0 cuadrado partido por g por el seno de 2 alfa, o dos
veces el ángulo. ¿Por qué? Porque 2 por el seno de alfa, por coseno de
alfa, es la función trigonométrica del ángulo doble. Sube seno de 2
alfa, es dos veces seno de alfa por coseno de alfa. Bueno, os lo he
demostrado. Me da x máxima, evidentemente que tampoco habría por qué
deducir esta ecuación, ¿vale? Pero bueno, ¿qué me está pidiendo el
tiempo, no? Sabemos el alcance máximo, que son mil metros. Entonces, si el
alcance máximo es de mil metros, ¿vale? Yo puedo ir... En esta fórmula
de x máxima, v sub 0 cuadrado por el seno de 2 zeta, o de 2 alfa por g por
g, y calcular la velocidad inicial. Y una vez que tengo la velocidad
inicial, calcular el tiempo. ¿No? Calcular el tiempo. Con la fórmula que
queráis. También se puede calcular el tiempo con esta fórmula que
tenemos aquí. Hemos deducido que el tiempo es dos veces v sub 0 seno de
alfa por g. ¿No? El tiempo sería dos veces. Entonces, v sub 0 seno de
alfa partido por g. También lo podemos calcular de esta manera. Una vez
que sepamos la v sub 0, claro. Vamos con este otro. Dice, un objeto cae
partiendo del reposo desde una altura h. Durante los dos últimos segundos
de caída recorre 50 metros. ¿Cuál es el módulo de velocidad con la que
llega al suelo? Venga, vamos a verlo. La ecuación del movimiento de cada
una de estas dos partículas sería I1 igual a h menos 5t al cuadrado, I2,
h menos 5 por t menos 2 al cuadrado. Fijaos que se dejan caer del mismo
punto, pero uno se deja caer dos segundos más tarde. Dos segundos más
tarde. Entonces, dice que durante los dos últimos segundos de la caída, A
ver, un momentito. Un objeto cae partiendo del reposo desde una altura h.
Durante los dos últimos segundos de la caída recorre 50 metros. Bien, es
el mismo objeto. ¿Vale? Lo que está mostrando es que lo que estamos
escribiendo aquí ahora es decir, bueno, yo cuando me encuentre a un tiempo
t, mi posición I1 es h menos 5t al cuadrado. ¿Vale? Dos segundos antes,
dos segundos después, perdonad, mi posición sería h menos 5t menos 2 al
cuadrado. ¿Por qué dos segundos después? Porque es t menos 2. Es decir,
¿vale? Entonces sabemos que la diferencia de estas dos posiciones I1 menos
I2 será igual a menos 50. ¿Por qué? Porque I1 menos I2, I1 es la altura
más baja, I2 es más alta porque es dos segundos más tarde. Y por lo
tanto esa diferencia de altura es el menos 50. Si hubiera puesto I2 menos
I1, que es cuando está dos segundos menos, I2 menos I1 sería más 50. Al
final el resultado final es el mismo. Nosotros igualamos, hacemos esta
resta y de aquí despejamos el tiempo. Y me sale un tiempo de 3,5 segundos.
Un tiempo de 3,5 segundos. Que es el tiempo que tardaría en llegar al
suelo. A partir de ese tiempo que tarda en llegar al suelo, puedo despejar
la altura a la cual se deja caer Y por último calcular la velocidad, que
es v sub pi igual a v sub 0i menos gt. La velocidad inicial es cero y por
lo tanto saldría menos 35. Como aquí me da simplemente el módulo, nos
ponemos 35. ¿Vale? Este es un problema complicado, ¿no? Seguimos. Se ha
observado que el canguro rojo puede saltar verticalmente. Verticalmente
hasta 2 metros de altura, partiendo de un terreno llano. ¿Qué velocidad
mínima vertical debe tener inicialmente para alcanzar esa altura? Este es
mucho más sencillo. La dificultad, bueno, en el punto más alto otra vez
la velocidad v sub pi sería cero. La altura que tenemos que recorrer por
espacio son 2 metros. La velocidad final es cero. A partir de aquí puedo
obtener la velocidad inicial. La velocidad inicial, ¿no? V sub cero, que
ha de ser raíz de cuarenta, seis coma treinta y dos metros por segundo.
Pero como vean aquí los resultados, veo que no coincide, ¿no? Voy a pasar
esto a kilómetros por hora, a ver si coincide con alguno de ellos. Un
kilómetro son mil metros, una hora tres mil seiscientos segundos. Y vemos
que coincide con veintidós coma siete, veintidós coma seis kilómetros
por hora. ¿Vale? Kilómetros por hora. Quizás esta diferencia de la
décima es porque he tomado aquí la gravedad diez. No, si hubiera tomado
nueve coma ocho hubiera salido mejor. Se lanza una bola verticalmente hacia
arriba que llega a una altura h y cae. Se supone que no hay rozamiento con
el aire. Cuando la bola pasa por una altura h medios, ¿qué pasa con la
aceleración? Bueno, la aceleración cuando sube es la misma que la que
baja. Es decir, ¿la aceleración cuando sube es menor que cuando baja? No.
La aceleración siempre es constante y siempre va dirigida hacia abajo.
¿La aceleración cuando sube es mayor que cuando baja? No. La aceleración
siempre es la misma, va dirigida hacia abajo y vale nueve coma ocho,
negativa. Dice aquí. En las olimpiadas el salto a la piscina se realiza
desde una plataforma de diez metros de altura. Si suponemos que una
saltadora se deja caer desde una plataforma con una velocidad inicial nula,
aproximadamente ¿con qué velocidad llegará al suelo? Pues eso no es más
que una caída libre, ¿vale? donde la velocidad inicial es 0, donde
incremento de i, que es la posición final menos 0, sería 0 menos 10, si
tomo origen de coordenadas el suelo. Si tomo origen de coordenadas el
suelo, incremento de i sería negativo, ¿vale? Entonces, si tomo la
gravedad 10 para simplificar, ¿no? V cuadrado menos 0 será igual, aquí
falta el signo, igual a menos 2 por 10 por menos 10, ¿vale? Menos por
menos da más y me queda que la velocidad es raíz cuadrada de 200.
Entonces sale 14,14 metros por segundo, que lo pasamos a kilómetros por
hora. Un kilómetro mil metros, una hora 3.600 segundos y sale 50,9
kilómetros hora. ¿Vale? Dos niños lanzan sendas piedras desde un puente.
Una de ellas la deja caer y el otro lo lanza horizontalmente con cierta
velocidad inicial. ¿Cuál de las dos piedras llegará antes al agua?
Supóngase que no hay rozamiento con el aire. Bien, el tiempo de caída
cuando dejas caer una piedra sería la ecuación i igual a i sub 0 menos gt
cuadrado partido por 2, que es la caída. Y el tiempo de caída sería
raíz cuadrada de 2i sub 0 partido por g. Cuando hacemos un lanzamiento
horizontal, tenemos la composición de dos movimientos. Un movimiento
uniforme sobre el eje x, x igual a u sub 0 partido por t, y un movimiento
de caída libre, despreciando el rozamiento, de i igual a i sub 0 menos u
medio de gt cuadrado. El tiempo de caída sería con i igual a 0 y
efectivamente las dos piedras caerían a la vez. siempre y cuando se
produciese ese rozamiento, despreciando el rozamiento. Ahora dice, se lanza
verticalmente y hacia arriba un objeto. Posteriormente desde el mismo punto
se lanza otro objeto también verticalmente hacia arriba con el doble de
velocidad que el primero. Suponiendo que no hay efectos de rozamiento
involucrados, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es la correcta? Bueno,
aquí lo que se trata es de determinar si alcanza la misma altura máxima o
si una de ellas es mayor que la otra. A ver, la diferencia es que se lanza
con doble velocidad. Vamos a ver qué relación existe con las alturas
máximas. ¿Qué pasa en el punto más alto? Que la coordenada I es cero.
Perdón, que en el punto más alto, que la V sub I es cero, que la
componente I de la velocidad es cero. Y cuando es un lanzamiento vertical,
pues ya veis, V sub I igual a cero, cero igual a V sub cero cuadrado menos
2G por la I máxima, y la I máxima, uno sería V sub cero cuadrado partido
2G. V sub cero cuadrado partido 2G. Si se duplica la velocidad inicial, la
I máxima será, ojo, cuatro veces, ¿no? Porque esta dos al cuadrado será
cuatro veces. La I máxima. La I máxima sería cuatro veces, ¿no? A la
velocidad lanzándose con una velocidad V sub cero. Si duplicamos la
velocidad, la altura máxima se cuatruplica. Un cuerpo parte del origen X
igual a cero y se mueve. hasta x igual a d con aceleración constante.
Cuando está a mitad de su recorrido, es decir, en x igual a d medios, su
velocidad instantánea es menor que su velocidad media, no podemos saber
nada, igual que su velocidad media, mayor que su velocidad media en el
recorrido total. Bueno, vamos a ver. La primera parte dice que lo recorre
con una aceleración constante. Entonces, v al cuadrado igual a u sub cero
al cuadrado, 2a incremento de x. Para x igual a d medios, la velocidad que
ha adquirido este cuerpo será raíz cuadrada de ax. Esta será la
velocidad instantánea en x de medios. En x de medios. En un instantáneo.
En un movimiento con aceleración constante, la velocidad final siempre es
el doble de la velocidad media. ¿Vale? La velocidad final será el doble
de la velocidad media. Para una distancia x, ¿no?, ¿cuál será la
velocidad? Para una distancia x, ¿no?, para una distancia x, la velocidad,
¿no?, sería raíz cuadrada de 2 a x. Esta velocidad es el doble de la
velocidad media, ¿eh? Por lo tanto, la velocidad media es v medios, sería
raíz de 2 a x partido por 2. Por lo tanto, nos damos cuenta que la
velocidad en ese punto medio será mayor que la velocidad media, ¿eh?,
será mayor que la velocidad media. Se ha medido que en determinadas
condiciones la distancia de frenado de un automóvil que circula a una
velocidad v resulta ser t. En las mismas condiciones, ¿cuál es la
distancia de frenado del mismo automóvil si inicia la frenada con una
velocidad 2v? Bien, si yo parto con una velocidad v sub cero, al pararse
recorreré una distancia de 1 que será v cuadrado partido 2a. Si mi
velocidad inicial es el doble, 2v, como está elevado al cuadrado, la
distancia final será 4v cuadrado partido 2a. Por lo tanto, la distancia
será 4v. 4 veces mayor. Se deja caer un cuerpo desde una altura h. En el
primer segundo de su caída, recorre una distancia h cuartos. ¿Cuál
habrá sido su velocidad media durante su caída hasta llegar al suelo? Su
velocidad media, ¿vale? Durante su caída, ¿eh? Bueno, pues tenemos la
ecuación del movimiento, y igual a I sub cero menos un medio de gt
cuadrado. Sabemos que en el primer segundo recorre una distancia de h
cuartos. En el primer segundo recorre una distancia de h cuartos. Entonces,
sabemos que incremento de I sería menos gt cuadrado, porque va
disminuyendo la posición, ¿no? Y para... Para un segundo, ¿no? Habría
bajado una altura de h cuartos, menos h cuartos. Sustituyendo, menos h
cuartos igual a menos 10 por 1 partido por 2, me queda que la altura sería
de 20 metros. Pero ojo, esto sería la altura. ¿Y cuál sería la
velocidad media que me pide, no? Entonces, ¿cuál sería primero la
velocidad final? Pues... Fijaos. Se deja caer desde una altura de 20
metros, ¿no? Incremento de I sería menos 20 metros, la gravedad menos 10,
la velocidad inicial es cero, por lo tanto, la velocidad final sería raíz
de 40, ¿no? Y sabemos que en todo movimiento con aceleración constante...
La velocidad final es dos veces la velocidad media, por lo tanto, la
velocidad media sería la velocidad final, que es raíz de 40 partido por
2, por lo tanto, 10. Si tomásemos en los cálculos 9,8 en lugar de 10, nos
quedaría que la velocidad media sería 9,8. La fórmula es muy útil,
¿no? Saber que la velocidad final es dos veces la velocidad media en un
movimiento con aceleración constante, ¿eh? No os olvidéis. Nos fijamos
en dos puntos de las aspas de un ventilador que está colgado del techo.
Las aspas del ventilador comienzan a girar horizontalmente y van ganando
velocidad angular. Uno de los puntos está a un extremo, ¿no? Uno de los
puntos, ¿no?, llamamos E, está en el extremo exterior de la aspa. El otro
punto, que llamamos C, está cercano al eje de la aspa. ¿Cuál de estas
respuestas es correcta? Bueno, ¿qué sabemos de un movimiento circular? En
un movimiento circular sabemos que la velocidad angular es constante. Es
independiente de la distancia al eje de giro. Pero, la velocidad lineal sí
que depende de la distancia al eje de giro. La velocidad lineal aumenta. En
un movimiento circular, ¿no?, y la aceleración, la velocidad angular y la
aceleración angular son constantes. La velocidad lineal... ¿No? La
velocidad lineal depende de la distancia del eje de giro, la aceleración
tangencial, que es alfa por r, depende de la distancia del giro, y a sub n,
que es omega cuadrado por r, también depende de la distancia del giro. Ojo
con ese detalle. Las magnitudes lineales siempre dependen de la distancia
del eje de giro. Las magnitudes angulares, como omega o alfa, no dependen
de la distancia del eje de giro. En el punto L, el módulo de velocidad es
más grande y por lo tanto sufre una aceleración tangencial con una
aceleración centrípeta mayor. Efectivamente, este es el correcto. Dice,
una rueda gira alrededor de un eje fijo con aceleración angular constante.
¿Cuál de las siguientes magnitudes permanece constante en el módulo?
Bueno, si gira a velocidad angular constante, ¿no? Si gira con
aceleración angular constante, ¿cuál de las siguientes magnitudes va a
ser constante? La aceleración tangencial es constante en un punto fijo del
eje. La velocidad lineal no es constante, la velocidad tangencial no es
constante, porque hay una aceleración tangencial que hace modificarla. La
aceleración radial tampoco es constante. ¿Por qué no es constante la
aceleración radial? Porque la aceleración radial o aceleración normal es
v cuadrado partido por r. Si cambia v, cambiará la aceleración radial. Lo
que sí podemos decir que es constante para un punto determinado es la
aceleración tangencial. Porque es alfa por r. Dice ahora, se lanza un
proyectil desde el suelo con una velocidad inicial v sub cero. ¿Con qué
ángulo habrá que lanzarlo para que el alcance horizontal sea cuatro veces
la máxima altura? Sea cuatro veces la máxima altura. Bueno, aquí por
simplificar os he puesto las ecuaciones del alcance máximo y de la altura
máxima. De hecho, antes hemos deducido la fórmula del alcance máximo en
otro ejercicio, que era v sub cero cuadrado seno de dos zeta partido por g.
Y podríamos deducir esta ecuación de la y máxima. Aquí nos piden es que
para qué ángulo la x máxima es cuatro veces la y máxima. Y con estas
ecuaciones, ya que hemos deducido antes, la ecuación de la x máxima,
¿cuál sería la ecuación de la y máxima? Es que en la y máxima, ¿no?,
la v sub i es cero. Es así. Esto es cero. Luego esto es v sub cero seno de
alfa menos gt. Despejando, el tiempo en alcanzar la altura máxima será v
sub cero seno de alfa partido por g. Entonces, la y máxima, también lo
que parte desde el suelo, sería la y sub cero más v sub cero t seno de
alfa, sería v sub cero por el tiempo, que es v sub cero. seno de alfa
partido por g, y por el seno de alfa menos un medio de g por el tiempo al
cuadrado, que sería v sub cero cuadrado, seno cuadrado de alfa partido g
cuadrado. Fijaos que nos queda v sub cero cuadrado, seno cuadrado de alfa,
voy a ponerlo aquí arriba, aquí va, v sub cero cuadrado, seno cuadrado de
alfa partido por g, menos v sub cero cuadrado, seno cuadrado de alfa
partido 2g. Uno menos un medio es un medio, y de ahí viene esta expresión
de la altura máxima, que solo es válida para tiros simétricos, cuidado,
tiros simétricos. Entonces, ¿qué tenemos? Bueno, pues igual. Colocamos
las dos expresiones, sabiendo que x máxima ha de ser cuatro veces y
máxima, y simplificando, ¿no? Sabiendo que el seno de 2z es 2 seno de z
por coseno de z, podemos tachar un cuadrado, un cuadrado con un seno, y
seno partido por coseno es la tangente, y 2 partido por 2 es 1. 1 es igual
a la tangente del ángulo, ¿para qué ángulo la tangente vale 1? Pues
para 45 grados, ¿no? Para 45 grados, la tangente vale 1. Muy bien, pues ya
estaría. Muchas gracias. Gracias.